答えの吟味と混合練習

このレッスンでできるようになること

求めた値が場面に合うかを、量の種類ごとに確かめられる
答えが場面に合わないとき、計算と立式のどちらを疑うか決められる
問題文のことばから型を見分け、混ざった文章題を最後まで解ける

前のレッスンの確認

このレッスンで使う言葉と道具です。

解 … その方程式を成り立たせる、文字の値
代入 … 式の中の文字を、数に置き換えること
移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
同類項 … 文字の部分がまったく同じ項どうしのこと
係数 … 文字にかけられている数のこと
分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
単価 … 品物1個あたりの値段。単価 \(\times\) 個数が代金になる
数量が二つ以上あるときは表に、つながった量は線分図に整理する
合計が決まっているとき、一方が \(x\) なら、もう一方は \(10 - x\) のように表せる
過不足の問題は、総数を二通りに表して \(=\) で結ぶ

求めた値を場面に戻す

方程式が解けたら終わり、ではありません。\(x\) は場面の中の量を表しています。求めた値がその量としてありえるかを見ることを、答えの吟味といいます。\(x\) が何を表す量かで、満たすべき条件が変わります。

何を表す量か	満たすべき条件	合わないときに疑うこと
個数・人数・本数	0以上の整数	立式か計算
長さ・重さ・時間	0より大きい。小数でもよい	単位のそろえ忘れ
合計が決まっているときの一方	0以上、合計以下	どちらを \(x\) にしたか
年齢	正の整数	何年後・何年前の向き

間違えやすいのは1行目と2行目のちがいです。数えるものは整数、量るものは小数でもよい、と覚えてください。「2.5人」「2.5個」はありませんが、「2.5m」「2.5kg」はあります。だから \(x = 2.5\) が正しいかどうかは、\(x\) が何を表しているかで決まります。

吟味で立式の誤りが見つかる

吟味は、実際に誤りを見つけるための道具です。

例題1 1本210円のお茶を何本かと、1個140円のおにぎりを3個買ったら、代金の合計は1260円でした。お茶は何本買いましたか。

お茶の本数を \(x\) 本とします。表に整理します。

品物	単価	個数	代金
お茶	210円	\(x\) 本	\(210x\) 円
おにぎり	140円	3個	420円
合計			1260円

単価を取りちがえて式を作った人がいたとします。

✗ 140x + 210 × 3 = 1260
✗     140x + 630 = 1260
✗           140x = 630
✗              x = 4.5

計算そのものは間違っていません。\(630 \div 140 = 4.5\) です。それでもこの答えは受け取れません。\(x\) はお茶の本数で、本数は数えるものだからです。

吟味の表の1行目には「立式か計算」とあります。計算は見直しても合っています。残るのは立式です。\(x\) 本と決めたのはお茶で、単価は210円。それなのに式では \(x\) に140をかけています。140をかけてよいのはおにぎりの個数3のほうです。 単価と個数が入れかわっていました。

式	この行でしたこと
\(210x + 420 = 1260\)	代金の列を縦に見て、合計と結んだ
\(210x = 840\)	両辺から420を引いた（420を移項した）
\(x = 4\)	両辺を210で割った

確かめ

左辺 = 210 × 4 + 140 × 3 = 840 + 420 = 1260
右辺 = 1260
左辺 = 右辺 なので x=4 は解

答え　お茶4本

4は0以上の整数なので本数として合っています。吟味をしなければ4.5本のまま終わっていました。場面に合わない値は、立式を見直せという合図です。

問題文のことばから型を見分ける

問題文には、どの型かを教えてくれることばが必ず入っています。

問題文に出てくる言葉	考えられる型	使う道具
「合わせて◯個」「全部で◯人」	合計が決まっている型	一方を \(x\)、もう一方を \(◯ - x\)
「◯ずつ配ると足りない／余る」	過不足の型	総数を二通りに表す
「◯個買って合計△円」	代金と個数の型	表に整理して代金の列を式に
「◯より△大きい／小さい」	差が決まっている型	一方を \(x\)、もう一方を \(x + △\)（小さいときは \(x - △\)）

問題文を読んだら、まずこの表のどの行にあたるかを探します。

混ぜて解いてみる

型が分かっていると、問題文を読まなくても解けてしまいます。ここからは順番を混ぜます。一問ごとに、まず上の表のどの行かを決めてから読み進めてください。

例題2 あめを何人かの子どもに配ります。1人に4個ずつ配ると7個余り、1人に5個ずつ配ると3個足りません。子どもの人数と、あめの個数を求めなさい。

「余り」「足りません」とあるので、過不足の型です。子どもの人数を \(x\) 人とします。

あめの個数はどこにも書かれていませんが、二通りに表せます。

4個ずつ配ると … 配った分が \(4x\) 個、余りが7個なので \(4x + 7\) 個
5個ずつ配ると … 必要な分が \(5x\) 個、3個足りないので \(5x - 3\) 個

上の帯は、配った分と余りを合わせると総数になります。下の帯は総数そのもので、足りない3個を点線でつけ足すと、5個ずつ配るのに必要な分になります。同じあめの個数を二通りに表しただけなので、\(=\) で結べます。

式	この行でしたこと
\(4x + 7 = 5x - 3\)	総数を二通りに表して結んだ
\(4x - 5x = -3 - 7\)	\(5x\) を左辺へ、7を右辺へ移項した
\(-x = -10\)	両辺の同類項をまとめた
\(x = 10\)	両辺を \(-1\) で割った

確かめ

左辺 = 4 × 10 + 7 = 40 + 7 = 47
右辺 = 5 × 10 − 3 = 50 − 3 = 47
左辺 = 右辺 なので x=10 は解

答え　子ども10人、あめ47個

どちらも数えるものです。10人も47個も整数なので合っています。

例題3 長さ92cmのテープを2本に切り分け、長い方が短い方より16cm長くなるようにします。短い方は何cmですか。

「16cm長い」とあるので、差が決まっている型です。短い方を \(x\) cm とすると、長い方は \(x + 16\) cm。

式	この行でしたこと
\(x + (x + 16) = 92\)	二つを合わせて全体と結んだ
\(x + x + 16 = 92\)	かっこを外した
\(2x + 16 = 92\)	同類項をまとめた
\(2x = 76\)	両辺から16を引いた
\(x = 38\)	両辺を2で割った

確かめ

左辺 = 38 + (38 + 16) = 38 + 54 = 92
右辺 = 92
左辺 = 右辺 なので x=38 は解

答え　短い方は38cm、長い方は54cm

長さは量るものなので、小数でもよい場面です。38は0より大きく全体の92より短く、\(54 - 38 = 16\) で差の条件も満たします。

例題4 ある展示会に、大人と子どもが合わせて21人入場しました。入場料は大人1人500円、子ども1人300円で、入場料の合計は8700円でした。大人は何人ですか。

「合わせて21人」とあるので、合計が決まっている型です。大人の人数を \(x\) 人とすると、子どもは \(21 - x\) 人。大人が決まれば子どもも決まるので、別の文字にしてはいけません。

式	この行でしたこと
\(500x + 300(21 - x) = 8700\)	入場料の合計を式にした
\(500x + 6300 - 300x = 8700\)	かっこを外した（分配法則）
\(200x + 6300 = 8700\)	同類項をまとめた
\(200x = 2400\)	両辺から6300を引いた
\(x = 12\)	両辺を200で割った

確かめ

左辺 = 500 × 12 + 300 × (21 − 12) = 6000 + 2700 = 8700
右辺 = 8700
左辺 = 右辺 なので x=12 は解

答え　大人12人

12は整数で0以上21以下、子どもは \(21 - 12 = 9\) 人。合計が決まっている型では、\(x\) が合計を超えていないかが吟味の見どころです。

セクション6のまとめ

文章題で迷ったら、ここへ戻ってきてください。

文章題を解く五つの手順

何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く（「パンの個数を \(x\) 個とする」）
数量を式で表す（表を使ってよい）
等しい関係を見つけて方程式を作る
方程式を解く
場面に合うか確かめて、単位をつけて答える

型の見分け

問題文に出てくる言葉	型	使う道具
「合わせて◯個」「全部で◯人」	合計が決まっている型	一方を \(x\)、もう一方を \(◯ - x\)
「◯ずつ配ると足りない／余る」	過不足の型	総数を二通りに表す
「◯個買って合計△円」	代金と個数の型	表に整理して代金の列を式に
「◯より△大きい／小さい」	差が決まっている型	一方を \(x\)、もう一方を \(x + △\)（小さいときは \(x - △\)）

答えの吟味

何を表す量か	満たすべき条件	合わないときに疑うこと
個数・人数・本数	0以上の整数	立式か計算
長さ・重さ・時間	0より大きい。小数でもよい	単位のそろえ忘れ
合計が決まっているときの一方	0以上、合計以下	どちらを \(x\) にしたか
年齢	正の整数	何年後・何年前の向き

今日の問い

お茶の本数を求めたのに、\(x = 4.5\) になりました。計算をやり直せば直るのでしょうか。

やり直しても直りません。例題1では計算はどこも合っていました。それでも本数が4.5になったのですから、間違っていたのは計算ではなく式そのものです。

小数が出たときは、この順で見ます。

\(x\) が数えるものか、量るものかを確かめる
量るものなら4.5も答えになりうる。単位がそろっているかだけ見る
数えるものなら計算を見直し、合っていたら表や線分図に戻って立式を見直す

**「小数が出た＝計算ミス」ではありません。**どこがおかしいかは \(x\) の意味が決めます。

よくある間違い

まちがい1：合計が決まっているのに、もう一方の個数を表さない

アメとガムを合わせて20個買いました。アメは1個70円、ガムは1個40円、代金は1010円です。アメの個数を \(x\) 個とします。

✗ 70x + 40x = 1010
✗      110x = 1010

\(1010 \div 110\) は割り切れず、個数なのに整数になりません。

\(70x + 40x\) を日本語に戻すと「アメも \(x\) 個、ガムも \(x\) 個買った」と読めます。合わせて20個という条件を使っていません。アメが \(x\) 個なら、ガムは \(20 - x\) 個です。

○ 70x + 40(20 − x) = 1010
○  70x + 800 − 40x = 1010
○        30x + 800 = 1010
○              30x = 210
○                x = 7

確かめ

左辺 = 70 × 7 + 40 × (20 − 7) = 490 + 520 = 1010
右辺 = 1010
左辺 = 右辺 なので x=7 は解

アメ7個、ガム13個。合計が決まっているときは、その合計を式のどこかで必ず使います。

まちがい2：足りないのに足してしまう

色紙を配ります。1人に3枚ずつ配ると6枚余り、4枚ずつ配ると4枚足りません。人数を \(x\) 人とします。

✗  3x + 6 = 4x + 4
✗ 3x − 4x = 4 − 6
✗      −x = −2
✗       x = 2

\(x = 2\) を場面に戻します。色紙は \(3 \times 2 + 6 = 12\) 枚。4枚ずつ配るには \(4 \times 2 = 8\) 枚でよいので、4枚余ってしまいます。「4枚足りない」と合いません。

足りないとは、配るのに必要な枚数が総数より多いということです。だから総数は \(4x\) より小さく、引き算になります。

○  3x + 6 = 4x − 4
○ 3x − 4x = −4 − 6
○      −x = −10
○       x = 10

確かめ

左辺 = 3 × 10 + 6 = 36
右辺 = 4 × 10 − 4 = 36
左辺 = 右辺 なので x=10 は解

10人で色紙は36枚。4枚ずつ配るには40枚必要なので、たしかに4枚足りません。余るなら足す、足りないなら引く。

まちがい3：問われたものとちがうものを答える

例題2で問われていたのは「子どもの人数と、あめの個数」でした。

✗ 答え x = 10
○ 答え 子ども10人、あめ47個

\(x = 10\) は式の解です。あめの個数は \(4 \times 10 + 7 = 47\) と計算して初めて出てきます。\(x\) の置き方を書き残しておくと、最後に問われたものへ戻れます。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。3から6は型が混ざっています。解き始める前にどの型かを決めること。

1. 次の問題はどの型ですか。また、何を \(x\) とおき、もう一方をどう表しますか。解く必要はありません。

ケーキとプリンを合わせて15個買いました。ケーキは1個250円、プリンは1個160円で、代金の合計は3210円でした。

2. 次の問題はどの型ですか。また、何を \(x\) とおき、どんな量を二通りに表しますか。解く必要はありません。

色紙を配ります。1人に5枚ずつ配ると8枚余り、1人に6枚ずつ配ると4枚足りません。

3. 兄と弟の持っているカードは合わせて54枚で、兄は弟より8枚多く持っています。兄と弟はそれぞれ何枚持っていますか。

4. 1個130円のパンを何個かと、1本100円の牛乳を2本買ったら、代金の合計は980円でした。パンは何個買いましたか。

5. みかんを何人かの子どもに配ります。1人に3個ずつ配ると12個余り、1人に4個ずつ配ると2個足りません。子どもの人数と、みかんの個数を求めなさい。

6. バスに大人と子どもが合わせて18人乗っています。運賃は大人1人220円、子ども1人110円で、運賃の合計は2860円でした。大人は何人乗っていますか。

7. 次の(1)〜(3)について、求めた値が場面に合うかを答えなさい。合わないものは、何を疑うかも書きなさい。

(1) 子どもの人数を \(x\) 人としたら、\(x = 7.5\) になった
(2) ひもの長さを \(x\) m としたら、\(x = 2.4\) になった
(3) 合わせて20個のうち、一方の個数を \(x\) 個としたら、\(x = 23\) になった

8. 次の解き方はまちがっています。どの行から違いますか。理由を書き、正しく解き直しなさい。

映画館に大人と子どもが合わせて12人入りました。料金は大人1人400円、子ども1人250円で、料金の合計は3750円でした。大人は何人ですか。

400x + 250 × 12 = 3750
    400x + 3000 = 3750
           400x = 750
              x = 1.875

答えと考え方

1. 合計が決まっている型です。

手がかりは「合わせて15個」です。ケーキの個数を \(x\) 個とおくと、プリンは \(15 - x\) 個。「1個250円」から代金と個数の型にも見えますが、個数の合計が決まっている点が決め手です。

2. 過不足の型です。

手がかりは「余り」と「足りません」です。人数を \(x\) 人とおき、色紙の総数を \(5x + 8\) 枚と \(6x - 4\) 枚の二通りに表して結びます。

3. 弟の枚数を \(x\) 枚とすると、兄は弟より8枚多いので \(x + 8\) 枚です。

式	この行でしたこと
\(x + (x + 8) = 54\)	二人の枚数を合わせて54と結んだ
\(x + x + 8 = 54\)	かっこを外した
\(2x + 8 = 54\)	同類項をまとめた
\(2x = 46\)	両辺から8を引いた
\(x = 23\)	両辺を2で割った

確かめ

左辺 = 23 + (23 + 8) = 23 + 31 = 54
右辺 = 54
左辺 = 右辺 なので x=23 は解

どちらも整数で、\(31 - 23 = 8\) となり差の条件も満たしています。

答え　弟23枚、兄31枚

4. 代金と個数の型です。パンの個数を \(x\) 個とすると代金は \(130x\) 円。牛乳は2本と決まっているので \(100 \times 2 = 200\) 円。\(x\) をかけてはいけません。

式	この行でしたこと
\(130x + 200 = 980\)	代金の列を縦に見て、合計と結んだ
\(130x = 780\)	両辺から200を引いた
\(x = 6\)	両辺を130で割った

確かめ

左辺 = 130 × 6 + 100 × 2 = 780 + 200 = 980
右辺 = 980
左辺 = 右辺 なので x=6 は解

6は0以上の整数なので、個数として合っています。

答え　パン6個

5. 過不足の型です。人数を \(x\) 人とし、みかんの総数を \(3x + 12\) 個と \(4x - 2\) 個の二通りに表します。

式	この行でしたこと
\(3x + 12 = 4x - 2\)	総数を二通りに表して結んだ
\(3x - 4x = -2 - 12\)	\(4x\) を左辺へ、12を右辺へ移項した
\(-x = -14\)	同類項をまとめた
\(x = 14\)	両辺を \(-1\) で割った

確かめ

左辺 = 3 × 14 + 12 = 42 + 12 = 54
右辺 = 4 × 14 − 2 = 56 − 2 = 54
左辺 = 右辺 なので x=14 は解

どちらも整数なので合っています。問われたものが二つあるので両方書きます。

答え　子ども14人、みかん54個

6. 合計が決まっている型です。大人の人数を \(x\) 人とすると、子どもは \(18 - x\) 人。

式	この行でしたこと
\(220x + 110(18 - x) = 2860\)	運賃の合計を式にした
\(220x + 1980 - 110x = 2860\)	かっこを外した（分配法則）
\(110x + 1980 = 2860\)	同類項をまとめた
\(110x = 880\)	両辺から1980を引いた
\(x = 8\)	両辺を110で割った

確かめ

左辺 = 220 × 8 + 110 × (18 − 8) = 1760 + 1100 = 2860
右辺 = 2860
左辺 = 右辺 なので x=8 は解

8は整数で0以上18以下、子どもは \(18 - 8 = 10\) 人で自然な人数です。

答え　大人8人

**(1) 合いません。**人数は数えるものなので0以上の整数のはずです。まず計算を見直し、合っていたら立式を疑います。

**(2) 合います。**長さは量るものなので、小数でもかまいません。0より大きいという条件も満たしています。cmとmが混ざっていないかだけ確かめます。

**(3) 合いません。**合計20個のうちの一方なので、0以上20以下のはずです。23個ではもう一方が \(20 - 23 = -3\) 個になります。どちらを \(x\) にしたのかを疑います。

8. 1行目から違います。

\(x\) は大人の人数で、12人は大人と子どもを合わせた人数です。子どもの人数として使ってはいけません。子どもは \(12 - x\) 人です。この誤りは吟味でも見つかります。\(x = 1.875\) は人数なのに整数ではありません。

○ 400x + 250(12 − x) = 3750
○ 400x + 3000 − 250x = 3750
○        150x + 3000 = 3750
○               150x = 750
○                  x = 5

確かめ

左辺 = 400 × 5 + 250 × (12 − 5) = 2000 + 1750 = 3750
右辺 = 3750
左辺 = 右辺 なので x=5 は解

5は整数で0以上12以下、子どもは \(12 - 5 = 7\) 人で自然な人数です。

答え　大人5人

次のレッスンへ

これでセクション6は終わりです。文章から方程式を作り、解き、求めた値が場面に合うかを確かめて、問われたものに単位をつけて答える。この五つの手順が一続きになりました。

次のセクションでは、速さの問題と割合の問題に進みます。「時速4kmで歩いた」「定価の2割引き」のような場面です。\(x\) を決めて、数量を整理して、等しいところを \(=\) で結ぶ流れは変わりません。変わるのは、整理に使う関係が増えることです。道のりと速さと時間の関係、もとにする量と割合の関係を、一つずつ確かめていきます。

次のセクションへ　道のり・速さ・時間を式で表す　→

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