比と比の値
このレッスンでできるようになること
- 二つの量の関係を 比 で表し、その 比の値 を求められる。
- 二つの比が 等しい比 かどうかを、比の値を計算して見分けられる。
- 比の両方に同じ数をかけたり割ったりして、比を簡単な整数の比に直せる。
前のレッスンの確認
- （小学校で習ったこと）分数は、分母と分子に同じ数（0でない）をかけても、同じ数で割っても、表す大きさは変わりません。このレッスンでいちばん使う道具です。
- 等式：等号 \(=\) で結ばれた式。二つの比が等しいことも、等号を使って書きます。
- 0で割ることはできません。このレッスンでも、割る数が0になる場面は考えません。
二つの量をならべて表す
ジュースを作ります。シロップをコップ \(2\) 杯、水をコップ \(3\) 杯入れて混ぜました。このとき「何杯入れたか」ではなく、「シロップと水がどれだけずつの割合で入っているか」だけを取り出して書きたいことがあります。そのために使うのが比です。
比：二つの量の関係を \(a : b\) の形で表したもの。\(a : b\) は「\(a\) 対 \(b\)」と読みます。
上のジュースなら、シロップの量と水の量の関係は \(2 : 3\) と書き、「\(2\) 対 \(3\)」と読みます。
比は「いくつあるか」ではなく「どちらがどれだけ多いか」という関係を表しています。だから、同じコップを使うなら、シロップ \(4\) 杯と水 \(6\) 杯で作っても、できあがるジュースの味は同じです。入れた杯の数はちがうのに、二つの量の関係は変わっていないからです。この「数はちがうのに関係は同じ」というところが、比のいちばん大事な性質です。
比は長さにも使えます。たて \(4\) cm、横 \(7\) cm の長方形なら、たてと横の長さの関係は \(4 : 7\) と表します。前に書いた数がたて、後ろに書いた数が横です。ここで注意することがひとつあります。順番を入れかえると、別の比になります。 \(4 : 7\) はたてが短くて横が長い長方形ですが、\(7 : 4\) はたてが長くて横が短い長方形です。どちらを前に書くかは、はじめに決めておかなければいけません。
比の値
比は数が二つならんでいるので、二つの比を見比べても、どちらがどうなのかがすぐには分かりません。そこで、比を一つの数で表しなおします。
比の値：\(a : b\) の \(a \div b\) の値、つまり \(\dfrac{a}{b}\) のこと。
比の値には意味があります。\(a \div b\) は「\(b\) がいくつ分で \(a\) になるか」を求める計算ですから、比の値は \(b\) を1とみたとき、\(a\) がいくつにあたるか を表す数です。
さきほどのジュースで考えます。\(2 : 3\) の比の値は \(2 \div 3 = \dfrac{2}{3}\) です。これは「水 \(3\) 杯を1とみると、シロップはその \(\dfrac{2}{3}\) にあたる」という意味になります。水より少し少ないくらいのシロップが入っている、ということが、この一つの数だけで分かります。
比の値を作るときは、前の数を後ろの数で割ります。順番を入れかえてはいけません。\(2 : 3\) の比の値は \(\dfrac{2}{3}\) であって、\(\dfrac{3}{2}\) ではありません。
例題1 比の値を求める
次の比の値を求めなさい。
（1） \(16 : 20\) （2） \(9 : 6\)
（1）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(16 : 20\) | もとの比 |
| \(16 \div 20\) | 比の値は、前の数を後ろの数で割る |
| \(\dfrac{16}{20}\) | 割り算を分数の形に直した |
| \(\dfrac{4}{5}\) | 分母と分子を \(4\) で割った |
確かめ
左辺 = 16 ÷ 20 = 0.8
右辺 = 5分の4 = 4 ÷ 5 = 0.8
左辺 = 右辺 なので、比の値は 5分の4 でよい
答え 比の値は \(\dfrac{4}{5}\)
（2）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(9 : 6\) | もとの比 |
| \(9 \div 6\) | 前の数を後ろの数で割る |
| \(\dfrac{9}{6}\) | 割り算を分数の形に直した |
| \(\dfrac{3}{2}\) | 分母と分子を \(3\) で割った |
確かめ
左辺 = 9 ÷ 6 = 1.5
右辺 = 2分の3 = 3 ÷ 2 = 1.5
左辺 = 右辺 なので、比の値は 2分の3 でよい
比の値が1より大きいので、前の数のほうが後ろの数より大きい、ということも読み取れます。
答え 比の値は \(\dfrac{3}{2}\)
等しい比
等しい比：比の値が等しい二つの比のこと。
\(2 : 3\) の比の値は \(\dfrac{2}{3}\) です。\(4 : 6\) の比の値は \(\dfrac{4}{6}\) で、分母と分子を \(2\) で割ると \(\dfrac{2}{3}\) になります。どちらも同じ \(\dfrac{2}{3}\) ですから、この二つは等しい比です。等しいときは、等号を使って \(2 : 3 = 4 : 6\) と書きます。
確かめ
左辺 = 2 : 3 の比の値 = 2 ÷ 3 = 0.666…
右辺 = 4 : 6 の比の値 = 4 ÷ 6 = 0.666…
左辺 = 右辺 なので、2 : 3 と 4 : 6 は等しい比
同じ長さの帯を二通りに分けてみると、目で見ても同じであることが分かります。
上の帯は \(5\) 等分、下の帯は \(10\) 等分してあります。分け方の細かさはちがうのに、シロップと水のさかいめは、ぴったり同じ場所に来ています。これが「等しい比」ということです。
例題2 等しい比かどうかを調べる
次の二つの比は等しいですか。
（1） \(12 : 20\) と \(21 : 35\) （2） \(10 : 4\) と \(12 : 5\)
（1）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(12 \div 20 = \dfrac{12}{20}\) | 前の比の値を分数にした |
| \(\dfrac{3}{5}\) | 分母と分子を \(4\) で割った |
| \(21 \div 35 = \dfrac{21}{35}\) | 後の比の値を分数にした |
| \(\dfrac{3}{5}\) | 分母と分子を \(7\) で割った |
確かめ
左辺 = 12 ÷ 20 = 0.6
右辺 = 21 ÷ 35 = 0.6
左辺 = 右辺 なので、二つの比の値は同じ
答え 等しい（\(12 : 20 = 21 : 35\)）
（2）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(10 \div 4 = \dfrac{10}{4}\) | 前の比の値を分数にした |
| \(\dfrac{5}{2}\) | 分母と分子を \(2\) で割った |
| \(12 \div 5 = \dfrac{12}{5}\) | 後の比の値を分数にした |
\(\dfrac{5}{2}\) と \(\dfrac{12}{5}\) は分母がちがうので、小数に直して比べます。
確かめ
左辺 = 10 ÷ 4 = 2.5
右辺 = 12 ÷ 5 = 2.4
左辺と右辺がちがうので、等しい比ではない
数字が近いので見た目ではまぎらわしいのですが、比の値にすればはっきり区別できます。
答え 等しくない
比の性質
ここまでで、\(2 : 3\) と \(4 : 6\) が等しいことを確かめました。\(4 : 6\) は \(2 : 3\) の両方の数を \(2\) 倍したものです。これは \(2\) 倍のときだけの偶然ではありません。
比の性質：\(a : b\) の両方に同じ数（0でない）をかけても、両方を同じ数で割っても、比の値は変わらない。
なぜ変わらないのかを、分数の計算で確かめます。\(a : b\) の比の値は \(\dfrac{a}{b}\) です。両方に \(c\)（0でない）をかけた比は \((a \times c) : (b \times c)\) で、その比の値は
\(\dfrac{a \times c}{b \times c} = \dfrac{a}{b}\)
となります。分母と分子に同じ数をかけても分数の大きさは変わらない、という小学校で習ったことが、そのまま理由になっています。比の値が変わらないのですから、この二つは等しい比です。
両方を同じ数 \(c\) で割ったときも同じです。
\(\dfrac{a \div c}{b \div c} = \dfrac{a}{b}\)
実際にやってみます。\(2 : 3\) の両方に \(5\) をかけると \(10 : 15\) になります。この比の値は \(\dfrac{10}{15}\) で、分母と分子を \(5\) で割ると \(\dfrac{2}{3}\) です。もとの比の値と同じですから、\(2 : 3 = 10 : 15\) です。
ここで気をつけることがあります。同じ数を足したり引いたりしても、比は変わらない、とはいえません。 結論だけ覚えるのではなく、実際にやってみます。\(2 : 3\) の両方に \(1\) を足すと \(3 : 4\) になります。
確かめ
左辺 = 2 : 3 の比の値 = 2 ÷ 3 = 0.666…
右辺 = 3 : 4 の比の値 = 3 ÷ 4 = 0.75
左辺と右辺がちがうので、1 を足した比は等しい比ではない
かけ算と割り算では比の値が変わらず、足し算と引き算では変わってしまう。この差は、比の値が分数の形をしているところから来ています。分数は、分母と分子に同じ数をかけたり割ったりしても大きさが変わりませんが、同じ数を足したり引いたりすると大きさが変わってしまうからです。
比を簡単にする
比を簡単にする：比の性質を使って、比の両方をできるだけ小さい整数に直すこと。
たとえば \(18 : 24\) を考えます。\(18\) と \(24\) はどちらも \(6\) で割れるので、両方を \(6\) で割ると \(3 : 4\) になります。比の性質から、これはもとの比と等しい比です。\(3\) と \(4\) にはもう1以外に共通で割れる数がないので、ここで終わりです。
\(18 : 24 = 3 : 4\)
比が小数や分数で書かれているときは、先に整数の比に直します。やり方はどちらも「両方に同じ数をかける」です。
- 小数の比：小数点以下が1けたなら両方に \(10\)、2けたなら両方に \(100\) をかけて整数にする。
- 分数の比：両方に、分母の最小公倍数をかけて整数にする。
どちらも比の性質そのものですから、比は変わりません。整数の比になったら、あらためて共通で割れる数で割って簡単にします。
例題3 比を簡単にする
次の比を、できるだけ小さい整数の比に直しなさい。
（1） \(18 : 24\) （2） \(0.25 : 0.4\) （3） \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{2}{9}\)
（1）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(18 : 24\) | もとの比 |
| \((18 \div 6) : (24 \div 6)\) | 両方を共通で割れる \(6\) で割った |
| \(3 : 4\) | 計算した。もう共通で割れる数はない |
確かめ
左辺 = 18 ÷ 24 = 0.75
右辺 = 3 ÷ 4 = 0.75
左辺 = 右辺 なので、18 : 24 = 3 : 4 でよい
答え \(3 : 4\)
（2）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.25 : 0.4\) | もとの比 |
| \((0.25 \times 100) : (0.4 \times 100)\) | 小数点以下が2けたある \(0.25\) に合わせて、両方に \(100\) をかけた |
| \(25 : 40\) | 整数の比になった |
| \((25 \div 5) : (40 \div 5)\) | 両方を共通で割れる \(5\) で割った |
| \(5 : 8\) | 計算した |
確かめ
左辺 = 0.25 ÷ 0.4 = 0.625
右辺 = 5 ÷ 8 = 0.625
左辺 = 右辺 なので 5 : 8 は正しい
答え \(5 : 8\)
（3）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{2}{9}\) | もとの比 |
| — | 分母 \(6\) と \(9\) の最小公倍数は \(18\) |
| \(\left(\dfrac{5}{6} \times 18\right) : \left(\dfrac{2}{9} \times 18\right)\) | 両方に \(18\) をかけた |
| \(15 : 4\) | 計算した。もう共通で割れる数はない |
確かめ
左辺 = 6分の5 ÷ 9分の2 = 6分の5 × 2分の9 = 12分の45 = 3.75
右辺 = 15 ÷ 4 = 3.75
左辺 = 右辺 なので、6分の5 対 9分の2 は 15 : 4 でよい
答え \(15 : 4\)
今日の問い
\(2 : 3\) と \(4 : 6\) は、数がちがうのに、なぜ同じといえるのでしょうか。
答えは、比が表しているものが「量そのもの」ではなく「二つの量の関係」だからです。\(2 : 3\) も \(4 : 6\) も、後ろの数を1とみたとき前の数が \(\dfrac{2}{3}\) にあたる、というまったく同じ関係を表しています。この関係を一つの数にしたものが比の値でした。\(2 \div 3\) も \(4 \div 6\) も \(\dfrac{2}{3}\) ですから、二つは等しい比です。
なぜ数だけがちがうのかも、比の性質で説明がつきます。\(4 : 6\) は \(2 : 3\) の両方に \(2\) をかけたものです。両方に同じ数をかけると、比の値の分母と分子に同じ数がかかるだけなので、値は変わりません。帯の図では、目もりの細かさが \(5\) 等分から \(10\) 等分に変わっただけで、さかいめの位置は動きませんでした。数が大きくなっても関係が動かない、というのが図に表れています。
よくある間違い
まちがい1：後ろの数を前の数で割ってしまう
\(3 : 4\) の比の値を求めます。
✗ 4 ÷ 3 = 3分の4
○ 3 ÷ 4 = 4分の3
比の値は「後ろの数を1とみたとき、前の数がいくつにあたるか」でした。\(3 : 4\) では前の数 \(3\) のほうが後ろの数 \(4\) より小さいので、比の値は1より小さくならなければいけません。誤答の値を確かめてみます。
3分の4 = 4 ÷ 3 = 1.33… → 1より大きい。3 は 4 より小さいのに合わない
4分の3 = 3 ÷ 4 = 0.75 → 1より小さい。3 は 4 より小さいので合う
前と後ろのどちらで割るかを迷ったら、「小さい数が前なら比の値は1より小さい」で見直せます。
まちがい2：両方に同じ数を足しても比は変わらないと思ってしまう
\(2 : 3\) と等しい比を作ろうとして、両方に \(2\) を足す間違いです。
✗ 2 : 3 = 4 : 5
○ 2 : 3 = 4 : 6
比の性質でよいのは、かけることと割ることだけです。誤答の \(4 : 5\) を比の値に直して確かめます。
左辺 = 2 : 3 の比の値 = 2 ÷ 3 = 0.666…
右辺 = 4 : 5 の比の値 = 4 ÷ 5 = 0.8
左辺と右辺がちがうので、4 : 5 は 2 : 3 と等しい比ではない
正しくは両方に \(2\) をかけて \(4 : 6\) です。こちらは \(4 \div 6 = 0.666\ldots\) となり、もとの値と一致します。前の数を \(2\) から \(4\) にするために \(2\) を足したくなりますが、\(2\) を足すのは「\(2\) 倍する」とはちがう操作です。
まちがい3：小数の比で、片方だけに10をかけてしまう
\(0.4 : 2.5\) を整数の比に直します。
✗ 0.4 : 2.5 = 4 : 2.5
○ 0.4 : 2.5 = 4 : 25
前の数の小数だけが気になって、そちらだけ \(10\) 倍してしまう間違いです。比の性質は「両方に同じ数をかける」ですから、片方だけにかけると別の比になってしまいます。
左辺 = 0.4 ÷ 2.5 = 0.16
右辺 = 4 ÷ 2.5 = 1.6
比の値が10倍になってしまい、もとの比とはちがう
両方に \(10\) をかけた \(4 : 25\) なら、\(4 \div 25 = 0.16\) でもとの比の値と一致します。\(4\) と \(25\) には共通で割れる数がないので、これで答えです。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- 次の比の値を求めなさい。（1） \(32 : 20\) （2） \(6 : 21\)
- 次の二つの比は等しいですか。（1） \(20 : 24\) と \(25 : 30\) （2） \(15 : 9\) と \(20 : 14\)
- 次の比を、できるだけ小さい整数の比に直しなさい。（1） \(56 : 21\) （2） \(0.6 : 1.5\) （3） \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8}\)
- \(9 : 2\) の比の値は \(\dfrac{9}{2}\) です。これはどういう意味か、\(2\) を1とみる言い方で説明しなさい。
- \(3 : 7\) の両方に \(4\) をかけると \(12 : 28\) になります。この二つが等しい比であることを、比の値を使って説明しなさい。
答えと考え方
1（1）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(32 \div 20 = \dfrac{32}{20}\) | 前の数を後ろの数で割り、分数にした |
| \(\dfrac{8}{5}\) | 分母と分子を \(4\) で割った |
確かめ
左辺 = 32 ÷ 20 = 1.6
右辺 = 5分の8 = 8 ÷ 5 = 1.6
左辺 = 右辺 なので正しい
答え 比の値は \(\dfrac{8}{5}\)
1（2）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(6 \div 21 = \dfrac{6}{21}\) | 前の数を後ろの数で割り、分数にした |
| \(\dfrac{2}{7}\) | 分母と分子を \(3\) で割った |
確かめ
左辺 = 6 ÷ 21 = 0.2857…
右辺 = 7分の2 = 2 ÷ 7 = 0.2857…
左辺 = 右辺 なので正しい
答え 比の値は \(\dfrac{2}{7}\)
2（1） \(20 : 24\) の比の値は \(\dfrac{20}{24}\) で、分母と分子を \(4\) で割ると \(\dfrac{5}{6}\) です。\(25 : 30\) の比の値は \(\dfrac{25}{30}\) で、分母と分子を \(5\) で割ると \(\dfrac{5}{6}\) です。
確かめ
左辺 = 20 ÷ 24 = 0.8333…
右辺 = 25 ÷ 30 = 0.8333…
左辺 = 右辺 なので、二つは等しい比
答え 等しい（\(20 : 24 = 25 : 30\)）
2（2） \(15 : 9\) の比の値は \(\dfrac{15}{9}\) で、分母と分子を \(3\) で割ると \(\dfrac{5}{3}\) です。\(20 : 14\) の比の値は \(\dfrac{20}{14}\) で、分母と分子を \(2\) で割ると \(\dfrac{10}{7}\) です。
確かめ
左辺 = 15 ÷ 9 = 1.666…
右辺 = 20 ÷ 14 = 1.428…
左辺と右辺がちがうので、等しい比ではない
どちらも前の数のほうが大きいので見た目は似ていますが、比の値を出すと差がはっきりします。
答え 等しくない
3（1）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(56 : 21\) | もとの比 |
| \((56 \div 7) : (21 \div 7)\) | 両方を共通で割れる \(7\) で割った |
| \(8 : 3\) | 計算した。もう共通で割れる数はない |
確かめ
左辺 = 56 ÷ 21 = 2.666…
右辺 = 8 ÷ 3 = 2.666…
左辺 = 右辺 なので正しい
答え \(8 : 3\)
3（2）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0.6 : 1.5\) | もとの比 |
| \((0.6 \times 10) : (1.5 \times 10)\) | 小数点以下が1けたなので両方に \(10\) をかけた |
| \(6 : 15\) | 整数の比になった |
| \((6 \div 3) : (15 \div 3)\) | 両方を共通で割れる \(3\) で割った |
| \(2 : 5\) | 計算した |
確かめ
左辺 = 0.6 ÷ 1.5 = 0.4
右辺 = 2 ÷ 5 = 0.4
左辺 = 右辺 なので正しい
答え \(2 : 5\)
3（3）
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8}\) | もとの比 |
| — | 分母 \(4\) と \(8\) の最小公倍数は \(8\) |
| \(\left(\dfrac{3}{4} \times 8\right) : \left(\dfrac{5}{8} \times 8\right)\) | 両方に \(8\) をかけた |
| \(6 : 5\) | 計算した。もう共通で割れる数はない |
確かめ
左辺 = 4分の3 ÷ 8分の5 = 4分の3 × 5分の8 = 20分の24 = 1.2
右辺 = 6 ÷ 5 = 1.2
左辺 = 右辺 なので正しい
答え \(6 : 5\)
4 比の値は、後ろの数を1とみたとき前の数がいくつにあたるかを表す数でした。だから \(\dfrac{9}{2}\) は、後ろの \(2\) を1とみると、前の \(9\) はその \(\dfrac{9}{2}\) にあたる、という意味です。値が1より大きいので、前の量のほうが後ろの量より多いことも分かります。
答え \(2\) を1とみたとき、\(9\) はその \(\dfrac{9}{2}\) にあたる、という意味
5 \(3 : 7\) の比の値は \(\dfrac{3}{7}\) です。\(12 : 28\) の比の値は \(\dfrac{12}{28}\) ですが、\(12 = 3 \times 4\)、\(28 = 7 \times 4\) なので
\(\dfrac{12}{28} = \dfrac{3 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{3}{7}\)
となります。分母と分子に同じ数をかけても分数の大きさは変わらないからです。二つの比の値が等しいので、\(3 : 7\) と \(12 : 28\) は等しい比です。
確かめ
左辺 = 3 ÷ 7 = 0.4285…
右辺 = 12 ÷ 28 = 0.4285…
左辺 = 右辺 なので、二つは等しい比
答え どちらも比の値が \(\dfrac{3}{7}\) になるので等しい比
次のレッスンへ
このレッスンでは、比を読み、比の値で二つの比を比べ、比を簡単にできるようになりました。ここまでは、数がすべて分かっている比だけをあつかいました。
次のレッスンは「比例式を解く」です。比の中のひとつが分かっていない、という場面を考えます。分かっていない数を文字でおいて、等しい比の関係から、その文字の値を求めます。今日確かめた「比の両方に同じ数をかけても比は変わらない」という性質が、そこでそのまま道具になります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。