出会う問題と追いつく問題
このレッスンでできるようになること
- 向かい合って進む二人の問題で、「二人の進んだ道のりの合計」を使って方程式を作れる。
- あとから出発して追いかける問題で、「二人の進んだ道のりが等しい」ことを使って方程式を作れる。
- 出発の時刻がずれているとき、\(x\) を「誰が出発してから何分後か」まで決めて、時間を式で表せる。
前のレッスンの確認
- 道のり \(=\) 速さ \(\times\) 時間。だから、分速80mで \(x\) 分進んだときの道のりは \(80x\) m。
- 速さ・時間・道のりの3列の表に整理してから、合計が分かっている列を式にする。前のレッスンでは時間の列を使ったが、このレッスンでは道のりの列を使う。
- 単位はそろえる。分速で表された速さを使うときは、時間も分で表す。
- 文章題を解く五つの手順を使う。
- 何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く
- 数量を式で表す（表を使ってよい）
- 等しい関係を見つけて方程式を作る
- 方程式を解く
- 場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
二人が動く問題は、手順3が山場になる
前のレッスンでは一人が動く問題をあつかいましたが、このレッスンからは二人が同じ道の上を動きます。速さと時間から道のりを式にするところは、これまでと同じです。むずかしくなるのは手順3、つまり等しい関係を見つけるところです。
二人が動く問題には、大きく分けて二つの場面があります。
出会いの問題とは、離れた二つの地点から二人が向かい合って進み、途中で出会う場面の問題のことです。たとえば、2100m離れた地点にいる二人が、同時に相手のほうへ向かって歩き出すような場面です。
追いつきの問題とは、先に出発した人を、あとから出発した人が同じ道を同じ向きに追いかけて追いつく場面の問題のことです。たとえば、家を出た兄を、あとから弟が自転車で追いかけるような場面です。
この二つは、進む向きがちがいます。向きがちがえば、等しくなるものもちがいます。まずは出会いの問題から見ていきましょう。
出会いの問題：二人の道のりをたすと、はじめの距離になる
二人が向かい合って進むとき、二人の間の距離はどんどんちぢまります。あかりさんが1m進めば1mちぢみ、そうたさんも1m進めばさらに1mちぢみます。つまり、二人が進んだ道のりを合わせただけ、二人の間の距離はちぢむわけです。
二人が出会った瞬間、二人の間の距離は0mです。ということは、そのときまでに二人が進んだ道のりの合計は、はじめに離れていた距離と等しくなります。これが出会いの問題で使う、等しい関係です。
図の上にある二本の矢印が、二人それぞれの進んだ道のりです。二本を合わせると、いちばん下の2100mの矢印と同じ長さになります。この「合わせると同じ」が、そのまま方程式になります。
例題1 向かい合って進んで出会うまでの時間
あかりさんとそうたさんは、2100m離れたA地点とB地点にいます。二人は同時に、それぞれ相手のほうへ向かって出発しました。あかりさんは分速80m、そうたさんは分速60mで進みます。二人が出会うのは、出発してから何分後ですか。
出発が同時なので、二人が歩いた時間は同じです。そこで、出発してから \(x\) 分後に出会うとおきます。時間を表に整理します。表の見出しの「（m/分）」は、その列の数が分速を m で表した数であるという意味です。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| あかりさん | 80 | \(x\) | \(80x\) |
| そうたさん | 60 | \(x\) | \(60x\) |
道のりの列を見て、「二人の道のりの合計が2100m」という関係を式にします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(80x + 60x = 2100\) | 二人の道のりの合計が、はじめに離れていた道のりと等しいとおいた |
| \(140x = 2100\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 15\) | 両辺を140でわった（等式の性質④） |
確かめ
左辺 = 80 × 15 + 60 × 15 = 1200 + 900 = 2100
右辺 = 2100
左辺 = 右辺 なので x=15 は解
あかりさんは1200m、そうたさんは900m進んでいて、どちらも2100mより短いので、場面に合っています。
答え 15分後
追いつきの問題：二人の道のりが、それぞれ等しくなる
つぎは追いつきの問題です。今度は二人が同じ地点から同じ向きに進み、一方が先に出発しています。
追いついた瞬間、二人は同じ場所にいます。二人とも同じ地点から出発しているので、同じ場所にいるということは、進んだ道のりが等しいということです。合計ではなく、それぞれが等しいのです。ここが出会いの問題との決定的なちがいです。
図の上の段が弟、下の段が兄です。兄の矢印は、弟が出発するまでの8分間で進んだ分と、そのあと進んだ分の二本に分かれています。それでも、家から追いつく地点までの全体の長さは、弟の矢印とぴったり同じです。
出発の時刻がずれているときの、時間の表し方
追いつきの問題でいちばん間違えやすいのは、計算ではなく時間の表し方です。二人が動いた時間はちがうのに、どちらも同じ \(x\) で書くと、式は必ずくずれます。
大事なのは、\(x\) を決めるときに「誰が出発してから何分後か」まで、はっきり言葉にすることです。たとえば兄が先に出発し、8分後に弟が出発する場面で、\(x\) を「弟が出発してから \(x\) 分後」と決めたとします。弟が家を出た瞬間、兄はもう8分歩いています。だから、そこからさらに \(x\) 分たったとき、兄が歩いた時間は \(x + 8\) 分です。
ここで \(x - 8\) としないように気をつけましょう。先に出発した人のほうが、動いている時間は長いからです。時間の長い・短いを図で確かめてから式を書きましょう。
例題2 あとから出発して追いつくまでの時間
兄が家を出て、分速70mで駅へ向かいました。その8分後に、弟が分速90mで同じ道を追いかけました。弟が家を出てから何分後に、弟は兄に追いつきますか。
弟が家を出てから \(x\) 分後に追いつくとおきます。このとき兄が歩いている時間は \(x + 8\) 分です。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| 兄 | 70 | \(x + 8\) | \(70(x + 8)\) |
| 弟 | 90 | \(x\) | \(90x\) |
追いついた瞬間、二人の道のりは等しくなります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(90x = 70(x + 8)\) | 二人の進んだ道のりが等しいとおいた |
| \(90x = 70x + 560\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(90x - 70x = 560\) | \(70x\) を右辺から左辺へ移項した |
| \(20x = 560\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 28\) | 両辺を20でわった（等式の性質④） |
確かめ
左辺 = 90 × 28 = 2520
右辺 = 70 × (28 + 8) = 70 × 36 = 2520
左辺 = 右辺 なので x=28 は解
弟は28分、兄は36分歩いていて、先に出発した兄のほうが長く歩いています。場面に合っています。
答え 28分後
おき方を変えると、式も答えの言い方も変わる
同じ場面でも、\(x\) の決め方は一つではありません。今度は「兄が家を出てから \(x\) 分後に追いつかれる」とおいてみます。兄が歩いた時間が \(x\) 分なら、弟が進んだ時間はそれより8分短いので \(x - 8\) 分です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(70x = 90(x - 8)\) | 二人の進んだ道のりが等しいとおいた |
| \(70x = 90x - 720\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(70x - 90x = -720\) | \(90x\) を右辺から左辺へ移項した |
| \(-20x = -720\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 36\) | 両辺を \(-20\) でわった（等式の性質④） |
確かめ
左辺 = 70 × 36 = 2520
右辺 = 90 × (36 − 8) = 90 × 28 = 2520
左辺 = 右辺 なので x=36 は解
出てきた数は28ではなく36ですが、まちがいではありません。同じ場面を、別の時計で見ているだけです。兄が出てから36分後は、弟が出てから28分後と同じ瞬間だからです。だからこの決め方をしたときは、「兄が家を出てから36分後」と答えなければいけません。\(x\) が何を表すかを最初に書いておかないと、どちらの言い方で答えるべきか分からなくなります。
答え 兄が家を出てから36分後（弟が家を出てから28分後と同じ瞬間）
例題3 追いつく時間と追いつく地点
みなとさんは家を出て、分速50mで公園へ歩いて向かいました。その15分後に、姉のひなたさんが分速200mの自転車で、同じ道を追いかけました。
- ひなたさんが家を出てから何分後に、みなとさんに追いつきますか。
- 追いつくのは、家から何mのところですか。
ひなたさんが家を出てから \(x\) 分後に追いつくとおきます。そのとき、みなとさんが歩いている時間は \(x + 15\) 分です。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| みなとさん | 50 | \(x + 15\) | \(50(x + 15)\) |
| ひなたさん | 200 | \(x\) | \(200x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(200x = 50(x + 15)\) | 二人の進んだ道のりが等しいとおいた |
| \(200x = 50x + 750\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(200x - 50x = 750\) | \(50x\) を右辺から左辺へ移項した |
| \(150x = 750\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 5\) | 両辺を150でわった（等式の性質④） |
確かめ
左辺 = 200 × 5 = 1000
右辺 = 50 × (5 + 15) = 50 × 20 = 1000
左辺 = 右辺 なので x=5 は解
追いつくまでの道のりは、ひなたさんの道のりで求めると \(200 \times 5 = 1000\) なので1000mです。みなとさんの道のりで求めても \(50 \times 20 = 1000\) で1000mですから、二人が同じ場所にいることが確かめられます。自転車のほうがずっと速いので、5分で追いつくのは自然です。
答え 1. 5分後 2. 家から1000mのところ
二つの型を並べて見る
上の段は合わせた長さが、下の段は長さそのものが等しくなります。
| 問題文の言葉 | 型 | 使う道具 |
|---|---|---|
| 「向かい合って進む」「出会う」 | 出会いの型 | 道のりの合計をはじめの距離と等しくおく |
| 「あとから追いかける」「追いつく」 | 追いつきの型 | 道のりどうしを等しくおく |
出会いは \(80x + 60x = 2100\)、追いつきは \(90x = 70(x + 8)\) です。
今日の問い
出会いの問題では二人の道のりをたすのに、追いつきの問題ではたさないのは、なぜでしょうか。
答えは、二人が進む向きにあります。
出会いの問題では、二人は向かい合って進みます。二人の間の2100mを手分けしてうめていくので、うめ終わったとき、二人の分を合わせたものが2100mになります。だから \(+\) でつなぎます。
追いつきの問題では、二人は同じ地点から同じ向きに進みます。追いついた瞬間は同じ場所にいるので、家からそこまでの道のりは、兄で測っても弟で測っても同じ一つの長さです。だから、たさずに \(=\) で結ぶのです。
式を書く前に、図の矢印が向かい合っているか同じ向きかを見れば、どちらの型かが決まります。
よくある間違い
まちがい1：あとから出発した人と先に出発した人の時間を、同じ文字にしてしまう
✗ 90x = 70x
○ 90x = 70(x + 8)
\(x\) を「弟が出発してから \(x\) 分後」と決めた時点で、兄はすでに8分ぶん先に歩いています。兄の時間は \(x\) ではなく \(x + 8\) です。誤答の式を解くとどうなるか見てみましょう。\(90x = 70x\) から \(20x = 0\) となり、\(x = 0\) です。
弟の道のり = 90 × 0 = 0
兄の道のり = 70 × 0 = 0
出発と同時に、まだ一歩も進まないうちに追いついたことになってしまう
8分も先に出た兄に、出発と同時に追いつけるはずがありません。時間のずれを式に入れ忘れると、こうなります。
まちがい2：出発のずれの「8分」を、そのまま道のりとしてたす
✗ 90x = 70x + 8
○ 90x = 70x + 560
8は分で表した時間であって、道のりではありません。道のりに直すには速さをかけて、\(70 \times 8 = 560\) より560mとします。単位のちがうものを同じ式の中でたすことはできないのです。誤答の式 \(90x = 70x + 8\) を解くと \(20x = 8\)、\(x = 0.4\) となります。この値を元の場面にもどしてみます。
弟の道のり = 90 × 0.4 = 36
兄の道のり = 70 × (0.4 + 8) = 70 × 8.4 = 588
36 と 588 は等しくないので、この式はまちがい
弟が36mしか進んでいないのに、588m先の兄に追いついたことになってしまいます。
まちがい3：出会いの問題で、道のりを引いてしまう
✗ 80x − 60x = 2100
○ 80x + 60x = 2100
「二人の差」と考えてしまうと、この式になります。誤答の式を解くと \(20x = 2100\) より \(x = 105\) です。105分で二人がどこにいるか、確かめてみます。
あかりの道のり = 80 × 105 = 8400
そうたの道のり = 60 × 105 = 6300
二人の道のりの合計 = 14700 で、はじめの 2100 とまったく合わない
2100mしか離れていないのに、あかりさんだけで8400mも進んでいます。とっくにすれちがった時刻です。向かい合って進む場面では、二人の道のりは引かずにたす、と図で確かめておきましょう。
まちがい4：誰の出発からの時間かを決めずに、式を書き始める
これは式のまちがいというより、書き出し方のまちがいです。「\(x\) 分後」とだけ書いて進めると、\(x = 28\) が出たときに、それが兄の出発からなのか弟の出発からなのか分からなくなります。例題2のとおり、同じ場面でも28と36の両方が正しい値になりえます。
✗ x 分後に追いつくとする → 90x = 70(x + 8) の x が 28 なのか 36 なのか決められない
○ 弟が家を出てから x 分後に追いつくとする → 90x = 70(x + 8) の解 28 は「弟の出発から28分後」
手順1の「何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く」には、「誰の出発から数えるか」もふくめて書く、と考えておきましょう。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- 1600m離れたP地点とQ地点から、はるかさんとりくさんが同時に向かい合って出発しました。はるかさんは分速55m、りくさんは分速45mで進みます。二人が出会うのは、出発してから何分後ですか。
- 姉が家を出て、分速65mで図書館へ向かいました。その10分後に、妹が分速90mで同じ道を追いかけました。妹が家を出てから何分後に、姉に追いつきますか。
- 弟が分速240mの自転車で家を出発しました。その5分後に、兄が分速340mの自転車で同じ道を追いかけました。（1）兄が家を出てから何分後に追いつきますか。（2）追いつくのは家から何mのところですか。
- 1500m離れたR地点とS地点があります。まことさんはR地点を分速50mで出発し、その6分後に、さやかさんがS地点を分速70mでまことさんのほうへ向かって出発しました。さやかさんが出発してから何分後に、二人は出会いますか。
答えと考え方
1
出発が同時なので、二人の歩いた時間は同じです。出発してから \(x\) 分後に出会うとおきます。はるかさんの道のりは \(55x\) m、りくさんの道のりは \(45x\) mです。向かい合って進んでいるので、二人の道のりの合計が1600mになります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(55x + 45x = 1600\) | 二人の道のりの合計が、はじめに離れていた道のりと等しいとおいた |
| \(100x = 1600\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 16\) | 両辺を100でわった（等式の性質④） |
確かめ
左辺 = 55 × 16 + 45 × 16 = 880 + 720 = 1600
右辺 = 1600
左辺 = 右辺 なので x=16 は解
どちらの道のりも1600mより短いので、場面に合っています。
答え 16分後
2
妹が家を出てから \(x\) 分後に追いつくとおきます。そのとき姉はすでに10分歩いているので、姉の歩いた時間は \(x + 10\) 分です。同じ地点から同じ向きに進んでいるので、追いついた瞬間、二人の道のりは等しくなります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(90x = 65(x + 10)\) | 二人の進んだ道のりが等しいとおいた |
| \(90x = 65x + 650\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(90x - 65x = 650\) | \(65x\) を右辺から左辺へ移項した |
| \(25x = 650\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 26\) | 両辺を25でわった（等式の性質④） |
確かめ
左辺 = 90 × 26 = 2340
右辺 = 65 × (26 + 10) = 65 × 36 = 2340
左辺 = 右辺 なので x=26 は解
妹は26分、姉は36分歩いています。先に出た姉のほうが長く歩いているので、場面に合っています。
答え 26分後
3
兄が家を出てから \(x\) 分後に追いつくとおきます。兄が出発した時点で弟はすでに5分進んでいるので、弟の進んだ時間は \(x + 5\) 分です。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| 弟 | 240 | \(x + 5\) | \(240(x + 5)\) |
| 兄 | 340 | \(x\) | \(340x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(340x = 240(x + 5)\) | 二人の進んだ道のりが等しいとおいた |
| \(340x = 240x + 1200\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(340x - 240x = 1200\) | \(240x\) を右辺から左辺へ移項した |
| \(100x = 1200\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 12\) | 両辺を100でわった（等式の性質④） |
追いつくまでの道のりは、兄の道のりで求めると \(340 \times 12 = 4080\) です。
確かめ
左辺 = 340 × 12 = 4080
右辺 = 240 × (12 + 5) = 240 × 17 = 4080
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
弟の道のりで求めても4080mになるので、二人が同じ場所にいることが確かめられます。兄のほうが速いので追いつけて、時間も道のりも正の値です。場面に合っています。
答え 1. 12分後 2. 家から4080mのところ
4
向かい合って進むので出会いの型ですが、出発の時刻がずれています。さやかさんが出発してから \(x\) 分後に出会うとおきます。そのときまことさんはすでに6分歩いているので、まことさんの歩いた時間は \(x + 6\) 分です。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| まことさん | 50 | \(x + 6\) | \(50(x + 6)\) |
| さやかさん | 70 | \(x\) | \(70x\) |
二人が出会ったとき、二人の道のりの合計が1500mになります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(50(x + 6) + 70x = 1500\) | 二人の道のりの合計が、はじめに離れていた道のりと等しいとおいた |
| \(50x + 300 + 70x = 1500\) | 左辺のかっこを分配法則で外した |
| \(120x + 300 = 1500\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(120x = 1200\) | \(300\) を左辺から右辺へ移項した |
| \(x = 10\) | 両辺を120でわった（等式の性質④） |
確かめ
左辺 = 50 × (10 + 6) + 70 × 10 = 800 + 700 = 1500
右辺 = 1500
左辺 = 右辺 なので x=10 は解
まことさんは800m、さやかさんは700m進んでいて、合わせて1500mです。どちらも1500mより短いので、場面に合っています。
答え 10分後（さやかさんが出発してから）
次のレッスンへ
出会いと追いつきは、どちらも「何が等しいのか」を図で見つけてから式にしました。次のレッスンでは、速さをはなれて割合を式で表します。もとにする量の何倍かを \(x\) を使って書き、割引と割増のある代金の問題を方程式で解けるようにします。「割」やパーセントで書かれた言葉を、どう式に直すかがかぎになります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。