比例式を解く

このレッスンでできるようになること

• 二つの比が等しいことを表した式を 比例式 とよび、その意味を説明できる
• \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) になる理由を、等式の性質から順に導ける
• \(x\) を含む比例式を方程式として解き、答えを比の値で確かめられる

前のレッスンの確認

• 比の値… \(a : b\) の比の値は \(\dfrac{a}{b}\)
• 二つの比が等しいとは、比の値が等しいということ
• 等式の性質③… \(A = B\) のとき、\(A \times C = B \times C\)
• 等式の性質④ … \(A = B\) のとき、\(C\) が0でなければ \(\dfrac{A}{C} = \dfrac{B}{C}\)
• 分数を含む等式は、両辺に分母をかけて分数をなくしてから解く（セクション5）
• 分配法則… \(a(b + c) = ab + ac\)
• 移項… 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと

比例式とは何か

比例式 とは、二つの比が等しいことを \(a : b = c : d\) の形で表した式です。

たとえば \(6 : 10\) と \(9 : 15\) を考えます。\(6 : 10\) の比の値は \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\) で、\(9 : 15\) の比の値は \(\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\) です。比の値がどちらも \(\dfrac{3}{5}\) で等しいので、この二つの比は等しい比です。そこで

\(6 : 10 = 9 : 15\)

と書きます。これが比例式です。等号で結ばれた式なので、比例式もひとつの等式です。

反対に、比の値がちがえば比例式にはなりません。\(5 : 8\) と \(7 : 11\) をくらべてみます。比の値はそれぞれ \(\dfrac{5}{8}\) と \(\dfrac{7}{11}\) です。分母を \(88\) にそろえると \(\dfrac{55}{88}\) と \(\dfrac{56}{88}\) になり、ほんの少しちがいます。ですから \(5 : 8 = 7 : 11\) と書くことはできません。見た目が近くても、比の値をくらべるまでは等しいかどうかは決められない、ということです。

ここで、四つの数のうち一つが分かっていないとします。たとえば

\(x : 10 = 9 : 15\)

のように書かれていたら、\(x\) に入る数によってこの式は成り立ったり成り立たなかったりします。文字を含む等式で、文字に入れる数によって成り立ったり成り立たなかったりするものを方程式といいました。つまり、文字を含む比例式は方程式です。方程式ならば、今まで習ってきた解き方が使えるはずです。

ただし、比例式は \(x : 10 = 9 : 15\) のままでは、これまでのどの形にも当てはまりません。\(:\) という記号が入っているからです。そこで、比例式を「これまでに解いたことのある形」に作りかえる方法を、これから作ります。

比例式から積の等式を作る

比例式 \(a : b = c : d\) から、\(ad = bc\) という式が作れます。これがこのレッスンでいちばん大事な事実です。ただし、いきなり覚えるのではありません。一段ずつ理由をたどると、全部これまでに習ったことでできています。なお、\(b\) と \(d\) は \(0\) ではないとします。比の値は \(\dfrac{a}{b}\) のように割り算で決まるので、\(0\) でわることはできないからです。

第一段　比が等しいとは、比の値が等しいということ

前のレッスンで、二つの比が等しいことは、その比の値が等しいことだと学びました。\(a : b\) の比の値は \(\dfrac{a}{b}\)、\(c : d\) の比の値は \(\dfrac{c}{d}\) です。ですから、\(a : b = c : d\) が成り立つとき

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)

が成り立ちます。\(:\) の記号が消えて、分数を含む等式になりました。

第二段　分数を含む等式は、分母をはらう

分数を含む方程式は、両辺に分母をかけて分数をなくしてから解きました（セクション5）。ここでの分母は \(b\) と \(d\) の二つですから、両辺に \(bd\) をかければ、どちらの分母も消せます。等式の性質③「\(A = B\) のとき、\(A \times C = B \times C\)」を使って、両辺に同じ数 \(bd\) をかけます。

\(\dfrac{a}{b} \times bd = \dfrac{c}{d} \times bd\)

第三段　両辺を計算する

左辺は \(\dfrac{a}{b} \times bd\) です。\(b\) でわってから \(b\) をかけるので \(b\) が消え、残るのは \(a \times d\)、つまり \(ad\) です。右辺は \(\dfrac{c}{d} \times bd\) です。\(d\) でわってから \(d\) をかけるので \(d\) が消え、残るのは \(c \times b\)、つまり \(bc\) です。

第四段　結果

\(ad = bc\)

こうして、比例式から \(:\) も分数も消えた、ふつうの等式が作れました。\(x\) が入っていれば、これはこれまで解いてきた方程式そのものです。

導き方を数の例でたしかめる

文字のままでは分かりにくいときは、数で同じことをやってみると納得できます。さきほどの \(6 : 10 = 9 : 15\) で試します。

比の値が等しいので \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{15}\) です。両辺に \(10 \times 15 = 150\) をかけます。左辺は \(\dfrac{6}{10} \times 150 = 6 \times 15 = 90\)、右辺は \(\dfrac{9}{15} \times 150 = 9 \times 10 = 90\) です。たしかに \(90 = 90\) になり、\(6 \times 15 = 10 \times 9\) という形が出てきました。文字でやったことと、まったく同じ計算です。

「たすきにかける」という覚え方

上で導いた \(ad = bc\) を、\(a : b = c : d\) の並びの上で見てみます。\(ad\) は左はしの \(a\) と右はしの \(d\)、つまり 外側の二つ の積です。\(bc\) は真ん中に並んだ \(b\) と \(c\)、つまり 内側の二つ の積です。

図のように線を引くと、線がたすきの形に交わって見えます。そこから「たすきにかける」と言うこともあります。

覚え方は便利ですが、これは結論だけを短くした言い方です。もとをたどれば、「比が等しい」を「比の値が等しい」に書きかえ、分数をはらっただけです。どうしてよいのか分からなくなったら、いつでも \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) に戻って考えなおせます。

解いたあとの確かめ方

比例式を解いて \(x\) の値が出たら、その値をもとの比例式の \(x\) のところに戻します。そして、左の比の値と右の比の値を計算し、二つが等しくなるかを見ます。等しくなれば、その値は解です。等しくならなければ、どこかで計算をまちがえています。

\(ad\) と \(bc\) が等しくなるかを見る方法でも確かめられますが、それだと式を作りかえたあとの形しか見ていません。もとの比例式に戻して比の値をくらべるほうが、まちがいに気づきやすくなります。

ここまでをまとめると、比例式を解く流れは次の三つです。

1. 外側の積と内側の積を等号で結び、\(:\) の記号を消す
2. できた方程式を、これまでのやり方で解く（かっこがあれば分配法則で外し、必要なら移項する）
3. 求めた値をもとの比例式に戻し、左右の比の値が等しくなるか確かめる

新しいのは1だけで、2と3はすでに何度もやってきたことです。それでは実際に解いてみましょう。

例題1　左はしに文字がある比例式

\(x : 6 = 5 : 3\) を解きましょう。

確かめ

左辺 = 10 : 6 の比の値 = 10 ÷ 6 = 3分の5
右辺 = 5 : 3 の比の値 = 5 ÷ 3 = 3分の5
左辺 = 右辺 なので x=10 は解

答え　\(x = 10\)

例題2　内側に文字がある比例式

\(9 : x = 6 : 8\) を解きましょう。文字が内側にあっても、やることは変わりません。外側の積と内側の積を等号で結びます。

文字が右辺にきたときは、左辺と右辺を入れかえてかまいません。\(A = B\) と \(B = A\) は同じことを言っているからです。

確かめ

左辺 = 9 : 12 の比の値 = 9 ÷ 12 = 4分の3
右辺 = 6 : 8 の比の値 = 6 ÷ 8 = 4分の3
左辺 = 右辺 なので x=12 は解

答え　\(x = 12\)

例題3　かっこがある比例式

\(3 : (x + 2) = 4 : 8\) を解きましょう。\(x + 2\) がひとまとまりで一つの数の役をしています。ひとまとまりのままかけ算をして、そのあとで分配法則を使ってかっこを外します。

かっこを外して移項するところは、セクション4で練習した流れとまったく同じです。比例式は、はじめの一手で \(:\) を消してしまえば、あとは知っている方程式になります。

確かめ

x = 4 のとき x + 2 = 6
左辺 = 3 : 6 の比の値 = 3 ÷ 6 = 2分の1
右辺 = 4 : 8 の比の値 = 4 ÷ 8 = 2分の1
左辺 = 右辺 なので x=4 は解

答え　\(x = 4\)

例題4　かっこが左にある比例式

\((x - 1) : 5 = 6 : 3\) を解きましょう。

\(-3\) を移項すると右辺では \(+3\) になるので、\(30 + 3 = 33\) です。符号が変わることを忘れないでください。

確かめ

x = 11 のとき x − 1 = 10
左辺 = 10 : 5 の比の値 = 10 ÷ 5 = 2
右辺 = 6 : 3 の比の値 = 6 ÷ 3 = 2
左辺 = 右辺 なので x=11 は解

答え　\(x = 11\)

例題5　答えが分数になる比例式

\(x : 4 = 7 : 6\) を解きましょう。

答えが分数になりました。割り切れないからといって、計算をまちがえたわけではありません。方程式の解は整数とはかぎらないことを、セクション2で確かめたとおりです。分数のまま答えて正解です。

確かめ

左辺 = 3分の14 : 4 の比の値 = 3分の14 ÷ 4 = 12分の14 = 6分の7
右辺 = 7 : 6 の比の値 = 7 ÷ 6 = 6分の7
左辺 = 右辺 なので x=3分の14 は解

答え　\(x = \dfrac{14}{3}\)

今日の問い

なぜ、たすきにかけてよいのでしょうか。

「外側どうし、内側どうしをかける」は、覚えてしまえば速い手順です。けれども、そう決められているから、では理由になりません。

理由は、このレッスンの前半でたどったとおりです。比が等しいというのは、比の値が等しいということでした。だから \(a : b = c : d\) は \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) と同じ内容を表しています。これは分数を含む等式なので、両辺に \(bd\) をかけて分数をなくせます。両辺に同じ数をかけてよいのは、等式の性質③がそれを許しているからです。かけ算をすると左辺は \(ad\)、右辺は \(bc\) になり、\(ad = bc\) が残ります。

つまり、たすきにかけているように見える操作の正体は、分母をはらう計算です。新しい規則がひとつ増えたのではなく、セクション5でやったことを比例式に使っているだけです。だから安心して使えますし、迷ったら \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) に戻れば必ず作りなおせます。

よくある間違い

まちがい1：かける相手を取りちがえる

\(x : 4 = 3 : 2\) を解くときに、こう書いてしまう人がいます。

✗ x × 4 = 3 × 2
   4x = 6
   x = 1.5

○ x × 2 = 4 × 3
   2x = 12
   x = 6

\(\times\) で結ぶのは、同じ側にある二つではありません。外側にある二つ、内側にある二つです。\(x\) と \(4\) は同じ比の中の二つなので、この組をかけても意味のある式にはなりません。

まちがえた値を、もとの比例式に戻してみます。

x = 1.5 を入れると
左辺 = 1.5 : 4 の比の値 = 1.5 ÷ 4 = 0.375
右辺 = 3 : 2 の比の値 = 3 ÷ 2 = 1.5
左辺 = 右辺 にならないので、この値は解ではない

正しい \(x = 6\) なら、左の比の値は \(6 \div 4 = 1.5\) となり、右の比の値と等しくなります。

まちがい2：かっこの外し方をまちがえる

\(2 : (x + 5) = 3 : 9\) の場合です。

✗ 2 × 9 = (x + 5) × 3
   18 = 3x + 5
   3x = 13
   x = 3分の13

○ 2 × 9 = (x + 5) × 3
   18 = 3x + 15
   3x = 3
   x = 1

\((x + 5) \times 3\) は、\(x\) にだけ \(3\) をかけるのではありません。分配法則は \(a(b + c) = ab + ac\) ですから、\(x\) にも \(5\) にも \(3\) をかけて \(3x + 15\) です。かっこの中の全部にかける、と声に出して確かめましょう。

x = 3分の13 を入れると x + 5 = 3分の28
左辺 = 2 : 3分の28 の比の値 = 2 ÷ 3分の28 = 28分の6 = 14分の3
右辺 = 3 : 9 の比の値 = 3 ÷ 9 = 3分の1
左辺 = 右辺 にならないので、この値は解ではない

正しい \(x = 1\) なら \(x + 5 = 6\) で、左の比の値は \(2 \div 6 = \dfrac{1}{3}\)、右の比の値も \(\dfrac{1}{3}\) となって等しくなります。

まちがい3：割り切れないから答えを整数に直してしまう

\(x : 3 = 5 : 4\) を解くと、\(x \times 4 = 3 \times 5\) から \(4x = 15\) となります。

✗ 4x = 15
   割り切れないので x = 4 くらい

○ 4x = 15
   x = 4分の15

\(15 \div 4\) は割り切れませんが、それは計算まちがいの合図ではありません。解が分数になる方程式はいくらでもあります。近い整数に直してしまうと、もう解ではなくなります。

x = 4 を入れると
左辺 = 4 : 3 の比の値 = 4 ÷ 3 = 3分の4
右辺 = 5 : 4 の比の値 = 5 ÷ 4 = 4分の5
左辺 = 右辺 にならないので、この値は解ではない

x = 4分の15 を入れると
左辺 = 4分の15 : 3 の比の値 = 4分の15 ÷ 3 = 12分の15 = 4分の5
右辺 = 5 : 4 の比の値 = 5 ÷ 4 = 4分の5
左辺 = 右辺 なので x=4分の15 は解

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。

1. \(x : 8 = 3 : 4\) を解きましょう。
2. \(15 : x = 6 : 10\) を解きましょう。
3. \(5 : (x + 3) = 2 : 6\) を解きましょう。
4. \((x - 4) : 7 = 10 : 5\) を解きましょう。
5. \(x : 10 = 7 : 4\) を解きましょう。
6. \(2 : 7 = x : 4\) を解きましょう。

左辺 = 6 : 8 の比の値 = 6 ÷ 8 = 4分の3
右辺 = 3 : 4 の比の値 = 3 ÷ 4 = 4分の3
左辺 = 右辺 なので x=6 は解

左辺 = 15 : 25 の比の値 = 15 ÷ 25 = 5分の3
右辺 = 6 : 10 の比の値 = 6 ÷ 10 = 5分の3
左辺 = 右辺 なので x=25 は解

x = 12 のとき x + 3 = 15
左辺 = 5 : 15 の比の値 = 5 ÷ 15 = 3分の1
右辺 = 2 : 6 の比の値 = 2 ÷ 6 = 3分の1
左辺 = 右辺 なので x=12 は解

x = 18 のとき x − 4 = 14
左辺 = 14 : 7 の比の値 = 14 ÷ 7 = 2
右辺 = 10 : 5 の比の値 = 10 ÷ 5 = 2
左辺 = 右辺 なので x=18 は解

左辺 = 2分の35 : 10 の比の値 = 2分の35 ÷ 10 = 20分の35 = 4分の7
右辺 = 7 : 4 の比の値 = 7 ÷ 4 = 4分の7
左辺 = 右辺 なので x=2分の35 は解

左辺 = 2 : 7 の比の値 = 2 ÷ 7 = 7分の2
右辺 = 7分の8 : 4 の比の値 = 7分の8 ÷ 4 = 28分の8 = 7分の2
左辺 = 右辺 なので x=7分の8 は解

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これで、比例式を方程式に作りかえて解けるようになりました。次のレッスンは「比例式を使う文章題」です。文章で書かれた場面から、自分で比例式を作るところを練習します。何と何の比が等しいのかを読み取れれば、あとは今日の解き方がそのまま使えます。

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