食塩水の濃度の問題
このレッスンでできるようになること
- 濃度を「食塩水全体の重さに対する食塩の重さの割合」として説明し、食塩の重さを式で表せる
- 水を加える・食塩を加える・二つの食塩水を混ぜる、という三つの場面を表に整理して方程式を作れる
- 濃度どうしを足してはいけないことを、実際に計算して確かめられる
前のレッスンの確認
- もとにする量 \(\times\) 割合 \(=\) 比べる量
- 百分率は \(100\) で割って小数に直す。\(8\)% は \(0.08\)、\(5\)% は \(0.05\)、\(12\)% は \(0.12\)
- 文章題を解く五つの手順
- 何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く
- 数量を式で表す（表を使ってよい）
- 等しい関係を見つけて方程式を作る
- 方程式を解く
- 場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
濃度とは何か
同じ \(150\) g の食塩水でも、食塩が \(3\) g とけているものと \(30\) g とけているものでは、しょっぱさがまるでちがいます。このちがいを数で表したものが濃度です。
濃度とは、食塩水全体の重さに対する食塩の重さの割合のこと。百分率で表すときは、次の式で計算します。
濃度 = 食塩の重さ \(\div\) 食塩水の重さ \(\times\) 100
計算した値に % をつけて答えます。たとえば \(150\) g の食塩水に食塩が \(3\) g とけているなら、
\(\dfrac{3}{150} \times 100 = 2\)
なので、この食塩水の濃度は \(2\)% です。ここで大事なのは、割る相手が「水の重さ」ではなく「食塩水全体の重さ」だということです。もとにする量は食塩水全体、比べる量は食塩、というわけです。
主役になる式
濃度の式のままでは、方程式を作るときに分数が前に出てきて扱いにくくなります。そこで、もとにする量 \(\times\) 割合 \(=\) 比べる量 の形に直しておきます。
食塩の重さ = 食塩水の重さ \(\times\) \(\dfrac{濃度}{100}\)
このレッスンの主役はこの式です。以後、どの問題でもまずこの式で食塩の重さを取り出します。たとえば \(4\)% の食塩水 \(350\) g にとけている食塩の重さは、
\(350 \times \dfrac{4}{100} = 350 \times 0.04 = 14\)
で \(14\) g です。\(\dfrac{4}{100}\) は \(0.04\) ですから、そのまま小数をかけてもかまいません。
食塩水を長方形で表す
濃度の問題は、食塩水を長方形にたとえると見通しがよくなります。よこの長さを食塩水の重さ、たての長さを濃度とすると、よこ \(\times\) たてにあたる面積が食塩の重さになります。
この図があると、「食塩水を増やしたのに食塩は増えていない」といった状態が、形の変化として目に見えるようになります。
変わるものと、変わらないもの
濃度の問題でいちばん大事なのは、次の三つの原則です。ここを外すと、どんなに計算が正しくても答えは合いません。
- 水を加えても、食塩の重さは変わらない。 増えるのは水だけなので、食塩水全体の重さだけが増えます。
- 食塩を加えると、食塩の重さも食塩水全体の重さも、加えた分だけ増える。 食塩は食塩水の一部なので、全体にも数えます。
- 水を蒸発させても、食塩の重さは変わらない。 減るのは水だけなので、食塩水全体の重さだけが減ります。
表にまとめると次のようになります。この表が、方程式を作るときの出発点になります。
| したこと | 食塩の重さ | 食塩水全体の重さ | 濃度 |
|---|---|---|---|
| 水を加える | 変わらない | 加えた分だけ増える | 下がる |
| 水を蒸発させる | 変わらない | 蒸発した分だけ減る | 上がる |
| 食塩を加える | 加えた分だけ増える | 加えた分だけ増える | 上がる |
| 二つの食塩水を混ぜる | 二つの和 | 二つの和 | 二つの濃度の間になる |
「変わらないもの」が見つかれば、そこに等しい関係があります。「変わるもの」は、増え方を式で表せば数量になります。どちらの場合も、注目するのは濃度そのものではなく 食塩の重さ です。
場面1 水を加えてうすめる
\(8\)% の食塩水 \(250\) g に水を何 g か加えて、\(5\)% の食塩水にしたい。加える水は何 g か。
まず、何を \(x\) とおくかを決めます。加える水の重さを \(x\) g とします。次に、三つの列をもつ表に整理します。列は「食塩水の重さ」「濃度」「食塩の重さ」の三つ、行は「加える前」「加えるもの」「加えたあと」の三つです。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(250\) | \(8\)% | \(250 \times 0.08 = 20\) |
| 加えるもの（水） | \(x\) | \(0\)% | \(0\) |
| 加えたあと | \(250 + x\) | \(5\)% | \((250 + x) \times 0.05\) |
水には食塩が入っていないので、加えるものの濃度は \(0\)%、食塩の重さは \(0\) g です。だから食塩の重さは、加える前と加えたあとで同じ \(20\) g のままです。ここが等しい関係です。
\(20 = (250 + x) \times 0.05\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(20 = (250 + x) \times 0.05\) | 食塩の重さが等しいことから方程式を作った |
| \(2000 = 5(250 + x)\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(2000 = 1250 + 5x\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(2000 - 1250 = 5x\) | \(1250\) を左辺へ移項した |
| \(750 = 5x\) | 左辺を計算した |
| \(x = 150\) | 両辺を \(5\) で割った |
確かめ
左辺 = 20
右辺 = (250 + 150) × 0.05 = 400 × 0.05 = 20
左辺 = 右辺 なので x=150 は解
答えの吟味もしておきます。加える水は \(150\) g で、重さとしてありえる正の値です。できあがった食塩水は \(400\) g、その中の食塩は \(20\) g なので、濃度は \(\dfrac{20}{400} \times 100 = 5\) となり、たしかに \(5\)% です。
答え 水を \(150\) g 加える
この様子を長方形で見ると、次のようになります。
点線は、もとの \(250\) g がどこまでだったかを表しています。よこが \(250\) から \(400\) へ伸びた分、たてが \(8\)% から \(5\)% へ縮み、面積は \(20\) g のままです。うすめるとは、面積を変えずに長方形を平たくすることだ、と考えてください。
場面2 食塩を加えて濃くする
\(6\)% の食塩水 \(450\) g に食塩を何 g か加えて、\(10\)% の食塩水にしたい。加える食塩は何 g か。
加える食塩の重さを \(x\) g とします。今度は加えるものが食塩なので、食塩の重さの列にも、食塩水の重さの列にも \(x\) が入ります。ここが場面1とちがうところです。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(450\) | \(6\)% | \(450 \times 0.06 = 27\) |
| 加えるもの（食塩） | \(x\) | \(100\)% | \(x\) |
| 加えたあと | \(450 + x\) | \(10\)% | \((450 + x) \times 0.1\) |
食塩そのものは、全体が食塩なので濃度 \(100\)% と考えます。すると \(x \times \dfrac{100}{100} = x\) となり、加えた食塩の重さがそのまま食塩の列に入ることが式でも確かめられます。
加えたあとの食塩の重さは、二通りに表せます。一つは「加える前の \(27\) g に、加えた \(x\) g を足したもの」、もう一つは「\(450 + x\) の \(10\)% にあたるもの」です。この二つが等しくなります。
\(27 + x = (450 + x) \times 0.1\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(27 + x = (450 + x) \times 0.1\) | 加えたあとの食塩の重さを二通りに表して結んだ |
| \(270 + 10x = 450 + x\) | 両辺を \(10\) 倍して小数をなくした |
| \(10x - x = 450 - 270\) | \(x\) の項を左辺へ、数を右辺へ移項した |
| \(9x = 180\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 20\) | 両辺を \(9\) で割った |
確かめ
左辺 = 27 + 20 = 47
右辺 = (450 + 20) × 0.1 = 470 × 0.1 = 47
左辺 = 右辺 なので x=20 は解
できあがった食塩水は \(470\) g、その中の食塩は \(47\) g なので、濃度は \(\dfrac{47}{470} \times 100 = 10\) となり \(10\)% です。加えた食塩も正の値なので、場面に合っています。
答え 食塩を \(20\) g 加える
長方形で考えるなら、たてが \(6\)% から \(10\)% へ高くなり、よこも \(450\) から \(470\) へわずかに伸びて、面積は加えた \(20\) g 分だけ増えます。水のときは面積が変わらず、食塩のときは面積が増える。この差をおさえておきましょう。
場面3 二つの食塩水を混ぜる
\(15\)% の食塩水と \(5\)% の食塩水 \(300\) g を混ぜて、\(9\)% の食塩水を作りたい。\(15\)% の食塩水は何 g 必要か。
\(15\)% の食塩水の重さを \(x\) g とします。混ぜる問題でも、道具は同じです。三つの行を「一方の食塩水」「もう一方の食塩水」「混ぜたあと」に変えるだけです。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| こい方 | \(x\) | \(15\)% | \(0.15x\) |
| うすい方 | \(300\) | \(5\)% | \(300 \times 0.05 = 15\) |
| 混ぜたあと | \(x + 300\) | \(9\)% | \((x + 300) \times 0.09\) |
混ぜても食塩が消えたり生まれたりはしません。だから、混ぜたあとの食塩の重さは、それぞれの食塩の重さの和になります。
\(0.15x + 15 = (x + 300) \times 0.09\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.15x + 15 = (x + 300) \times 0.09\) | 混ぜたあとの食塩の重さで等しい関係を作った |
| \(15x + 1500 = 9(x + 300)\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(15x + 1500 = 9x + 2700\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(15x - 9x = 2700 - 1500\) | \(x\) の項を左辺へ、数を右辺へ移項した |
| \(6x = 1200\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 200\) | 両辺を \(6\) で割った |
確かめ
左辺 = 0.15 × 200 + 15 = 30 + 15 = 45
右辺 = (200 + 300) × 0.09 = 500 × 0.09 = 45
左辺 = 右辺 なので x=200 は解
できあがった食塩水は \(500\) g で、その中の食塩は \(45\) g です。\(\dfrac{45}{500} \times 100 = 9\) なので \(9\)% になっています。
答え \(15\)% の食塩水を \(200\) g 混ぜる
こい方は細くて高い長方形、うすい方は平たくて長い長方形です。二つの面積を合わせたものが、下の大きな長方形の面積になります。よこの長さは \(200 + 300 = 500\) とそのまま足せますが、たての長さは足せません。\(15\)% と \(5\)% を足して \(20\)% にはならないのです。
三つの場面の共通点
三つの場面を並べると、やっていることは同じだと分かります。
| 場面 | 等しい関係 |
|---|---|
| 水を加える | 加える前の食塩の重さ \(=\) 加えたあとの食塩の重さ |
| 食塩を加える | 加える前の食塩 \(+\) 加えた食塩 \(=\) 加えたあとの食塩の重さ |
| 二つを混ぜる | 一方の食塩 \(+\) もう一方の食塩 \(=\) 混ぜたあとの食塩の重さ |
どれも注目しているのは食塩の重さだけです。濃度は食塩の重さを取り出す道具として使うだけで、濃度そのものを足したり引いたりはしません。表を三行作り、食塩の列を上から下へ結ぶ。これがこの単元の型です。
今日の問い
水を加えると、食塩水の重さは増え、濃度は下がります。二つとも変わってしまうのに、なぜ方程式が作れるのでしょう。
答えは、三つの量のうち一つだけ変わらないものがあるからです。食塩の重さは、水を加えても \(20\) g のままでした。等しい関係は、変わらないものの上に立ちます。だから場面1では、食塩の重さを二通りに表して結ぶだけで方程式ができました。場面2と場面3のように変わってしまう場合でも、「どれだけ増えたか」がはっきりしていれば、増えたあとの量を二通りに表して結べます。変わらないものを探す、なければ増え方を式にする。この順で考えれば、どの場面でも方程式は作れます。
よくある間違い
まちがい1：濃度をそのままかけてしまう
\(8\)% の食塩水 \(250\) g にとけている食塩の重さを求めるときに、こう書いてしまう人がいます。
✗ 250 × 8 = 2000
○ 250 × 8÷100 = 250 × 0.08 = 20
誤答の \(2000\) g を場面に戻してみましょう。食塩水全体が \(250\) g しかないのに、その中の食塩が \(2000\) g あることになります。中身が入れ物より重いことはありえません。\(8\)% とは「\(100\) のうちの \(8\)」という意味なので、必ず \(100\) で割ってからかけます。
まちがい2：水を加えたのに、食塩水の重さを増やし忘れる
場面1で、加えたあとの食塩水の重さを \(250\) g のままにしてしまう間違いです。
✗ 20 = 250 × 0.05
○ 20 = (250 + x) × 0.05
誤った式の右辺は \(250 \times 0.05 = 12.5\)、左辺は \(20\) ですから、\(20 = 12.5\) となって成り立ちません。しかも \(x\) が式から消え、求めるものがなくなっています。水を加えたのだから、食塩水全体の重さは \(250 + x\) に変わります。食塩の重さは変わらず、全体の重さは変わる。表の二列を別々に見ましょう。
まちがい3：加えた食塩を、全体の重さに足し忘れる
場面2で、食塩の列だけに \(x\) を足して、食塩水の重さの列を \(450\) g のままにする間違いです。
✗ 27 + x = 450 × 0.1
○ 27 + x = (450 + x) × 0.1
誤った式を解くと \(27 + x = 45\) から \(x = 18\) となります。この \(18\) を場面に戻してみます。食塩を \(18\) g 加えたのなら、食塩水全体は \(450 + 18 = 468\) g、食塩は \(27 + 18 = 45\) g です。\(10\)% であるためには食塩が \(468 \times 0.1 = 46.8\) g なければならないのに \(45\) g しかなく、合いません。加えた食塩は食塩水の一部になるのですから、全体の重さにも必ず足します。
まちがい4：濃度どうしを足してしまう
いちばん多い間違いです。場面3で、\(15\)% と \(5\)% を混ぜるのだから \(15 + 5 = 20\) で \(20\)% になる、と考えてしまうものです。
✗ 0.15x + 15 = (x + 300) × 0.20
○ 0.15x + 15 = (x + 300) × 0.09
誤った式を解いてみます。両辺を \(100\) 倍して \(15x + 1500 = 20x + 6000\)、移項して \(15x - 20x = 6000 - 1500\)、つまり \(-5x = 4500\) となり \(x = -900\) です。加える食塩水の重さがマイナスになってしまい、重さとしてありえません。
さらに、実際に混ぜた結果を確かめてみます。
食塩の重さ = 200 × 0.15 + 300 × 0.05 = 30 + 15 = 45
食塩水の重さ = 200 + 300 = 500
濃度 = 45 ÷ 500 × 100 = 9
20 にはならない
濃度は「\(100\) g あたり何 g とけているか」を表す割合であって、量そのものではありません。もとにする量がちがう割合は足せないのです。また、混ぜてできる食塩水は、こい方よりうすく、うすい方よりこくなります。\(20\)% ならどちらよりこいことになり、話が合いません。混ぜてよいのは食塩の重さと食塩水の重さだけです。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- \(20\)% の食塩水 \(180\) g に水を何 g か加えて、\(12\)% の食塩水にしたい。加える水は何 g か求めましょう。
- \(10\)% の食塩水 \(420\) g に食塩を何 g か加えて、\(16\)% の食塩水にしたい。加える食塩は何 g か求めましょう。
- \(4\)% の食塩水と \(14\)% の食塩水 \(100\) g を混ぜて、\(12\)% の食塩水を作りたい。\(4\)% の食塩水は何 g 必要か求めましょう。
- 「\(10\)% の食塩水 \(100\) g と \(20\)% の食塩水 \(100\) g を混ぜると \(30\)% の食塩水になる」という考えは、どこが間違っているか説明し、正しい濃度を求めましょう。
答えと考え方
1.
加える水の重さを \(x\) g とします。水には食塩が入っていないので、食塩の重さは変わりません。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(180\) | \(20\)% | \(180 \times 0.2 = 36\) |
| 加えるもの（水） | \(x\) | \(0\)% | \(0\) |
| 加えたあと | \(180 + x\) | \(12\)% | \((180 + x) \times 0.12\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(36 = (180 + x) \times 0.12\) | 食塩の重さが等しいことから方程式を作った |
| \(3600 = 12(180 + x)\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(3600 = 2160 + 12x\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(3600 - 2160 = 12x\) | \(2160\) を左辺へ移項した |
| \(1440 = 12x\) | 左辺を計算した |
| \(x = 120\) | 両辺を \(12\) で割った |
確かめ
左辺 = 36
右辺 = (180 + 120) × 0.12 = 300 × 0.12 = 36
左辺 = 右辺 なので x=120 は解
加える水は正の値で、できた食塩水は \(300\) g、食塩は \(36\) g なので濃度は \(12\)% です。
答え 水を \(120\) g 加える
2.
加える食塩の重さを \(x\) g とします。食塩を加えるので、食塩の重さにも食塩水全体の重さにも \(x\) を足します。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(420\) | \(10\)% | \(420 \times 0.1 = 42\) |
| 加えるもの（食塩） | \(x\) | \(100\)% | \(x\) |
| 加えたあと | \(420 + x\) | \(16\)% | \((420 + x) \times 0.16\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(42 + x = (420 + x) \times 0.16\) | 加えたあとの食塩の重さを二通りに表して結んだ |
| \(4200 + 100x = 16(420 + x)\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(4200 + 100x = 6720 + 16x\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(100x - 16x = 6720 - 4200\) | \(x\) の項を左辺へ、数を右辺へ移項した |
| \(84x = 2520\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 30\) | 両辺を \(84\) で割った |
確かめ
左辺 = 42 + 30 = 72
右辺 = (420 + 30) × 0.16 = 450 × 0.16 = 72
左辺 = 右辺 なので x=30 は解
できた食塩水は \(450\) g、食塩は \(72\) g なので、濃度は \(\dfrac{72}{450} \times 100 = 16\) で \(16\)% です。
答え 食塩を \(30\) g 加える
3.
\(4\)% の食塩水の重さを \(x\) g とします。混ぜたあとの食塩の重さは、二つの食塩の重さの和です。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| こい方 | \(100\) | \(14\)% | \(100 \times 0.14 = 14\) |
| うすい方 | \(x\) | \(4\)% | \(0.04x\) |
| 混ぜたあと | \(x + 100\) | \(12\)% | \((x + 100) \times 0.12\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.04x + 14 = (x + 100) \times 0.12\) | 混ぜたあとの食塩の重さで等しい関係を作った |
| \(4x + 1400 = 12(x + 100)\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(4x + 1400 = 12x + 1200\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(1400 - 1200 = 12x - 4x\) | \(x\) の項を右辺へ、数を左辺へ移項した |
| \(200 = 8x\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 25\) | 両辺を \(8\) で割った |
確かめ
左辺 = 0.04 × 25 + 14 = 1 + 14 = 15
右辺 = (25 + 100) × 0.12 = 125 × 0.12 = 15
左辺 = 右辺 なので x=25 は解
できた食塩水は \(125\) g、食塩は \(15\) g なので \(\dfrac{15}{125} \times 100 = 12\) で \(12\)% です。混ぜたあとの \(12\)% は、\(4\)% と \(14\)% の間の値になっており、場面に合っています。
答え \(4\)% の食塩水を \(25\) g 混ぜる
4.
間違いは、濃度どうしを足していることです。濃度は割合であって量ではないので、足すことはできません。足してよいのは食塩の重さと食塩水の重さです。
確かめ
✗ 10 + 20 = 30
○ 食塩の重さ = 100 × 0.1 + 100 × 0.2 = 10 + 20 = 30
食塩水の重さ = 100 + 100 = 200
濃度 = 30 ÷ 200 × 100 = 15
食塩の重さは \(30\) g、食塩水の重さは \(200\) g なので、濃度は \(15\)% です。\(30\)% だとすると、食塩は \(200 \times 0.3 = 60\) g なければなりませんが、実際には \(30\) g しかなく合いません。また \(15\)% は \(10\)% と \(20\)% の間の値で、混ぜてできる濃度としてつじつまが合っています。
答え 濃度どうしを足したことが間違いで、正しくは \(15\)%
次のレッスンへ
これでセクション7の道具がそろいました。次のレッスンは「速さと割合の混合練習」です。速さの問題と割合の問題が混ざった状態で出てきたとき、問題文のどの言葉を手がかりに型を見分けるかを練習します。道のり・速さ・時間の関係、割引と割増、そして今回の濃度を、一つの問題群の中で切り替えて使えるようにしていきましょう。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。