道のり・速さ・時間を式で表す
このレッスンでできるようになること
- 道のり・速さ・時間の三つの関係を、もとになる一つの式から言い直せるようになる
- 時速と分速、km と m の単位をそろえてから式を作れるようになる
- 速さ・時間・道のりを表に整理して、時間についての方程式を作れるようになる
前のレッスンの確認
- 文章題を解く五つの手順：① 何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く ② 数量を式で表す（表を使ってよい）③ 等しい関係を見つけて方程式を作る ④ 方程式を解く ⑤ 場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
- 最小公倍数：公倍数のうちいちばん小さいもの。両辺にこれをかけると分数が消える
- 答えの吟味：求めた値がその量としてありえるかを見ること
- 等式の性質③ \(A = B\) のとき \(A \times C = B \times C\)、④ \(A = B\) のとき \(C\) が0でなければ \(\dfrac{A}{C} = \dfrac{B}{C}\)
速さとは何かを、もう一度
小学校で「時速4km」という言い方を習いました。ここからは方程式の材料として使うので、定義から確かめ直します。
速さとは、決めた長さの時間あたりに進む道のりのことです。たとえば時速4kmは、1時間あたり4km進むという意味です。
そして、その「決めた長さの時間」が何であるかによって呼び方が変わります。時速は1時間あたりに進む道のりで表した速さ、分速は1分あたりに進む道のりで表した速さ、秒速は1秒あたりに進む道のりで表した速さです。時速4kmで歩く人なら、1時間で4km、2時間で8km、3時間で12km進みます。
図のように、1時間ごとに4kmずつ増えていきます。3時間なら4kmが3つ分なので \(4 \times 3 = 12\) となり、進んだ道のりは12kmです。ここからもとになる式が読み取れます。
道のり = 速さ × 時間
三つの関係は、一つの式から出てくる
速さの問題では三つの式が出てきますが、覚える式は上の一つだけです。残りの二つは、その式の両辺を同じ数でわれば出てきます。
「道のり = 速さ × 時間」の両辺を時間でわると、等式の性質④によって
速さ = 道のり ÷ 時間
となります。同じ式の両辺を速さでわると、
時間 = 道のり ÷ 速さ
となります。三つを並べると次のとおりです。
| 求めるもの | 式 |
|---|---|
| 道のり | 速さ × 時間 |
| 速さ | 道のり ÷ 時間 |
| 時間 | 道のり ÷ 速さ |
さきほどの場面で確かめます。12kmを3時間で歩いたのだから、速さは \(12 \div 3 = 4\) で時速4kmです。12kmを時速4kmで歩いたのだから、かかった時間は \(12 \div 4 = 3\) で3時間です。どちらももとの場面と合っています。三つの式は別々のものではなく、同じ関係を見る向きを変えただけです。
単位をそろえる
速さの問題でいちばん事故が多いのが単位です。単位をそろえるとは、一つの式に出てくる量の単位を、あらかじめ同じものに直しておくことをいいます。分速の「分」と時速の「時間」が混ざったまま式を作ると、方程式を正しく解いても答えは合いません。
まず、長さと時間の直し方です。
| 直したいもの | やること | 例 |
|---|---|---|
| km を m に | 1000をかける | 4km は 4000m |
| m を km に | 1000でわる | 2500m は 2.5km |
| 時間を分に | 60をかける | 1.5時間 は 90分 |
| 分を時間に | 60でわる | 45分 は \(\dfrac{45}{60}\) 時間 つまり \(\dfrac{3}{4}\) 時間 |
| 分を秒に | 60をかける | 2分 は 120秒 |
次に、速さそのものを直します。時速を60でわれば分速、さらに60でわれば秒速です。
| もとの速さ | 1時間に進む道のり | 分速に直すと | 秒速に直すと |
|---|---|---|---|
| 時速36km | 36000m | 分速600m | 秒速10m |
| 時速4km | 4000m | 分速 \(\dfrac{200}{3}\) m | — |
時速36kmなら、\(36000 \div 60 = 600\) で分速600m、さらに \(600 \div 60 = 10\) で秒速10mです。
一方、時速4kmを分速に直そうとすると \(4000 \div 60 = \dfrac{200}{3}\) となり、割り切れません。単位のそろえ方は一通りではありません。時速4kmが出てくる問題なら、km と「時間」でそろえたほうがずっとラクです。きれいな数になるほうへそろえる、と決めておきます。
反対向きは60をかけます。分速120mなら \(120 \times 60 = 7200\) で時速7.2kmです。
未知の量を文字でおいて、式で表す
単位がそろったら、道のり・速さ・時間のうち分かっていないものを \(x\) とおいて式にします。使う式は先ほどの三つだけです。
- 時速5kmで \(x\) 時間歩いたときの道のりは、速さ × 時間 なので \(5x\) km
- \(x\) km の道のりを時速5kmで歩くのにかかる時間は、道のり ÷ 速さ なので \(\dfrac{x}{5}\) 時間
- 分速75mで \(x\) 分歩いたときの道のりは \(75x\) m
- \(x\) m の道のりを分速75mで歩くのにかかる時間は \(\dfrac{x}{75}\) 分
- \(x\) km の道のりを3時間で歩いたときの速さは、道のり ÷ 時間 なので 時速 \(\dfrac{x}{3}\) km
わり算になったものは、必ず \(\dfrac{x}{5}\) のように分数の形で書きます。この形で書いておくと、あとで両辺に最小公倍数をかけて分数を消す、というセクション5でやった手順にそのまま乗せられます。
速さ・時間・道のりの表
速さの問題は、次の3列の表に整理します。この表はこのあとのレッスンでもずっと使います。
| 速さ | 時間 | 道のり | |
|---|---|---|---|
| 場面1 | |||
| 場面2 | |||
| 合わせて |
表の見出しには、単位を書きそえてもかまいません。「速さ（m/分）」と書けば、その列の数は分速を m で表した数だという意味です。
使い方は三つの約束だけです。第一に、行は場面の数だけ作ります。行きと帰りなら2行、進む人が2人なら2行です。第二に、どの行も横に見ると「速さ × 時間 = 道のり」でつながっているので、2つ分かれば残り1つは式で書けます。第三に、方程式は、合計が分かっている列から作ります。時間の列で合計が分かっているなら時間についての方程式に、道のりの列で合計が分かっているなら道のりについての方程式になります。合計ではなく、二つの行の同じ列どうしが等しくなる場面もあります。そのときは行と行を等号で結びます。
例題1 行きと帰りで速さがちがう往復
例題1 家から図書館まで歩いて往復しました。行きは時速4km、帰りは時速6kmで歩き、往復にかかった時間は合わせて5時間でした。家から図書館までの道のりを求めなさい。
手順①として、家から図書館までの道のりを \(x\) km とおきます。行きも帰りも同じ道を通るので、道のりはどちらも \(x\) km で同じです。速さの単位が時速なので、時間の単位は「時間」、道のりの単位は km でそろっています。直す必要はありません。
手順②として、表に整理します。行きにかかった時間は 道のり ÷ 速さ で \(\dfrac{x}{4}\) 時間、帰りにかかった時間は \(\dfrac{x}{6}\) 時間です。
| 速さ | 時間 | 道のり | |
|---|---|---|---|
| 行き | 時速4km | \(\dfrac{x}{4}\) 時間 | \(x\) km |
| 帰り | 時速6km | \(\dfrac{x}{6}\) 時間 | \(x\) km |
| 合わせて | 5時間 |
同じことを線分図でも見ておきます。
手順③として、等しい関係を見つけます。「行きにかかった時間」と「帰りにかかった時間」を足すと5時間なので、
\(\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5\)
これが求める方程式です。手順④として解きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5\) | もとの方程式 |
| \(\dfrac{x}{4} \times 12 + \dfrac{x}{6} \times 12 = 5 \times 12\) | 両辺に4と6の最小公倍数12をかけた（等式の性質③） |
| \(3x + 2x = 60\) | 分数がなくなった |
| \(5x = 60\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 12\) | 両辺を5でわった（等式の性質④） |
手順⑤として、場面に合うか確かめます。
確かめ
行きにかかった時間 = 12 ÷ 4 = 3
帰りにかかった時間 = 12 ÷ 6 = 2
左辺 = 3 + 2 = 5
右辺 = 5
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
答えの吟味もします。道のりは12kmで正の数ですし、歩いて3時間と2時間という時間も場面としてありえます。
答え 12km
例題2 単位がそろっていない往復
例題2 家から駅まで往復しました。行きは自転車で時速12km、帰りは走って分速100mで進み、往復にかかった時間は合わせて45分でした。家から駅までの道のりは何mですか。
今度は時速と分速が混ざっています。このまま式にはできません。答えを m で求めるので、道のりを m、時間を分、速さを分速にそろえます。時速12kmは1時間に12000m進む速さなので、
\(12000 \div 60 = 200\)
分速200mです。ここまでできれば、あとは例題1と同じです。家から駅までの道のりを \(x\) m とおきます。
| 速さ | 時間 | 道のり | |
|---|---|---|---|
| 行き | 分速200m | \(\dfrac{x}{200}\) 分 | \(x\) m |
| 帰り | 分速100m | \(\dfrac{x}{100}\) 分 | \(x\) m |
| 合わせて | 45分 |
時間の合計が45分なので、方程式は次のようになります。
\(\dfrac{x}{200} + \dfrac{x}{100} = 45\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{200} + \dfrac{x}{100} = 45\) | もとの方程式 |
| \(\dfrac{x}{200} \times 200 + \dfrac{x}{100} \times 200 = 45 \times 200\) | 両辺に200と100の最小公倍数200をかけた |
| \(x + 2x = 9000\) | 分数がなくなった |
| \(3x = 9000\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 3000\) | 両辺を3でわった |
確かめ
行きにかかった時間 = 3000 ÷ 200 = 15
帰りにかかった時間 = 3000 ÷ 100 = 30
左辺 = 15 + 30 = 45
右辺 = 45
左辺 = 右辺 なので x=3000 は解
3000mは3kmです。自転車で15分、走って30分という時間も、場面としてありえます。
答え 3000m
今日の問い
時速4kmで歩く人が、\(x\) m の道のりを進むのにかかる時間は \(\dfrac{x}{4}\) 時間としてよいでしょうか。
式の形だけを見ると「時間 = 道のり ÷ 速さ」に合っているように見えます。しかし道のりが m、速さが時速4km、つまり1時間あたり何 km かで書かれていて、単位がそろっていません。単位をそろえる話でやったとおり、まず片方を直します。\(x\) m は \(\dfrac{x}{1000}\) km なので、かかる時間は
\(\dfrac{x}{1000} \div 4 = \dfrac{x}{4000}\)
で \(\dfrac{x}{4000}\) 時間です。\(x = 8000\) で試すと、8000m は 8km なので時速4kmでは2時間かかるはずです。\(\dfrac{8000}{4000} = 2\) となって合います。もし \(\dfrac{x}{4}\) としていたら \(\dfrac{8000}{4} = 2000\) で2000時間となり、まったく合いません。式の形が正しくても、単位がそろっていなければ意味がない、ということです。
よくある間違い
まちがい1：単位をそろえないまま式を作る
「分速150mで歩いて、2.4kmの道のりを進むのにかかる時間を求める」場面を考えます。かかる時間を \(x\) 分とおくと、進む道のりは \(150x\) m です。ここで次の二つの式を比べます。
✗ 150x = 2.4
○ 150x = 2400
上の式の150は「1分あたり150m」の m、2.4は km で、単位がちがう数を同じ式に入れてしまっています。実際に上の式を解くと \(x = 2.4 \div 150 = 0.016\) となり、0.016分、つまり1秒ほどで2.4km進んだことになります。ありえません。
正しくは、2.4kmを \(2.4 \times 1000 = 2400\) で 2400m に直してから式にします。\(150x = 2400\) を解くと \(x = 16\) です。
確かめ
左辺 = 150 × 16 = 2400
右辺 = 2400
左辺 = 右辺 なので x=16 は解
分速150mで16分歩けば2400m、つまり2.4kmです。場面と合っています。
まちがい2：往復の速さを、行きと帰りの速さの真ん中だと思う
例題1の場面で、こう考えてしまう人がいます。
✗ (4 + 6) ÷ 2 = 5 往復を通した速さは時速5km
本当にそうなるか、確かめてみます。片道が12kmなので往復では \(12 \times 2 = 24\) で24km進んでいます。もし往復を通して時速5kmなら、かかる時間は \(24 \div 5 = 4.8\) で4.8時間のはずです。ところが実際にかかった時間は5時間でした。合いません。
往復を通した速さは、道のり ÷ 時間 で求めます。
○ 24 ÷ 5 = 4.8 往復を通した速さは時速4.8km
遅いほうの速さで進む時間のほうが長くなるので、真ん中の時速5kmより遅い時速4.8kmになります。速さは足したり2でわったりできない量だ、と覚えておいてください。だからこそ、往復の問題では速さをいじらず、時間についての方程式を作るのです。
まちがい3：時間を求めるのに、速さを道のりでわる
「20kmの道のりを時速5kmで歩くのにかかる時間」を求めるとき、わる順番を逆にしてしまう間違いです。
✗ 時間 = 速さ ÷ 道のり = 5 ÷ 20 = 0.25 0.25時間（15分）
○ 時間 = 道のり ÷ 速さ = 20 ÷ 5 = 4 4時間
上の答えを場面に戻します。時速5kmで0.25時間進むと、道のりは \(5 \times 0.25 = 1.25\) で1.25kmです。20kmには遠くとどきません。
確かめ
左辺 = 5 × 4 = 20
右辺 = 20
左辺 = 右辺 なので 4時間は正しい
迷ったら、もとの式「道のり = 速さ × 時間」に戻ってください。時間を求めたいなら、その式の両辺を速さでわる。それだけです。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- 次の速さを直しなさい。（1）時速18km を分速に直しなさい。（2）分速350m を時速に直しなさい。
- 次の数量を、\(x\) を使った式で表しなさい。（1）時速7kmで \(x\) 時間走ったときの道のり。（2）\(x\) km の道のりを時速3kmで歩いたときにかかる時間。（3）\(x\) m の道のりを秒速5mで走ったときにかかる時間。
- A町とB町を自転車で往復しました。行きは時速15km、帰りは時速10kmで走り、往復にかかった時間は合わせて2時間30分でした。A町とB町の間の道のりを求めなさい。
- 家と学校を往復しました。行きは自転車で分速250m、帰りは走って時速9kmで進み、往復にかかった時間は合わせて48分でした。家から学校までの道のりは何mですか。
答えと考え方
1（1）
時速18kmは1時間に18km進む速さです。まず km を m に直します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(18 \times 1000 = 18000\) | 18km を m に直した |
| \(18000 \div 60 = 300\) | 1時間は60分なので、1分あたりに直した |
確かめ
左辺 = 300 × 60 = 18000
右辺 = 18000
左辺 = 右辺 なので 分速300m は正しい
答え 分速300m
1（2）
分速350mは1分に350m進む速さです。1時間は60分あります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(350 \times 60 = 21000\) | 1時間に進む道のりを求めた |
| \(21000 \div 1000 = 21\) | m を km に直した |
確かめ
左辺 = 21000 ÷ 60 = 350
右辺 = 350
左辺 = 右辺 なので 時速21km は正しい
答え 時速21km
2（1）
道のり = 速さ × 時間 を使います。速さが時速7km、時間が \(x\) 時間なので \(7 \times x = 7x\) です。単位は km になります。
確かめ
x=2 のとき 7 × 2 = 14
時速7km で 2時間 進むと 14km
式の値と同じ
答え \(7x\) km
2（2）
時間 = 道のり ÷ 速さ を使います。道のりが \(x\) km、速さが時速3kmなので \(\dfrac{x}{3}\) です。速さが時速なので、単位は時間になります。
確かめ
x=12 のとき 12 ÷ 3 = 4
時速3km で 4時間 歩くと 3 × 4 = 12
はじめの 12km と同じ
答え \(\dfrac{x}{3}\) 時間
2（3）
同じく 時間 = 道のり ÷ 速さ です。道のりが \(x\) m、速さが秒速5mで、m と m でそろっています。\(\dfrac{x}{5}\) で、速さが秒速なので単位は秒です。
確かめ
x=100 のとき 100 ÷ 5 = 20
秒速5m で 20秒 進むと 5 × 20 = 100
はじめの 100m と同じ
答え \(\dfrac{x}{5}\) 秒
3
A町とB町の間の道のりを \(x\) km とおきます。速さが時速なので、時間の単位を「時間」にそろえます。2時間30分は2.5時間です。
| 速さ | 時間 | 道のり | |
|---|---|---|---|
| 行き | 時速15km | \(\dfrac{x}{15}\) 時間 | \(x\) km |
| 帰り | 時速10km | \(\dfrac{x}{10}\) 時間 | \(x\) km |
| 合わせて | 2.5時間 |
時間の合計が2.5時間なので、方程式は \(\dfrac{x}{15} + \dfrac{x}{10} = 2.5\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{15} + \dfrac{x}{10} = 2.5\) | もとの方程式 |
| \(\dfrac{x}{15} \times 30 + \dfrac{x}{10} \times 30 = 2.5 \times 30\) | 両辺に15と10の最小公倍数30をかけた |
| \(2x + 3x = 75\) | 分数がなくなった |
| \(5x = 75\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 15\) | 両辺を5でわった |
確かめ
行きにかかった時間 = 15 ÷ 15 = 1
帰りにかかった時間 = 15 ÷ 10 = 1.5
左辺 = 1 + 1.5 = 2.5
右辺 = 2.5
左辺 = 右辺 なので x=15 は解
道のりは15kmで正の数、行きに1時間、帰りに1時間30分という時間も自転車ならありえます。
答え 15km
4
分速と時速が混ざっているので、まず単位をそろえます。答えを m で求めるので、分速・m・分にそろえます。時速9kmは1時間に9000m進む速さなので \(9000 \div 60 = 150\) で分速150mです。家から学校までの道のりを \(x\) m とおきます。
| 速さ | 時間 | 道のり | |
|---|---|---|---|
| 行き | 分速250m | \(\dfrac{x}{250}\) 分 | \(x\) m |
| 帰り | 分速150m | \(\dfrac{x}{150}\) 分 | \(x\) m |
| 合わせて | 48分 |
時間の合計が48分なので、方程式は \(\dfrac{x}{250} + \dfrac{x}{150} = 48\) です。250と150の最小公倍数は750です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{250} + \dfrac{x}{150} = 48\) | もとの方程式 |
| \(\dfrac{x}{250} \times 750 + \dfrac{x}{150} \times 750 = 48 \times 750\) | 両辺に最小公倍数750をかけた |
| \(3x + 5x = 36000\) | 分数がなくなった |
| \(8x = 36000\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 4500\) | 両辺を8でわった |
確かめ
行きにかかった時間 = 4500 ÷ 250 = 18
帰りにかかった時間 = 4500 ÷ 150 = 30
左辺 = 18 + 30 = 48
右辺 = 48
左辺 = 右辺 なので x=4500 は解
4500mは4.5kmです。自転車で18分、走って30分という時間もありえます。
答え 4500m
次のレッスンへ
このレッスンでは、進む人が1人で、行きと帰りという2つの場面を表にまとめました。次のレッスンでは、進む人が2人になります。向かい合って進んで出会う問題と、先に出発した人をあとから追いかけて追いつく問題です。表の作り方は今日と同じで、行が「兄」「弟」のように人ごとに変わるだけです。今日おぼえた「道のり = 速さ × 時間」と、単位をそろえてから式にするという順番が、そのまま効いてきます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。