整数の性質を使う問題

このレッスンでできるようになること

• 連続する整数や、連続する偶数・奇数を、1つの文字 \(x\) だけを使って表せる
• 2けたの整数を十の位と一の位に分けて、\(10a + b\) の形で表せる
• 位を入れかえた数を使って方程式を作り、答えの吟味まで自分でできる

前のレッスンの確認

• 文章題を解く五つの手順：①何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く：②数量を式で表す：③等しい関係を見つけて方程式を作る：④方程式を解く：⑤場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
• 差が決まっている型　一方を \(x\)、もう一方を \(x + △\) と表す
• 答えの吟味　求めた値がその量としてありえるかを見ること

連続する整数の表し方

連続する整数とは、1ずつ増えていく整数の並びのことです。たとえば \(5\)、\(6\)、\(7\) は連続する3つの整数です。\(12\)、\(13\)、\(14\) もそうです。

ここで大事なのは、3つの数がばらばらではないということです。\(5\) が決まれば、次は \(5 + 1\)、その次は \(5 + 2\) と自動的に決まります。\(12\) なら \(12 + 1\)、\(12 + 2\) です。決まっていない数は、いちばん小さい数ひとつだけなのです。

だから、いちばん小さい数を \(x\) とおけば、3つの数は \(x\)、\(x + 1\)、\(x + 2\) と書けます。

3つの数を表すのに、文字は1つで足ります。これが方程式にできる理由です。

まん中の数を文字でおくと計算が楽になる

\(x\) をどこに置くかは、自分で選べます。いちばん小さい数ではなく、まん中の数を \(x\) とおいてみましょう。すると、小さいほうは \(1\) 減って \(x - 1\)、大きいほうは \(1\) 増えて \(x + 1\) になります。

3つの数をたしてみると、ちがいがはっきりします。

いちばん小さい数を x とおくと   x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3
まん中の数を x とおくと         (x − 1) + x + (x + 1) = 3x

まん中に置くと \(-1\) と \(+1\) が打ち消し合って、和がぴったり \(3x\) になります。数の項が残らないぶん、あとの計算がずっと軽くなります。どちらでも解けますが、和が出てくる問題ではまん中を選ぶのが得です。

例題1　連続する3つの整数

連続する3つの整数があります。その和は \(84\) です。この3つの整数を求めなさい。

まん中が \(28\) なので、3つの数は \(27\)、\(28\)、\(29\) です。

確かめ

左辺 = (28 − 1) + 28 + (28 + 1) = 27 + 28 + 29 = 84
右辺 = 84
左辺 = 右辺 なので x=28 は解

答えの吟味　\(27\)、\(28\)、\(29\) はどれも整数で、1ずつ増えています。連続する3つの整数になっているので、場面に合っています。

答え　\(27\)、\(28\)、\(29\)

いちばん小さい数を \(x\) とおいても同じ答えになります。\(x + (x + 1) + (x + 2) = 84\) から \(3x + 3 = 84\)、\(3x = 81\)、\(x = 27\) です。いちばん小さい数が \(27\) なので、やはり \(27\)、\(28\)、\(29\) です。ただし、\(3\) を移項する手間が1回ぶん増えました。

連続する偶数・奇数の表し方

偶数は \(2\) でわりきれる整数です。\(8\) の次の偶数は \(9\) ではなく \(10\) です。\(9\) は偶数ではないので、とばさなければなりません。同じように \(10\) の次の偶数は \(12\) です。

つまり、連続する偶数はとなりへ進むごとに \(2\) ずつ増えます。だから、いちばん小さい偶数を \(x\) とおくと、3つの偶数は \(x\)、\(x + 2\)、\(x + 4\) となります。

\(x\)、\(x + 1\)、\(x + 2\) ではありません。ここが最初のつまずきどころです。

奇数も同じです。\(7\) の次の奇数は \(9\)、その次は \(11\) で、やはり \(2\) ずつ増えます。連続する奇数も \(x\)、\(x + 2\)、\(x + 4\) と表します。偶数と奇数で書き方は変わりません。ちがうのは \(x\) に入る数が偶数か奇数かだけです。

ためしに、連続する3つの偶数の和が \(54\) になる場合を解いてみます。\(x + (x + 2) + (x + 4) = 54\) から \(3x + 6 = 54\)、\(3x = 48\)、\(x = 16\) です。3つの偶数は \(16\)、\(18\)、\(20\) で、たしかにどれも偶数、和も \(54\) です。

まん中を \(x\) とおくなら \(x - 2\)、\(x\)、\(x + 2\) です。和は \(3x\) になり、ここでも打ち消し合いが起こります。

例題2　連続する3つの偶数

連続する3つの偶数があります。いちばん小さい数の \(4\) 倍は、いちばん大きい数の \(3\) 倍より \(6\) 大きくなります。この3つの偶数を求めなさい。

いちばん小さい偶数が \(18\) なので、3つの偶数は \(18\)、\(20\)、\(22\) です。

確かめ

左辺 = 4 × 18 = 72
右辺 = 3 × (18 + 4) + 6 = 3 × 22 + 6 = 66 + 6 = 72
左辺 = 右辺 なので x=18 は解

答えの吟味　\(18\)、\(20\)、\(22\) はどれも偶数で、\(2\) ずつ増えています。連続する3つの偶数になっています。

答え　\(18\)、\(20\)、\(22\)

2けたの整数を位に分けて表す

ここからがこのレッスンの中心です。

\(47\) という数を考えます。この数の十の位の数は \(4\)、一の位の数は \(7\) です。この \(4\) と \(7\) を、各位の数と呼びます。各位の数とは、その整数の十の位の数と一の位の数のことです。\(47\) の各位の数は \(4\) と \(7\)、\(60\) の各位の数は \(6\) と \(0\) です。

では \(47\) はどうやってできているのでしょうか。十の位の \(4\) は「\(10\) が \(4\) こ」という意味で \(40\) を表します。一の位の \(7\) はそのまま \(7\) です。つまり次のようになります。

\(47 = 10 \times 4 + 7 = 40 + 7\)

\(62\) でも \(80\) でも同じです。\(62 = 10 \times 6 + 2\)、\(80 = 10 \times 8 + 0\) になります。どの2けたの整数も「十の位の数を \(10\) 倍して、一の位の数をたす」でできています。

そこで、十の位の数を \(a\)、一の位の数を \(b\) とすると、その2けたの整数は次のように表せます。

\(10a + b\)

ここでの \(a\) と \(b\) は、位の数を書き分けるための記号です。方程式に入れる未知数は、いつも \(x\) ひとつだけにします。

ここで \(ab\) と書いてはいけません。 なぜでしょうか。実際に書いてみて、何が起きるか見てみましょう。文字式の約束では、文字と文字をならべて書いた \(ab\) は \(a \times b\) という意味です。\(a = 4\)、\(b = 7\) を入れると \(ab = 4 \times 7 = 28\) になってしまいます。\(47\) ではなく \(28\) です。数字をならべて書く書き方は、文字の世界では通用しないのです。

\(10a + b\) に \(a = 4\)、\(b = 7\) を入れると \(10 \times 4 + 7 = 47\) になります。こちらが正しい表し方です。

未知数は1つだけにする　いまは一次方程式を学んでいるので、方程式に入れる文字は1つだけです。そのため、位を使う問題には「十の位の数が一の位の数より \(3\) 大きい」「各位の数の和が \(11\) である」のように、片方が決まればもう片方も決まる条件が必ずついています。たとえば「十の位の数が一の位の数より \(3\) 大きい2けたの整数」なら、一の位の数を \(x\) とおくと十の位の数は \(x + 3\) となり、その整数は \(10(x + 3) + x\) と、\(x\) だけで書けます。

位を入れかえた数

十の位の数と一の位の数を交換してできる数を、入れかえた数と呼ぶことにします。もとの数の十の位が \(a\)、一の位が \(b\) なら、入れかえた数は十の位が \(b\)、一の位が \(a\) ですから、次のようになります。

\(10b + a\)

\(49\) の位を入れかえると \(94\) になります。\(49 = 10 \times 4 + 9\)、\(94 = 10 \times 9 + 4\) です。もとの数と入れかえた数の差は \(94 - 49 = 45\)、和は \(94 + 49 = 143\) です。入試の問題は、この差や和を手がかりにしてきます。

位の問題では、答えの吟味がとくに大切です。位の数は \(0\) から \(9\) までの整数でなければなりません。\(10\) や \(-2\)、\(3.5\) は位の数になれません。さらに、2けたの整数の十の位の数は \(0\) になれません。十の位が \(0\) だと \(07\) のようになり、それは1けたの \(7\) だからです。

例題3　位を入れかえた数ともとの数

各位の数の和が \(13\) である2けたの整数があります。十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2けたの整数は、もとの整数より \(45\) 大きくなります。もとの整数を求めなさい。

一の位の数が \(9\)、十の位の数は \(13 - 9 = 4\) です。もとの整数は \(49\)、入れかえた整数は \(94\) です。

確かめ

左辺 = 9 × 9 + 13 = 81 + 13 = 94
右辺 = (130 − 9 × 9) + 45 = (130 − 81) + 45 = 49 + 45 = 94
左辺 = 右辺 なので x=9 は解

答えの吟味　\(9\) も \(4\) も \(0\) から \(9\) までの整数です。十の位の \(4\) は \(0\) ではないので、\(49\) はきちんと2けたの整数です。\(94 - 49 = 45\) で、条件にも合っています。

答え　\(49\)

聞かれているのは \(x\) の値ではなく「もとの整数」です。\(x = 9\) で止めずに、\(49\) まで戻ることを忘れないでください。

例題4　各位の数の和との関係

十の位の数が一の位の数より \(2\) 大きい2けたの整数があります。この整数は、各位の数の和の \(7\) 倍に等しくなります。この整数を求めなさい。

一の位の数が \(2\)、十の位の数は \(2 + 2 = 4\) です。整数は \(42\) です。

確かめ

左辺 = 11 × 2 + 20 = 22 + 20 = 42
右辺 = 7 × (2 × 2 + 2) = 7 × 6 = 42
左辺 = 右辺 なので x=2 は解

答えの吟味　\(2\) も \(4\) も \(0\) から \(9\) までの整数で、十の位は \(0\) ではありません。各位の数の和は \(4 + 2 = 6\)、その \(7\) 倍は \(42\) で、もとの整数と一致します。

答え　\(42\)

今日の問い

\(47\) という2けたの整数を文字で表すとき、十の位の数を \(a\)、一の位の数を \(b\) として \(ab\) と書いてはいけないのは、なぜでしょうか。

答えは本文で確かめたとおりです。文字式の約束では \(ab\) は \(a \times b\) を意味します。\(a = 4\)、\(b = 7\) を入れると \(ab = 28\) となり、\(47\) とはまったくちがう数になってしまいます。数字は位ごとにならべて書けますが、文字はならべて書くとかけ算になる。この差を埋めるのが \(10a + b\) という表し方です。十の位の数には \(10\) をかける、と式の中にはっきり書いてあるので、意味を取りちがえようがありません。

よくある間違い

まちがい1：2けたの整数を、文字をならべたり、たしたりして書いてしまう

✗ 十の位が a、一の位が b の2けたの整数 = ab
✗ 十の位が x、一の位が y の2けたの整数 = x + y
○ 十の位が a、一の位が b の2けたの整数 = 10a + b

\(a = 4\)、\(b = 7\) を入れて確かめます。\(ab = 4 \times 7 = 28\)、\(x + y\) の形なら \(4 + 7 = 11\) です。どちらも \(47\) になりません。正しい \(10a + b\) は \(10 \times 4 + 7 = 47\) になります。

\(x + y\) と書いてしまう人は、位の数をただたしています。しかし \(47\) は \(4\) と \(7\) をたした数ではありません。十の位の \(4\) は \(40\) という重みを持っています。その重みを式に書きこむのが \(10\) をかけるという操作です。

なお、この \(x + y\) のように文字を2つ使ってしまうと、一次方程式では解けなくなります。位の問題では必ず、片方の位を \(x\) で表せる条件が問題文に書かれています。そこを探してから式を作りましょう。

まちがい2：連続する偶数を1ずつ増やして表してしまう

連続する3つの偶数の和が \(54\) である場合で見てみます。

✗ x + (x + 1) + (x + 2) = 54 → 3x + 3 = 54 → 3x = 51 → x = 17
○ x + (x + 2) + (x + 4) = 54 → 3x + 6 = 54 → 3x = 48 → x = 16

✗ の式から出た \(x = 17\) を場面に戻すと、3つの数は \(17\)、\(18\)、\(19\) です。たしかに和は \(54\) になります。しかし \(17\) と \(19\) は偶数ではありません。求めるのは連続する3つの偶数なのですから、これでは答えになりません。

方程式そのものは正しく解けているのに答えが合わない。これは手順②の「数量を式で表す」でつまずいた印です。式が偶数を表していなければ、そこから先をどれだけ正確に計算しても偶数は出てきません。

○ の式から出た \(x = 16\) なら、3つの数は \(16\)、\(18\)、\(20\) です。どれも偶数で、和も \(16 + 18 + 20 = 54\) です。偶数どうし、奇数どうしは \(2\) ずつはなれている。ここを間ちがえないでください。

まちがい3：「大きい」「小さい」の向きを逆にしてしまう

例題3で、どちらの数に \(45\) をたすかを取りちがえた式です。

✗ 130 − 9x = (9x + 13) + 45
○ 9x + 13 = (130 − 9x) + 45

✗ を解くと \(130 - 9x = 9x + 58\)、\(-18x = -72\)、\(x = 4\) となります。一の位が \(4\)、十の位が \(13 - 4 = 9\) ですから、もとの整数は \(94\)、入れかえた整数は \(49\) です。ところが \(49\) は \(94\) より \(45\) 小さい数です。問題文は「入れかえた数のほうが \(45\) 大きい」と言っているので、これでは合いません。

\(45\) をたすのは、小さいほうの数です。「AはBより \(45\) 大きい」は「A \(=\) B \(+ 45\)」と書きます。大きいほうの数がある辺に、そのまま \(+45\) を書き足さないよう気をつけましょう。迷ったら、\(94 = 49 + 45\) のように具体的な数で向きを確かめてから文字にすると安全です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。

1. 連続する3つの整数があります。その和は \(96\) です。この3つの整数を求めなさい。
2. 連続する3つの奇数があります。その和は \(123\) です。この3つの奇数を求めなさい。
3. 連続する3つの整数があります。いちばん大きい数の \(3\) 倍は、他の2つの数の和より \(29\) 大きくなります。この3つの整数を求めなさい。
4. ある2けたの整数は、十の位の数が一の位の数の \(3\) 倍です。十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2けたの整数は、もとの整数より \(36\) 小さくなります。もとの整数を求めなさい。
5. 各位の数の和が \(12\) である2けたの整数があります。十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2けたの整数は、もとの整数より \(18\) 大きくなります。もとの整数を求めなさい。

左辺 = (32 − 1) + 32 + (32 + 1) = 31 + 32 + 33 = 96
右辺 = 96
左辺 = 右辺 なので x=32 は解

左辺 = 39 + (39 + 2) + (39 + 4) = 39 + 41 + 43 = 123
右辺 = 123
左辺 = 右辺 なので x=39 は解

左辺 = 3 × (25 + 1) = 3 × 26 = 78
右辺 = (25 − 1) + 25 + 29 = 24 + 25 + 29 = 78
左辺 = 右辺 なので x=25 は解

左辺 = 13 × 2 = 26
右辺 = 31 × 2 − 36 = 62 − 36 = 26
左辺 = 右辺 なので x=2 は解

左辺 = 9 × 7 + 12 = 63 + 12 = 75
右辺 = (120 − 9 × 7) + 18 = (120 − 63) + 18 = 57 + 18 = 75
左辺 = 右辺 なので x=7 は解

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次のレッスンでは、平均の問題を扱います。平均は「合計 \(\div\) 個数」で求めますが、方程式では逆に「平均 \(\times\) 個数 \(=\) 合計」と考えて、合計を二通りに表すのが基本になります。今回の位の問題で身につけた「決まっていない数は1つだけ」という見方が、そのまま生きてきます。

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