やりとりで数量が変わる問題
このレッスンでできるようになること
- やりとりの問題を「はじめ」と「やりとりのあと」の2列の表に整理し、あとの場面で方程式を作れる
- 渡した側と受け取った側で符号が逆になることを、式の上で正しく書き分けられる
- 全体の量が変わる場面と変わらない場面を見分けて、立てた式を答えの吟味まで通せる
前のレッスンの確認
- 文章題を解く五つの手順：①何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く ②数量を式で表す ③等しい関係を見つけて方程式を作る ④方程式を解く ⑤場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
- 差が決まっている型：一方を \(x\)、もう一方を \(x + △\) とおく
- 移項と分配法則：符号を変えて反対の辺へ移すこと、\(a(b + c) = ab + ac\) でかっこを外すこと
- 答えの吟味：求めた値がその量としてありえるかを見ること
やりとりの問題には場面が二つある
「渡す」「もらう」「使う」が出てくる問題には、いつも二つの場面があります。やりとりが起きる前の場面と、やりとりが起きたあとの場面です。
そして、問題文が最後に告げている条件（「同じになった」「◯倍になった」）は、かならずあとの場面についての条件です。だから方程式も、あとの場面で作ります。ここを外すと、どれだけていねいに計算しても答えは合いません。
そこで、やりとりの問題では最初に次の表を書きます。
| 人 | はじめ | やりとりのあと |
|---|---|---|
| A | ||
| B |
やりとりの表とは、はじめの数量とやりとりのあとの数量を、人ごとに並べて書いた表のことです。左の列を先に \(x\) を使って埋め、右の列は左の列に足し引きして作ります。方程式は右の列だけから作ります。
見分けることは二つだけ
① 渡した側と受け取った側で符号が逆になる
Aが Bに \(a\) 個渡したなら、Aは \(-a\)、Bは \(+a\) です。同じ \(a\) に対して、片方が引き算、もう片方が足し算になります。両方とも足したり、両方とも引いたりすることはありません。
② 全体の量は変わるか、変わらないか
ここが最大の分かれ道です。
- 「AがBに渡す」……品物は二人の間を動いただけなので、合計は変わりません。
- 「二人とも \(a\) ずつ使う」「二人とも \(a\) ずつもらう」……外へ出ていく、または外から入ってくるので、合計は変わります。二人とも \(a\) ずつ使えば合計は \(2a\) 減り、二人とも \(a\) ずつもらえば合計は \(2a\) 増えます。
たとえば \(900\) 円と \(300\) 円を持っている二人で考えます。
- 一方がもう一方に \(100\) 円渡すと、\(800\) 円と \(400\) 円。合計はどちらも \(1200\) 円で変わりません。
- 二人とも \(100\) 円ずつ使うと、\(800\) 円と \(200\) 円。合計は \(1200\) 円から \(1000\) 円へ、\(200\) 円減りました。
同じ「\(100\)」でも、起きていることがまるでちがいます。
同じだけ増やしても、倍の関係は変わってしまう
さきほどの \(900\) 円と \(300\) 円は、ちょうど \(3\) 倍の関係です。ここで二人に同じことをしても、\(3\) 倍のままではありません。実際にやってみます。
はじめ 900 と 300 → 900 ÷ 300 = 3 倍
100ずつ使う 800 と 200 → 800 ÷ 200 = 4 倍
100ずつもらう 1000 と 400 → 1000 ÷ 400 = 2.5 倍
二人とも使うと倍は大きくなり、二人とももらうと倍は小さくなりました。「同じだけ動かしたのだから関係は変わらないはず」という感じ方は、ここでは通じません。差は \(600\) 円のまま変わらないのに、倍の関係だけが変わっているのです。だからこそ、あとの場面の数量をきちんと式で書き直す必要があります。
例題1 渡すと同じ数になる
はるとと ゆい は、あわせて \(84\) 枚のシールを持っています。はるとが ゆい に \(9\) 枚渡したところ、二人の枚数は同じになりました。はるとははじめ何枚持っていましたか。
渡しただけなので、合計 \(84\) 枚は変わりません。はるとのはじめの枚数を \(x\) 枚とすると、ゆい のはじめの枚数は \(84 - x\) 枚です。
| 人 | はじめ（枚） | やりとりのあと（枚） |
|---|---|---|
| はると | \(x\) | \(x - 9\) |
| ゆい | \(84 - x\) | \(84 - x + 9\) |
あとの場面で二人が同じ枚数なので、右の列を等号で結びます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x - 9 = 84 - x + 9\) | あとの場面の枚数を等号で結んだ |
| \(x - 9 = 93 - x\) | 右辺の数どうしをまとめた |
| \(x + x = 93 + 9\) | \(-x\) と \(-9\) を移項した |
| \(2x = 102\) | 両辺をまとめた |
| \(x = 51\) | 両辺を \(2\) でわった |
確かめ
左辺 = 51 − 9 = 42
右辺 = 84 − 51 + 9 = 33 + 9 = 42
左辺 = 右辺 なので x=51 は解
答えの吟味をします。はるとは \(51\) 枚、ゆい は \(84 - 51 = 33\) 枚。どちらも \(0\) より大きく、はるとは \(9\) 枚渡せるだけ持っています。渡したあとは \(42\) 枚と \(42\) 枚で、合計も \(84\) 枚のままです。
答え はると \(51\) 枚
ここで、はじめの差は \(51 - 33 = 18\) 枚でした。\(9\) 枚渡したら差が \(18\) 枚縮んで \(0\) になっています。渡した側が \(9\) 減り、受け取った側が \(9\) 増えるので、差は渡した枚数の \(2\) 倍だけ縮むのです。これが符号が逆になることの見え方です。
例題2 二人とも使う
そうた は あおい の \(4\) 倍のお金を持っています。二人とも \(400\) 円ずつ使ったところ、そうた の残りは あおい の残りの \(6\) 倍になりました。あおい ははじめ何円持っていましたか。
今度は二人とも外へお金を出しています。品物が二人の間を動いたのではないので、合計は変わります。あおい のはじめの金額を \(x\) 円とすると、そうた は \(4x\) 円です。
| 人 | はじめ（円） | 使ったあと（円） |
|---|---|---|
| そうた | \(4x\) | \(4x - 400\) |
| あおい | \(x\) | \(x - 400\) |
あとの場面で「そうた は あおい の \(6\) 倍」なので、あおい の残りを \(6\) 倍したものが そうた の残りです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4x - 400 = 6(x - 400)\) | あとの場面で倍の関係を式にした |
| \(4x - 400 = 6x - 2400\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(4x - 6x = -2400 + 400\) | \(6x\) と \(-400\) を移項した |
| \(-2x = -2000\) | 両辺をまとめた |
| \(x = 1000\) | 両辺を \(-2\) でわった |
確かめ
左辺 = 4 × 1000 − 400 = 4000 − 400 = 3600
右辺 = 6 × (1000 − 400) = 6 × 600 = 3600
左辺 = 右辺 なので x=1000 は解
答えの吟味をします。はじめは あおい \(1000\) 円、そうた \(4000\) 円。使ったあとは \(600\) 円と \(3600\) 円で、どちらも \(0\) より大きく、二人とも \(400\) 円を出せるだけ持っていました。合計は \(5000\) 円から \(4200\) 円へ \(800\) 円減っています。\(400\) 円の \(2\) 倍ですから、つじつまが合います。
答え \(1000\) 円
例題3 渡したあとに倍になる
みなと は ゆうと より \(40\) 枚多くカードを持っています。みなと が ゆうと に \(5\) 枚渡したところ、みなと の枚数は ゆうと の枚数の \(3\) 倍になりました。ゆうと ははじめ何枚持っていましたか。
ゆうと のはじめの枚数を \(x\) 枚とすると、みなと は \(x + 40\) 枚です。渡すだけなので合計は変わりません。
| 人 | はじめ（枚） | やりとりのあと（枚） |
|---|---|---|
| みなと | \(x + 40\) | \(x + 40 - 5\) |
| ゆうと | \(x\) | \(x + 5\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + 40 - 5 = 3(x + 5)\) | あとの場面で倍の関係を式にした |
| \(x + 35 = 3x + 15\) | 左辺の数をまとめ、右辺のかっこを外した |
| \(x - 3x = 15 - 35\) | \(3x\) と \(35\) を移項した |
| \(-2x = -20\) | 両辺をまとめた |
| \(x = 10\) | 両辺を \(-2\) でわった |
確かめ
左辺 = 10 + 40 − 5 = 45
右辺 = 3 × (10 + 5) = 3 × 15 = 45
左辺 = 右辺 なので x=10 は解
答えの吟味をします。ゆうと \(10\) 枚、みなと \(50\) 枚。みなと は \(5\) 枚渡せます。あとは \(45\) 枚と \(15\) 枚で、たしかに \(3\) 倍。合計は \(60\) 枚のままです。
答え \(10\) 枚
例題4 二段になった条件
れん は ひなた の \(3\) 倍のお金を持っています。れん が ひなた に \(600\) 円渡し、そのあと二人とも \(500\) 円ずつ使ったところ、れん の残りは ひなた の残りの \(2\) 倍になりました。れん ははじめ何円持っていましたか。
場面が三つあります。表の列を一つ増やして、左から順に埋めていきます。ひなた のはじめの金額を \(x\) 円とすると、れん は \(3x\) 円です。
| 人 | はじめ（円） | 渡したあと（円） | 使ったあと（円） |
|---|---|---|---|
| れん | \(3x\) | \(3x - 600\) | \(3x - 600 - 500\) |
| ひなた | \(x\) | \(x + 600\) | \(x + 600 - 500\) |
渡す場面では符号が逆（れん が \(-600\)、ひなた が \(+600\)）、使う場面では二人とも \(-500\) です。ここを取りちがえないことがすべてです。条件が使えるのはいちばん右の列だけなので、そこで方程式を作ります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3x - 1100 = 2(x + 100)\) | いちばん右の列で倍の関係を式にした |
| \(3x - 1100 = 2x + 200\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(3x - 2x = 200 + 1100\) | \(2x\) と \(-1100\) を移項した |
| \(x = 1300\) | 両辺をまとめた |
確かめ
左辺 = 3 × 1300 − 1100 = 3900 − 1100 = 2800
右辺 = 2 × (1300 + 100) = 2 × 1400 = 2800
左辺 = 右辺 なので x=1300 は解
答えの吟味をします。はじめは ひなた \(1300\) 円、れん \(3900\) 円。れん は \(600\) 円渡せます。渡したあとは \(3300\) 円と \(1900\) 円、使ったあとは \(2800\) 円と \(1400\) 円で、どちらも \(0\) より大きく、二人とも \(500\) 円を出せました。合計は、渡しただけの段階では \(5200\) 円のまま、使ったあとは \(4200\) 円で \(1000\) 円減っています。\(500\) 円の \(2\) 倍で合っています。
問われているのは れん のはじめの金額なので、\(x\) の値そのままではありません。\(3x = 3 \times 1300 = 3900\) です。
答え \(3900\) 円
今日の問い
二人とも同じ額を使ったのに、倍の関係が変わってしまうのはなぜでしょうか。
差で考えると分かります。\(900\) 円と \(300\) 円は差が \(600\) 円で、二人とも \(100\) 円ずつ使っても \(800\) 円と \(200\) 円、差は \(600\) 円のままです。ところが倍の関係は「差」ではなく「何個分か」を見ています。もとにする \(300\) 円が \(200\) 円に減れば、同じ \(600\) 円の差でも入る個数は増えます。だから \(3\) 倍が \(4\) 倍になるのです。変わらないもの（差）と変わるもの（倍）を混ぜないこと。これがやりとりの問題の要です。
よくある間違い
まちがい1：渡した側も足してしまう
例題1で、\(9\) 枚という数だけを見て両方に足してしまう誤りです。
✗ x + 9 = (84 − x) + 9
○ x − 9 = (84 − x) + 9
✗ の式を解くと \(2x = 84\)、\(x = 42\) となります。この \(42\) を場面に戻すと、はると \(42\) 枚、ゆい \(42\) 枚。ここから はると が \(9\) 枚渡すと \(33\) 枚と \(51\) 枚で、同じになりません。渡した側は必ず減るので、符号は \(-\) です。
まちがい2：渡しただけなのに合計が減ると思う
「\(9\) 枚出ていった」と感じて、合計を \(84 - 9 = 75\) 枚にしてしまう誤りです。
✗ x − 9 = (75 − x) + 9
○ x − 9 = (84 − x) + 9
✗ の式は \(2x = 93\)、\(x = 46.5\) となります。シールの枚数が小数になった時点でおかしいと気づけます。\(46.5\) を場面に戻すと、相手は \(84 - 46.5 = 37.5\) 枚。渡したあとは \(37.5\) 枚と \(46.5\) 枚で同じになりません。渡すときシールは二人の外へは出ていないので、合計は \(84\) 枚のままです。
まちがい3：二人とも使ったのに合計が変わらないとする
例題2で、合計が \(5x\) 円のまま変わらないと思い込む誤りです。
✗ (4x − 400) + (x − 400) = 5x
○ (4x − 400) + (x − 400) = 5x − 800
✗ の左辺を整理すると \(5x - 800\) なので、この式は \(5x - 800 = 5x\)、つまり \(-800 = 0\) となり、どんな \(x\) でも成り立ちません。式が壊れたのは、外へ出ていった \(800\) 円をなかったことにしたからです。二人とも使う・二人とももらう場面では、合計は必ず動きます。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- かのん と りく はあわせて \(72\) 個のビー玉を持っています。かのん が りく に \(8\) 個渡すと、二人の個数は同じになりました。かのん ははじめ何個持っていましたか。
- みお は ゆう の \(3\) 倍の枚数のシールを持っています。二人とも \(12\) 枚ずつもらったところ、みお は ゆう の \(2\) 倍になりました。ゆう ははじめ何枚持っていましたか。
- たくみ と さくら はあわせて \(108\) 個のおはじきを持っています。さくら が たくみ に \(12\) 個渡すと、たくみ は さくら の \(5\) 倍になりました。さくら ははじめ何個持っていましたか。
- はな は そう の \(2\) 倍のお金を持っています。そう が はな に \(200\) 円渡し、そのあと二人とも \(300\) 円ずつ使ったところ、はな の残りは そう の残りの \(3\) 倍になりました。そう ははじめ何円持っていましたか。
答えと考え方
1 渡すだけなので合計 \(72\) 個は変わりません。かのん のはじめを \(x\) 個とすると、りく は \(72 - x\) 個です。
| 人 | はじめ（個） | やりとりのあと（個） |
|---|---|---|
| かのん | \(x\) | \(x - 8\) |
| りく | \(72 - x\) | \(72 - x + 8\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x - 8 = 72 - x + 8\) | あとの場面の個数を等号で結んだ |
| \(x - 8 = 80 - x\) | 右辺の数をまとめた |
| \(x + x = 80 + 8\) | \(-x\) と \(-8\) を移項した |
| \(2x = 88\) | 両辺をまとめた |
| \(x = 44\) | 両辺を \(2\) でわった |
確かめ
左辺 = 44 − 8 = 36
右辺 = 72 − 44 + 8 = 28 + 8 = 36
左辺 = 右辺 なので x=44 は解
吟味：かのん \(44\) 個、りく \(28\) 個。かのん は \(8\) 個渡せます。あとは \(36\) 個と \(36\) 個、合計は \(72\) 個のままです。
答え \(44\) 個
2 二人とももらうので合計は増えます。ゆう のはじめを \(x\) 枚とすると、みお は \(3x\) 枚です。
| 人 | はじめ（枚） | もらったあと（枚） |
|---|---|---|
| みお | \(3x\) | \(3x + 12\) |
| ゆう | \(x\) | \(x + 12\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3x + 12 = 2(x + 12)\) | あとの場面で倍の関係を式にした |
| \(3x + 12 = 2x + 24\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(3x - 2x = 24 - 12\) | \(2x\) と \(12\) を移項した |
| \(x = 12\) | 両辺をまとめた |
確かめ
左辺 = 3 × 12 + 12 = 36 + 12 = 48
右辺 = 2 × (12 + 12) = 2 × 24 = 48
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
吟味：ゆう \(12\) 枚、みお \(36\) 枚ではじめは \(3\) 倍。もらったあとは \(24\) 枚と \(48\) 枚で \(2\) 倍になり、倍が小さくなっています。合計は \(48\) 枚から \(72\) 枚へ \(24\) 枚増え、\(12\) 枚の \(2\) 倍で合っています。
答え \(12\) 枚
3 渡すだけなので合計 \(108\) 個は変わりません。さくら のはじめを \(x\) 個とすると、たくみ は \(108 - x\) 個です。
| 人 | はじめ（個） | やりとりのあと（個） |
|---|---|---|
| たくみ | \(108 - x\) | \(108 - x + 12\) |
| さくら | \(x\) | \(x - 12\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(108 - x + 12 = 5(x - 12)\) | あとの場面で倍の関係を式にした |
| \(120 - x = 5x - 60\) | 左辺の数をまとめ、右辺のかっこを外した |
| \(-x - 5x = -60 - 120\) | \(5x\) と \(120\) を移項した |
| \(-6x = -180\) | 両辺をまとめた |
| \(x = 30\) | 両辺を \(-6\) でわった |
確かめ
左辺 = 108 − 30 + 12 = 78 + 12 = 90
右辺 = 5 × (30 − 12) = 5 × 18 = 90
左辺 = 右辺 なので x=30 は解
吟味：さくら \(30\) 個、たくみ \(78\) 個。さくら は \(12\) 個渡せます。あとは \(90\) 個と \(18\) 個でたしかに \(5\) 倍、合計は \(108\) 個のままです。
答え \(30\) 個
4 場面が三つあります。そう のはじめを \(x\) 円とすると、はな は \(2x\) 円です。渡す場面では符号が逆、使う場面では二人とも \(-300\) です。
| 人 | はじめ（円） | 渡したあと（円） | 使ったあと（円） |
|---|---|---|---|
| はな | \(2x\) | \(2x + 200\) | \(2x + 200 - 300\) |
| そう | \(x\) | \(x - 200\) | \(x - 200 - 300\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2x - 100 = 3(x - 500)\) | いちばん右の列で倍の関係を式にした |
| \(2x - 100 = 3x - 1500\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(2x - 3x = -1500 + 100\) | \(3x\) と \(-100\) を移項した |
| \(-x = -1400\) | 両辺をまとめた |
| \(x = 1400\) | 両辺を \(-1\) でわった |
確かめ
左辺 = 2 × 1400 − 100 = 2800 − 100 = 2700
右辺 = 3 × (1400 − 500) = 3 × 900 = 2700
左辺 = 右辺 なので x=1400 は解
吟味：そう \(1400\) 円、はな \(2800\) 円。そう は \(200\) 円渡せ、渡したあとの \(1200\) 円から \(300\) 円も出せます。渡したあとは \(1200\) 円と \(3000\) 円、使ったあとは \(900\) 円と \(2700\) 円で \(3\) 倍。合計は \(4200\) 円から \(3600\) 円へ \(600\) 円減り、\(300\) 円の \(2\) 倍で合っています。
答え \(1400\) 円
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これでセクション9の四つの型がそろいました。次は入試総合演習です。年齢と何年後、整数の性質、平均、そしてやりとり。どの型かを問題文の言葉から自分で見分け、五つの手順で最後まで解ききる練習をします。型を教えてもらってから解くのと、型から自分で決めて解くのとでは、必要な力がちがいます。そこが入試本番で問われるところです。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。