年齢と何年後の問題

このレッスンでできるようになること

• 「\(x\) 年後」「\(x\) 年前」を、出てくる人全員の年齢に同じだけ足す・引く形で式に表せる
• 年齢の表を使って、「何年後に◯倍になるか」「何年前に◯倍だったか」「今は何歳か」の方程式をつくり、解ける
• 出てきた年数や年齢が場面に合っているかを、答えの吟味で確かめられる

前のレッスンの確認

• 文章題を解く五つの手順：①何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く：②数量を式で表す：③等しい関係を見つけて方程式を作る：④方程式を解く：⑤場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
• 答えの吟味：求めた値がその量としてありえるかを見ること
• 移項：項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
• 分配法則：\(a(b + c) = ab + ac\)

年齢の問題のいちばんの急所

年齢の問題は、次の一文で決まります。

何年たっても、そこに出てくる人の年齢は、全員が同じだけ増える。

あたりまえに聞こえますが、この一文を式にできるかどうかで、正解と不正解が分かれます。今、父が \(42\) 歳で子が \(12\) 歳だとしましょう。\(1\) 年たてば父は \(43\) 歳、子は \(13\) 歳です。\(2\) 年たてば父は \(44\) 歳、子は \(14\) 歳です。父だけが年をとって子はそのまま、ということは起こりません。

だから、「\(x\) 年後」とおいたら、父にも \(x\) を足し、子にも \(x\) を足します。父を \(42 + x\) とだけ書いて、子を \(12\) のままにしておくのが、このレッスンでいちばん多い誤りです。

反対に「\(x\) 年前」とおいたら、両方から \(x\) を引きます。\(3\) 年前なら、父は \(42 - 3 = 39\) で \(39\) 歳、子は \(12 - 3 = 9\) で \(9\) 歳です。ここでも、片方だけ引くことはできません。

変わらないものが一つだけある

ここで、年齢の差という言葉を決めておきます。年齢の差とは、二人の年齢のうち、大きいほうから小さいほうを引いた値のことです。 今の父と子なら \(42 - 12 = 30\) で、年齢の差は \(30\) 歳です。

この差は、何年たっても変わりません。\(1\) 年後は \(43 - 13 = 30\)、\(5\) 年後は \(47 - 17 = 30\)、\(10\) 年前なら \(32 - 2 = 30\) です。両方に同じ数を足し、両方から同じ数を引いているのですから、差が動きようがないのです。文字で書いても同じことが見えます。

\((42 + x) - (12 + x) = 42 + x - 12 - x = 30\)

\(x\) が消えました。これが「年齢の差は変わらない」ということの正体です。

いっぽうで、何倍かという関係は毎年変わります。今は \(42 \div 12 = 3.5\) で \(3.5\) 倍ですが、\(3\) 年後は \(45\) 歳と \(15\) 歳で \(3\) 倍、\(18\) 年後は \(60\) 歳と \(30\) 歳で \(2\) 倍です。差は動かないのに倍は動く。この食いちがいが、年齢の問題がおもしろい理由であり、方程式がつくれる理由でもあります。

年齢の表をつくる

年齢の問題では、年齢の表を使います。年齢の表とは、人を行に、「今」と「\(x\) 年後」を列にして年齢を書き並べた表のことです。 列は二つだけ、行は出てくる人の数だけつくります。

右の列を書くときは、必ず上から順に、どの行にも同じ \(x\) を足していきます。行を一つ飛ばしたら、その時点で式はまちがいです。「\(x\) 年前」の問題なら、右の列の見出しを「\(x\) 年前」にして、どの行からも同じ \(x\) を引きます。

方程式は、この右の列（または左の列）の中だけを見てつくります。たとえば「\(x\) 年後に父が子の \(3\) 倍になる」なら、右の列の父の式と、右の列の子の式を \(3\) 倍したものが等しい、と書けばよいのです。

下の図で、帯の長さを年齢だと思って見てください。

点線でかいた部分が、\(x\) 年でのびた分です。上の帯にも下の帯にも、まったく同じ長さの点線がついています。そして帯の右はしどうしのへだたりは、上でも下でも変わっていません。年齢の問題の絵は、いつもこの形になります。

例題1　何年後に3倍になるか

今、父は \(42\) 歳、子は \(12\) 歳です。父の年齢が子の年齢の \(3\) 倍になるのは何年後ですか。

まず手順①です。求めるものは年数なので、\(x\) 年後に \(3\) 倍になるとして、\(x\) を年数（年）とおきます。

手順②で年齢の表をつくります。上でつくった表がそのまま使えます。

手順③です。等しい関係は「\(x\) 年後の父の年齢は、\(x\) 年後の子の年齢の \(3\) 倍」です。\(3\) 倍するのは、\(x\) 年後の子の年齢であって、今の子の年齢ではありません。ここを取りちがえないために、かっこをつけて \(3(12 + x)\) と書きます。

確かめ

左辺 = 42 + 3 = 45
右辺 = 3 × (12 + 3) = 3 × 15 = 45
左辺 = 右辺 なので x=3 は解

手順⑤の答えの吟味です。\(3\) 年後の父は \(45\) 歳、子は \(15\) 歳。どちらも正の整数で、年齢としてありえます。\(45\) はたしかに \(15\) の \(3\) 倍です。年数も正なので、「何年後」という問いに合っています。

答え　3年後

例題2　何年前だったかを求める

今、母は \(41\) 歳、娘は \(11\) 歳です。母の年齢が娘の年齢の \(6\) 倍だったのは何年前ですか。

手順①、\(x\) 年前だったとして、\(x\) を年数（年）とおきます。

手順②の表です。列の見出しが「\(x\) 年前」に変わり、引き算になります。

引く向きをまちがえないために、下の図で確かめておきましょう。

点線の部分が、さかのぼって消える分です。二つの点線の長さは同じです。

手順③、「\(x\) 年前の母の年齢は、\(x\) 年前の娘の年齢の \(6\) 倍」でした。

確かめ

左辺 = 41 − 5 = 36
右辺 = 6 × (11 − 5) = 6 × 6 = 36
左辺 = 右辺 なので x=5 は解

答えの吟味です。\(5\) 年前の母は \(36\) 歳、娘は \(6\) 歳。どちらも正の整数です。とくに娘の \(6\) 歳が正であることは大事で、ここがもし \(0\) 以下なら「まだ生まれていない年」を答えにしてしまったことになります。年齢の差も \(36 - 6 = 30\) で、今の \(41 - 11 = 30\) と同じままです。

答え　5年前

例題3　今の年齢を求める

今、おじの年齢は、おいの年齢より \(26\) 歳多いそうです。\(7\) 年後に、おじの年齢はおいの年齢のちょうど \(3\) 倍になります。今、おいは何歳ですか。

前の二題とは向きが逆です。年数のほうは \(7\) と分かっていて、分からないのは今の年齢です。ですから手順①では、今のおいの年齢を \(x\) 歳とおきます。おじは \(26\) 歳多いので \(x + 26\) 歳です。

手順②、表の列の見出しは「\(7\) 年後」になります。文字が入るのは今の列のほうです。

ここでも、二人ともに \(7\) を足しています。おじの \(7\) 年後は \(x + 26 + 7\) で、まとめれば \(x + 33\) です。

確かめ

左辺 = 6 + 33 = 39
右辺 = 3 × (6 + 7) = 3 × 13 = 39
左辺 = 右辺 なので x=6 は解

答えの吟味です。今のおいは \(6\) 歳、おじは \(6 + 26 = 32\) で \(32\) 歳。どちらも正の整数で、おじのほうが年上という場面にも合っています。\(7\) 年後はおいが \(13\) 歳、おじが \(39\) 歳で、\(39\) は \(13\) の \(3\) 倍です。

問われたのは「今、おいは何歳か」でした。\(7\) 年後の \(13\) 歳と答えないよう、最後に問題文へ戻ります。

答え　6歳

例題4　三人が出てくる問題

今、父は \(39\) 歳、母は \(37\) 歳、子は \(8\) 歳です。父と母の年齢の和が、子の年齢の \(6\) 倍になるのは何年後ですか。

入試ではこの形がよく出ます。人が三人になっても、やることは変わりません。三人とも同じだけ年をとります。

手順①、\(x\) 年後として、\(x\) を年数（年）とおきます。手順②の表は行が三つになります。

手順③です。「父と母の年齢の和」は \(x\) 年後には \((39 + x) + (37 + x)\) です。\(x\) が二つ入ることに注意してください。二人いれば、増える年数も二人分だからです。

確かめ

左辺 = (39 + 7) + (37 + 7) = 46 + 44 = 90
右辺 = 6 × (8 + 7) = 6 × 15 = 90
左辺 = 右辺 なので x=7 は解

答えの吟味です。\(7\) 年後は父 \(46\) 歳、母 \(44\) 歳、子 \(15\) 歳。三人とも正の整数で、親のほうが子より年上という関係もくずれていません。年数も正です。

答え　7年後

答えの吟味で、年齢のときに見ること

年齢の問題では、次の三つを毎回見ます。

1. 年齢が正の整数になっているか。 \(0\) 歳以下の年齢や、\(7.5\) 歳のような答えは、この単元の問題では出てきません。もし出たら、たいてい立式でどこか一か所だけ \(x\) を足し忘れています。
2. 「何年前」で、まだ生まれていない年になっていないか。 例題2で娘が \(6\) 歳だったところです。もし \(-2\) 歳のような値になったら、その年にはその人はまだいません。
3. 年数の符号が問いと合っているか。 ここは少していねいに見ておきます。

三つめを、例題1と同じ家族で確かめてみましょう。今、父は \(42\) 歳、子は \(12\) 歳。「父の年齢が子の年齢の \(4\) 倍になるのは何年後か」と聞かれたとします。同じように立てると \(42 + x = 4(12 + x)\) です。

42 + x = 48 + 4x
x − 4x = 48 − 42
−3x = 6
x = −2

\(x = -2\) になりました。年数がマイナスです。これは計算ミスではありません。「\(2\) 年後」の反対、つまり \(2\) 年前を指しています。実際、\(2\) 年前は父が \(40\) 歳、子が \(10\) 歳で、\(40\) はきちんと \(10\) の \(4\) 倍です。\(4\) 倍になる年は、未来ではなくもう過ぎていた、というだけのことです。

こういうとき、「何年後ですか」という問いにそのまま \(-2\) 年後と書くのは不親切です。「\(2\) 年前」と直して答えるか、問題文が何年後だけを求めているなら「そのような年は未来にはない」と判断します。マイナスが出たら計算をやり直す前に、まず場面に戻って意味を読む。これが答えの吟味です。

今日の問い

父の年齢が子の年齢のちょうど \(3\) 倍になる年がやってきます。でも、その次の年にはもう \(3\) 倍ではありません。父も子も同じように年をとるのに、どうして \(3\) 倍のままではいられないのでしょうか。

答えは、このレッスンの最初に見たことがそのまま効いてきます。変わらないのは差で、倍ではないからです。

例題1の家族で並べてみます。\(3\) 年後は父 \(45\) 歳、子 \(15\) 歳で、差は \(30\)、倍は \(3\) 倍。その \(1\) 年後は父 \(46\) 歳、子 \(16\) 歳で、差は \(30\) のまま、しかし \(46 \div 16 = 2.875\) で \(3\) 倍ではありません。

同じ \(1\) を足しても、\(45\) にとっての \(1\) と \(15\) にとっての \(1\) では重みがちがいます。小さいほうにとっての \(1\) のほうが大きな増え方なので、子のほうが速く追い上げ、倍の数はどんどん小さくなっていきます。父が子の \(3\) 倍でいられるのは、たった \(1\) 年だけ。だから「\(3\) 倍になるのは何年後か」という問いに、答えがきちんと一つに決まるのです。差は動かず倍は動く、という性質そのものが、この型の問題を成り立たせています。

よくある間違い

まちがい1：片方の年齢だけに年数を足してしまう

例題1で、こう書いてしまう人がいます。

✗ 42 = 3(12 + x)
○ 42 + x = 3(12 + x)

✗ の式は、「子だけが \(x\) 年ぶん年をとって、父は \(42\) 歳のまま」と言っています。そんなことは起こりません。この式を解くとどうなるか、最後まで見てみましょう。

42 = 36 + 3x
−3x = 36 − 42
−3x = −6
x = 2

\(x = 2\) が出ます。もっともらしい数ですが、\(2\) 年後の本当の年齢は父 \(44\) 歳、子 \(14\) 歳です。

父の年齢 = 44
子の年齢の3倍 = 3 × 14 = 42
44 ≠ 42 なので、2年後は3倍になっていない

合いませんでした。表の右の列を上から順に、行を飛ばさずに書く。これだけでこの誤りは防げます。

まちがい2：「何年前」なのに足してしまう

例題2で、\(x\) 年前とおいたのに、表の癖で足してしまうことがあります。

✗ 41 + x = 6(11 + x)
○ 41 − x = 6(11 − x)

✗ を解くと \(41 + x = 66 + 6x\) から \(-5x = 25\) となり、\(x = -5\) です。マイナスが出ました。\(x\) は「何年前か」を表す年数のはずなのに、\(-5\) 年前ではおかしい。ここで立式を見直せば、引き算にすべきだったと気づけます。実際、正しい式の答えは \(5\) 年前でした。「前」と書いてあったら引く、と表の見出しに書いておくのが安全です。

まちがい3：人が三人いるのに年数を一つしか足さない

例題4で、父と母の和を先に \(39 + 37 = 76\) と計算してしまい、そのあとで \(x\) を一つだけ足す誤りです。

✗ 76 + x = 6(8 + x)
○ (39 + x) + (37 + x) = 6(8 + x)

✗ を解くと \(76 + x = 48 + 6x\) から \(-5x = -28\) となり、\(x = \dfrac{28}{5}\) です。\(5.6\) 年という中途半端な答えになりました。年齢の問題でこういう数が出たら、まず \(x\) の個数を数え直します。父が \(x\) 年ぶん、母も \(x\) 年ぶん年をとるのですから、和には \(x\) が二つ入らなければなりません。和を先に計算してから \(x\) を足すのではなく、一人ずつ式にしてから足す。この順番を守れば防げます。

まちがい4：問われたものと別のものを答える

例題3では今の年齢を、例題1では年数を聞かれました。\(x\) が何を表しているかは問題ごとにちがいます。

✗ x = 6 なので、答えは 6 + 7 = 13 歳
○ x は今のおいの年齢なので、答えは 6 歳

\(13\) 歳を今のおいの年齢だとして場面に戻してみます。おじは \(13 + 26 = 39\) で \(39\) 歳。\(7\) 年後はおいが \(20\) 歳、おじが \(46\) 歳です。

おじの年齢 = 46
おいの年齢の3倍 = 3 × 20 = 60
46 と 60 がちがうので、今のおいが13歳では3倍にならない

例題3で \(x = 6\) と出たあと、\(7\) 年後の \(13\) 歳と答えたり、おじの \(32\) 歳と答えたりする取りちがえがよく起こります。手順①で「今のおいの年齢を \(x\) 歳とおく」と単位まで書いておき、答える直前にもう一度そのメモを見る。これが確実な直し方です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。

1. 今、父は \(45\) 歳、子は \(13\) 歳です。父の年齢が子の年齢の \(2\) 倍になるのは何年後ですか。
2. 今、祖母は \(63\) 歳、孫は \(15\) 歳です。祖母の年齢が孫の年齢の \(7\) 倍だったのは何年前ですか。
3. 今、おばの年齢は、めいの年齢より \(30\) 歳多いそうです。\(5\) 年後に、おばの年齢はめいの年齢の \(4\) 倍になります。今、めいは何歳ですか。
4. 今、父は \(46\) 歳、兄は \(15\) 歳、弟は \(11\) 歳です。父の年齢が、兄と弟の年齢の和と等しくなるのは何年後ですか。

左辺 = 45 + 19 = 64
右辺 = 2 × (13 + 19) = 2 × 32 = 64
左辺 = 右辺 なので x=19 は解

左辺 = 63 − 7 = 56
右辺 = 7 × (15 − 7) = 7 × 8 = 56
左辺 = 右辺 なので x=7 は解

左辺 = 5 + 35 = 40
右辺 = 4 × (5 + 5) = 4 × 10 = 40
左辺 = 右辺 なので x=5 は解

左辺 = 46 + 20 = 66
右辺 = (15 + 20) + (11 + 20) = 35 + 31 = 66
左辺 = 右辺 なので x=20 は解

次のレッスンへ

次は、整数の性質を使う問題に進みます。年齢の問題では「全員に同じ数を足す」ことが式の骨組みでしたが、次は「数と数のあいだにある決まった関係」を文字で表すことが骨組みになります。数のならび方や、けたのしくみを \(x\) で書けるようになると、入試で出る整数の問題がひとまとまりの型として見えてきます。

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