解が分かっている方程式から係数を求める

このレッスンでできるようになること

• 解が先に与えられた方程式に、その解を代入して、式の中の分かっていない数を求められる
• \(x\) と \(a\) のように文字が二つある式でも、どちらの文字について解くのかを決めて進められる
• 求めた値を元の式に戻し、その方程式を解き直して、解が言われた値になることを確かめられる

前のレッスンの確認

• 解: その方程式を成り立たせる、文字の値
• 代入: 式の中の文字を、数に置き換えること
• 係数: 文字にかけられている数のこと
• 移項: 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
• かっこは分配法則 \(a(b + c) = ab + ac\) で外す。分数は両辺に分母の最小公倍数をかけて消す

今までとは向きが逆の問題

これまで方程式の問題は、いつも同じ向きでした。式が先に与えられて、それを成り立たせる \(x\) を探す。それが「方程式を解く」ということでした。

このレッスンで扱うのは、向きがちょうど逆の問題です。

\(3x + a = 14\) の解が \(x = 4\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

与えられているのは解のほうです。求めるものは、式の中にまじっている分かっていない数、ここでは \(a\) です。式の一部が空いていて、そこに何を入れれば解が \(x = 4\) になるか、と聞かれているわけです。

たとえるなら、これまでは「かぎを渡されて、開く箱を探す」問題でした。今度は「開いた箱を見せられて、どんなかぎだったのかを言い当てる」問題です。見た目はずいぶん違いますが、使う道具は同じです。かぎと箱の関係、つまり「解とは何か」を知ってさえいれば、どちらの向きからでも通れます。

この型は高校入試でとてもよく出ます。しかも、解き方はたった一つしかありません。その一つを、このレッスンで身につけます。

考え方はひとつだけ

思い出してほしいのは、解の意味です。解とは、その方程式を成り立たせる、文字の値でした。

「成り立たせる」とは、左辺の値と右辺の値が等しくなるということです。つまり、解が \(x = 4\) だと言われた時点で、次のことが分かっています。

\(3x + a = 14\) の \(x\) のところに \(4\) を入れると、等式が成り立つ。

だったら、実際に入れてみればよいのです。\(x\) に \(4\) を代入すると、式から \(x\) が消えます。残るのは \(a\) と数だけ。つまり、\(a\) についての方程式ができあがります。あとはそれを、いつもどおり解くだけです。

この五つの段階は、この型のどの問題でも変わりません。数が大きくなっても、かっこや分数がついても、同じ道を通ります。

文字が二つあっても、こわがらなくてよい

\(3x + a = 14\) には \(x\) と \(a\) の二つの文字があります。ここでとまどう人がとても多いのですが、落ち着いて見てください。\(x\) には入れる数がもう分かっているのです。入れてしまえば、残る文字は \(a\) だけです。

そこで、この型を解くときの約束をひとつ作ります。

〜について解くとは、式の中に文字がいくつかあるとき、そのうちのどの文字の値を求めるのかを決めて、その値を求めることです。たとえば \(12 + a = 14\) を「\(a\) について解く」なら、答えは \(a = 2\) です。また、\(3x + a = 14\) のように文字が二つある式でも、\(x\) の値を求めるつもりで見るときは「\(x\) についての方程式」といいます。どの文字を主役として見ているかを、はじめに決めておくということです。

問題を読んだら、まず**「今、どちらの文字について解くのか」**を口に出して決めてください。このレッスンの問題は、すべて \(a\) について解きます。\(x\) の値は、もう問題文が教えてくれているからです。ここをはっきりさせておくだけで、あとで説明する「\(a\) を求めたつもりで \(x\) を答えてしまう」まちがいが起きなくなります。

確かめは二段階で

この型では、確かめがとくに大事です。ふつうの方程式なら、解が一つ出たら代入して合うかを見れば済みました。ここでは、次の二段階で見ます。

1. 求めた \(a\) を、元の式に戻す。すると \(x\) だけの方程式になる。
2. その方程式を実際に解く。出てきた解が、問題文が言っていた値と同じになるかを見る。

なぜ二段階なのでしょうか。代入したあとの式だけを見て確かめても、代入する場所をまちがえていたり、元の式を写しまちがえていたりすると、そのまちがいごと「合っている」ことになってしまうからです。とちゅうから確かめを始めると、そのとちゅうまでのまちがいは見えません。元の式まで戻ってはじめて、全部が正しいかが分かります。

もう一つ、この二段階には良いところがあります。問題文は「解は \(x = 4\)」と言っているのですから、答え合わせの相手が最初から用意されているのです。自分で求めた \(a\) が正しければ、必ず \(x = 4\) が出てきます。出てこなければ、どこかでまちがえています。これほど確実な確かめ方は、そう多くありません。

例題1　片方の辺にだけ文字があるとき

\(3x + a = 14\) の解が \(x = 4\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

確かめ

a = 2 を元の式に戻すと 3x + 2 = 14
2 を右辺に移項して 3x = 12
両辺を3でわって x = 4
左辺 = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14
右辺 = 14
左辺 = 右辺 なので x = 4 は解

問題文が言っていた解 \(x = 4\) とぴったり合いました。

答え　\(a = 2\)

例題2　両辺に文字があり、解が負のとき

\(5x - 3 = 2x + a\) の解が \(x = -2\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

\(x\) が左辺にも右辺にもあります。代入するのは両方です。解は、その方程式を成り立たせる文字の値なのですから、式の中の \(x\) はどこであっても同じ \(-2\) になります。負の数を代入するときは、かっこをつけて \((-2)\) と書くと符号のミスが減ります。

最後に左辺と右辺を入れかえたのは、答えを \(a =\) の形で書くためです。\(-9 = a\) のままでもまちがいではありませんが、読む人に伝わりやすい形に直しておきます。

確かめ

a = −9 を元の式に戻すと 5x − 3 = 2x − 9
2x を左辺に移項して 3x − 3 = −9
−3 を右辺に移項して 3x = −6
両辺を3でわって x = −2
左辺 = 5 × (−2) − 3 = −10 − 3 = −13
右辺 = 2 × (−2) − 9 = −4 − 9 = −13
左辺 = 右辺 なので x = −2 は解

答え　\(a = -9\)

例題3　分数やかっこがまじるとき

式の形が複雑になっても、することは変わりません。代入して、\(a\) についての方程式を、いつもどおりの手順で解くだけです。

(1) \(\dfrac{x + a}{3} = 5\) の解が \(x = 7\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

分子がひとまとまりの形です。\(x\) は分子の中にいますが、代入する場所は同じで、\(x\) と書いてあるところに \(7\) を入れます。

確かめ

a = 8 を元の式に戻し、両辺に3をかけると x + 8 = 15
8 を右辺に移項して x = 15 − 8 = 7
左辺 = (7 + 8) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5
右辺 = 5
左辺 = 右辺 なので x = 7 は解

答え　(1) \(a = 8\)

(2) \(3(x + a) = 21\) の解が \(x = 2\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

かっこの中に \(x\) と \(a\) が両方入っています。代入してから分配法則でかっこを外します。

確かめ

a = 5 を元の式に戻すと 3(x + 5) = 21
かっこを外して 3x + 15 = 21
15 を右辺に移項して 3x = 6
両辺を3でわって x = 2
左辺 = 3 × (2 + 5) = 3 × 7 = 21
右辺 = 21
左辺 = 右辺 なので x = 2 は解

答え　(2) \(a = 5\)

例題4　係数が分からないとき

ここからが入試でよく出る形です。分かっていない文字が、数の場所ではなく係数の場所にいます。

\(ax + 5 = 11\) の解が \(x = 3\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

\(ax\) は「\(a\) に \(x\) をかけたもの」です。\(x\) にかけられている数が \(a\)、つまり \(a\) が係数です。この形になると急にむずかしく感じますが、それは \(a\) が数の場所ではなく係数の場所にいるというだけのことで、やることは何も変わりません。\(x\) に \(3\) を入れます。すると \(a \times 3\)、つまり \(3a\) が残ります。

\(3a = 6\) は「\(a\) が3個で \(6\)」という意味ですから、両辺を \(3\) でわって \(a = 2\) です。ここで出てくるのは \(a\) の値であって、\(x\) の値ではありません。

確かめ

a = 2 を元の式に戻すと 2x + 5 = 11
5 を右辺に移項して 2x = 6
両辺を2でわって x = 3
左辺 = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11
右辺 = 11
左辺 = 右辺 なので x = 3 は解

答え　\(a = 2\)

例題5　二つの方程式が同じ解をもつとき

\(2x - 6 = 0\) と \(3x + a = 12\) が同じ解をもつとき、\(a\) の値を求めなさい。

一見すると手がかりがなさそうですが、よく見てください。\(2x - 6 = 0\) のほうには分かっていない数がありません。これは今までどおり解けます。そして「同じ解をもつ」のですから、そこで出た解が、もう一方の方程式の解でもあるわけです。あとは例題1と同じ形になります。

この問題では \(x\) の値も \(a\) の値も \(3\) になりました。同じ数だからといって、同じものを求めたわけではありません。とちゅうで出した \(x = 3\) は、\(a\) を求めるための足がかりです。求めたのはあくまで \(a\) です。

この型で大事なのは、二つのうち、分かっていない数を含まないほうの方程式を先に解くことです。\(2x - 6 = 0\) には \(a\) がありませんから、これだけで \(x\) が求まります。逆に、どちらの方程式にも分かっていない数が入っている問題は、この方法では進めません。そういう問題は中学2年で習う道具を使うので、今は考えなくて大丈夫です。

確かめ

a = 3 を元の式に戻すと 3x + 3 = 12
3 を右辺に移項して 3x = 9
両辺を3でわって x = 3
左辺 = 3 × 3 + 3 = 9 + 3 = 12
右辺 = 12
左辺 = 右辺 なので x = 3 は解
2x − 6 = 0 の解も x = 3 なので、二つの方程式の解は同じ

答え　\(a = 3\)

今日の問い

\(3x + a = 14\) には、分かっていない文字が \(x\) と \(a\) の二つあります。文字が二つあるのに、なぜ \(a\) の値がただ一つに決まるのでしょうか。

答えは、解の意味の中にあります。「解が \(x = 4\)」と言われた瞬間、\(x\) はもう分かっていない数ではなくなります。\(x\) の値は \(4\) だと教えられたのですから、そこに \(4\) を入れてよいのです。入れてしまえば、式に残る分かっていない数は \(a\) だけになります。分かっていない数が一つだけの等式、それがまさに一次方程式です。だから \(a\) の値はただ一つに決まります。

文字が二つあることは、こわがる理由になりません。一つは値を教えられている文字、もう一つが求める文字、と読み分けられれば、それで十分です。

よくある間違い

まちがい1：求める文字をとりちがえてしまう

例題1の \(3x + a = 14\)（解は \(x = 4\)）で、代入して \(12 + a = 14\) まで進んだあと、こう書いてしまう人がいます。

✗ 12 + a = 14 → 14 − 12 = 2 → x = 2
○ 12 + a = 14 → a = 14 − 12 → a = 2

計算そのものは合っているのに、最後の文字を書きまちがえています。\(14 - 12\) で出てきた \(2\) は、\(a\) の値です。

この誤りがどれだけおかしいかは、戻してみるとはっきりします。もし \(x = 2\) が答えだとして、元の式 \(3x + a = 14\) に \(x = 2\) を入れると \(6 + a = 14\)、つまり \(a = 8\) です。この \(a = 8\) で元の式は \(3x + 8 = 14\) となり、解は \(x = 2\) になります。しかし問題文は「解は \(x = 4\)」と言っていました。まったく合いません。

\(x\) の値は、問題文がはじめから教えてくれています。改めて求めるものではありません。求めるのはどちらの文字かを、解き始める前に決めておいてください。

まちがい2：代入を片方の辺だけにしてしまう

例題2の \(5x - 3 = 2x + a\)（解は \(x = -2\)）で、左辺の \(x\) にだけ代入してしまう誤りです。

✗ 5 × (−2) − 3 = 2x + a
  −13 = 2x + a
○ 5 × (−2) − 3 = 2 × (−2) + a
  −13 = −4 + a
  a = −9

✗ のほうは右辺に \(x\) が残ったままなので、\(a\) の値を決めることができません。ここで困った末に、\(2x\) を無いものとして \(a = -13\) としてしまうと、元の式は \(5x - 3 = 2x - 13\) になります。これを解くと \(3x = -10\)、\(x = -\dfrac{10}{3}\) となって、\(x = -2\) にはなりません。

解は「その方程式を成り立たせる文字の値」です。左辺の \(x\) だけが \(-2\) で、右辺の \(x\) は別の数、ということはありません。式の中の \(x\) は、一つ残らず同じ数に置き換える、と覚えてください。

まちがい3：確かめを、代入したあとの式だけで済ませてしまう

例題3の(1)で \(a = 8\) を求めたあと、こんな確かめで終わってしまう人がいます。

✗ 7 + a = 15 に a = 8 を入れて 15 = 15 だから合っている
○ (x + 8) ÷ 3 = 5 を解いて x = 7 になったから合っている

これでは、代入したあとの計算が合っていることしか分かりません。たとえば元の式を \(\dfrac{x + a}{3} = 5\) ではなく \(\dfrac{x - a}{3} = 5\) と写しまちがえていたとしましょう。すると \(7 - a = 15\) から \(a = -8\) となります。ところがこの \(a = -8\) を \(7 - a = 15\) に戻せば、\(7 - (-8) = 15\) でやはり合ってしまうのです。写しまちがいは、まったく見つかりません。

正しくは、元の式 \(\dfrac{x + a}{3} = 5\) まで戻します。\(a = -8\) を入れると \(\dfrac{x - 8}{3} = 5\)、両辺に \(3\) をかけて \(x - 8 = 15\)、\(x = 23\) です。\(x = 7\) になりません。ここでようやく、どこかがおかしいと気づけます。

確かめは、必ず元の式まで戻って、\(x\) について解き直すところまでやりきってください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。

1. \(4x + a = 7\) の解が \(x = -3\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
2. \(7x + 2 = 4x + a\) の解が \(x = 5\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
3. \(2(x - a) = 6\) の解が \(x = 9\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
4. \(\dfrac{2x - a}{5} = 3\) の解が \(x = 10\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
5. \(ax - 4 = 8\) の解が \(x = -6\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
6. \(5x - 20 = 0\) と \(2x + a = 1\) が同じ解をもつとき、\(a\) の値を求めなさい。

a = 19 を元の式に戻すと 4x + 19 = 7
19 を右辺に移項して 4x = −12
両辺を4でわって x = −3
左辺 = 4 × (−3) + 19 = −12 + 19 = 7
右辺 = 7
左辺 = 右辺 なので x = −3 は解

a = 17 を元の式に戻すと 7x + 2 = 4x + 17
4x を左辺に移項して 3x + 2 = 17
2 を右辺に移項して 3x = 15
両辺を3でわって x = 5
左辺 = 7 × 5 + 2 = 35 + 2 = 37
右辺 = 4 × 5 + 17 = 20 + 17 = 37
左辺 = 右辺 なので x = 5 は解

a = 6 を元の式に戻すと 2(x − 6) = 6
かっこを外して 2x − 12 = 6
−12 を右辺に移項して 2x = 18
両辺を2でわって x = 9
左辺 = 2 × (9 − 6) = 2 × 3 = 6
右辺 = 6
左辺 = 右辺 なので x = 9 は解

a = 5 を元の式に戻し、両辺に5をかけると 2x − 5 = 15
−5 を右辺に移項して 2x = 20
両辺を2でわって x = 10
左辺 = (2 × 10 − 5) ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3
右辺 = 3
左辺 = 右辺 なので x = 10 は解

a = −2 を元の式に戻すと −2x − 4 = 8
−4 を右辺に移項して −2x = 12
両辺を−2でわって x = −6
左辺 = −2 × (−6) − 4 = 12 − 4 = 8
右辺 = 8
左辺 = 右辺 なので x = −6 は解

a = −7 を元の式に戻すと 2x − 7 = 1
−7 を右辺に移項して 2x = 8
両辺を2でわって x = 4
左辺 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
右辺 = 1
左辺 = 右辺 なので x = 4 は解
5x − 20 = 0 の解も x = 4 なので、二つの方程式の解は同じ

次のレッスンへ

このセクションでは、比と比の値から始めて、比例式の解き方、比例式を使う文章題、そして解が分かっている方程式から係数を求める型まで進んできました。道具はひととおりそろっています。

次のレッスンは「比例式と方程式の応用 混合練習」です。どの型の問題かが先に書かれていない状態で、問題文だけを見て、比例式を作るのか、解を代入するのか、五つの手順で立式するのかを自分で選ぶ練習をします。型を見分ける力は、練習した数だけ伸びます。

次のレッスンへ　比例式と方程式の応用 混合練習　→

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