速さと割合の混合練習
このレッスンでできるようになること
- 問題文に出てくる言葉から、速さ・割合・濃度のどの関係を使うかを自分で決められる
- セクション7で習った道具をひとつの表にまとめ、必要なときに引き出せる
- 型を決めてから式を作るという順序で、混ざった問題を解ける
前のレッスンの確認
- 道のり = 速さ \(\times\) 時間。この式から、時間 = 道のり \(\div\) 速さ も出せる
- 出会う問題では、二人の進んだ道のりの合計が、はじめに離れていた道のりと等しい
- 追いつく問題では、二人の進んだ道のりが等しい
- もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量。\(a\) %引きは \((1 - 0.01a)\) 倍
- 食塩の重さ = 食塩水の重さ \(\times \dfrac{濃度}{100}\)。水を加えても食塩の重さは変わらない
- 答えの吟味 … 求めた値がその量としてありえるかを見ること
セクション7の道具をひとつの表にまとめる
ここまでの四つのレッスンで、速さ・出会いと追いつき・割合と割引割増・濃度を別々に習いました。テストや入試では、これらが順番を知らせずに混ざって出てきます。そこで、問題文のどの言葉を見れば、どの関係を使えばよいかが決まるのかを、ひとつの表にまとめておきます。
| 問題文に出てくる言葉 | 使う関係 | 整理の道具 |
|---|---|---|
| 「時速◯kmで進む」「何分かかる」 | 道のり = 速さ \(\times\) 時間 | 速さ・時間・道のりの3列の表 |
| 「向かい合って進む」「出会う」 | 二人の道のりの合計 = はじめに離れていた道のり | 3列の表と線分図 |
| 「あとから追いかける」「追いつく」 | 二人の進んだ道のりが等しい | 3列の表（進む時間のちがいに注意） |
| 「〜より◯分多くかかる」「〜より◯分早い」 | 二つの時間の差 = ◯ | 速さ・時間・道のりの3列の表（時間の列を引き算する） |
| 「◯%」「◯割」「全体の何倍」 | もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量 | 割合を小数に直して式に入れる |
| 「◯%引き」「◯割増し」 | もとにする量 \(\times (1 - 0.01a)\) または \(\times (1 + 0.01a)\) | もとにする量を \(x\) とおく |
| 「◯%の食塩水」「水を加える」「蒸発させる」 | 食塩の重さ = 食塩水の重さ \(\times \dfrac{濃度}{100}\) | 食塩水の重さ・濃度・食塩の重さの3列の表 |
この表の左の列だけを読んで、右の二つの列が言えるようになれば、セクション7は身についたと言えます。
型を決めてから解く
文章題を解く五つの手順は、セクション6で決めた通りです。
- 何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く
- 数量を式で表す（表を使ってよい）
- 等しい関係を見つけて方程式を作る
- 方程式を解く
- 場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
混ざった問題では、この1の前にもうひとつ置きます。問題文を最後まで読んで、上の表のどの行を使うかを先に決めることです。型を決めないまま \(x\) とおくと、式を作る途中で何と何が等しいのか分からなくなります。順序は、型を決める、\(x\) を決める、表に整理する、式を作る、解く、吟味する、です。
道のりが同じで速さがちがう二つの進み方をくらべる問題もあります。このときは道のりを \(x\) とおいて、時間を二通りに表し、その差を式にします。
出会いと追いつきの見分け
いちばん取りちがえやすいのが、出会う問題と追いつく問題です。二人が向かい合って進むなら、二人の道のりを足したものがはじめに離れていた道のりになります。二人が同じ向きに進んで後ろの人が追いかけるなら、追いついた瞬間に二人は同じ地点にいるので、二人の道のりは等しくなります。
図の上と下で、線の並べ方がちがうことに注目してください。上は一本の道の両端から中へ向かうので足し算、下は同じ向きにそろえて長さをくらべるので等号です。
例題1 定価を求める
ある店で、シャツを定価の \(16\) %引きで買ったところ、代金は \(2940\) 円でした。このシャツの定価はいくらですか。
「◯%引き」とあるので、割引の行を使います。定価がもとにする量です。定価を \(x\) 円とおきます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((1 - 0.16)x = 2940\) | \(16\) %引きは \((1 - 0.16)\) 倍。もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量 |
| \(0.84x = 2940\) | かっこの中を計算した |
| \(84x = 294000\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(x = 3500\) | 両辺を \(84\) で割った |
確かめ
左辺 = 3500 × 0.84 = 2940
右辺 = 2940
左辺 = 右辺 なので x=3500 は解
定価 \(3500\) 円は代金 \(2940\) 円より大きく、値段としてありえます。
答え \(3500\) 円
例題2 追いつくまでの時間
妹が家を出て、分速 \(84\) m で駅へ向かって歩き始めました。その \(12\) 分後に、姉が同じ道を分速 \(210\) m の自転車で追いかけました。姉が家を出てから何分後に妹に追いつきますか。
「あとから追いかける」「追いつく」とあるので、二人の道のりが等しいという関係を使います。姉が出発してから \(x\) 分後に追いつくとします。このとき妹は、先に歩いた \(12\) 分を足して \((x + 12)\) 分歩いています。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| 妹 | \(84\) | \(x + 12\) | \(84(x + 12)\) |
| 姉 | \(210\) | \(x\) | \(210x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(210x = 84(x + 12)\) | 二人の道のりが等しいとおいた |
| \(210x = 84x + 1008\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(210x - 84x = 1008\) | \(84x\) を左辺へ移項した |
| \(126x = 1008\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 8\) | 両辺を \(126\) で割った |
確かめ
左辺 = 210 × 8 = 1680
右辺 = 84 × (8 + 12) = 84 × 20 = 1680
左辺 = 右辺 なので x=8 は解
\(8\) 分は正の数なので、時間としてありえます。
答え \(8\) 分後
例題3 食塩を加える
\(5\) %の食塩水 \(240\) g に食塩を加えて、\(20\) %の食塩水にします。食塩を何g加えればよいですか。
「◯%の食塩水」とあるので、濃度の行を使います。ここで気をつけることがひとつあります。加えるのが水なら食塩の重さは変わりませんが、加えるのが食塩のときは、食塩の重さも食塩水全体の重さも両方増えます。加える食塩を \(x\) g とおきます。
はじめの食塩の重さは \(240 \times \dfrac{5}{100} = 12\) g です。加えるものは食塩だけなので、その濃度は \(100\) %と考えます。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度（%） | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(240\) | \(5\) | \(12\) |
| 加えるもの（食塩） | \(x\) | \(100\) | \(x\) |
| 加えたあと | \(240 + x\) | \(20\) | \(12 + x\) |
あとの食塩水について、食塩の重さを二通りに表したものが等しいという式を作ります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((240 + x) \times 0.2 = 12 + x\) | 食塩の重さ = 食塩水の重さ \(\times \dfrac{濃度}{100}\)。\(20\) %は \(0.2\) 倍 |
| \(2(240 + x) = 120 + 10x\) | 両辺を \(10\) 倍して小数をなくした |
| \(480 + 2x = 120 + 10x\) | 左辺のかっこを分配法則で外した |
| \(2x - 10x = 120 - 480\) | \(10x\) を左辺へ、\(480\) を右辺へ移項した |
| \(-8x = -360\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = 45\) | 両辺を \(-8\) で割った |
確かめ
左辺 = (240 + 45) × 20 ÷ 100 = 285 × 20 ÷ 100 = 57
右辺 = 12 + 45 = 57
左辺 = 右辺 なので x=45 は解
\(45\) g は正の数なので、加える重さとしてありえます。
答え \(45\) g
例題4 自転車と徒歩を組み合わせる
P地からQ地までの \(4.8\) km の道のりを、途中のR地までは時速 \(15\) km の自転車で行き、R地からQ地までは時速 \(3\) km で歩いたところ、全体で \(48\) 分かかりました。P地からR地までの道のりは何kmですか。
ここは二段になっています。自転車の部分と歩きの部分で速さがちがい、さらに道のりはkm、かかった時間は分で書かれています。単位をそろえるところから始めます。速さが時速なので、時間も時間の単位にそろえます。
\(1\) 時間は \(60\) 分なので、\(48\) 分は \(\dfrac{48}{60}\) 時間です。分母と分子を \(12\) で割って約分すると \(\dfrac{4}{5}\) 時間になります。
P地からR地までを \(x\) km とおくと、R地からQ地までは \((4.8 - x)\) km です。時間 = 道のり \(\div\) 速さ を使って、二つの時間を式で表します。
| 速さ（km/時） | 時間（時間） | 道のり（km） | |
|---|---|---|---|
| 自転車 | \(15\) | \(\dfrac{x}{15}\) | \(x\) |
| 歩き | \(3\) | \(\dfrac{4.8 - x}{3}\) | \(4.8 - x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{15} + \dfrac{4.8 - x}{3} = \dfrac{4}{5}\) | 二つの時間の合計が全体の時間 |
| \(x + 5(4.8 - x) = 12\) | 両辺に分母の最小公倍数 \(15\) をかけた |
| \(x + 24 - 5x = 12\) | かっこを分配法則で外した |
| \(-4x = 12 - 24\) | \(24\) を右辺へ移項した |
| \(-4x = -12\) | 右辺を計算した |
| \(x = 3\) | 両辺を \(-4\) で割った |
確かめ
左辺 = 3 ÷ 15 + (4.8 − 3) ÷ 3 = 0.2 + 0.6 = 0.8
右辺 = 4 ÷ 5 = 0.8
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
\(0.8\) 時間は \(48\) 分です。\(x = 3\) は \(0\) より大きく \(4.8\) より小さいので、P地からQ地までの途中の地点になります。場面に合っています。もし \(x\) が \(5\) などと出たら、R地がQ地より先になってしまうので、その時点で式を見直します。これが答えの吟味です。
答え \(3\) km
今日の問い
「何分後に出会いますか」と「何分後に追いつきますか」は、どちらも同じ「何分後か」をたずねています。それなのに作る方程式はちがいます。問題文のどこを見れば、どちらの式を作るか決められるでしょうか。
見るところは、二人の進む向きです。向かい合って進むなら、二人の道のりを足したものがはじめに離れていた道のりと等しくなります。
出会う （一方の道のり）＋（もう一方の道のり）＝（はじめに離れていた道のり）
追いつく （追いかける人の道のり）＝（先を行く人の道のり）
同じ向きに進んで後ろの人が追いかけるなら、追いついた瞬間に二人は同じ地点にいるので、二つの道のりが等しくなります。「向かい合って」「反対の方向から」とあれば足し算の式、「あとから追いかけて」「同じ方向に」とあれば等号の式です。向きを読み取ることが、式の形を決めています。
よくある間違い
まちがい1：時速と分をそのままかけてしまう
時速 \(12\) km で \(25\) 分進んだときの道のりを求めます。
✗ 12 × 25 = 300 道のりは 300 km
○ 25 分 = 25 ÷ 60 時間
○ 12 × 25 ÷ 60 = 5 道のりは 5 km
\(300\) km は東京から名古屋あたりまでの道のりです。自転車で \(25\) 分では進めません。速さが時速なら時間は「時間」に、速さが分速なら時間は「分」にそろえてから、はじめてかけ算ができます。速さの単位に何が書いてあるかを、式を作る前に必ず確かめてください。
まちがい2：もとにする量を取りちがえる
定価の \(22\) %引きで買ったら \(5460\) 円でした。定価はいくらですか。
✗ 5460 × 0.78 = 4258.8 定価は 4258.8 円
○ 定価を x 円として 0.78x = 5460
○ x = 7000 定価は 7000 円
\(\times 0.78\) という計算は、もとにする量から比べる量を出すときの計算です。ここで分かっているのは比べる量である代金のほうなので、逆にわり算をしなければなりません。誤答の \(4258.8\) を元の式に入れて確かめます。
4258.8 × 0.78 = 3321.864
これは代金の 5460 と等しくない
\(4258.8\) 円は代金より安く、割引したのに定価のほうが安いという、ありえないことになっています。「◯%引き」と書かれたら、引かれる前の値段がもとにする量です。
まちがい3：濃度どうしを足す
\(4\) %の食塩水 \(200\) g と \(12\) %の食塩水 \(200\) g を混ぜたときの濃度を求めます。
✗ 4 + 12 = 16 濃度は 16 %
○ 食塩の重さ = 200 × 4 ÷ 100 + 200 × 12 ÷ 100 = 8 + 24 = 32
○ 食塩水の重さ = 200 + 200 = 400
○ 32 ÷ 400 = 0.08 濃度は 8 %
濃度は「全体に対してどれだけか」を表す割合なので、足すことはできません。もし \(16\) %なら、食塩は \(400 \times \dfrac{16}{100} = 64\) g なければならず、実際の \(32\) g と合いません。混ぜる問題では、食塩の重さと食塩水の重さをそれぞれ足してから、あらためて割合を考えます。
まちがい4：追いかける人と先を行く人の時間を同じにする
弟が分速 \(54\) m で歩き始め、その \(10\) 分後に兄が分速 \(144\) m で追いかけました。兄が出発してから何分後に追いつきますか。
✗ 144x = 54x
✗ 90x = 0 x = 0
○ 144x = 54(x + 10)
○ 144x = 54x + 540
○ 90x = 540 x = 6
誤答の式は「兄が出発した瞬間に追いつく」と言っていることになり、\(10\) 分先に出た弟に追いつくという場面と合いません。道のりが等しいのは正しいのですが、二人の進んでいる時間がちがうのを見落としています。先に出発した人の時間には、その差の分を足してください。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。解き始める前に、どの関係を使うかを決めること。まとめ表のどの行かを口に出してから、\(x\) を決めます。
- ある中学校で自転車通学をしている生徒は \(56\) 人で、これは1年生全体の \(35\) %にあたります。1年生は何人ですか。
- 原価に \(40\) %の利益を見込んで定価をつけたところ、定価は \(4200\) 円になりました。原価はいくらですか。
- 家から学校まで、分速 \(55\) m で歩くと、分速 \(88\) m で走るときより \(12\) 分多くかかります。家から学校までの道のりは何mですか。
- AさんとBさんが \(3400\) m 離れた地点から向かい合って同時に出発しました。Aさんは分速 \(75\) m、Bさんは分速 \(95\) m で進みます。二人は出発してから何分後に出会いますか。
- 弟が家を出て分速 \(45\) m で歩き始めました。その \(16\) 分後に兄が分速 \(125\) m の自転車で追いかけました。兄が出発してから何分後に弟に追いつきますか。
- \(4\) %の食塩水 \(600\) g から水を蒸発させて、\(10\) %の食塩水にします。水を何g蒸発させればよいですか。
- \(18\) %の食塩水 \(400\) g に水を加えて、\(15\) %の食塩水にします。水を何g加えればよいですか。
- 家から \(2340\) m 離れた駅へ行くのに、はじめは分速 \(65\) m で歩き、途中から分速 \(195\) m で走ったところ、全部で \(20\) 分かかりました。歩いた道のりは何mですか。
答えと考え方
1 割合の行です。もとにする量である1年生の人数を \(x\) 人とおきます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.35x = 56\) | もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量 |
| \(35x = 5600\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(x = 160\) | 両辺を \(35\) で割った |
確かめ
左辺 = 160 × 0.35 = 56
右辺 = 56
左辺 = 右辺 なので x=160 は解
\(160\) 人は \(56\) 人より多く、人数としてありえます。
答え \(160\) 人
2 割増の行です。原価を \(x\) 円とおきます。\(40\) %の利益を見込むので \((1 + 0.4)\) 倍です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((1 + 0.4)x = 4200\) | もとにする量 \(\times\) 割合 = 比べる量 |
| \(1.4x = 4200\) | かっこの中を計算した |
| \(14x = 42000\) | 両辺を \(10\) 倍して小数をなくした |
| \(x = 3000\) | 両辺を \(14\) で割った |
確かめ
左辺 = 3000 × 1.4 = 4200
右辺 = 4200
左辺 = 右辺 なので x=3000 は解
原価 \(3000\) 円は定価 \(4200\) 円より安く、場面に合っています。
答え \(3000\) 円
3 二つの時間の差の行です。道のりが同じで速さがちがうので、道のりを \(x\) m とおき、時間 = 道のり \(\div\) 速さ で二つの時間を表します。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| 歩き | \(55\) | \(\dfrac{x}{55}\) | \(x\) |
| 走り | \(88\) | \(\dfrac{x}{88}\) | \(x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{55} - \dfrac{x}{88} = 12\) | 歩いた時間から走った時間を引くと \(12\) 分 |
| \(8x - 5x = 5280\) | 両辺に分母の最小公倍数 \(440\) をかけた |
| \(3x = 5280\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 1760\) | 両辺を \(3\) で割った |
確かめ
左辺 = 1760 ÷ 55 − 1760 ÷ 88 = 32 − 20 = 12
右辺 = 12
左辺 = 右辺 なので x=1760 は解
\(1760\) m は正の数なので、道のりとしてありえます。
答え \(1760\) m
4 出会いの行です。出発してから \(x\) 分後に出会うとします。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| Aさん | \(75\) | \(x\) | \(75x\) |
| Bさん | \(95\) | \(x\) | \(95x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(75x + 95x = 3400\) | 二人の道のりの合計がはじめの道のり |
| \(170x = 3400\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 20\) | 両辺を \(170\) で割った |
確かめ
左辺 = 75 × 20 + 95 × 20 = 1500 + 1900 = 3400
右辺 = 3400
左辺 = 右辺 なので x=20 は解
\(20\) 分は正の数で、二人の進んだ \(1500\) m と \(1900\) m はどちらも \(3400\) m より短いので、場面に合っています。
答え \(20\) 分後
5 追いつきの行です。兄が出発してから \(x\) 分後とすると、弟は \((x + 16)\) 分歩いています。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(125x = 45(x + 16)\) | 二人の道のりが等しいとおいた |
| \(125x = 45x + 720\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(125x - 45x = 720\) | \(45x\) を左辺へ移項した |
| \(80x = 720\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 9\) | 両辺を \(80\) で割った |
確かめ
左辺 = 125 × 9 = 1125
右辺 = 45 × (9 + 16) = 45 × 25 = 1125
左辺 = 右辺 なので x=9 は解
兄のほうが速く、\(9\) 分は正の数なので、場面に合っています。
答え \(9\) 分後
6 濃度の行です。水を蒸発させても、食塩の重さは変わりません。蒸発させる水を \(x\) g とおきます。はじめの食塩は \(600 \times \dfrac{4}{100} = 24\) g です。水は出ていくので、加えるものの重さは \(-x\) g と考えます。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度（%） | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(600\) | \(4\) | \(24\) |
| 加えるもの（蒸発させる水） | \(-x\) | \(0\) | \(0\) |
| 加えたあと | \(600 - x\) | \(10\) | \(24\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((600 - x) \times \dfrac{10}{100} = 24\) | あとの食塩の重さを二通りに表した |
| \(600 - x = 240\) | 両辺を \(10\) 倍した |
| \(-x = -360\) | \(600\) を右辺へ移項した |
| \(x = 360\) | 両辺を \(-1\) で割った |
確かめ
左辺 = (600 − 360) × 10 ÷ 100 = 240 × 10 ÷ 100 = 24
右辺 = 24
左辺 = 右辺 なので x=360 は解
\(360\) g は \(600\) g より少ないので、蒸発させる量としてありえます。
答え \(360\) g
7 濃度の行です。水を加えても、食塩の重さは変わりません。加える水を \(x\) g とおきます。はじめの食塩は \(400 \times 0.18 = 72\) g で、加えたあとも \(72\) g のままです。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度（%） | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(400\) | \(18\) | \(72\) |
| 加えるもの（水） | \(x\) | \(0\) | \(0\) |
| 加えたあと | \(400 + x\) | \(15\) | \(72\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((400 + x) \times 0.15 = 72\) | あとの食塩の重さを二通りに表した |
| \(15(400 + x) = 7200\) | 両辺を \(100\) 倍して小数をなくした |
| \(6000 + 15x = 7200\) | かっこを分配法則で外した |
| \(15x = 1200\) | \(6000\) を右辺へ移項した |
| \(x = 80\) | 両辺を \(15\) で割った |
確かめ
左辺 = (400 + 80) × 15 ÷ 100 = 480 × 15 ÷ 100 = 72
右辺 = 72
左辺 = 右辺 なので x=80 は解
濃度が \(18\) %から \(15\) %へ下がっているので、水を加えるのは正しい向きです。
答え \(80\) g
8 速さの行で、しかも二段になっています。歩いた道のりを \(x\) m とおくと、走った道のりは \((2340 - x)\) m です。速さが分速なので、時間は分のままでそろっています。
| 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） | |
|---|---|---|---|
| 歩き | \(65\) | \(\dfrac{x}{65}\) | \(x\) |
| 走り | \(195\) | \(\dfrac{2340 - x}{195}\) | \(2340 - x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{65} + \dfrac{2340 - x}{195} = 20\) | 二つの時間の合計が全部の時間 |
| \(3x + (2340 - x) = 3900\) | 両辺に分母の最小公倍数 \(195\) をかけた |
| \(2x + 2340 = 3900\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(2x = 1560\) | \(2340\) を右辺へ移項した |
| \(x = 780\) | 両辺を \(2\) で割った |
確かめ
左辺 = 780 ÷ 65 + (2340 − 780) ÷ 195 = 12 + 8 = 20
右辺 = 20
左辺 = 右辺 なので x=780 は解
\(780\) m は \(0\) より大きく \(2340\) m より小さいので、途中まで歩いたという場面に合っています。
答え \(780\) m
次のレッスンへ
これでセクション7は終わりです。速さ・割合・濃度のどれが来ても、まず型を決めてから式を作るという順序を身につけました。次のセクション8では、方程式の新しい使い方に進みます。\(a : b = c : d\) の形で書かれた比例式を使う解き方です。これまでとは向きが逆に見えるかもしれませんが、使うのは等式の性質と移項という、すでに手の中にある道具だけです。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。