どんな形も一つの手順で解く
このレッスンでできるようになること
- 一次方程式を解く七つの手順を、順番どおりに言える
- 式を見て「自分は今どの段階にいるのか」「どこから始めればよいのか」を判断できる
- 分数・小数・かっこがまじった式でも、遠回りせずに解ける
前のレッスンの確認
- 移項：項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
- 同類項：文字の部分がまったく同じ項どうしのこと
- 係数：文字にかけられている数のこと
- 分配法則：\(a(b + c) = ab + ac\)
- 最小公倍数：公倍数のうちいちばん小さいもの
- 比例式は、\(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) が使える
形はちがっても、通る道は一つ
この単元では、いろいろな見た目の方程式を解いてきました。\(x + 9 = 4\) のようにひと目で終わるものもあれば、分数とかっこが同時に出てくるものもありました。形ごとに解き方を覚えていると、テストで見たことのない形が出たときに手が止まります。
けれども、実は解き方は形の数だけあるのではありません。一次方程式を解く道は一本で、式によって「その道のどこから入るか」がちがうだけです。分数のある式は道の入口から、\(ax = b\) の形は道のいちばん終わりの手前から入ります。入ったあとに通る道は、どの式でも同じです。
このレッスンでは、その一本の道を七つの手順として確定させます。ここから先のレッスンは、すべてこの手順の上で話が進みます。
解く手順（七つ）
- 分母をはらう（分数があれば、両辺に分母の最小公倍数をかける）
- 小数をなくす（小数があれば、両辺を10倍または100倍する）
- かっこを外す（分配法則を使う）
- 文字の項を左辺、数の項を右辺に移項する
- 両辺の同類項をまとめる（\(ax = b\) の形にする）
- 両辺を \(x\) の係数で割る
- 確かめる（求めた値をもとの式に代入して、左辺と右辺が等しくなるか見る）
手順1・2・3は、必要なときだけ通る手順です。分数がなければ手順1は飛ばします。小数がなければ手順2を飛ばします。かっこがなければ手順3を飛ばします。手順4から手順7までは、どんな式でも必ず通ります。
この流れを図にすると、次のようになります。
図の①から⑦までの番号は、上の手順1から手順7までに対応しています。左の列で「あるか、ないか」を三回たずね、あてはまるものだけ右の作業をして、また左の道にもどってきます。
なぜこの順番なのか
「分数を先、かっこはそのあと」という順番には理由があります。先に分母をはらうと、そのあとの計算がすべて整数で進むからです。順番を入れかえるとどうなるか、実際にやってみましょう。
使う式は \(\dfrac{x + 6}{4} = \dfrac{x - 2}{3}\) です。
手順どおり（分母を先にはらう）
| 式 | この行でしたこと | 手順 |
|---|---|---|
| \(\dfrac{x + 6}{4} = \dfrac{x - 2}{3}\) | もとの式 | |
| \(12 \times \dfrac{x + 6}{4} = 12 \times \dfrac{x - 2}{3}\) | 両辺に、4と3の最小公倍数12をかけた | 1 |
| \(3(x + 6) = 4(x - 2)\) | 分母がはらえた | 1 |
| \(3x + 18 = 4x - 8\) | 分配法則でかっこを外した | 3 |
| \(3x - 4x = -8 - 18\) | 移項した | 4 |
| \(-x = -26\) | 同類項をまとめた | 5 |
| \(x = 26\) | 両辺を \(-1\) で割った | 6 |
かけ算をした相手は、左辺の \(\dfrac{x + 6}{4}\) と右辺の \(\dfrac{x - 2}{3}\) の二つだけでした。
順番を逆にした場合（かっこを先に外す）
分子の \(x + 6\) はひとまとまり、つまりかっこと同じはたらきをしています。これを先にばらすと、こうなります。
| 式 | この行でしたこと | 手順 |
|---|---|---|
| \(\dfrac{x + 6}{4} = \dfrac{x - 2}{3}\) | もとの式 | |
| \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{6}{4} = \dfrac{x}{3} - \dfrac{2}{3}\) | 分子のまとまりを先にばらした | 3 |
| \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{x}{3} - \dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{6}{4}\) を約分した | 3 |
| \(12 \times \dfrac{x}{4} + 12 \times \dfrac{3}{2} = 12 \times \dfrac{x}{3} - 12 \times \dfrac{2}{3}\) | 結局ここで両辺に12をかけることになった | 1 |
| \(3x + 18 = 4x - 8\) | 分母がはらえた | 1 |
同じ \(3x + 18 = 4x - 8\) にたどり着きました。答えは変わりません。けれども、かけ算をする相手が二つから四つに増え、しかも \(\dfrac{6}{4}\) を約分する作業まで増えました。行数も一行多くなっています。分数を先にはらわなかったせいで、かっこを外したあとにも分数が残り、二度手間になったのです。
小数でも同じことが起きます。かっこの中に小数があるまま分配法則を使うと、\(0.4 \times 3\) のような小数のかけ算を自分でしなければなりません。先に両辺を10倍しておけば、そこは \(4 \times 3\) という整数のかけ算になります。分数と小数は、いちばん先に消す。 これがこの順番の理由です。
この単元で出てきた形は、どこから始まるか
この単元で扱ったすべての形を、手順のどこから入るかで並べます。
| 形 | 例 | どこから始めるか |
|---|---|---|
| \(x + a = b\) | \(x + 9 = 4\) | 手順4（移項）から |
| \(x - a = b\) | \(x - 6 = 15\) | 手順4（移項）から |
| \(ax = b\) | \(-3x = 21\) | 手順6（係数で割る）から |
| \(\dfrac{x}{a} = b\) | \(\dfrac{x}{7} = 5\) | 手順1（分母をはらう）から |
| \(ax + b = c\) | \(2x + 9 = 23\) | 手順4（移項）から |
| \(ax + b = cx + d\) | \(7x - 8 = 3x + 16\) | 手順4（移項）から |
| かっこを含む形 | \(5(x - 3) = 2x + 9\) | 手順3（かっこを外す）から |
| かっこが二つある形 | \(3(x + 2) - 2(x - 4) = 25\) | 手順3（かっこを外す）から |
| 小数を含む形 | \(0.3x + 1.4 = 0.8x - 0.6\) | 手順2（小数をなくす）から |
| 分数を含む形 | \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 4}{6} = 1\) | 手順1（分母をはらう）から |
| 分子がひとまとまりの形 | \(\dfrac{x - 5}{6} = 2\) | 手順1（分母をはらう）から |
| 比例式 | \((x - 1) : 7 = (x + 5) : 9\) | 別の入口。\(ad = bc\) で積の形にしてから手順3に合流する |
| 解が分かっている方程式から係数を求める型 | \(4x + a = 7x - 5\) の解が \(x = 3\) | 別の入口。解を代入してから手順4に合流する |
下の二つは、そのままでは流れ図の左の列に入れません。比例式は \(ad = bc\) という別の道具でかけ算の形に直し、解が分かっている方程式から係数を求める型は、解を代入して \(a\) についての方程式に直します。どちらも一度その入口を通れば、あとは同じ道に合流します。
ここから、形のちがう式を五つ解きます。毎回「今どの手順にいるか」を右の列に書きます。
例題1 両辺に文字がある形
\(7x - 8 = 3x + 16\) を解きなさい。
分数も小数もかっこもありません。手順1・2・3は飛ばして、手順4から始めます。
| 式 | この行でしたこと | 手順 |
|---|---|---|
| \(7x - 8 = 3x + 16\) | もとの式 | |
| \(7x - 3x = 16 + 8\) | \(3x\) を左辺へ、\(-8\) を右辺へ移項した | 4 |
| \(4x = 24\) | 両辺の同類項をまとめた | 5 |
| \(x = 6\) | 両辺を \(x\) の係数 4 で割った | 6 |
確かめ
左辺 = 7 × 6 − 8 = 42 − 8 = 34
右辺 = 3 × 6 + 16 = 18 + 16 = 34
左辺 = 右辺 なので x=6 は解
答え \(x = 6\)
例題2 かっこを含む形
\(5(x - 3) = 2x + 9\) を解きなさい。
分数も小数もありませんが、かっこがあります。手順3から始めます。
| 式 | この行でしたこと | 手順 |
|---|---|---|
| \(5(x - 3) = 2x + 9\) | もとの式 | |
| \(5x - 15 = 2x + 9\) | 分配法則でかっこを外した | 3 |
| \(5x - 2x = 9 + 15\) | \(2x\) を左辺へ、\(-15\) を右辺へ移項した | 4 |
| \(3x = 24\) | 両辺の同類項をまとめた | 5 |
| \(x = 8\) | 両辺を3で割った | 6 |
確かめ
左辺 = 5 × (8 − 3) = 5 × 5 = 25
右辺 = 2 × 8 + 9 = 16 + 9 = 25
左辺 = 右辺 なので x=8 は解
答え \(x = 8\)
例題3 小数を含む形
\(0.3x + 1.4 = 0.8x - 0.6\) を解きなさい。
分数はありませんが、小数があります。手順2から始めます。小数点以下が一けたなので、両辺を10倍します。
| 式 | この行でしたこと | 手順 |
|---|---|---|
| \(0.3x + 1.4 = 0.8x - 0.6\) | もとの式 | |
| \(3x + 14 = 8x - 6\) | 両辺を10倍して小数をなくした | 2 |
| \(3x - 8x = -6 - 14\) | \(8x\) を左辺へ、\(14\) を右辺へ移項した | 4 |
| \(-5x = -20\) | 両辺の同類項をまとめた | 5 |
| \(x = 4\) | 両辺を \(x\) の係数 \(-5\) で割った | 6 |
確かめ
左辺 = 0.3 × 4 + 1.4 = 1.2 + 1.4 = 2.6
右辺 = 0.8 × 4 − 0.6 = 3.2 − 0.6 = 2.6
左辺 = 右辺 なので x=4 は解
答え \(x = 4\)
例題4 分数を含む形
\(\dfrac{x + 5}{3} - \dfrac{x - 1}{4} = 1\) を解きなさい。
分数があります。手順1から始めます。分母は3と4なので、最小公倍数は12です。右辺の \(1\) にも12をかけることを忘れないようにします。
| 式 | この行でしたこと | 手順 |
|---|---|---|
| \(\dfrac{x + 5}{3} - \dfrac{x - 1}{4} = 1\) | もとの式 | |
| \(12 \times \dfrac{x + 5}{3} - 12 \times \dfrac{x - 1}{4} = 12 \times 1\) | 両辺に12をかけた | 1 |
| \(4(x + 5) - 3(x - 1) = 12\) | 分母がはらえた | 1 |
| \(4x + 20 - 3x + 3 = 12\) | 分配法則でかっこを外した | 3 |
| \(4x - 3x = 12 - 20 - 3\) | 文字の項を左辺へ、数の項を右辺へ移項した | 4 |
| \(x = -11\) | 両辺の同類項をまとめた | 5 |
係数が1なので、手順6の割り算はしなくてすみます。
確かめ
左辺 = (−11 + 5) ÷ 3 − (−11 − 1) ÷ 4 = (−6) ÷ 3 − (−12) ÷ 4 = −2 − (−3) = 1
右辺 = 1
左辺 = 右辺 なので x=−11 は解
答え \(x = -11\)
例題5 比例式
\((x - 1) : 7 = (x + 5) : 9\) を解きなさい。
このままでは流れ図に入れません。\(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使って、かけ算の形に直すのが入口です。
| 式 | この行でしたこと | 手順 |
|---|---|---|
| \((x - 1) : 7 = (x + 5) : 9\) | もとの式 | |
| \(9(x - 1) = 7(x + 5)\) | \(ad = bc\) を使った | 別の入口 |
| \(9x - 9 = 7x + 35\) | 分配法則でかっこを外した | 3 |
| \(9x - 7x = 35 + 9\) | \(7x\) を左辺へ、\(-9\) を右辺へ移項した | 4 |
| \(2x = 44\) | 両辺の同類項をまとめた | 5 |
| \(x = 22\) | 両辺を2で割った | 6 |
入口を通ったあとは、例題2とまったく同じ道でした。
確かめ
左辺 = (22 − 1) : 7 = 21 : 7 比の値は 21 ÷ 7 = 3
右辺 = (22 + 5) : 9 = 27 : 9 比の値は 27 ÷ 9 = 3
左辺 = 右辺 なので x=22 は解
答え \(x = 22\)
今日の問い
\(\dfrac{x + 6}{4} = \dfrac{x - 2}{3}\) と \(7x - 8 = 3x + 16\) は、見た目がまったくちがいます。この二つは、ちがう解き方をしているのでしょうか。
答えは「していない」です。前の式は分数があるので手順1から入り、後の式は分数も小数もかっこもないので手順4から入りました。ちがうのは入口だけで、手順4から手順7までの道のりは一字一句同じです。例題1から例題5まで、五つとも形はちがいましたが、どれも同じ一本の道を通っていました。見たことのない形が出ても、まず「分数はあるか、小数はあるか、かっこはあるか」を順に見れば、入口は必ず見つかります。
よくある間違い
ここでは、手順の順番を守らなかったために起きる失敗を三つ見ます。
まちがい1：かっこを外してから分母をはらおうとする
\(\dfrac{3(x - 2)}{4} = x - 5\) を解くとき、かっこが目に入って先に外してしまうと、分母の4を書き落としがちです。
✗ 3x − 6 = x − 5 かっこを外したときに、分母の4が消えた
✗ 2x = 1
✗ x = 0.5
○ 3(x − 2) = 4(x − 5) 先に両辺に4をかけて分母をはらった
○ 3x − 6 = 4x − 20
○ −x = −14
○ x = 14
\(x = 0.5\) をもとの式にもどしてみます。
左辺 = 3 × (0.5 − 2) ÷ 4 = 3 × (−1.5) ÷ 4 = −4.5 ÷ 4 = −1.125
右辺 = 0.5 − 5 = −4.5
左辺 と 右辺 がちがうので x=0.5 は解ではない
分母をはらうときは、右辺の \(x - 5\) にも4をかけなければなりません。手順1を先にすませていれば、この書き落としは起きませんでした。
確かめ
左辺 = 3 × (14 − 2) ÷ 4 = 3 × 12 ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9
右辺 = 14 − 5 = 9
左辺 = 右辺 なので x=14 は解
まちがい2：移項が終わる前に、係数で割ってしまう
\(4x + 6 = 26\) で、\(x\) の係数4がすぐ目につくと、手順4と手順5を飛ばして手順6に進んでしまうことがあります。
✗ 4x + 6 = 26
✗ x = 26 ÷ 4 = 6.5 6 がまだ左辺に残っているのに割った
○ 4x = 26 − 6 先に 6 を右辺へ移項した
○ 4x = 20
○ x = 20 ÷ 4 = 5
\(x = 6.5\) をもとの式にもどしてみます。
左辺 = 4 × 6.5 + 6 = 26 + 6 = 32
右辺 = 26
左辺 と 右辺 がちがうので x=6.5 は解ではない
両辺を係数で割ってよいのは、左辺が \(ax\) だけになったとき、つまり手順5が終わって \(ax = b\) の形になったときだけです。番号の順に進めば、この失敗は起きません。
確かめ
左辺 = 4 × 5 + 6 = 20 + 6 = 26
右辺 = 26
左辺 = 右辺 なので x=5 は解
まちがい3：小数をなくす前に、かっこを外してしまう
\(0.4(x - 3) = 0.2x + 1.4\) で、先にかっこを外そうとすると、かっこの中の \(3\) に \(0.4\) をかけ忘れる失敗が起きやすくなります。
✗ 0.4x − 3 = 0.2x + 1.4 かっこの中の 3 に 0.4 をかけ忘れた
✗ 4x − 30 = 2x + 14
✗ 2x = 44
✗ x = 22
○ 4(x − 3) = 2x + 14 先に両辺を10倍して小数をなくした
○ 4x − 12 = 2x + 14
○ 2x = 26
○ x = 13
\(x = 22\) をもとの式にもどしてみます。
左辺 = 0.4 × (22 − 3) = 0.4 × 19 = 7.6
右辺 = 0.2 × 22 + 1.4 = 4.4 + 1.4 = 5.8
左辺 と 右辺 がちがうので x=22 は解ではない
手順2を先にすませておけば、かっこの前の数は \(0.4\) ではなく \(4\) になります。\(4 \times 3 = 12\) という整数のかけ算になるので、かけ忘れにも気づきやすくなります。
確かめ
左辺 = 0.4 × (13 − 3) = 0.4 × 10 = 4
右辺 = 0.2 × 13 + 1.4 = 2.6 + 1.4 = 4
左辺 = 右辺 なので x=13 は解
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- 次の三つの方程式は、手順のどの番号から始めますか。番号を答えてから、解きなさい。
- \(8x + 5 = 3x - 15\)
- \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 4}{6} = 1\)
- \(4(x - 7) = x + 8\)
- \(3(x + 2) - 2(x - 4) = 25\) を解きなさい。
- \(0.15x - 0.2 = 0.05x + 0.5\) を解きなさい。
- \(\dfrac{3x - 4}{5} = \dfrac{x}{2} + 1\) を解きなさい。
- \(x\) についての方程式 \(4x + a = 7x - 5\) の解が \(x = 3\) です。\(a\) の値を求めなさい。
答えと考え方
1の(1) \(8x + 5 = 3x - 15\)
分数も小数もかっこもないので、手順4から始めます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(8x + 5 = 3x - 15\) | もとの式 |
| \(8x - 3x = -15 - 5\) | \(3x\) を左辺へ、\(5\) を右辺へ移項した |
| \(5x = -20\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = -4\) | 両辺を \(x\) の係数 5 で割った |
左辺 = 8 × (−4) + 5 = −32 + 5 = −27
右辺 = 3 × (−4) − 15 = −12 − 15 = −27
左辺 = 右辺 なので x=−4 は解
答え \(x = -4\)
1の(2) \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 4}{6} = 1\)
分数があるので、手順1から始めます。2と6の最小公倍数は6です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 4}{6} = 1\) | もとの式 |
| \(6 \times \dfrac{x}{2} - 6 \times \dfrac{x - 4}{6} = 6 \times 1\) | 両辺に6をかけた |
| \(3x - (x - 4) = 6\) | 分母がはらえた。ひとまとまりだった分子にかっこをつけた |
| \(3x - x + 4 = 6\) | かっこを外した。前がマイナスなので中の符号が変わる |
| \(3x - x = 6 - 4\) | \(4\) を右辺へ移項した |
| \(2x = 2\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 1\) | 両辺を2で割った |
左辺 = 1 ÷ 2 − (1 − 4) ÷ 6 = 0.5 − (−3) ÷ 6 = 0.5 − (−0.5) = 1
右辺 = 1
左辺 = 右辺 なので x=1 は解
答え \(x = 1\)
1の(3) \(4(x - 7) = x + 8\)
かっこがあるので、手順3から始めます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4(x - 7) = x + 8\) | もとの式 |
| \(4x - 28 = x + 8\) | 分配法則でかっこを外した |
| \(4x - x = 8 + 28\) | \(x\) を左辺へ、\(-28\) を右辺へ移項した |
| \(3x = 36\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 12\) | 両辺を3で割った |
左辺 = 4 × (12 − 7) = 4 × 5 = 20
右辺 = 12 + 8 = 20
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
答え \(x = 12\)
2 \(3(x + 2) - 2(x - 4) = 25\)
かっこが二つあります。手順3から始めます。二つめのかっこの前がマイナスなので、\(-2 \times (-4) = +8\) になることに注意します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3(x + 2) - 2(x - 4) = 25\) | もとの式 |
| \(3x + 6 - 2x + 8 = 25\) | 分配法則で二つのかっこを外した |
| \(3x - 2x = 25 - 6 - 8\) | \(6\) と \(8\) を右辺へ移項した |
| \(x = 11\) | 両辺の同類項をまとめた |
係数が1なので、手順6はしなくてすみます。
左辺 = 3 × (11 + 2) − 2 × (11 − 4) = 3 × 13 − 2 × 7 = 39 − 14 = 25
右辺 = 25
左辺 = 右辺 なので x=11 は解
答え \(x = 11\)
3 \(0.15x - 0.2 = 0.05x + 0.5\)
小数があるので、手順2から始めます。小数点以下が二けたの数があるので、10倍では足りません。両辺を100倍します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.15x - 0.2 = 0.05x + 0.5\) | もとの式 |
| \(15x - 20 = 5x + 50\) | 両辺を100倍して小数をなくした |
| \(15x - 5x = 50 + 20\) | \(5x\) を左辺へ、\(-20\) を右辺へ移項した |
| \(10x = 70\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 7\) | 両辺を10で割った |
左辺 = 0.15 × 7 − 0.2 = 1.05 − 0.2 = 0.85
右辺 = 0.05 × 7 + 0.5 = 0.35 + 0.5 = 0.85
左辺 = 右辺 なので x=7 は解
答え \(x = 7\)
4 \(\dfrac{3x - 4}{5} = \dfrac{x}{2} + 1\)
分数があるので、手順1から始めます。5と2の最小公倍数は10です。右辺の \(1\) にも10をかけます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{3x - 4}{5} = \dfrac{x}{2} + 1\) | もとの式 |
| \(10 \times \dfrac{3x - 4}{5} = 10 \times \dfrac{x}{2} + 10 \times 1\) | 両辺に10をかけた |
| \(2(3x - 4) = 5x + 10\) | 分母がはらえた |
| \(6x - 8 = 5x + 10\) | 分配法則でかっこを外した |
| \(6x - 5x = 10 + 8\) | \(5x\) を左辺へ、\(-8\) を右辺へ移項した |
| \(x = 18\) | 両辺の同類項をまとめた |
左辺 = (3 × 18 − 4) ÷ 5 = 50 ÷ 5 = 10
右辺 = 18 ÷ 2 + 1 = 9 + 1 = 10
左辺 = 右辺 なので x=18 は解
答え \(x = 18\)
5 \(4x + a = 7x - 5\) の解が \(x = 3\)
これは別の入口から入る形です。解が分かっているので、まず \(x\) に \(3\) を代入します。すると \(a\) についての方程式になり、そこから手順4に合流します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4x + a = 7x - 5\) | もとの式 |
| \(4 \times 3 + a = 7 \times 3 - 5\) | \(x\) に \(3\) を代入した |
| \(12 + a = 21 - 5\) | 数の部分を計算した |
| \(12 + a = 16\) | 右辺をまとめた |
| \(a = 16 - 12\) | \(12\) を右辺へ移項した |
| \(a = 4\) | 右辺を計算した |
\(a = 4\) をもとの式にもどすと \(4x + 4 = 7x - 5\) になります。これに \(x = 3\) を入れて確かめます。
左辺 = 4 × 3 + 4 = 12 + 4 = 16
右辺 = 7 × 3 − 5 = 21 − 5 = 16
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
答え \(a = 4\)
次のレッスンへ
これで、どんな形の一次方程式でも、入口さえ見つければ同じ一本の道で解けるようになりました。ところが、手順を正しく組み立てても、答えが合わないことがあります。移項したのに符号を変えなかった、両辺にかけたつもりが片方だけだった、といった途中のつまずきです。次のレッスンは「ミスの種類を見つけて直す」です。自分の答えが合わなかったとき、どの種類のミスなのかを見分けて、その場で直せるようにします。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。