比例式を使う文章題
このレッスンでできるようになること
- 文章の中の「◯対△」を見つけて、そのまま比例式に書き直せる
- 比で分ける問題・縮尺の問題・配合の問題を、比例式を作って解ける
- 求めた値が場面に合うかを確かめ、単位をつけて答えられる
前のレッスンの確認
- 比例式: 二つの比が等しいことを表した式。\(a : b = c : d\) の形をしていて、\(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) が成り立ちます（外側どうしの積と内側どうしの積が等しい）
- 文章題を解く五つの手順（セクション6）
- 何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く
- 数量を式で表す
- 等しい関係を見つけて方程式を作る
- 方程式を解く
- 場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
- 答えの吟味: 求めた値がその量としてありえるかを見ること
- 単位のそろえ方（セクション7）: km と m、m と cm は、そろえてからでないと比べられません
文章のどこを比例式にするか
比例式そのものを解く力は、前のレッスンでつきました。このレッスンでむずかしいのは、解くところではありません。文章のどこを比例式にするかを決めるところです。
決め方は一つだけ覚えれば足ります。
「AとBの比は \(p : q\) です」と書かれていたら、そのまま \(A : B = p : q\) と書く。
順番を入れかえてはいけません。文章で先に出てきたものを左に、あとに出てきたものを右に書きます。比のほうも同じで、\(p\) が先、\(q\) があとです。文章の並びと式の並びをそろえておけば、まちがえようがなくなります。
これは五つの手順のうち、**手順3「等しい関係を見つけて方程式を作る」**の中身にあたります。手順1で何を \(x\) とおくかを決め、手順2で二つの量を式で表し、その二つを比の形で結ぶと比例式ができあがります。あとの手順4・手順5はこれまでと同じです。
文章に出てくる言葉と、作る式の対応をまとめておきます。
| 問題文に出てくる言葉 | 作る比例式 |
|---|---|
| 「AとBの比は \(p : q\)」 | \(A : B = p : q\) |
| 「全体を \(p : q\) に分ける」 | 一方を \(x\)、もう一方を全体から \(x\) をひいた式にして、\(p : q\) と結ぶ |
| 「縮尺 \(1 : n\) の地図」 | 地図上の長さと実際の長さを、この順に並べて \(1 : n\) と結ぶ |
| 「同じ味（同じ混ぜ方）にする」 | 変える前の二つの量の比 = 変えたあとの二つの量の比 |
表は形をおぼえるための書き方です。実際に紙に書くときは、\(x : (560 - x) = 5 : 3\) のように数と文字だけで書きます。
では、三つの場面を順に見ていきます。
場面1 比で分ける問題
全体の量が決まっていて、それを決まった比に分ける問題です。全体をきまった比に分けることを比例配分といいます。たとえば \(600\) 円を \(1 : 2\) に分けて \(200\) 円と \(400\) 円にするのが比例配分です。
例題1 リボンを比で分ける
長さ \(560\) cm のリボンを、姉と妹で分けます。姉と妹の長さの比が \(5 : 3\) になるように分けるとき、姉と妹の長さはそれぞれ何 cm ですか。
まず、五つの手順の1と2をやります。姉の長さを \(x\) cm とおきます。全体が \(560\) cm なので、妹の長さは \(560 - x\) cm と表せます。ここは合計が決まっている型でやったことと同じです。
図にすると、二人の分け方がはっきりします。
帯の上についている短い線は、全体を \(8\) 等分した目もりです。左が \(5\) つ分、右が \(3\) つ分になっていて、比の \(5 : 3\) と図の分け方がぴったり合っています。
手順3に進みます。これが比例配分です。「姉と妹の長さの比が \(5 : 3\)」とあるので、姉を左、妹を右に書いて
\(x : (560 - x) = 5 : 3\)
これで方程式ができました。あとは手順4です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : (560 - x) = 5 : 3\) | 姉と妹の長さの比を、文章の順のまま比例式にした |
| \(x \times 3 = 5 \times (560 - x)\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(3x = 2800 - 5x\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(3x + 5x = 2800\) | \(-5x\) を左辺へ移項した |
| \(8x = 2800\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 350\) | 両辺を \(8\) でわった |
姉が \(350\) cm なので、妹は \(560 - 350 = 210\) cm です。
確かめ
左辺 = 350 : (560 − 350) = 350 : 210 = 5 : 3
右辺 = 5 : 3
左辺 = 右辺 なので x=350 は解
\(350 : 210\) は、両方を \(70\) でわると \(5 : 3\) になります。
手順5の答えの吟味をします。\(350\) cm も \(210\) cm もどちらも正の数で、合わせると \(560\) cm になり、もとのリボンの長さと合っています。姉のほうが長くなっているのも、比の \(5 : 3\) と合っています。
答え 姉 \(350\) cm、妹 \(210\) cm
場面2 縮尺の問題
縮尺とは、実際の長さを地図の上でどれだけ縮めて表したかを示す比のことです。「縮尺 \(1 : 25000\)」と書いてあれば、地図上の \(1\) cm が実際の \(25000\) cm にあたる、という意味です。
ここで気をつけることが一つあります。\(1 : 25000\) の \(1\) と \(25000\) は、どちらも同じ単位ではかった長さです。\(1\) cm に対して \(25000\) cm ということであって、\(1\) cm に対して \(25000\) m でも \(25000\) km でもありません。ですから、比例式を作るときは地図上の長さと実際の長さを両方とも cm でそろえておきます。
例題2 地図から実際の道のりを求める
縮尺 \(1 : 25000\) の地図で、駅から図書館までの道のりが \(6\) cm ではかれました。実際の道のりは何 km ですか。
手順1で、実際の道のりを \(x\) cm とおきます。答えたいのは km ですが、比例式を作る間は cm でそろえておいて、最後に km に直します。
「地図上の長さ : 実際の長さ \(= 1 : 25000\)」なので、左に地図上の \(6\)、右に実際の \(x\) を並べます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(6 : x = 1 : 25000\) | 地図上の長さと実際の長さの比を比例式にした |
| \(6 \times 25000 = 1 \times x\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(150000 = x\) | 左辺と右辺をそれぞれ計算した |
| \(x = 150000\) | 左辺と右辺を入れかえた |
確かめ
左辺 = 6 : 150000 = 1 : 25000
右辺 = 1 : 25000
左辺 = 右辺 なので x=150000 は解
\(6 : 150000\) は、両方を \(6\) でわると \(1 : 25000\) になります。
最後に単位を直します。\(x\) は cm ではかった長さなので、\(150000\) cm です。\(100\) cm が \(1\) m なので \(1500\) m、\(1000\) m が \(1\) km なので \(1.5\) km です。
答えの吟味をします。駅から図書館まで \(1.5\) km なら、歩いて \(20\) 分ほどの道のりです。じゅうぶんありえます。
答え \(1.5\) km
場面3 配合の問題
料理の材料や飲み物の混ぜ方のように、「同じ味にする」「同じ混ぜ方にする」場面では、二つの量の比が変わりません。量を増やしても減らしても比は同じ、というところが等しい関係になります。
例題3 同じ味のミルクティーを作る
紅茶と牛乳を \(9 : 5\) の割合で混ぜると、ちょうどよい味のミルクティーができます。紅茶を \(270\) mL 使うとき、同じ味にするには牛乳を何 mL 入れればよいですか。
牛乳の量を \(x\) mL とおきます。「紅茶と牛乳の比が \(9 : 5\)」なので、紅茶を左、牛乳を右に書きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(270 : x = 9 : 5\) | 紅茶と牛乳の比を、文章の順のまま比例式にした |
| \(270 \times 5 = 9 \times x\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(1350 = 9x\) | 左辺を計算した |
| \(9x = 1350\) | 左辺と右辺を入れかえた |
| \(x = 150\) | 両辺を \(9\) でわった |
確かめ
左辺 = 270 : 150 = 9 : 5
右辺 = 9 : 5
左辺 = 右辺 なので x=150 は解
\(270 : 150\) は、両方を \(30\) でわると \(9 : 5\) になります。
答えの吟味をします。\(150\) mL は正の数で、紅茶の \(270\) mL より少なくなっています。もとの比 \(9 : 5\) でも紅茶のほうが多いので、場面に合っています。
答え \(150\) mL
比例式を使わない解き方と比べる
例題3は、比の値を使っても解けます。\(9 : 5\) という比は「牛乳は紅茶の \(\dfrac{5}{9}\) 倍」ということを表しています。ですから
\(270 \times \dfrac{5}{9} = 150\)
と、かけ算一つで求められます。答えは比例式で解いたときと同じ \(150\) mL です。
二つの解き方は、どちらが正しいというものではありません。使い分けの目安はこうです。例題3のように「片方の量がそのまま分かっている」場面は、比の値で何倍かを考えるほうが速いことがあります。いっぽう例題1のように、片方が \(560 - x\) という式になる場面では、比の値で考えると式が複雑になります。こういうときは比例式のほうが、文章の順にそのまま書けて型どおりに進みます。まずは比例式で書けるようにしておいて、速い道が見えたときだけ比の値を使う、という順番がおすすめです。
今日の問い
「姉と妹の長さの比は \(5 : 3\)」という一行から、なぜ \(x : (560 - x) = 5 : 3\) という式が書けるのでしょうか。
答えは二つの部品でできています。一つめは、姉を \(x\) cm とおくと妹が \(560 - x\) cm になること。これは全体が \(560\) cm と決まっているからで、合計が決まっている型で使った道具です。二つめは、「AとBの比は \(p : q\)」とあれば \(A : B = p : q\) とそのまま書ける、という対応です。この二つを重ねると、姉の位置に \(x\)、妹の位置に \(560 - x\) が入り、右辺は文章に出てきた \(5 : 3\) がそのまま入ります。文章を読みかえる作業は、この二つしかしていません。
よくある間違い
まちがい1：比の順序を逆にする
例題3で、こう書いてしまう人がいます。
✗ 270 : x = 5 : 9
○ 270 : x = 9 : 5
問題文は「紅茶と牛乳を \(9 : 5\)」でした。左辺は紅茶が先、牛乳があとの順に並んでいるので、右辺も紅茶の \(9\) が先でなければいけません。
まちがえた式を実際に解いてみます。\(270 \times 9 = 5 \times x\) から \(2430 = 5x\)、\(x = 486\) となります。この \(486\) を正しい式 \(270 : x = 9 : 5\) にもどして代入してみます。
左辺 = 270 : 486 = 5 : 9
右辺 = 9 : 5
左辺 = 右辺 にならないので x=486 は解ではない
\(270 : 486\) は両方を \(54\) でわると \(5 : 9\) で、問題文の \(9 : 5\) とは前後が入れかわっています。
見つけ方のこつは二つあります。一つは、式を書く前に「左は紅茶、右も紅茶」と、左辺と右辺の同じ側に同じものが来ているか声に出して確かめること。もう一つは、答えが出たら場面に合うかを見ることです。ここでは牛乳が紅茶の \(270\) mL より多くなってしまっていて、\(9 : 5\) で紅茶のほうが多いという場面と合いません。答えが分数や小数になること自体はまちがいの合図ではないので、そこではなく場面で見分けます。
まちがい2：単位をそろえ忘れる
例題2で、\(x = 150000\) まで出したあと、こう答えてしまう間違いです。
✗ x = 150000 なので 150000 km
○ x = 150000 は cm なので 1500 m、つまり 1.5 km
\(x\) は「実際の道のりを cm ではかった数」としておいた文字でした。ですから出てきた \(150000\) という数はセンチメートルの数です。単位を書きかえるだけでは長さは変わりません。
これは答えの吟味をすれば必ず気づけます。\(150000\) km は、地球一周がおよそ \(40000\) km ですから、その \(3\) 倍以上です。駅から図書館までの道のりとしてありえません。
なお、地図上の長さを cm、実際の長さを km のまま混ぜて比例式を作るのも同じ間違いです。比べる二つの量は、必ず同じ単位にそろえてから比の形にします。
まちがい3：分ける相手ではなく全体と比べてしまう
例題1で、こう書いてしまう間違いです。
✗ x : 560 = 5 : 3
○ x : (560 − x) = 5 : 3
\(5 : 3\) は姉と妹を比べた比であって、姉と全体を比べた比ではありません。\(560\) は全体の長さなので、\(5 : 3\) の相手として置くことはできません。
まちがえた式を解いてみます。\(3x = 5 \times 560 = 2800\) となり、\(x = 2800 \div 3\) できれいに割り切れません。しかもおよそ \(933\) cm で、もとのリボン \(560\) cm より長くなってしまいます。答えの吟味の段階で、ありえないと分かります。
どうしても全体と比べたいときは、比のほうも全体に直します。姉が \(5\) つ分、妹が \(3\) つ分なら、全体は \(5 + 3 = 8\) つ分です。だから姉と全体の比は \(5 : 8\) で、
\(x : 560 = 5 : 8\)
これを解くと \(8x = 2800\)、\(x = 350\) となり、さきほどと同じ答えになります。比を書きかえたなら、この形でも正しく解けます。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
- \(1200\) 円を兄と弟で \(7 : 5\) に分けます。兄がもらう金額は何円ですか。
- 縮尺 \(1 : 50000\) の地図があります。実際の道のりが \(4\) km の区間は、この地図の上では何 cm になりますか。
- セメントと砂を \(3 : 8\) の割合で混ぜてモルタルを作ります。砂を \(640\) g 使うとき、セメントは何 g 必要ですか。
- 縦と横の長さの比が \(4 : 9\) の長方形があります。まわりの長さは \(78\) cm です。縦の長さは何 cm ですか。
答えと考え方
1.
兄がもらう金額を \(x\) 円とおきます。全体が \(1200\) 円なので、弟は \(1200 - x\) 円です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : (1200 - x) = 7 : 5\) | 兄と弟の金額の比を、文章の順のまま比例式にした |
| \(x \times 5 = 7 \times (1200 - x)\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(5x = 8400 - 7x\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(5x + 7x = 8400\) | \(-7x\) を左辺へ移項した |
| \(12x = 8400\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 700\) | 両辺を \(12\) でわった |
弟は \(1200 - 700 = 500\) 円です。
確かめ
左辺 = 700 : (1200 − 700) = 700 : 500 = 7 : 5
右辺 = 7 : 5
左辺 = 右辺 なので x=700 は解
答えの吟味をします。\(700\) 円と \(500\) 円は合わせて \(1200\) 円で、全体と合っています。兄のほうが多いのも比と合っています。
答え \(700\) 円
2.
地図上の長さを \(x\) cm とおきます。実際の長さも cm にそろえます。\(4\) km は \(4000\) m、\(400000\) cm です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : 400000 = 1 : 50000\) | 地図上の長さと実際の長さの比を比例式にした |
| \(x \times 50000 = 1 \times 400000\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(50000x = 400000\) | 左辺と右辺をそれぞれ計算した |
| \(x = 8\) | 両辺を \(50000\) でわった |
確かめ
左辺 = 8 : 400000 = 1 : 50000
右辺 = 1 : 50000
左辺 = 右辺 なので x=8 は解
\(8 : 400000\) は、両方を \(8\) でわると \(1 : 50000\) になります。
答えの吟味をします。\(8\) cm は定規ではかれる長さで、地図上の長さとしてありえます。
答え \(8\) cm
3.
セメントの重さを \(x\) g とおきます。「セメントと砂を \(3 : 8\)」なので、セメントを左、砂を右に書きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : 640 = 3 : 8\) | セメントと砂の比を、文章の順のまま比例式にした |
| \(x \times 8 = 3 \times 640\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(8x = 1920\) | 右辺を計算した |
| \(x = 240\) | 両辺を \(8\) でわった |
確かめ
左辺 = 240 : 640 = 3 : 8
右辺 = 3 : 8
左辺 = 右辺 なので x=240 は解
\(240 : 640\) は、両方を \(80\) でわると \(3 : 8\) になります。
答えの吟味をします。\(240\) g は正の数で、砂の \(640\) g より少なくなっています。比 \(3 : 8\) でもセメントのほうが少ないので、合っています。
答え \(240\) g
4.
まわりの長さは、縦と横を \(2\) つずつ足したものです。\(78 \div 2 = 39\) なので、縦と横をたすと \(39\) cm になります。縦を \(x\) cm とおくと、横は \(39 - x\) cm です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : (39 - x) = 4 : 9\) | 縦と横の長さの比を、文章の順のまま比例式にした |
| \(x \times 9 = 4 \times (39 - x)\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(9x = 156 - 4x\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(9x + 4x = 156\) | \(-4x\) を左辺へ移項した |
| \(13x = 156\) | 左辺の同類項をまとめた |
| \(x = 12\) | 両辺を \(13\) でわった |
横は \(39 - 12 = 27\) cm です。
確かめ
左辺 = 12 : (39 − 12) = 12 : 27 = 4 : 9
右辺 = 4 : 9
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
\(12 : 27\) は、両方を \(3\) でわると \(4 : 9\) になります。まわりの長さも \((12 + 27) \times 2 = 78\) cm で合っています。
答えの吟味をします。縦 \(12\) cm、横 \(27\) cm はどちらも正の数で、長方形の辺の長さとしてありえます。
答え \(12\) cm
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比例式を使う文章題を、三つの場面で解きました。どの場面でも、やっていることは「文章に書かれた比を、そのままの順で式にする」ことだけでした。
次のレッスンでは、これまでとは逆向きの問題を扱います。ここまでは方程式が与えられて解を求めてきましたが、次は解のほうが先に分かっていて、式の中の分かっていない数を求めます。たとえば「ある方程式の解が分かっているとき、式の中の係数はいくつか」という問題です。ここで活躍するのが代入です。
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