一次方程式

なぜ方程式を使うのか 当てずっぽうで数を探す限界を体験し、分からない数に名前をつけて式にする発想に出会う。方程式・等式・未知数・解という言葉と、文字式の書き方の約束を定義から確認する。

「＝」は答えの合図ではない 小学校で使ってきた「答えはこうなる」という等号の見方から、「左と右が同じ量である」という見方へ切りかえる。天びんの図で、つり合いが保たれる操作と崩れる操作を見分ける。

代入して確かめる 文字を数に置き換える「代入」を定義し、左辺と右辺を別々に計算して見比べる型を身につける。負の数の代入でかっこが必要な理由と、答えが場面に合うかの吟味まで扱う。

数当て問題を方程式にする 「ある数を3倍して5を足すと20」のような数当て問題を、三つの手順で方程式に書きかえる。3x+5 と 3(x+5) のちがいを図で区別し、かっこが必要になる場面を見分ける。

場面のある文章を方程式にする 代金や長さのように単位のある文章を、表と線分図に整理してから方程式にする。式の解と問題の答えのちがい、単位をそろえることの大切さを扱う。

方程式を見分ける／この単元で学ぶこと 等号と文字の有無で方程式かどうかを判定し、「一次」方程式の一次が何を指すのかを知る。あわせて、このあとのセクションで何をどの順に学ぶのかの地図を持つ。

両辺に同じ数を足す・引く 天びんで確かめた「両方に同じことをする」を、等式の性質①②として式の言葉で確定させる。両辺に同じ数を足す・引く操作を、動かせる天びんで自分で試す。

両辺に同じ数をかける 両方の皿の中身をそっくり同じ回数だけ増やしても、つり合いは保たれる。この事実を等式の性質③として確定させ、かけ算がからむ変形を扱えるようにする。

両辺を同じ数で割る／0で割れないのはなぜか 両方の皿の中身を同じ数の山に等分しても、つり合いは保たれる。これを等式の性質④として確定させ、あわせて0で割ることだけがなぜ許されないのかを納得できる形で扱う。

係数を知る／かけ算の方程式を解く 文字にかけられている数を係数と呼ぶ。係数で両辺を割ることで、かけ算がからむ方程式を初めて自力で解けるようにする。負の係数や、解が負・分数になる場合も扱う。

わり算の方程式を解く／四つの形を見分ける 分母に文字がある形を両辺にかけて解く。あわせて基本の四つの形を見分け、どの性質を使うかを自分で選べるようにする。天びんで表せなくなる場面にも触れる。

項ってなんだろう／同類項をまとめる 式を「＋」と「−」で区切ったひとかたまりを項と呼ぶ。符号が項に含まれることを押さえ、文字の部分が同じ項どうしだけがまとめられる理由を理解する。

移項とは何か 等式の性質で3行かけて書いていた変形を、1行に短く書いたものが移項である。省略される前の姿と並べて対応を確かめ、移項を暗記ではなく理解として身につける。

なぜ符号が変わるのか 移項で符号が変わるのは暗記すべき結果ではなく、打ち消して0を作った結果である。反対の数という見方を使って、符号の変化を自分で説明できるようにする。

操作が二つ重なった方程式を解く 3x+5=20 のように、かけ算と足し算が重なった方程式を解く。どちらを先にほどくかには理由があり、その順番を自分で決められるようにする。

両辺に文字がある方程式を解く 3x+5=x+9 のように等号の左右どちらにも文字がある形を解く。文字をどちら側に集めると計算が楽になるかを、自分で判断できるようにする。

分配法則を面積で理解する かっこの外にある数を、かっこの中のすべての項にかける。この規則が成り立つ理由を長方形の面積で確かめ、暗記ではなく納得して使えるようにする。

かっこを外して式を整理する かっこを外したあと、同類項をまとめて式を短くする。かっこを外す作業と、まとめる作業を分けて書くことで、途中の誤りを見つけられるようにする。

かっこの前がマイナスのとき かっこの前のマイナスは、−1がかけられているという意味である。中のすべての項の符号が変わる理由を理解し、この単元でいちばん多い符号の取りこぼしを防ぐ。

かっこを含む方程式を解く かっこを外してから、移項して係数で割る。これまでに身につけた手順の先頭に一段追加するだけで解けることを確かめ、両辺にかっこがある形まで扱う。

かっこが二つある方程式に挑む 片側にかっこが二つ並ぶ形を解く。二つ目のかっこの前がマイナスのときに符号を取りこぼさないよう、外す作業とまとめる作業を分けて確実に進める。

小数の方程式を整数に直す 小数のまま計算せず、両辺を10倍・100倍して整数の式に直してから解く。なぜ両辺を何倍してよいのか、なぜすべての項にかかるのかを根拠から確かめる。

最小公倍数を見つける 分母をなくすために必要な、最小公倍数の見つけ方と分数のかけ算を確かめる。ここが曖昧なままだと次のレッスンで必ず止まるので、道具を先にそろえておく。

分数の方程式から分母をなくす 両辺に分母の最小公倍数をかけて、分数のない式に直してから解く。かける操作を全項に書き下すことで、かけ忘れという最も多い失敗を防ぐ。

分子がひとまとまりのとき 分子が x+1 のように二つ以上の項でできているとき、分母を払うとかっこが必要になる。分数の前がマイナスのときの符号もあわせて確実にする。この単元で最も誤答が多い形。

小数と分数の混合練習 小数と分数が混ざった形を扱い、どちらの倍率を選ぶかを判断できるようにする。あわせてセクション全体を通して、どの形にどの一手を打つかを整理する。

文章題を最後まで解ききる 文章を方程式にするところまではセクション1で学んだ。そこから解いて、単位をつけて答えを書き、場面に合うか確かめるところまでを一続きにする。

もう一方を x で表す 合計が決まっているとき、一方をxとすればもう一方は自動的に決まる。この「10−x」の考え方が、文章題でいちばん多くの生徒がつまずく場所である。

代金と個数の問題 二種類の品物を買う場面を、表に整理してから方程式にする。個数の関係と代金の関係という二つの条件を、どちらもきちんと使い切れるようにする。

過不足の問題 配る問題では、配られる総数を二通りに表すことで方程式ができる。足りないときは引き、余るときは足す。この向きを取りちがえないようにする。

答えの吟味と混合練習 求めた値が場面に合うかを確かめる目を養う。あわせて、これまでの型を混ぜて出題し、問題文を読んでどの型かを自分で見分けられるようにする。

道のり・速さ・時間を式で表す 道のり・速さ・時間の三つの関係を確認し、単位をそろえてから x を使って式にする。速さの問題を表に整理して方程式にする流れを身につける。

出会う問題と追いつく問題 二人が向かい合って進む出会いの問題と、あとから出発して追いつく問題を、図に整理して方程式にする。何が等しいのかを見つけられるようにする。

割合を式で表す／割引と割増 もとにする量・割合・比べる量の関係を式にし、百分率と歩合を自由に行き来できるようにする。◯割引き、◯%増しの場面を方程式で解けるようにする。

食塩水の濃度の問題 濃度を割合として捉え直し、食塩の重さに目をつけて方程式を作る。水を加える、食塩を加える、二つの食塩水を混ぜる、という三つの場面を確実に扱えるようにする。

速さと割合の混合練習 速さ・割合・濃度の三つの場面を混ぜて出題し、問題文からどの関係を使うかを自分で見分けられるようにする。セクション7の道具をひとつの表にまとめる。

比と比の値 二つの量の関係を比で表し、比の値で「等しい比」を判定できるようにする。比の両方に同じ数をかけても割っても比は変わらない、という性質を確かめる。

比例式を解く 二つの比が等しいことを表した式を比例式という。a:b = c:d ならば ad = bc が成り立つ理由を等式の性質から導き、比例式を方程式として解けるようにする。

比例式を使う文章題 文章の中の「◯対△」を比例式に書き直して解く。比で分ける問題、縮尺の問題、割合を比で表す問題を、どこに何を置くか決めてから式にできるようにする。

解が分かっている方程式から係数を求める 解が先に与えられ、式の中の分かっていない数を求める、向きが逆の問題を扱う。解を代入すればその文字についての方程式になる、という一本の考え方で解けるようにする。

比例式と方程式の応用 混合練習 比例式の計算、比例式を使う文章題、解から係数を求める問題を混ぜて出題する。セクション8の道具をひとつの表にまとめ、問題を見て使う道具を選べるようにする。

年齢と何年後の問題 何年後・何年前で全員の年齢が同じだけ変わることを式にする。年齢が何倍になるのはいつか、という入試頻出の型を確実に解けるようにする。

整数の性質を使う問題 連続する整数を x を使って表し、和や積の条件から方程式を作る。2けたの整数を位ごとに分けて表す書き方を身につけ、位を入れかえる問題まで扱う。

平均の問題 平均を「合計 ÷ 個数」ではなく「平均 × 個数 = 合計」の形で使い、合計に目をつけて方程式を作る。二つのグループを合わせたときの平均を確実に扱えるようにする。

やりとりで数量が変わる問題 渡す・もらう・使うで数量が動いたあとの関係から方程式を作る。渡した側と受け取った側で符号が逆になること、全体の量が変わるかどうかを見分けられるようにする。

入試総合演習 セクション6から9までの文章題の型を混ぜ、入試レベルの問題を最後まで解ききる。問題文から条件を取り出す手順を型にして、初めて見る問題にも手がつけられるようにする。

どんな形も一つの手順で解く この単元で出てきたすべての形の一次方程式を、一つの解く手順にまとめる。式を見て「今どの段階にいるか」を判断できるようにし、遠回りせずに解けるようにする。

ミスの種類を見つけて直す 自分の計算ミスを種類ごとに分け、どこで起きたかを特定できるようにする。まちがった式を見て、どの行から違うかを言えるようになることを目指す。

立式の総点検 文章題でつまずくのは計算ではなく立式です。この単元で出てきたすべての型の立式だけを集中して練習し、問題文から式までの道すじを確実にします。

入試レベルの計算演習 入試で実際に出される形の一次方程式を、速く正確に解く練習をする。分数と小数が同時に出る式、かっこが入れ子になった式など、手数の多い計算を確実に処理できるようにする。

単元マスターチェック 一次方程式の単元全体を、計算と立式の両面から総点検する。できなかった問題がどのレッスンに戻ればよいかが分かる形にして、単元を締めくくる。