割合を式で表す／割引と割増
このレッスンでできるようになること
- 「もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量」の関係を使って、割合の場面を \(x\) の式で表せるようになる
- 百分率（%）・歩合（割・分）・小数を、たがいに書き直せるようになる
- 「◯割引き」「◯%増し」の場面を方程式にして解けるようになる
前のレッスンの確認
- （セクション1で習った）方程式…文字を含む等式で、文字に入れる数によって成り立ったり成り立たなかったりするもの。それを成り立たせる文字の値が解である
- （セクション5で習った）小数を含む方程式は、両辺を10倍・100倍して整数に直してから解けた
- 文章題は五つの手順で進めた。とくに手順1「何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く」と、手順5「場面に合うか確かめて、単位をつけて答える」（答えの吟味）を、このレッスンでも使う
もとにする量・割合・比べる量
割合の問題でつまずく人のほとんどは、計算でつまずいているのではありません。「何をもとにしているのか」を見つけそこねているのです。だから、まずそこから始めます。
もとにする量とは、比べるときの基準にする量のことです。たとえば「定価の2割引き」なら、もとにする量は定価です。
比べる量とは、もとにする量とくらべられている側の量のことです。「定価の2割引きで1440円だった」なら、比べる量は1440円のほうです。
割合とは、もとにする量を1と見たときに、比べる量がその何倍にあたるかを表した数のことです。もとにする量と同じなら割合は1、その半分なら割合は0.5です。
この三つのあいだには、いつも次の関係が成り立ちます。
もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量
言葉だけだと覚えにくいので、いつも「もとにする量はどれか」を先に決めてください。もとにする量が決まれば、それを \(x\) とおくか、それとも比べる量を \(x\) とおくかが自然に決まります。
問題文の中では、「の」の前にある量がもとにする量になっていることが多いです。「定価の2割引き」なら定価が、「昨年の人数より15%多い」なら昨年の人数がもとにする量です。ただしこれは目印であって決まりではありません。最後は意味で判断します。
百分率と歩合と小数を行き来する
割合は、小数のほかにも二通りの言い方があります。どちらも小数に直してから式に使います。
百分率とは、もとにする量を100と見たときの割合の表し方で、単位に % を使います。\(1\)% は \(0.01\) です。
歩合とは、もとにする量を10と見たときの割合の表し方で、単位に 割・分 を使います。1割が \(0.1\)、1分が \(0.01\) にあたります。ですから3割5分は \(0.3 + 0.05 = 0.35\) になります。
表にまとめておきます。式を作るときは、いつもいちばん左の列の小数に直してから使います。
| 小数 | 百分率 | 歩合 |
|---|---|---|
| \(0.01\) | \(1\)% | 1分 |
| \(0.08\) | \(8\)% | 8分 |
| \(0.1\) | \(10\)% | 1割 |
| \(0.25\) | \(25\)% | 2割5分 |
| \(0.35\) | \(35\)% | 3割5分 |
| \(0.5\) | \(50\)% | 5割 |
| \(0.85\) | \(85\)% | 8割5分 |
| \(1\) | \(100\)% | 10割 |
見方は二つだけです。百分率から小数へは100で割り、歩合は割が小数第1位、分が小数第2位に入ります。\(8\)% なら \(8 \div 100 = 0.08\)、8分なら小数第2位が8で \(0.08\)。同じ数になりましたね。\(8\)% と8分は同じ割合を指しています。
「引き」と「増し」の式は自分で作れる
「2割引きは0.8倍」と覚えている人がいます。覚えていても、3割引きや15%増しになったとたんに手が止まります。覚えるのではなく、その場で作ってください。作り方は引き算と足し算だけです。
もとにする量を \(x\) とします。「2割引き」とは、もとにする量から、そのうちの2割にあたる分を取り去るという意味です。取り去る分は \(x\) の2割ですから \(0.2x\) です。だから残りは、
\(x - 0.2x = 1 \times x - 0.2 \times x = (1 - 0.2)x = 0.8x\)
となります。ここで使ったのは同類項をまとめる計算だけです。\(x\) の係数が \(1\) であることを忘れなければ、必ずこの形になります。
同じように「3割増し」なら、もとにする量に、そのうちの3割にあたる分を付け足します。
\(x + 0.3x = (1 + 0.3)x = 1.3x\)
一般に書くと次のようになります。
- 「\(a\) %引き」の後の量は、もとにする量の \((1 - 0.01a)\) 倍
- 「\(a\) %増し」の後の量は、もとにする量の \((1 + 0.01a)\) 倍
\(a = 20\) を入れれば \(1 - 0.2 = 0.8\) 倍、\(a = 30\) を入れれば \(1 + 0.3 = 1.3\) 倍です。さきほど手で作った数と一致しました。
ここで気をつけたいのは、\(0.2x\) と \(0.8x\) の意味のちがいです。\(0.2x\) は「引かれた分」、\(0.8x\) は「引いた後に残った量」です。買った値段は残ったほうですから \(0.8x\) を使います。この取りちがえがいちばん多い間違いです。
例題1 2割引きで買ったときの定価
問題 定価 \(x\) 円の品物を2割引きで買ったところ、代金は1440円でした。定価を求めなさい。
まず、もとにする量は定価です。定価を10等分した10割のうち、8割分を払ったことになります。
図の左の8つ分が代金です。代金を \(x\) の式で表すと \(x - 0.2x = 0.8x\) 円。これが1440円と等しいので、方程式は \(0.8x = 1440\) になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.8x = 1440\) | 代金を2通りに表して等式にした |
| \(8x = 14400\) | 小数をなくすため両辺を10倍した |
| \(x = 1800\) | 両辺を8で割った |
確かめ
左辺 = 0.8 × 1800 = 1440
右辺 = 1440
左辺 = 右辺 なので x=1800 は解
場面でも確かめます。定価1800円の2割は \(1800 \times 0.2 = 360\) 円ですから、\(1800 - 360 = 1440\) 円。問題文と合っています。定価が代金より大きいことも、値段としておかしくありません。
答え 1800円
例題2 原価に3割の利益を見込む
品物の値段には、決まった言い方があります。
原価とは、店が品物を仕入れるのに払った値段のことです。定価とは、店がその品物につけた売り値のことです。利益とは、定価から原価を引いた残り、つまり店のもうけのことです。
問題 ある店が、原価 \(x\) 円の品物に、原価の3割の利益を見込んで定価をつけたところ、定価は2600円になりました。原価を求めなさい。
もとにする量に注意してください。「原価の3割」ですから、もとにする量は原価です。定価ではありません。
図のとおり、定価は原価の10割分に、利益の3割分を足したものです。利益は \(0.3x\) 円ですから、定価は \(x + 0.3x = 1.3x\) 円。これが2600円と等しいので、方程式は \(1.3x = 2600\) になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + 0.3x = 2600\) | 定価を2通りに表して等式にした |
| \(1.3x = 2600\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(13x = 26000\) | 小数をなくすため両辺を10倍した |
| \(x = 2000\) | 両辺を13で割った |
確かめ
左辺 = 2000 + 0.3 × 2000 = 2000 + 600 = 2600
右辺 = 2600
左辺 = 右辺 なので x=2000 は解
原価2000円、利益600円、定価2600円。定価が原価より大きく、店にもうけが出ているので、場面としても合っています。
答え 2000円
例題3 先月より減ったとき、もとの数を求める
問題 ある中学校の図書室で、今月の貸し出し冊数は先月より18%減って、246冊でした。先月の貸し出し冊数を求めなさい。
「先月より18%減って」とありますから、もとにする量は先月の冊数です。求めたいのがそのもとにする量なので、先月の冊数を \(x\) 冊とおきます。
減った分は \(0.18x\) 冊、残った今月の冊数は \(x - 0.18x = 0.82x\) 冊です。\(18\)% は \(0.18\)、\(1 - 0.18 = 0.82\) という計算を、その場で作ったことを確かめてください。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x - 0.18x = 246\) | 今月の冊数を2通りに表して等式にした |
| \(0.82x = 246\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(82x = 24600\) | 小数をなくすため両辺を100倍した |
| \(x = 300\) | 両辺を82で割った |
確かめ
左辺 = 300 − 0.18 × 300 = 300 − 54 = 246
右辺 = 246
左辺 = 右辺 なので x=300 は解
先月300冊、減った分54冊、今月246冊。冊数が0より大きい整数になっていて、今月のほうが少ないので、場面と合っています。
答え 300冊
今日の問い
「もとにする量の3割」「3割引き」「3割増し」——この三つには、どれも「3割」という言葉が入っています。もとにする量を \(x\) とすると、式にしたときに何がちがうでしょうか。
本文で作ったとおりです。
- 「もとにする量の3割」は、\(x\) のうちの3割分そのものなので \(0.3x\)
- 「3割引き」は、\(x\) から3割分を取り去った残りなので \(x - 0.3x = 0.7x\)
- 「3割増し」は、\(x\) に3割分を足したものなので \(x + 0.3x = 1.3x\)
同じ「3割」でも、\(0.3x\)、\(0.7x\)、\(1.3x\) と三通りに分かれます。問題文が聞いているのがこの三つのどれなのかを、式を書く前に必ず決めてください。ここさえ外さなければ、あとは今までどおり方程式を解くだけです。
よくある間違い
まちがい1：「2割引き」を「0.2倍」だと思ってしまう
例題1で、次のように立ててしまう人がいます。
✗ 0.2x = 1440
○ 0.8x = 1440
✗のほうを解くと \(x = 7200\) になります。これを場面にもどして確かめましょう。
定価が7200円だとすると、その2割は 7200 × 0.2 = 1440
引いた後に払う代金は 7200 − 1440 = 5760
問題文の代金は 1440 なので合わない
\(0.2x\) が表しているのは「引かれた分」であって、「払った代金」ではありません。買ったときに払うのは残ったほうですから \(0.8x\) です。図の帯でいえば、左の8つ分が代金、右の2つ分が引かれた分でした。
この間違いが起きるのは、問題文の「2割引き」という言葉のうち、「2割」だけを拾って式にしてしまうからです。「引き」まで読んで初めて、取り去るのか、残すのかが決まります。式を書く前に、「これは引かれた分か、それとも残った量か」と声に出して決めてください。聞かれているのが代金・支払った金額・売り値であれば、それは残った量です。
まちがい2：もとにする量がどちらなのかを取りちがえる
例題1の答えは、定価1800円、代金1440円でした。ここで「1440円の2割増しがもとの定価だ」と考えてしまう人がいます。
✗ 1440 × 1.2 = 1728
○ 1800 × 0.8 = 1440
1728円は1800円になりません。理由は、もとにする量がちがうからです。「定価の2割引き」でもとにするのは定価の1800円、「代金の2割増し」でもとにするのは代金の1440円です。もとにする量がちがえば、2割にあたる大きさもちがいます。実際、1800円の2割は360円ですが、1440円の2割は288円です。
同じように、「Aの2割引きがB」と「BはAより2割少ない」は同じ意味ですが、「BはAより2割少ない」と「AはBより2割多い」は同じ意味ではありません。前者のもとはA、後者のもとはBだからです。式を書く前に「の」の前を指さして、もとにする量を声に出して確かめる習慣をつけてください。
もう一つ、もとにする量の見つけ方でつまずきやすいのが、「求めたいものがもとにする量になっている」場合です。例題1でも例題3でも、求めるのは定価や先月の冊数、つまりもとにする量そのものでした。このとき、もとにする量はまだ分かっていないので、そこを \(x\) とおきます。逆に、もとにする量が分かっていて、比べる量を求める問題なら、方程式を作らなくてもかけ算だけで答えが出ます。方程式が必要になるのは、もとにする量のほうが分かっていないときだ、と覚えておくと迷いません。
まちがい3：割引きを二回続けたら、足して考えてしまう
「2割引きしたあと、さらにそこから1割引き」という場面を、次のようにしてしまう間違いです。
✗ 2割引き と 1割引き で合わせて3割引き → 0.7x
○ 2割引きで 0.8x、その1割引きは 0.8x − 0.1 × 0.8x = 0.72x
定価が1000円のときで確かめます。
✗ の考えでは 1000 × 0.7 = 700
○ の考えでは 1000 × 0.8 = 800、次に 800 − 80 = 720
700 と 720 は等しくないので、✗ の考えは合わない
二回目の1割引きは、定価の1割ではなく、一回目の後の800円の1割です。もとにする量が途中で移り変わっているのがこの問題の急所です。割合を足し算でつなぐことはできません。
同じことは「増し」でも起こります。1割増しをしたあと、さらに1割増しをしても2割増しにはなりません。定価1000円なら、1回目で1100円、2回目はその1割増しで \(1100 + 110 = 1210\) 円となり、2割増しの1200円より10円多くなります。この10円は、増えた100円の分にもさらに1割がかかったことから生まれたものです。二段階の場面が出てきたら、一段階目の結果をいったん書き出し、それを新しいもとにする量として二段階目を作ってください。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- 次を書き直しましょう。（1）\(7\)% を小数で （2）2割8分を小数で （3）\(45\)% を歩合で
- 定価 \(x\) 円の品物について、次を \(x\) を使った式で表しましょう。（1）3割引きの値段 （2）\(15\)% 増しの値段 （3）定価の4割にあたる金額
- 定価の1割5分引きで買ったところ、代金は3400円でした。定価を求めなさい。
- 原価に2割5分の利益を見込んで定価をつけたところ、定価は4500円になりました。原価を求めなさい。
- ある美術館の今日の来場者は、昨日より \(24\) %増えて279人でした。昨日の来場者を求めなさい。
答えと考え方
1
（1）百分率は100で割ると小数になります。\(7 \div 100 = 0.07\)。
確かめ
0.07 を百分率にもどすと 0.07 × 100 = 7 で 7%
もとの 7% と同じ
答え 0.07
（2）割が小数第1位、分が小数第2位です。2割が \(0.2\)、8分が \(0.08\) で、\(0.2 + 0.08 = 0.28\)。
確かめ
0.28 の小数第1位は 2 なので 2割
0.28 の小数第2位は 8 なので 8分
合わせて 2割8分 でもとと同じ
答え 0.28
（3）まず小数に直すと \(45 \div 100 = 0.45\)。小数第1位の4が割、小数第2位の5が分にあたります。
確かめ
4割5分 = 0.4 + 0.05 = 0.45
0.45 × 100 = 45 で 45%
もとの 45% と同じ
答え 4割5分
2
もとにする量はどれも定価 \(x\) 円です。どれを聞かれているのか（割合そのものか、引きか、増しか）を先に決めます。
（1）3割は \(0.3\) なので、引かれる分は \(0.3x\) 円。残りは \(x - 0.3x = (1 - 0.3)x = 0.7x\)。
確かめ
定価を 1000 円としてみると 3割引きの値段は 1000 − 300 = 700
式に入れると 0.7 × 1000 = 700
同じ値になるので合っている
答え \(0.7x\) 円
（2）\(15\)% は \(0.15\) なので、足す分は \(0.15x\) 円。合計は \(x + 0.15x = (1 + 0.15)x = 1.15x\)。
確かめ
定価を 1000 円としてみると 15%増しの値段は 1000 + 150 = 1150
式に入れると 1.15 × 1000 = 1150
同じ値になるので合っている
答え \(1.15x\) 円
（3）これは「引き」でも「増し」でもなく、割合そのものです。4割は \(0.4\) なので \(0.4x\)。\(0.6x\) や \(1.4x\) としないよう気をつけてください。聞かれているのは、定価の一部分の金額です。
確かめ
定価を 1000 円としてみると その4割は 1000 × 0.4 = 400
定価より小さい金額になっていて、一部分として合っている
答え \(0.4x\) 円
3
定価を \(x\) 円とします。もとにする量は定価です。1割5分は \(0.15\) なので、代金は \(x - 0.15x = 0.85x\) 円。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x - 0.15x = 3400\) | 代金を2通りに表して等式にした |
| \(0.85x = 3400\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(85x = 340000\) | 小数をなくすため両辺を100倍した |
| \(x = 4000\) | 両辺を85で割った |
確かめ
左辺 = 4000 − 0.15 × 4000 = 4000 − 600 = 3400
右辺 = 3400
左辺 = 右辺 なので x=4000 は解
定価4000円、引かれた分600円、代金3400円。代金が定価より安いので、場面と合っています。
答え 4000円
4
原価を \(x\) 円とします。「原価に2割5分の利益」なので、もとにする量は原価です。2割5分は \(0.25\) なので、利益は \(0.25x\) 円、定価は \(x + 0.25x = 1.25x\) 円。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + 0.25x = 4500\) | 定価を2通りに表して等式にした |
| \(1.25x = 4500\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(125x = 450000\) | 小数をなくすため両辺を100倍した |
| \(x = 3600\) | 両辺を125で割った |
確かめ
左辺 = 3600 + 0.25 × 3600 = 3600 + 900 = 4500
右辺 = 4500
左辺 = 右辺 なので x=3600 は解
原価3600円、利益900円、定価4500円。定価が原価より高いので、場面と合っています。
答え 3600円
5
昨日の来場者を \(x\) 人とします。「昨日より」なので、もとにする量は昨日の来場者です。\(24\)% は \(0.24\) なので、増えた分は \(0.24x\) 人、今日は \(x + 0.24x = 1.24x\) 人。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + 0.24x = 279\) | 今日の来場者を2通りに表して等式にした |
| \(1.24x = 279\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(124x = 27900\) | 小数をなくすため両辺を100倍した |
| \(x = 225\) | 両辺を124で割った |
確かめ
左辺 = 225 + 0.24 × 225 = 225 + 54 = 279
右辺 = 279
左辺 = 右辺 なので x=225 は解
昨日225人、増えた分54人、今日279人。人数が0より大きい整数で、今日のほうが多いので、場面と合っています。
答え 225人
次のレッスンへ
割合の問題は、もとにする量を見つけ、\((1 - 0.01a)\) 倍や \((1 + 0.01a)\) 倍の形をその場で作れば、あとはふつうの方程式でした。次のレッスンでは、食塩水の濃度の問題を扱います。濃度もまた割合の一つで、「食塩水全体の重さ」がもとにする量になります。もとにする量が何かを探すという今日の考え方が、そのまま使えます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。