比例式と方程式の応用 混合練習
このレッスンでできるようになること
- 問題を見て、比を簡単にする・比例式を解く・比例式をつくる・係数を求める、のどれを使うかを自分で決められる
- 比例式と、かっこや分数の処理が重なった問題を、順番をまちがえずに解ける
- 何を求められているのかを最後まで見失わず、単位をつけて答えられる
前のレッスンの確認
- 比 … 二つの量の関係を \(a : b\) の形で表したもの
- 比の値 … \(a : b\) の \(a \div b\) の値、つまり \(\dfrac{a}{b}\) のこと。等しい比とは、比の値が等しい二つの比のこと
- 比の性質 … \(a : b\) の両方に同じ数（0でない）をかけても、両方を同じ数で割っても、比の値は変わらない
- 比例式 … 二つの比が等しいことを表した式。\(a : b = c : d\) の形
- \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\)。外側どうし、内側どうしをかけると等しくなる
- 代入 … 式の中の文字を、数に置き換えること
- 係数 … 文字にかけられている数のこと
セクション8の道具を一つの表にまとめる
このセクションで手に入れた道具は四つです。ばらばらに覚えていると、問題を前にしたときにどれを取り出せばよいか分からなくなります。次の表に、問題の形と、そのとき使う道具と、注意することを並べました。
| 問題の形 | 使う道具 | 注意すること |
|---|---|---|
| 「\(45 : 60\) を簡単にしなさい」のように、比だけが書かれている | 比の性質。両方を同じ数でわる | 最後まで割り切れなくなるまでわる。片方だけわらない |
| 「\(x : 15 = 8 : 5\) を解きなさい」のように、比例式が書かれている | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使って、文字の入った方程式に直す | かける相手をまちがえない。外側どうし、内側どうし |
| 「粉と牛乳を \(5 : 2\) で混ぜます」のように、文章の中に比がある | 分かっている量と求める量を、同じ順序で並べて比例式をつくる | 比の順序と単位をそろえる。答えたら量としてありえるか確かめる |
| 「解が \(x = 5\) である」と先に書かれていて、文字が二つある | 解を代入する。すると、その文字についての方程式になる | 求めるのは \(a\) の値であって \(x\) ではない |
四つの道具は、どれも「等しい」という関係を式にするためのものです。比の性質は比を見やすくするため、\(ad = bc\) は比例式を今まで習った方程式の形に直すため、代入は分かっている値を式に入れて未知数を一つに減らすためにあります。
解き始める前に、何を求められているかを決める
混ざった問題で点を落とす原因のほとんどは、計算のまちがいではなく、いきなり手を動かし始めることです。次の順で考えます。
- 問題文の最後の一文を読み、求めるものに印をつける（\(x\) なのか、\(a\) なのか、長さなのか）
- 式の形を見る（比例式か、ふつうの方程式か、文章か）
- 表から道具を選ぶ
- 解く
- 確かめて、単位をつけて答える
この流れを図にすると次のようになります。
例題1 比を簡単にしてから解く
\(x : 21 = 20 : 35\) を解きなさい。
右側の \(20 : 35\) は、両方を \(5\) でわると簡単になります。比を簡単にしてから \(ad = bc\) を使うと、数が小さくなって計算が楽になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : 21 = 20 : 35\) | もとの式 |
| \(20 : 35 = 4 : 7\) | 右側の比の両方を \(5\) でわった |
| \(x : 21 = 4 : 7\) | 右側を簡単な比に置きかえた |
| \(7x = 21 \times 4\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(7x = 84\) | 右辺を計算した |
| \(x = 12\) | 両辺を \(7\) でわった |
確かめ
左辺 = 12 : 21 = 4 : 7
右辺 = 20 : 35 = 4 : 7
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
答え \(x = 12\)
比を簡単にしないで、いきなり \(35x = 21 \times 20\) としても答えは同じ \(x = 12\) になります。ただし \(21 \times 20 = 420\) を \(35\) でわることになり、数が大きくなります。先に簡単にしておくほうが速くて安全です。
例題2 配合の文章題
ホットケーキを作るとき、小麦粉と牛乳を \(5 : 2\) の割合で混ぜます。小麦粉を \(350\) g 使うとき、牛乳は何 g 必要ですか。
求めるのは牛乳の重さです。牛乳を \(x\) g とおきます。ここでいちばん大事なのは、比の順序をそろえることです。左側を「小麦粉 \(:\) 牛乳」と決めたら、右側も「小麦粉 \(:\) 牛乳」の順に並べます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 小麦粉 \(:\) 牛乳 \(= 5 : 2\) | 割合を、順序を決めて書いた |
| \(350 : x = 5 : 2\) | 実際の重さを、同じ順序で並べた |
| \(350 \times 2 = 5x\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(700 = 5x\) | 左辺を計算した |
| \(5x = 700\) | 左辺と右辺を入れかえた |
| \(x = 140\) | 両辺を \(5\) でわった |
確かめ
左辺 = 350 : 140 = 5 : 2
右辺 = 5 : 2
左辺 = 右辺 なので x=140 は解
答えの吟味をします。牛乳 \(140\) g は小麦粉 \(350\) g より少なく、\(5 : 2\) という割合と合っています。重さも負の数ではありません。
答え 牛乳 \(140\) g
例題3 解から係数を求める
\(x\) についての方程式 \(4x - a = x + 7\) の解が \(x = 5\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
この問題で求めるのは \(a\) です。\(x\) はもう \(5\) だと分かっているので、代入してしまえば、残る文字は \(a\) だけになります。そうすると、これは \(a\) についての方程式になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4x - a = x + 7\) | もとの式 |
| \(4 \times 5 - a = 5 + 7\) | 解 \(x = 5\) を両辺に代入した |
| \(20 - a = 12\) | 両辺をそれぞれ計算した |
| \(-a = 12 - 20\) | \(20\) を右辺へ移項した |
| \(-a = -8\) | 右辺を計算した |
| \(a = 8\) | 両辺に \(-1\) をかけた |
確かめ
a=8 をもとの式に戻すと 4x − 8 = x + 7
x を左辺に移項して 3x − 8 = 7
−8 を右辺に移項して 3x = 15
両辺を3でわって x = 5
左辺 = 4 × 5 − 8 = 20 − 8 = 12
右辺 = 5 + 7 = 12
左辺 = 右辺 なので x=5 は解
答え \(a = 8\)
例題4 係数を求めてから比例式を解く
次の問いに答えなさい。
(1) \(x\) についての方程式 \(\dfrac{3x - 1}{4} = \dfrac{x + a}{2}\) の解が \(x = 9\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
(2) (1) で求めた \(a\) を使って、比例式 \((x + a) : (x - 2) = 5 : 2\) を解きなさい。
(1) では分数がありますが、やることは例題3と同じです。まず解を代入し、そのあとで分母をはらいます。分母は \(4\) と \(2\) なので、最小公倍数の \(4\) を両辺にかけます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{3x - 1}{4} = \dfrac{x + a}{2}\) | もとの式 |
| \(\dfrac{3 \times 9 - 1}{4} = \dfrac{9 + a}{2}\) | 解 \(x = 9\) を代入した |
| \(\dfrac{26}{4} = \dfrac{9 + a}{2}\) | 左辺の分子を計算した |
| \(26 = 2(9 + a)\) | 両辺に \(4\) をかけて分母をはらった |
| \(26 = 18 + 2a\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(-2a = 18 - 26\) | \(2a\) を左辺へ、\(26\) を右辺へ移項した |
| \(-2a = -8\) | 右辺を計算した |
| \(a = 4\) | 両辺を \(-2\) でわった |
確かめ
a=4 をもとの式に戻すと (3x − 1) ÷ 4 = (x + 4) ÷ 2
両辺に4をかけて 3x − 1 = 2(x + 4)
かっこを外して 3x − 1 = 2x + 8
2x を左辺、−1 を右辺に移項して x = 9
左辺 = (3 × 9 − 1) ÷ 4 = 26 ÷ 4 = 6.5
右辺 = (9 + 4) ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6.5
左辺 = 右辺 なので x=9 は解
答え \(a = 4\)
(2) に進みます。ここで \(a = 4\) を入れると、比例式 \((x + 4) : (x - 2) = 5 : 2\) になります。かっこがついたまま \(ad = bc\) を使い、そのあとで分配法則を使います。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((x + 4) : (x - 2) = 5 : 2\) | \(a = 4\) を代入した |
| \(2(x + 4) = 5(x - 2)\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(2x + 8 = 5x - 10\) | 両辺のかっこを分配法則で外した |
| \(2x - 5x = -10 - 8\) | \(5x\) を左辺へ、\(8\) を右辺へ移項した |
| \(-3x = -18\) | 両辺をそれぞれ計算した |
| \(x = 6\) | 両辺を \(-3\) でわった |
確かめ
左辺 = (6 + 4) : (6 − 2) = 10 : 4 = 5 : 2
右辺 = 5 : 2
左辺 = 右辺 なので x=6 は解
答え \(x = 6\)
(1) で答えるのは \(a = 4\)、(2) で答えるのは \(x = 6\) です。同じ問題の中で、答えるものが途中で入れかわります。ここが入試でいちばんまちがえるところです。小問ごとに「今、何を聞かれているか」を見に戻ってください。
今日の問い
\(8 : 6 = 12 : x\) と \(8 : 6 = x : 12\) は、どちらも同じ \(8 : 6\) から始まり、出てくる数も \(12\) と \(x\) で同じです。この二つは同じ答えになるでしょうか。
やってみます。前者は \(8x = 6 \times 12\) から \(8x = 72\)、\(x = 9\) です。後者は \(8 \times 12 = 6x\) から \(96 = 6x\)、\(x = 16\) です。答えはまったく違います。
理由は、\(x\) が置かれている場所が違うからです。前者の \(x\) は \(12\) の相手、つまり \(8\) に対する \(6\) と同じはたらきをする数です。後者の \(x\) は \(12\) の前にあり、\(8\) と同じはたらきをする数です。表にまとめたとおり、比は順序が命です。数がそろっていても、並べる順序が変われば別の式になります。
よくある間違い
まちがい1：比の順序を逆にする
例題2で、実際の重さは 小麦粉 \(:\) 牛乳 の順に書いたのに、割合のほうを牛乳から書いてしまう間違いです。
✗ 350 : x = 2 : 5
○ 350 : x = 5 : 2
✗ の式を解くと \(350 \times 5 = 2x\) となり、\(1750 = 2x\)、\(x = 875\) です。牛乳が \(875\) g、小麦粉が \(350\) g ということになります。
確かめ
左辺 = 350 : 875 = 2 : 5
右辺 = 2 : 5
式としては成り立つが、875 g は牛乳の量ではない
式そのものは成り立ってしまうので、計算では見つかりません。だから答えの吟味が要ります。小麦粉のほうが割合が大きいのに、出てきた量が牛乳のほうが多いのはおかしい、と気づけば戻れます。左側の順序と右側の順序を、書いたその場でそろえてください。
まちがい2：たすきにかける相手をまちがえる
\(x : 21 = 20 : 35\) で、外側と内側ではなく、左どうし・右どうしをかけてしまう間違いです。
✗ x × 20 = 21 × 35
○ x × 35 = 21 × 20
✗ を解くと \(20x = 735\) となり、\(x = 36.75\) です。
確かめ
左辺 = 36.75 : 21 の比の値 = 36.75 ÷ 21 = 1.75
右辺 = 20 : 35 の比の値 = 20 ÷ 35 = 0.571…
左辺 と 右辺 が等しくないので x=36.75 は解ではない
比の値が合わないので、これは解ではありません。\(a : b = c : d\) の四つの数を、書いてある順に \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) と読み、かけるのは \(a\) と \(d\)、\(b\) と \(c\) です。いちばん外にある二つと、まん中の二つ、と覚えると迷いません。
まちがい3：係数を求めたあとに、もとの解を答えてしまう
例題3で \(a = 8\) まで正しく求めたのに、答えの欄に \(x = 5\) と書いてしまう間違いです。\(x = 5\) は問題文にもともと書かれていた値で、求めた値ではありません。
✗ 答え x = 5
○ 答え a = 8
この間違いは、途中の計算がすべて合っているぶん、自分では気づきにくいです。\(x\) に \(5\) を代入する作業を長く続けたせいで、\(x\) が主役だと感じてしまうのです。例題4のように小問が二つあると、さらに起こりやすくなります。
防ぎ方は一つです。解き始める前に、問題文の「\(a\) の値を求めなさい」の部分に印をつけ、答えを書く直前にもう一度その印を見ることです。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。解き始める前に、何を求められているかを決めること。求めるものに印をつけてから手を動かしてください。
- \(45 : 60\) を、できるだけ簡単な整数の比にしなさい。また、その比の値を求めなさい。
- \(x : 15 = 8 : 5\) を解きなさい。
- \(22 : x = 4 : 10\) を解きなさい。
- \((x + 5) : 8 = 3 : 4\) を解きなさい。
- 縮尺が \(1 : 20000\) の地図があります。この地図の上で \(7\) cm の道のりは、実際には何 km ですか。
- \(84\) 個のあめを、1年生と2年生で \(4 : 3\) に分けます。1年生の分は何個ですか。
- \(x\) についての方程式 \(2x + a = 5x - 4\) の解が \(x = 3\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
- \(x\) についての方程式 \(\dfrac{x + a}{3} = \dfrac{x - 1}{2}\) の解が \(x = 7\) です。\(a\) の値を求め、さらにその \(a\) を使って比例式 \(a : 5 = (x - 4) : 20\) を解きなさい。
答えと考え方
1. 比を簡単にする問題です。\(45\) と \(60\) の両方をわれる数を探します。\(5\) でわると \(9 : 12\)、さらに \(3\) でわると \(3 : 4\) です。\(15\) でいっぺんにわっても同じです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(45 : 60\) | もとの比 |
| \(9 : 12\) | 両方を \(5\) でわった |
| \(3 : 4\) | 両方を \(3\) でわった |
比の値は \(\dfrac{3}{4}\) です。
確かめ
左辺 = 45 : 60 の比の値 = 45 ÷ 60 = 0.75
右辺 = 3 : 4 の比の値 = 3 ÷ 4 = 0.75
左辺 = 右辺 なので 3 : 4 は等しい比
答え \(3 : 4\)、比の値は \(\dfrac{3}{4}\)
2. 比例式を解く問題です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : 15 = 8 : 5\) | もとの式 |
| \(5x = 15 \times 8\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(5x = 120\) | 右辺を計算した |
| \(x = 24\) | 両辺を \(5\) でわった |
確かめ
左辺 = 24 : 15 = 8 : 5
右辺 = 8 : 5
左辺 = 右辺 なので x=24 は解
答え \(x = 24\)
3. \(x\) が内側にある形です。かける相手をまちがえないように、外側の \(22\) と \(10\)、内側の \(x\) と \(4\) を組にします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(22 : x = 4 : 10\) | もとの式 |
| \(22 \times 10 = 4x\) | 外側どうし、内側どうしをかけた |
| \(220 = 4x\) | 左辺を計算した |
| \(4x = 220\) | 左辺と右辺を入れかえた |
| \(x = 55\) | 両辺を \(4\) でわった |
確かめ
左辺 = 22 : 55 = 2 : 5
右辺 = 4 : 10 = 2 : 5
左辺 = 右辺 なので x=55 は解
答え \(x = 55\)
4. かっこがついた比例式です。\(ad = bc\) を使ったあと、分配法則でかっこを外します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((x + 5) : 8 = 3 : 4\) | もとの式 |
| \(4(x + 5) = 8 \times 3\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(4x + 20 = 24\) | 左辺のかっこを分配法則で外し、右辺を計算した |
| \(4x = 24 - 20\) | \(20\) を右辺へ移項した |
| \(4x = 4\) | 右辺を計算した |
| \(x = 1\) | 両辺を \(4\) でわった |
確かめ
左辺 = (1 + 5) : 8 = 6 : 8 = 3 : 4
右辺 = 3 : 4
左辺 = 右辺 なので x=1 は解
答え \(x = 1\)
5. 縮尺の文章題です。\(1 : 20000\) は「地図の上の長さ \(:\) 実際の長さ」の順です。求めるのは実際の長さなので、これを \(x\) cm とおきます。単位をそろえるため、いったんすべて cm で考えます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(1 : 20000 = 7 : x\) | 地図の上の長さと実際の長さを、同じ順序で並べた |
| \(1 \times x = 20000 \times 7\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(x = 140000\) | 右辺を計算した |
\(140000\) cm を km に直します。\(1\) km は \(100000\) cm なので、\(140000 \div 100000 = 1.4\) で \(1.4\) km です。
確かめ
左辺 = 1 : 20000
右辺 = 7 : 140000 = 1 : 20000
左辺 = 右辺 なので x=140000 は解
答えの吟味をします。地図の \(7\) cm が実際に \(1.4\) km というのは、街の地図としてありえる大きさです。
答え \(1.4\) km
6. 比で分ける文章題です。1年生の分を \(x\) 個とおくと、2年生の分は \(84 - x\) 個と表せます。1年生 \(:\) 2年生 \(= 4 : 3\) の順に並べます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x : (84 - x) = 4 : 3\) | 1年生と2年生の個数を、比と同じ順序で並べた |
| \(3x = 4(84 - x)\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(3x = 336 - 4x\) | 右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(3x + 4x = 336\) | \(-4x\) を左辺へ移項した |
| \(7x = 336\) | 左辺を計算した |
| \(x = 48\) | 両辺を \(7\) でわった |
2年生の分は \(84 - 48 = 36\) 個です。
確かめ
左辺 = 48 : 36 = 4 : 3
右辺 = 4 : 3
左辺 = 右辺 なので x=48 は解
答えの吟味をします。\(48 + 36 = 84\) でもとの個数に戻り、1年生のほうが多いことも \(4 : 3\) と合っています。
答え 1年生の分は \(48\) 個
7. 解から係数を求める問題です。求めるのは \(a\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2x + a = 5x - 4\) | もとの式 |
| \(2 \times 3 + a = 5 \times 3 - 4\) | 解 \(x = 3\) を両辺に代入した |
| \(6 + a = 11\) | 両辺をそれぞれ計算した |
| \(a = 11 - 6\) | \(6\) を右辺へ移項した |
| \(a = 5\) | 右辺を計算した |
確かめ
a=5 をもとの式に入れると 2x + 5 = 5x − 4
5x を左辺、5 を右辺に移項して −3x = −9
両辺を−3でわって x = 3
左辺 = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11
右辺 = 5 × 3 − 4 = 15 − 4 = 11
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
答え \(a = 5\)
8. 二段になった問題です。前半で求めるのは \(a\)、後半で求めるのは \(x\) です。
前半から解きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x + a}{3} = \dfrac{x - 1}{2}\) | もとの式 |
| \(\dfrac{7 + a}{3} = \dfrac{7 - 1}{2}\) | 解 \(x = 7\) を代入した |
| \(\dfrac{7 + a}{3} = \dfrac{6}{2}\) | 右辺の分子を計算した |
| \(2(7 + a) = 3 \times 6\) | 両辺に \(6\) をかけて分母をはらった |
| \(14 + 2a = 18\) | 左辺のかっこを分配法則で外し、右辺を計算した |
| \(2a = 18 - 14\) | \(14\) を右辺へ移項した |
| \(2a = 4\) | 右辺を計算した |
| \(a = 2\) | 両辺を \(2\) でわった |
確かめ
a=2 をもとの式に戻すと (x + 2) ÷ 3 = (x − 1) ÷ 2
両辺に6をかけて 2(x + 2) = 3(x − 1)
かっこを外して 2x + 4 = 3x − 3
移項して −x = −7、x = 7
左辺 = (7 + 2) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3
右辺 = (7 − 1) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3
左辺 = 右辺 なので x=7 は解
後半に進みます。\(a = 2\) を比例式に入れます。ここでの \(x\) は前半の \(7\) とは別で、この比例式を成り立たせる値をあらためて求めます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2 : 5 = (x - 4) : 20\) | \(a = 2\) を代入した |
| \(2 \times 20 = 5(x - 4)\) | \(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使った |
| \(40 = 5x - 20\) | 左辺を計算し、右辺のかっこを分配法則で外した |
| \(-5x = -20 - 40\) | \(5x\) を左辺へ、\(40\) を右辺へ移項した |
| \(-5x = -60\) | 右辺を計算した |
| \(x = 12\) | 両辺を \(-5\) でわった |
確かめ
左辺 = 2 : 5
右辺 = (12 − 4) : 20 = 8 : 20 = 2 : 5
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
答え \(a = 2\)、\(x = 12\)
次のレッスンへ
セクション8で、比と比例式という道具が加わりました。これで、一次方程式を解くための道具はひととおりそろったことになります。
次のセクション9では、入試で実際に出される文章題に取り組みます。年齢を題材にした問題、整数の性質を使う問題、条件が二段になっていて一度解いた値をもう一度使う問題など、これまでの道具を組み合わせないと解けない場面に進みます。どれも、使う道具そのものは新しくありません。新しいのは、問題文から何を \(x\) とおくかを自分で決め、どの道具を選ぶかを自分で判断する部分です。このレッスンでやった「解き始める前に、何を求められているかを決める」という習慣が、そのまま効いてきます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。