入試総合演習
このレッスンでできるようになること
- 長い問題文から、問われているもの・数量と単位・等しい関係を順に取り出せる
- セクション6から9までの型を見分けて、どの道具を使うかを自分で決められる
- \(x\) の置き方を選び、解いたあとの答えの吟味まで最後までやりきれる
前のレッスンの確認
- 文章題を解く五つの手順：何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く → 数量を式で表す → 等しい関係を見つけて方程式を作る → 方程式を解く → 場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
- 速さ・時間・道のりの表：列の順は 速さ｜時間｜道のり
- 食塩水の表：食塩水の重さ｜濃度｜食塩の重さ の3列
- \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\)
- 年齢の表（人｜今｜\(x\) 年後）：出てくる人全員に、同じ \(x\) を足す
- 「個数｜平均｜合計」の表：平均 \(\times\) 個数 \(=\) 合計。たてに足せるのは個数と合計だけ
- やりとりの表（人｜はじめ｜やりとりのあと）：渡す側は \(-\)、受け取る側は \(+\)
- 答えの吟味：求めた値がその量としてありえるかを見ること
問題文を読み取る五つのステップ
入試の文章題が難しいのは、計算が難しいからではありません。方程式の形はここまでとほとんど同じで、ちがうのは方程式を作るまでにやることが多い点だけです。だから、読み取るところを手順にします。
| ステップ | やること | 紙に書くこと |
|---|---|---|
| 1 | 問われているものに線を引く | 「何 g か」の部分を囲む |
| 2 | 数量とその単位を書き出す | \(1.5\) km、\(21\) 分のように単位つきで並べる |
| 3 | 何を \(x\) とおくか決める | 「\(x\) ＝ 歩いた時間（分）」と書く |
| 4 | 等しい関係を探す | 「合わせて」「〜になる」に印をつける |
| 5 | 立式して解き、吟味する | 値が場面に合うかを見る |
これは文章題を解く五つの手順を置きかえるものではありません。五つの手順の①②③を、入試の長い問題文でも迷わないように細かく分けたものです。④と⑤はこれまでどおりです。
ステップ1が最初にくる理由は、答えるものが決まっていないと解いたあとに戻る先がないから。ステップ2が必要なのは、単位のそろわない数どうしを等号で結べないからです。
ステップ3がステップ1と別な理由は、問われているものを \(x\) にするとは限らないからです。「はじめの枚数」を問われても、「渡したあとの枚数」を \(x\) とおくほうが式が短くなることがあります。そのときは最後に問われているものへ直します。この直し忘れが入試で多い失点です。
ステップ4のこつは言葉を探すこと。「合わせて」なら合計、「〜になる」なら等号です。ステップ5で合わなければ、計算ではなく立式を疑います。
型の見分け表
セクション6から9までの型の一覧です。言葉から型を決め、型から道具を決めます。
| 問題文に出てくる言葉 | 型 | 使う道具 |
|---|---|---|
| 「合わせて◯個」「全部で◯人」 | 合計が決まっている型 | 一方を \(x\)、他方を \(◯ - x\) |
| 「◯ずつ配ると足りない／余る」 | 過不足の型 | 総数を二通りに表す |
| 「◯個買って合計△円」 | 代金と個数の型 | 表に整理して代金の列を式に |
| 「◯より△大きい／小さい」 | 差が決まっている型 | 一方を \(x\)、他方を \(x + △\) |
| 「分速◯ m」「時速◯ km」 | 速さの型 | 速さ｜時間｜道のりの表。単位をそろえる |
| 「出会う」「追いつく」 | 出会い・追いつきの型 | 出会いは道のりの合計、追いつきは道のりが等しい |
| 「◯%引き」「◯割増し」「定価」「原価」 | 割合の型 | もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量 |
| 「◯%の食塩水」「蒸発させる」 | 濃度の型 | 食塩水の表。食塩の重さで等式を作る |
| 「◯ : △である」「同じ比になる」 | 比例式の型 | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) |
| 「解が \(x = ◯\) である」 | 解から係数を求める型 | 解を代入して、その文字の方程式にする |
| 「何年後」「何年前」 | 年齢の型 | 年齢の表（人｜今｜\(x\) 年後）。差は変わらない |
| 「連続する3つの整数」「連続する偶数」 | 連続する整数の型 | まん中を \(x\) とおくと \(x - 1\)、\(x\)、\(x + 1\)。偶数・奇数は \(2\) ずつ |
| 「2けたの整数」「位を入れかえる」 | 整数の型 | 十の位が \(a\)、一の位が \(b\) なら \(10a + b\)（使う文字は \(x\) ひとつ） |
| 「平均」 | 平均の型 | 「個数｜平均｜合計」の表。たてに足せるのは個数と合計だけ |
| 「◯枚渡す」「◯円もらう」 | やりとりの型 | やりとりの表（人｜はじめ｜やりとりのあと）。渡す側は \(-\)、受け取る側は \(+\) |
入試では二つの型が組み合わさることもよくあります。速さと割合、比例式と整数といった形です。それでも道具は変わりません。
例題1 歩きと走りで進んだ道のり
みなとさんは家を出て、はじめは分速 \(50\) m で歩き、途中の店に \(3\) 分立ち寄り、そのあとは分速 \(150\) m で走って図書館に着きました。家を出てから着くまでは \(21\) 分、家から図書館までは \(1.5\) km です。歩いた道のりは何 m ですか。
問われているのは歩いた道のりで、歩いた時間ではありません。km が一つ混ざっているので m にそろえます。
\(21\) 分のうち \(3\) 分は店にいた時間なので、進んでいた時間は \(18\) 分。歩いた時間を \(x\) 分とおけば走った時間は \(18 - x\) 分。等しい関係は「道のりの合計が \(1500\) m」です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 歩いた時間を \(x\) 分とする | 何を \(x\) とおくか決めた |
| \(1.5\) km \(= 1500\) m | 単位を m にそろえた |
| \(21 - 3 = 18\) なので走った時間は \(18 - x\) 分 | 進んでいた時間を出し、残りを表した |
| \(50x + 150(18 - x) = 1500\) | 道のりの合計で方程式を作った |
| \(50x + 2700 - 150x = 1500\) なので \(-100x = -1200\) | かっこを外し、\(2700\) を移項した |
| \(x = 12\) | 両辺を \(-100\) で割った |
| \(50 \times 12 = 600\) | 問われている道のりに直した |
確かめ
左辺 = 50 × 12 + 150 × (18 − 12) = 600 + 900 = 1500
右辺 = 1500
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
吟味します。歩いた \(12\) 分も走った \(6\) 分もマイナスではありません。
答え 600 m
例題2 混ぜてから水を蒸発させる食塩水
\(6\)% の食塩水 \(200\) g に \(12\)% の食塩水を何 g か混ぜたところ、\(9\)% の食塩水になりました。次に、その食塩水から水を何 g か蒸発させて \(10\)% にしました。混ぜた \(12\)% の食塩水と、蒸発させた水はそれぞれ何 g ですか。
条件が二段です。混ぜる段と蒸発させる段に分けて一段ずつ解きます。まず混ぜる段です。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） |
|---|---|---|
| \(200\) | \(6\)% | \(12\) |
| \(x\) | \(12\)% | \(0.12x\) |
| \(200 + x\) | \(9\)% | \(0.09(200 + x)\) |
3行は上から、加える前・加えるもの・加えたあと。等しい関係は「混ぜる前の食塩の重さの合計 ＝ 混ぜたあとの食塩の重さ」です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 混ぜる食塩水を \(x\) g とする | 何を \(x\) とおくか決めた |
| \(12 + 0.12x = 0.09(200 + x)\) | 食塩の重さで方程式を作った |
| \(1200 + 12x = 1800 + 9x\) なので \(3x = 600\) | 両辺を \(100\) 倍し、\(9x\) と \(1200\) を移項した |
| \(x = 200\) | 両辺を \(3\) で割った |
確かめ
左辺 = 12 + 0.12 × 200 = 12 + 24 = 36
右辺 = 0.09 × (200 + 200) = 0.09 × 400 = 36
左辺 = 右辺 なので x=200 は解
次が蒸発させる段。混ぜたあとは \(400\) g で食塩は \(36\) g です。水が蒸発しても食塩の重さは変わらないので、蒸発させる水を \(x\) g とおいても食塩は \(36\) g のままです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 蒸発させる水を \(x\) g とすると蒸発後は \(400 - x\) g | 減るのは水だけと考えた |
| \(36 = 0.1(400 - x)\) | 食塩の重さで方程式を作った |
| \(360 = 400 - x\) | 両辺を \(10\) 倍した |
| \(x = 40\) | \(x\) と \(360\) を移項して計算した |
確かめ
左辺 = 36
右辺 = 0.1 × (400 − 40) = 0.1 × 360 = 36
左辺 = 右辺 なので x=40 は解
吟味します。蒸発させる \(40\) g はもとの \(400\) g より少なく、ありえる量です。
答え 混ぜた食塩水 200 g、蒸発させた水 40 g
例題3 カードのやりとりと置き方くらべ
けんたさんとみさきさんは、合わせて \(96\) 枚のカードを持っています。けんたさんがみさきさんに \(14\) 枚渡したところ、けんたさんの枚数はみさきさんの枚数の \(\dfrac{3}{5}\) 倍になりました。けんたさんがはじめに持っていた枚数は何枚ですか。
やりとりの型なので、まず合計が変わるかどうかを見ます。カードは二人の間で動くだけなので合計は \(96\) 枚のままです。
同じ問題を二通りの置き方で解きます。
置き方A 問われているはじめの枚数を文字でおく
| 人 | はじめ（枚） | やりとりのあと（枚） |
|---|---|---|
| けんた | \(x\) | \(x - 14\) |
| みさき | \(96 - x\) | \(96 - x + 14\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| はじめのけんたさんを \(x\) 枚とする | 問われているものを \(x\) にした |
| みさきさんのあとは \(96 - x + 14 = 110 - x\) 枚 | 表の右下をまとめた |
| \(x - 14 = \dfrac{3}{5}(110 - x)\) | 「\(\dfrac{3}{5}\) 倍になった」で方程式を作った |
| \(5x - 70 = 330 - 3x\) なので \(8x = 400\) | 両辺を \(5\) 倍し、\(-3x\) と \(-70\) を移項した |
| \(x = 50\) | 両辺を \(8\) で割った |
置き方B 渡したあとの枚数を文字でおく
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 渡したあとのけんたさんを \(x\) 枚とする | 問われているものとは別のものを \(x\) にした |
| 渡したあとのみさきさんは \(96 - x\) 枚 | 合計は変わらないので使えた |
| \(x = \dfrac{3}{5}(96 - x)\) | 「\(\dfrac{3}{5}\) 倍になった」で方程式を作った |
| \(5x = 288 - 3x\) なので \(8x = 288\) | 両辺を \(5\) 倍し、\(-3x\) を移項した |
| \(x = 36\) | 両辺を \(8\) で割った |
| \(36 + 14 = 50\) | 問われているはじめの枚数に直した |
置き方Aでは \(330\) や \(400\) という大きい数が出ましたが、置き方Bでは \(14\) が式に出てこず、数が小さくなっています。
\(x\) の置き方を変えると、同じ問題でも計算の重さが変わります。 目安は、いちばん条件が集まっているところを \(x\) にすること。ここでは「\(\dfrac{3}{5}\) 倍」も「合計 \(96\)」も渡したあとの条件なので、あとを \(x\) にすると軽くなります。そのかわり最後に \(14\) を足して戻す作業がつきます。楽な置き方には戻す作業がついてくると覚えてください。
確かめ
左辺 = 50 − 14 = 36
右辺 = (46 + 14) × 3 ÷ 5 = 60 × 3 ÷ 5 = 36
左辺 = 右辺 なので x=50 は解
吟味します。はじめは \(50\) 枚と \(46\) 枚で合計 \(96\) 枚。けんたさんは \(14\) 枚渡せます。
答え 50 枚
例題4 位を入れかえる2けたの整数
十の位の数と一の位の数の比が \(1 : 2\) である2けたの整数があります。この整数と、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2けたの整数との和は \(99\) です。もとの整数を求めなさい。
比例式の型と整数の型が組み合わさった問題です。比が \(1 : 2\) なので、十の位を \(x\) とおけば一の位は \(2x\)。一つの文字で両方を表すのがこつです。2けたの整数は \(10a + b\) と表せました。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 十の位の数を \(x\)、一の位の数を \(2x\) とする | 比 \(1 : 2\) を一つの文字で表した |
| もとは \(10x + 2x = 12x\)、入れかえると \(21x\) | \(10a + b\) の形にあてはめた |
| \(12x + 21x = 99\) なので \(33x = 99\) | 「和が \(99\)」で方程式を作り、まとめた |
| \(x = 3\) | 両辺を \(33\) で割った |
| 十の位は \(3\)、一の位は \(6\) | 位の数に直した |
確かめ
左辺 = 12 × 3 + 21 × 3 = 36 + 63 = 99
右辺 = 99
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
吟味がとくに大事です。位の数は \(0\) から \(9\) の整数で、\(x = 3\)、\(2x = 6\) はこれを満たします。\(x = 5\) なら一の位が \(10\) になり、位の数になれません。もとは \(36\)、入れかえると \(63\) で和は \(99\) です。
答え 36
今日の問い
初めて見る入試の文章題を前にしたとき、いつも同じところから手をつけることはできるでしょうか。
できます。ステップ1とステップ2は、方程式を考えなくてもできる作業だからです。線を引き、数量と単位を書き出す。これは読んだだけで終わり、そのあとで「等しい関係」がどの文にあるかが見えます。例題1でも \(21\) 分と \(3\) 分を並べて「進んでいた時間は \(18\) 分」が出ました。手が止まるのは、読み取りを飛ばして式を作ろうとしたときです。
よくある間違い
まちがい1：問われたものと違うものを答える
例題3を置き方Bで解くと \(x = 36\) が出ます。ここで止まる人がいます。
✗ x = 36 だから、はじめの枚数は 36 枚
○ x は渡したあとの枚数なので、はじめの枚数は 36 + 14 = 50 枚
置き方Bでは \(x\) を「渡したあとの枚数」と決めたのだから \(14\) を足して戻します。\(36\) 枚として場面に合うか見ます。
けんたの渡したあと = 36 − 14 = 22（枚）
みさきの渡したあと = (96 − 36) + 14 = 74（枚）
74 × 3 ÷ 5 = 44.4
22 と 44.4 は等しくないので、36 枚は場面に合わない
ステップ1で線を引くのは、この戻り先を作るためです。
まちがい2：単位をそろえ忘れる
例題1で、\(1.5\) km を m に直さずに立式した式です。
✗ 50x + 150(18 − x) = 1.5
○ 50x + 150(18 − x) = 1500
左辺は m の道のり、右辺の \(1.5\) は km。単位のちがう量を等号で結んでいます。解くと \(x = 26.985\) です。
左辺 = 50 × 26.985 + 150 × (18 − 26.985) = 1349.25 + (−1347.75) = 1.5
右辺 = 1.5
左辺 = 右辺 だが、走った時間がマイナスなので場面に合わない
左辺と右辺は一致します。式のとおり計算したのだから当然です。しかし歩いた時間が \(18\) 分より長く、走った時間は \(-8.985\) 分とマイナスです。式が解けたことと、場面に合うことは別です。単位は立式の前にそろえましょう。
まちがい3：条件を一つ使い忘れる
例題1で、立ち寄った \(3\) 分を使わずに立式した式です。
✗ 50x + 150(21 − x) = 1500
○ 50x + 150(18 − x) = 1500
\(21\) 分には立ち寄りも入るので、進んでいた時間は \(18\) 分。✗ を解くと \(x = 16.5\) となり、いっけん解けたように見えます。
歩いた道のり = 50 × 16.5 = 825（m）
走った道のり = 150 × (21 − 16.5) = 150 × 4.5 = 675（m）
825 + 675 = 1500 なので道のりは合う
しかし 16.5 + 4.5 + 3 = 24 で、かかった 21 分に合わない
道のりの条件は満たしていますが、時間の条件が満たされていません。使っていない数が残っていないかを、解き終わったあとに必ず見てください。使わなくてよい数なら理由を言えるはずです。言えないなら使い忘れです。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。まず、何を答える問題かに線を引くこと。
- ある中学校の去年の生徒数は \(620\) 人でした。今年は男子が \(5\)% 増え、女子が \(4\)% 減り、全体では \(4\) 人増えました。今年の男子は何人ですか。
- 弟が家を出て分速 \(65\) m で歩き始め、その \(8\) 分後に兄が分速 \(195\) m の自転車で同じ道を追いかけました。兄が弟に追いつく地点は、家から何 m のところですか。
- \(4\)% の食塩水 \(450\) g に食塩を何 g か加えて、\(10\)% の食塩水にします。加える食塩は何 g ですか。
- 折り紙を生徒に配ります。1人に \(4\) 枚ずつ配ると \(13\) 枚余り、\(6\) 枚ずつ配ると \(9\) 枚足りません。折り紙は全部で何枚ありますか。
- いま、姉は妹より \(6\) 歳年上です。\(4\) 年前、姉の年齢は妹の年齢の \(3\) 倍でした。いまの妹は何歳ですか。
- ある工場で作った製品の重さを調べました。午前に作った \(18\) 個の平均は \(46\) g、午後に作った分もふくめた \(30\) 個全体の平均は \(50\) g でした。午後に作った \(12\) 個の平均は何 g ですか。
- \(x\) についての方程式 \(\dfrac{2x - a}{3} = \dfrac{x + 5}{4}\) の解が \(x = 7\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
- 兄と弟の所持金の比は \(7 : 5\) でした。兄が弟に \(300\) 円渡したところ、二人の所持金の比は \(5 : 4\) になりました。はじめに兄が持っていた金額は何円ですか。
- 連続する3つの整数があります。いちばん小さい数の \(5\) 倍は、他の2つの数の和より \(30\) 大きくなります。この3つの整数を求めなさい。
答えと考え方
1．割合の型 去年の男子を \(x\) 人とすると女子は \(620 - x\) 人。増減の差が \(4\) 人です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.05x - 0.04(620 - x) = 4\) | 増えた人数から減った人数を引いた |
| \(5x - 2480 + 4x = 400\) なので \(9x = 2880\) | 両辺を \(100\) 倍し、\(-2480\) を移項した |
| \(x = 320\) | 両辺を \(9\) で割った |
今年の男子は \(320 \times 1.05 = 336\) 人です。
確かめ
左辺 = 0.05 × 320 − 0.04 × (620 − 320) = 16 − 12 = 4
右辺 = 4
左辺 = 右辺 なので x=320 は解
答え 336 人
2．追いつきの型 兄が出発して \(x\) 分後に追いつくとすると弟の時間は \(x + 8\) 分。道のりは弟が \(65(x + 8)\) m、兄が \(195x\) m で、追いつくとき等しくなります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(65(x + 8) = 195x\) | 二人の道のりが等しいとおいた |
| \(65x + 520 = 195x\) なので \(-130x = -520\) | かっこを外し、\(195x\) と \(520\) を移項した |
| \(x = 4\) | 両辺を \(-130\) で割った |
問われているのは地点なので \(195 \times 4 = 780\) m です。
確かめ
左辺 = 65 × (4 + 8) = 65 × 12 = 780
右辺 = 195 × 4 = 780
左辺 = 右辺 なので x=4 は解
答え 家から 780 m のところ
3．濃度の型 加えるのは食塩そのものなので、濃度は \(100\)% です。加える食塩を \(x\) g とします。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） |
|---|---|---|
| \(450\) | \(4\)% | \(18\) |
| \(x\) | \(100\)% | \(x\) |
| \(450 + x\) | \(10\)% | \(0.1(450 + x)\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(18 + x = 0.1(450 + x)\) | 食塩の重さで方程式を作った |
| \(180 + 10x = 450 + x\) なので \(9x = 270\) | 両辺を \(10\) 倍し、\(x\) と \(180\) を移項した |
| \(x = 30\) | 両辺を \(9\) で割った |
確かめ
左辺 = 18 + 30 = 48
右辺 = 0.1 × (450 + 30) = 0.1 × 480 = 48
左辺 = 右辺 なので x=30 は解
答え 30 g
4．過不足の型 生徒を \(x\) 人とし、枚数を二通りに表します。\(4\) 枚ずつなら \(4x + 13\) 枚、\(6\) 枚ずつなら \(6x - 9\) 枚です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4x + 13 = 6x - 9\) | 同じ枚数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(-2x = -22\) | \(6x\) と \(13\) を移項してまとめた |
| \(x = 11\) | 両辺を \(-2\) で割った |
問われているのは枚数なので \(4 \times 11 + 13 = 57\) 枚。
確かめ
左辺 = 4 × 11 + 13 = 44 + 13 = 57
右辺 = 6 × 11 − 9 = 66 − 9 = 57
左辺 = 右辺 なので x=11 は解
答え 57 枚
5．年齢の型 いまの妹を \(x\) 歳とすると姉は \(x + 6\) 歳。\(4\) 年前は二人とも \(4\) 歳ずつ若いので、表はこうなります。
| 人 | 今 | \(4\) 年前 |
|---|---|---|
| 姉 | \(x + 6\) 歳 | \(x + 2\) 歳 |
| 妹 | \(x\) 歳 | \(x - 4\) 歳 |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + 2 = 3(x - 4)\) | 年齢の表から方程式をつくった |
| \(x + 2 = 3x - 12\) なので \(-2x = -14\) | かっこを外し、\(3x\) と \(2\) を移項した |
| \(x = 7\) | 両辺を \(-2\) で割った |
確かめ
左辺 = 7 + 2 = 9
右辺 = 3 × (7 − 4) = 3 × 3 = 9
左辺 = 右辺 なので x=7 は解
いまの妹 \(7\) 歳、姉 \(13\) 歳。\(4\) 年前は \(3\) 歳と \(9\) 歳で、\(9\) は \(3\) の \(3\) 倍。
答え 7歳
6．平均の型 午後の平均を \(x\) g として表を書きます。
| 個数（個） | 平均（g） | 合計（g） | |
|---|---|---|---|
| 午前 | \(18\) | \(46\) | \(828\) |
| 午後 | \(12\) | \(x\) | \(12x\) |
| 全体 | \(30\) | \(50\) | \(1500\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(18 \times 46 + 12x = 30 \times 50\) | 二つの合計が全体の合計と等しいとおいた |
| \(12x = 1500 - 828 = 672\) | かけ算を計算し、\(828\) を移項した |
| \(x = 56\) | 両辺を \(12\) で割った |
確かめ
左辺 = 18 × 46 + 12 × 56 = 828 + 672 = 1500
右辺 = 30 × 50 = 1500
左辺 = 右辺 なので x=56 は解
答え 56 g
7．解から係数を求める型 \(x = 7\) を代入すると \(a\) についての方程式になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{14 - a}{3} = \dfrac{12}{4} = 3\) | \(x\) に \(7\) を代入して計算した |
| \(14 - a = 9\) なので \(-a = -5\) | 両辺を \(3\) 倍し、\(14\) を移項した |
| \(a = 5\) | 両辺を \(-1\) で割った |
確かめ
左辺 = (2 × 7 − 5) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3
右辺 = (7 + 5) ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3
左辺 = 右辺 なので a=5 のとき x=7 は解
答え \(a = 5\)
8．比例式とやりとりの型 比が \(7 : 5\) なので兄を \(7x\) 円、弟を \(5x\) 円とおいて表を書きます。
| 人 | はじめ（円） | やりとりのあと（円） |
|---|---|---|
| 兄 | \(7x\) | \(7x - 300\) |
| 弟 | \(5x\) | \(5x + 300\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((7x - 300) : (5x + 300) = 5 : 4\) | あとの比を式にした |
| \(4(7x - 300) = 5(5x + 300)\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(28x - 1200 = 25x + 1500\) なので \(3x = 2700\) | かっこを外し、\(25x\) と \(-1200\) を移項した |
| \(x = 900\) | 両辺を \(3\) で割った |
\(x\) は比の \(1\) にあたる金額なので、兄のはじめは \(7 \times 900 = 6300\) 円です。
確かめ
左辺 = (7 × 900 − 300) × 4 = 6000 × 4 = 24000
右辺 = (5 × 900 + 300) × 5 = 4800 × 5 = 24000
左辺 = 右辺 なので x=900 は解
答え 6300 円
9．連続する整数の型 まん中を \(x\) とすると、3つは \(x - 1\)、\(x\)、\(x + 1\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5(x - 1) = x + (x + 1) + 30\) | 「小さい数の5倍」＝「他の2つの和より30大きい」 |
| \(5x - 5 = 2x + 31\) なので \(3x = 36\) | 両辺を整理し、\(2x\) と \(-5\) を移項した |
| \(x = 12\) | 両辺を \(3\) で割った |
確かめ
左辺 = 5 × (12 − 1) = 5 × 11 = 55
右辺 = 12 + 13 + 30 = 55
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
3つとも整数で連続しています。
答え 11、12、13
次のレッスンへ
次のセクション10は、この単元の総仕上げです。計算と立式を最初から通して点検し、自分のミスがどの種類かを分けて、種類ごとの対策を決めます。符号のミス、かっこの外し方のミス、分母をはらうときのミス、立式そのもののミス。直し方はそれぞれちがいます。最後に単元全体のマスターチェックで、どこまでできるかを確かめます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。