なぜ符号が変わるのか

このレッスンでできるようになること

反対の数が何かを言えて、足すと0になることを使える
移項で符号が変わる理由を、等式の性質①を使って自分の言葉で説明できる
移項した項だけが符号を変えることを守って、方程式を最後まで解ける

前のレッスンの確認

項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
同類項 … 文字の部分がまったく同じ項どうしのこと
係数 … 文字にかけられている数のこと
移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
等式の性質① … \(A = B\) のとき、\(A + C = B + C\)
等式の性質② … \(A = B\) のとき、\(A - C = B - C\)

移項は、前のレッスンで決めた言葉でした。等式の性質を短く書き直したものです。

ただ、ここで多くの人がつまずきます。「移項したら符号を変える」という部分です。これを手続きとしてだけ覚えると、どの項の符号を変えるのか分からなくなり、変えなくてよい項まで変えてしまいます。

今日は、この符号の変化を暗記から外します。符号が変わるのは、誰かがそう決めたからではありません。打ち消して0を作った結果、そう見えているだけです。

反対の数

まず、道具を1つ用意します。

反対の数 … 符号だけを変えた数のこと

\(5\) の反対の数は \(-5\) です。\(-3\) の反対の数は \(3\) です。数の大きさはそのままにして、符号だけをひっくり返します。

数	反対の数
\(5\)	\(-5\)
\(-3\)	\(3\)
\(12\)	\(-12\)
\(-7\)	\(7\)

反対の数には、大事な特徴が1つあります。足すと0になることです。

\(5 + (-5) = 0\)

\(-3 + 3 = 0\)

数直線で考えると分かりやすいです。\(5\) は0から右へ5進んだ場所、\(-5\) を足すのは0から左へ5進む動きです。右へ5進んでから左へ5進めば、出発点の0に戻ります。

ある数を0にしたければ、その反対の数を足せばよい。 これが今日ずっと使う道具です。

じゃまな項を0にして、x だけを残す

\(x + 5 = 12\) を解きます。

したいことは1つだけです。左辺を \(x\) だけにすること。じゃまをしているのは \(+5\) という項です。

この \(+5\) を消したい。では、どうすれば消えるのでしょうか。

\(+5\) を0にすればよいのです。0になった項は、あってもなくても値が変わりません。\(x + 0\) は \(x\) ですから、左辺は \(x\) だけになります。

\(+5\) を0にするには、さっきの道具を使います。反対の数 \(-5\) を足すのです。

\(5 + (-5) = 0\)

ただし、左辺だけに \(-5\) を足してはいけません。それでは天びんの片方の皿だけをさわったことになり、等式が崩れます。両辺に \(-5\) を足します。これは等式の性質①（\(A = B\) のとき \(A + C = B + C\)）そのものです。\(C\) が \(-5\) になっただけです。

x + 5 = 12
x + 5 + (−5) = 12 + (−5)      ← 両辺に −5 を足した（性質①）

左辺を見ます。\(5 + (-5) = 0\) なので、左辺は \(x + 0\)、つまり \(x\) です。右辺を見ます。\(12 + (-5) = 12 - 5 = 7\) です。

x = 7

ここからが今日の山場です。もとの式と、できあがった式を並べてみてください。

x + 5 = 12
    x = 12 − 5

左辺にあった \(+5\) が、右辺では \(-5\) になって現れています。

これが「符号が変わる」の正体です。 誰かが符号をひっくり返したのではありません。\(+5\) を打ち消すために両辺へ足した \(-5\) が、右辺にそのまま残った。それだけのことです。

確かめ

左辺 = 7 + 5 = 12
右辺 = 12
左辺 = 右辺 なので x=7 は解

引かれている項でも、やることは同じ

\(x - 4 = 9\) を解きます。

左辺のじゃまな項は \(-4\) です。項には符号が含まれるので、「4」ではなく「\(-4\)」でひとかたまりだ、と読みます。

\(-4\) を0にするには、その反対の数 \(4\) を足します。\(-4 + 4 = 0\) ですね。両辺に \(4\) を足します。

x − 4 = 9
x − 4 + 4 = 9 + 4      ← 両辺に 4 を足した（性質①）
        x = 13

並べます。

x − 4 = 9
    x = 9 + 4

左辺にあった \(-4\) が、右辺で \(+4\) になって現れました。さっきとは向きが逆ですが、理由はまったく同じです。足すと0になる相手を足したから、反対の符号で現れるのです。

確かめ

左辺 = 13 − 4 = 9
右辺 = 9
左辺 = 右辺 なので x=13 は解

ここまでで、次の2つが言えます。

左辺の \(+5\) は、右辺に \(-5\) として現れる
左辺の \(-4\) は、右辺に \(+4\) として現れる

覚える必要はありません。「0にするには何を足すか」と自分に聞けば、その場で作れます。

負の数を引く形

問題によっては \(x - (-5) = 3\) のような形が出てきます。マイナスが2つ並んでいて、見た目が急に難しくなります。

ここでも反対の数が使えます。負の数を引くことは、その数の反対の数を足すことと同じです。

\(8 - (-5) = 8 + 5 = 13\)

\(-5\) を引くというのは、\(-5\) の分だけ減らすということです。\(-5\) は0より小さい数なので、それを取り除くと、かえって増えます。だから \(5\) を足したのと同じ結果になります。

もとの形	直した形	答え
\(8 - (-5)\)	\(8 + 5\)	\(13\)
\(-3 - (-7)\)	\(-3 + 7\)	\(4\)
\(6 + (-9)\)	\(6 - 9\)	\(-3\)

方程式でも、先に形を直してから移項します。

x − (−5) = 3
x + 5 = 3           ← −(−5) を +5 に直した
    x = 3 − 5
    x = −2

確かめ

左辺 = −2 − (−5) = −2 + 5 = 3
右辺 = 3
左辺 = 右辺 なので x=−2 は解

符号を直すことと移項することを、同じ行でまとめてやらないでください。行を分けておけば、まちがえたときに、どちらの行で崩れたのかがすぐ分かります。

文字の項でも、まったく同じ

移項できるのは数の項だけではありません。\(x\) のついた項も移項できます。理由も同じです。

\(5x = 2x + 9\) を解きます。

右辺に \(2x\) があるせいで、\(x\) が両側に散らばっています。まず文字の項を左辺に集めます。右辺の \(2x\) を0にしたいので、その反対の項 \(-2x\) を両辺に足します。

5x = 2x + 9
5x + (−2x) = 2x + (−2x) + 9      ← 両辺に −2x を足した（性質①）
5x − 2x = 9

右辺では \(2x + (-2x) = 0\) になるので、\(9\) だけが残りました。左辺の \(5x\) と \(-2x\) は同類項なので、係数どうしを計算して \(5x - 2x = 3x\) です。

3x = 9
 x = 3

（最後の行では、両辺を3で割りました。前のセクションで扱った等式の性質④です。移項したあとに割り算が残る形は、このセクションの4本目でくわしく扱います。）

並べて見ます。

5x = 2x + 9
5x − 2x = 9

右辺にあった \(+2x\) が、左辺で \(-2x\) になって現れました。数のときとまったく同じです。反対の項を足しているだけです。

確かめ

左辺 = 5 × 3 = 15
右辺 = 2 × 3 + 9 = 6 + 9 = 15
左辺 = 右辺 なので x=3 は解

移項していない項の符号は、変えない

ここが中1のいちばん危ない場所です。

符号が変わるのは、移した項だけです。動かなかった項は、そのままの符号で残ります。当たり前に聞こえますが、「移項したら符号を変える」という言葉だけが頭に残ると、式じゅうの符号を変えてしまう人がとても多いのです。

\(4x + 6 = x + 15\) を見ます。移すのは、右辺の \(x\)（左へ）と、左辺の \(+6\)（右へ）の2つです。

4x + 6 = x + 15
4x − x = 15 − 6      ← 移した項だけ符号が変わる
    3x = 9
     x = 3           ← 両辺を3で割った

動いた項と、動かなかった項を分けて見ます。

項	動いたか	符号
\(4x\)	動かない（左辺のまま）	\(+4x\) のまま
\(+6\)	左辺 → 右辺	\(-6\) になる
\(x\)	右辺 → 左辺	\(-x\) になる
\(+15\)	動かない（右辺のまま）	\(+15\) のまま

動かした項だけに手を入れる。 これを口に出しながら書くと、事故が減ります。

確かめ

左辺 = 4 × 3 + 6 = 12 + 6 = 18
右辺 = 3 + 15 = 18
左辺 = 右辺 なので x=3 は解

今日の問い

\(x + 5 = 12\) を移項して \(x = 12 - 5\) と書いたとき、左辺にあった \(+5\) はどこへ行ったのでしょうか。

「右へ移した」と答えたくなります。でも、項が机の上の物のように移動したわけではありません。起きたことは次のとおりです。

左辺の \(+5\) を消したかった
消すとは、\(+5\) を0にすること
0にするには、反対の数 \(-5\) を足す
片方だけではだめなので、両辺に \(-5\) を足した（性質①）
左辺では \(+5\) と \(-5\) が打ち消し合って0になり、\(x\) だけが残った
右辺には、足した \(-5\) がそのまま残った

つまり \(+5\) は右へ移動したのではなく、左辺で0になって消え、右辺には新しく \(-5\) が加わったのです。それが「符号を変えて移った」ように見えているだけです。

移項は、この6行を1行に縮めた書き方です。縮める前の形をいつでも書き戻せる人は、符号でまちがえません。

よくある間違い

まちがい1：移項していない項の符号まで変えてしまう

✗ 4x + 6 = x + 15
✗ 4x − x = −15 − 6
✗     3x = −21
✗      x = −7

\(x\) と \(+6\) は移したので符号が変わります。しかし \(+15\) は右辺に残ったままです。動いていない項の符号を変える理由はありません。

○ 4x + 6 = x + 15
○ 4x − x = 15 − 6
○     3x = 9
○      x = 3

誤答の \(x = -7\) をもとの式に入れると、左辺は \(4 \times (-7) + 6 = -28 + 6 = -22\)、右辺は \(-7 + 15 = 8\) です。合いません。「符号を変える」は式全体にかける命令ではなく、移した項1つにかける命令です。

まちがい2：移項したのに、符号を変えない

✗ x + 5 = 12
✗     x = 12 + 5
✗     x = 17

\(+5\) をそのままの符号で右へ書き写しています。両辺に足したのは \(-5\) であって \(5\) ではありません。もし \(5\) を足したら、左辺は \(x + 10\) になり、\(x\) から遠ざかります。

○ x + 5 = 12
○     x = 12 − 5
○     x = 7

迷ったら、足すと0になるかを口に出して確かめます。\(5 + 5 = 10\) で0になりません。\(5 + (-5) = 0\) なので、足すのは \(-5\) です。

まちがい3：二重の符号をそのまま読んでしまう

✗ x − (−5) = 3
✗ x − 5 = 3
✗     x = 8

\(-(-5)\) は \(+5\) です。負の数を引くのは、その反対の数を足すことでした。かっこの中のマイナスだけを見て、外のマイナスを見落としています。

○ x − (−5) = 3
○ x + 5 = 3
○     x = 3 − 5
○     x = −2

まちがい4：形を直すのと移項するのを、同じ行でやる

✗ x + (−4) = 6
✗      x = 6 − 4
✗      x = 2

\(x + (-4)\) は \(x - 4\) と同じです。ここから移項すれば、右辺は \(6 + 4\) になります。この人は形を直す前に移項したので、符号を二重にまちがえました。

○ x + (−4) = 6
○ x − 4 = 6           ← まず形を直す
○     x = 6 + 4       ← それから移項する
○     x = 10

1行に1つの操作。 これだけで、まちがいの場所を自分で見つけられるようになります。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。移項するときは、両辺に何を足したのかを1行残すこと。

次の数の反対の数を答えなさい。 (1) \(9\)　(2) \(-6\)　(3) \(-8\)
\(x + 7 = 20\) の左辺を \(x\) だけにするには、両辺に何を足せばよいですか。なぜその数なのかも書きなさい。
次を計算しなさい。 (1) \(8 - (-5)\)　(2) \(-3 - (-7)\)　(3) \(6 + (-9)\)
次の方程式を、移項して最後まで解きなさい。 (1) \(x + 8 = 3\)　(2) \(x - 6 = -2\)
\(7x = 4x + 12\) を解きなさい。
次の解き方はまちがっています。どの行から違いますか。理由を書いて、正しく解き直しなさい。

7x + 2 = 3x + 22
7x − 3x = −22 − 2
    4x = −24
     x = −6

答えと考え方

1. 符号だけを変えます。

(1) \(9\) の反対の数は \(-9\)
(2) \(-6\) の反対の数は \(6\)
(3) \(-8\) の反対の数は \(8\)

どれも足すと0になります。\(9 + (-9) = 0\)、\(-6 + 6 = 0\)、\(-8 + 8 = 0\)。

2. 両辺に \(-7\) を足します。

左辺のじゃまな項は \(+7\) です。これを0にしたいので、\(+7\) の反対の数 \(-7\) を足します。\(7 + (-7) = 0\) になるからです。両辺に足すのは、片方だけでは等式が崩れるからです（性質①）。

x + 7 = 20
x + 7 + (−7) = 20 + (−7)
        x = 13

左辺 = 13 + 7 = 20
右辺 = 20
左辺 = 右辺 なので x=13 は解

3. 負の数を引くのは、その反対の数を足すことです。

(1) \(8 - (-5) = 8 + 5 = 13\)
(2) \(-3 - (-7) = -3 + 7 = 4\)
(3) \(6 + (-9) = 6 - 9 = -3\)

4. (1) 左辺の \(+8\) を0にしたいので、両辺に \(-8\) を足します。\(+8\) は右辺に \(-8\) として現れます。

x + 8 = 3
    x = 3 − 8
    x = −5

左辺 = −5 + 8 = 3
右辺 = 3
左辺 = 右辺 なので x=−5 は解

(2) 左辺の \(-6\) を0にしたいので、両辺に \(6\) を足します。\(-6\) は右辺に \(+6\) として現れます。

x − 6 = −2
    x = −2 + 6
    x = 4

左辺 = 4 − 6 = −2
右辺 = −2
左辺 = 右辺 なので x=4 は解

5. 右辺の \(4x\) を0にしたいので、両辺に \(-4x\) を足します。\(+4x\) は左辺に \(-4x\) として現れます。動いていない \(+12\) の符号はそのままです。

7x = 4x + 12
7x − 4x = 12
    3x = 12
     x = 4           ← 両辺を3で割った

左辺 = 7 × 4 = 28
右辺 = 4 × 4 + 12 = 16 + 12 = 28
左辺 = 右辺 なので x=4 は解

6. 2行目から違います。

移したのは右辺の \(3x\) と左辺の \(+2\) の2つです。\(+22\) は右辺に残ったままなので、符号を変える理由がありません。それなのに \(-22\) と書いてしまっています。移項していない項の符号を変えたのが原因です。

○ 7x + 2 = 3x + 22
○ 7x − 3x = 22 − 2
○     4x = 20
○      x = 5           ← 両辺を4で割った

左辺 = 7 × 5 + 2 = 35 + 2 = 37
右辺 = 3 × 5 + 22 = 15 + 22 = 37
左辺 = 右辺 なので x=5 は解

誤答の \(x = -6\) をもとの式に入れると、左辺は \(7 \times (-6) + 2 = -42 + 2 = -40\)、右辺は \(3 \times (-6) + 22 = -18 + 22 = 4\) で、まったく合いません。代入すれば、その場で気づけます。

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符号が変わる理由が言えるようになりました。ここまでは、移項してから何をすればよいかが自然に決まる式ばかりでした。でも \(3x + 4 = 19\) のように、移項と、係数で割る操作の、どちらを先にするかを自分で決めなければならない式もあります。次は、操作が二つ重なった方程式を、どの順番でほどけばよいかを扱います。

次のレッスンへ　操作が二つ重なった方程式を解く　→

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