平均の問題

このレッスンでできるようになること

• 平均を 平均 \(\times\) 個数 \(=\) 合計 の形で使い、合計に目をつけて方程式を作れる
• 「個数｜平均｜合計」の表に整理して、二つのグループを合わせた平均の問題を解ける
• 平均どうしを足したり、平均の平均をとったりしてはいけない理由を、自分のことばで説明できる

前のレッスンの確認

• 文章題を解く五つの手順：① 何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く：② 数量を式で表す：③ 等しい関係を見つけて方程式を作る：④ 方程式を解く：⑤ 場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
• 答えの吟味　求めた値がその量としてありえるかを見ること
• セクション7で使った もとにする量 \(\times\) 割合 \(=\) 比べる量。わり算の関係をかけ算の形に直すと立式しやすくなる、という考え方を今回もそのまま使う
• セクション7の 食塩水の表（食塩水の重さ｜濃度｜食塩の重さ）。今日つくる表は、これとまったく同じ作りになる

平均とは、ならしたときの一つ分

平均とは、いくつかの数量をならして、どれも同じ大きさになるようにしたときの、一つ分の大きさのことです。

たとえば、四つの箱にみかんが \(7\) 個、\(5\) 個、\(8\) 個、\(4\) 個入っているとします。多い箱から少ない箱へみかんを移して、どの箱も同じ個数になるようにならすと、次のようになります。

どの箱も \(6\) 個になりました。この \(6\) 個が平均です。式で書けば次のようになります。

平均 \(=\) 合計 \(\div\) 個数

みかんの場合は、合計が \(7 + 5 + 8 + 4 = 24\) 個、箱の数が \(4\) つなので、\(24 \div 4 = 6\) 個です。

ここでいちばん大事なのは、ならしても合計は変わらないということです。みかんを移しかえただけなので、全部で \(24\) 個であることは最初から最後まで同じです。図の左と右で、棒の高さの合計が変わっていないことを見てください。

方程式では、合計に直してから使う

平均 \(=\) 合計 \(\div\) 個数 の形のまま使うと、分数やわり算が式の中に残って、方程式が作りにくくなります。そこで、両辺に個数をかけた形に直しておきます。

平均 \(\times\) 個数 \(=\) 合計

これがこのレッスンの道具です。セクション7で もとにする量 \(\times\) 割合 \(=\) 比べる量 という形を作ったのと、まったく同じ直し方です。わり算の関係は、かけ算の形にしてから使う。この一本でこのレッスンは通せます。

そして、方程式を作るときに目をつける場所も決まっています。目をつけるのは合計です。平均そのものを足したり引いたりすることはできませんが、合計なら足したり引いたりできるからです。

「個数｜平均｜合計」の表に整理する

食塩水の問題で、食塩水の重さ・濃度・食塩の重さの3列の表を作ったのを思い出してください。あのとき、たてに足せるのは食塩水の重さと食塩の重さで、濃度はたてに足せませんでした。平均の問題もまったく同じです。

• 個数の列　たてに足せる
• 合計の列　たてに足せる
• 平均の列　たてに足せない

いちばん右の合計の列は、かならず「個数 \(\times\) 平均」で作ります。そして、その合計の列をたてに見て、上の二つの和が下の一つと等しい、と書けば方程式になります。表さえ埋まれば、あとは解くだけです。

例題1　あとから1人が加わる

ある班の \(5\) 人が数学の小テストを受けたところ、平均点は \(62\) 点でした。あとから \(1\) 人が同じテストを受けたので、\(6\) 人の平均点は \(64\) 点になりました。あとから受けた \(1\) 人の点数は何点ですか。

あとから受けた \(1\) 人の点数を \(x\) 点とします。表に整理します。

合計の列をたてに見ると、\(310 + x = 384\) です。図にすると、二つの合計の差がそのまま答えになっていることが分かります。

確かめ

左辺 = 310 + 74 = 384
右辺 = 384
左辺 = 右辺 なので x=74 は解

答えの吟味をします。\(74\) 点は \(0\) 点以上 \(100\) 点以下なので、テストの点数としてありえます。また、\(1\) 人加わって平均が \(62\) 点から \(64\) 点に上がったのですから、加わった人の点数は \(62\) 点より高いはずです。\(74\) 点は \(62\) 点より高いので、この点でも合っています。

答え　74点

例題2　二つのグループを合わせる

ある学級でハンドボール投げの記録を測ったところ、男子 \(21\) 人の平均は \(28\) m、女子の平均は \(17\) m、学級全体の平均は \(24\) m でした。女子は何人ですか。

女子を \(x\) 人とします。

合計の列をたてに見て、\(588 + 17x = 24(21 + x)\) とします。

確かめ

左辺 = 588 + 17 × 12 = 588 + 204 = 792
右辺 = 24 × (21 + 12) = 24 × 33 = 792
左辺 = 右辺 なので x=12 は解

答えの吟味をします。\(12\) は \(0\) 以上の整数なので、人数としてありえます。また、全体の平均 \(24\) m は、女子の \(17\) m と男子の \(28\) m の間に入っています。二つのグループを合わせた平均は、かならず二つの平均の間に入るので、これも合っています。

答え　12人

この場面を、横の長さを人数、たての長さを平均の記録とする長方形で描くと、次のようになります。長方形の面積が、そのグループの記録の合計です。

男子の長方形は破線より上にはみ出し、女子の長方形は破線より下にへこんでいます。このはみ出した分とへこんだ分がちょうど打ち消し合う高さが、全体の平均です。みかんをならしたときと、していることは同じです。

平均どうしを足すと、何が起きるか

例題2で、こう考えた人がいるかもしれません。「男子が \(28\) m、女子が \(17\) m なのだから、全体の平均は \((28 + 17) \div 2 = 22.5\) m ではないか」。

これは正しくありません。実際にやってみて、何が起きるか見てみます。もし全体の平均が \(22.5\) m だとすると、\(33\) 人の記録の合計は次のようになります。

33 × 22.5 = 742.5

ところが、本当の合計は \(588 + 204 = 792\) m です。\(742.5\) m では、\(49.5\) m 足りません。どこへ消えたのでしょうか。

消えたのではなく、人数を無視したからです。\((28 + 17) \div 2\) という式は、男子が \(1\) 人、女子が \(1\) 人しかいないときの計算です。この学級は男子 \(21\) 人、女子 \(12\) 人で、男子のほうが \(9\) 人多いのですから、全体の平均は男子の \(28\) m のほうへ引っぱられます。だから \(22.5\) m より大きい \(24\) m になるのです。

平均どうしを足したり、平均の平均をとったりしてはいけません。 平均は「一つ分の大きさ」であって、個数の情報を持っていないからです。足したり引いたりしてよいのは、いつでも合計だけです。人数がちょうど同じときにかぎって \((28 + 17) \div 2\) が正しくなりますが、それは偶然そうなるだけで、平均どうしを足してよいわけではありません。

例題3　これからの回で平均をそろえる

これまでに \(3\) 回の漢字テストを受け、平均点は \(68\) 点でした。あと \(2\) 回のテストで毎回同じ点数をとって、\(5\) 回全部の平均点を \(74\) 点にしたいと思います。\(1\) 回に何点とればよいですか。

\(1\) 回にとる点数を \(x\) 点とします。

確かめ

左辺 = 204 + 2 × 83 = 204 + 166 = 370
右辺 = 370
左辺 = 右辺 なので x=83 は解

答えの吟味をします。\(83\) 点は \(0\) 点以上 \(100\) 点以下なので、とることができます。平均を \(68\) 点から \(74\) 点へ上げたいのですから、これからとる点は \(74\) 点より高いはずです。\(83\) 点は \(74\) 点より高いので合っています。

答え　83点

例題4　人数の差も条件になっている

ある中学校の \(1\) 年生がテストを受けました。男子の平均点は \(62\) 点、女子の平均点は \(70\) 点、\(1\) 年生全体の平均点は \(65\) 点でした。また、男子は女子より \(16\) 人多いことが分かっています。\(1\) 年生は全部で何人ですか。

条件が二段になっています。一段目は平均の条件、二段目は人数の差の条件です。人数の差は、セクション6で習った差が決まっている型と同じで、一方を \(x\) とおけばもう一方が書けます。

女子を \(x\) 人とすると、男子は女子より \(16\) 人多いので \(x + 16\) 人です。

女子が \(24\) 人なので、男子は \(24 + 16 = 40\) 人、全部で \(24 + 40 = 64\) 人です。

確かめ

左辺 = 62 × (24 + 16) + 70 × 24 = 2480 + 1680 = 4160
右辺 = 65 × (2 × 24 + 16) = 65 × 64 = 4160
左辺 = 右辺 なので x=24 は解

答えの吟味をします。\(24\) も \(40\) も \(0\) 以上の整数なので、人数としてありえます。全体の平均 \(65\) 点は、\(62\) 点と \(70\) 点の間に入っています。さらに、男子のほうが人数が多いので、全体の平均は男子の \(62\) 点のほうへ寄るはずです。\((62 + 70) \div 2 = 66\) 点より小さい \(65\) 点になっているので、寄り方の向きも合っています。

答え　64人

今日の問い

二つの学級の平均点だけを聞いても、その二つを合わせた平均点は求められません。何が足りないのでしょうか。

足りないのは 人数 です。平均は一つ分の大きさしか表していないので、そのままでは足し算に使えません。人数が分かってはじめて、平均 \(\times\) 個数 \(=\) 合計 で合計に直せて、合計どうしなら足せるようになります。例題2で \(22.5\) m と \(24\) m がずれたのも、\(21\) 人と \(12\) 人という人数を使わなかったからでした。平均の問題で困ったら、まず合計に直す。これが今日の答えです。

よくある間違い

まちがい1：平均どうしを足して2でわる

例題2で、次のようにしてしまう間違いです。

✗ (28 + 17) ÷ 2 = 22.5
○ (21 × 28 + 12 × 17) ÷ (21 + 12) = 792 ÷ 33 = 24

\(22.5\) m を全体の平均として合計を出し直すと、\(33 \times 22.5 = 742.5\) となり、本当の合計 \(792\) m と合いません。人数がちがう二つのグループでは、人数の多いほうへ平均が寄ります。かならず合計に直してからわり算をしてください。

まちがい2：かける個数を取りちがえる

例題1で、はじめの \(5\) 人の合計を出すときに、あとの人数まで入れてしまう間違いです。

✗ 62 × 6 = 372    ← 平均62点だったのは5人のとき
○ 62 × 5 = 310

\(372\) を使うと \(372 + x = 384\) となり、\(x = 12\) という答えが出ます。この \(12\) 点を場面にもどして確かめてみます。

6人の合計 = 310 + 12 = 322
322 ÷ 6 = 53.6…

\(6\) 人の平均が \(64\) 点にならず、合いません。平均 \(\times\) 個数 の個数は、その平均を出したときの個数です。表の同じ行の中で、個数・平均・合計がそろっているかを見てください。

まちがい3：差の向きを逆にする

例題4で、男子を \(x\) 人、女子を \(x + 16\) 人としてしまう間違いです。「男子は女子より \(16\) 人多い」のですから、\(16\) を足すのは男子のほうです。

✗ 62x + 70(x + 16) = 65(2x + 16)
○ 62(x + 16) + 70x = 65(2x + 16)

✗ の式を解くと \(132x + 1120 = 130x + 1040\) となり、\(2x = -80\)、\(x = -40\) です。人数が負の数になってしまいました。人数は \(0\) 以上の整数でなければならないので、これはありえません。答えの吟味をすれば、その場で気づけます。

まちがい4：平均の列をたてに足す

表の平均の列を上から足して、\(28 + 17 = 45\) を全体の平均にしてしまう間違いです。

✗ 28 + 17 = 45         ← 平均の列をたてに足した
○ 21 × 28 + 12 × 17 = 588 + 204 = 792   ← 合計の列をたてに足した

\(45\) m を全体の平均だとして合計を出し直すと \(33 \times 45 = 1485\) m となり、本当の合計 \(792\) m とまるでちがいます。そもそも \(45\) m は男子の \(28\) m より大きい値です。二つのグループを合わせた平均が、どちらの平均よりも大きくなることはありえません。

たてに足してよいのは、個数の列と合計の列だけです。食塩水の表で濃度の列を足さなかったのと同じで、平均の列は足しても意味のある数になりません。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。

1. \(4\) 人の平均点が \(55\) 点でした。もう \(1\) 人が加わって、\(5\) 人の平均点が \(58\) 点になりました。加わった \(1\) 人の点数は何点ですか。
2. ある部活で反復横とびの記録を測ったところ、\(1\) 年生 \(15\) 人の平均は \(42\) 回、\(2\) 年生の平均は \(57\) 回、全体の平均は \(48\) 回でした。\(2\) 年生は何人ですか。
3. これまで \(5\) 回の小テストの平均点は \(71\) 点でした。\(6\) 回目のテストで、\(6\) 回全部の平均点を \(74\) 点にするには、何点とればよいですか。
4. A班 \(6\) 人の平均点は \(72\) 点、B班 \(9\) 人の平均点は \(57\) 点でした。ある人が、合わせた \(15\) 人の平均点を \((72 + 57) \div 2 = 64.5\) 点としました。正しい平均点を求め、\(64.5\) 点にならない理由を書いてください。
5. あるテストで、受験した人全員の平均点は \(58\) 点でした。合格した \(40\) 人の平均点は \(72\) 点、不合格だった人の平均点は \(51\) 点です。受験した人は全部で何人ですか。

左辺 = 220 + 70 = 290
右辺 = 290
左辺 = 右辺 なので x=70 は解

左辺 = 630 + 57 × 10 = 630 + 570 = 1200
右辺 = 48 × (15 + 10) = 48 × 25 = 1200
左辺 = 右辺 なので x=10 は解

左辺 = 355 + 89 = 444
右辺 = 444
左辺 = 右辺 なので x=89 は解

左辺 = 15 × 63 = 945
右辺 = 432 + 513 = 945
左辺 = 右辺 なので 平均63点 で合っている

左辺 = 2880 + 51 × (120 − 40) = 2880 + 4080 = 6960
右辺 = 58 × 120 = 6960
左辺 = 右辺 なので x=120 は解

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次のレッスンでは、やりとりで数量が変わる問題を扱います。だれかがだれかに何かを渡すと、渡したほうは減り、受け取ったほうは増えます。二つの数量が同時に変わるので、「渡す前」と「渡したあと」を分けて整理する必要があります。今日つくった表の使い方が、そのまま生きてきます。

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