過不足の問題
このレッスンでできるようになること
- 「配る」場面で、配られる総数を二通りの式で表せる
- 足りないときは引き、余るときは足す、という向きを理由から決められる
- 過不足の問題を方程式にして解き、人数と総数の両方を確かめられる
前のレッスンの確認
- 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
- 移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
- 分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
- 解 … その方程式を成り立たせる、文字の値
このセクションでは、ここまで次のことをしてきました。
- 文章題を解く五つの手順 … ①何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く ②数量を式で表す ③等しい関係を見つけて方程式を作る ④方程式を解く ⑤場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
- 数量の表と線分図で、場面を整理すること
- 合計が決まっているとき、一方が \(x\) ならもう一方は \(10 - x\) と表せること
- 代金と個数の問題では、個数の関係で表を埋め、代金の関係を方程式にすること
今回は、この五つの手順のうち ③の「等しい関係を見つけて方程式を作る」がいちばん見えにくいタイプを扱います。
どういう問題か
次のような問題です。
何人かの子どもに折り紙を配る。1人に5枚ずつ配ると8枚足りない。1人に4枚ずつ配ると6枚余る。子どもの人数を求めなさい。
この問題の特徴は、人数も、折り紙の総数も、どちらも分かっていないことです。分からないものが2つあります。
分からないものが2つあると、手が止まります。でもよく読むと、折り紙の枚数は最初から最後まで変わっていません。5枚ずつ配ろうと、4枚ずつ配ろうと、手元にある折り紙は同じ束です。
ここが糸口です。同じ1つの量を、二通りのやり方で表す。 それが等号になります。
総数を二通りに表す
人数を \(x\) 人とします。折り紙の総数、つまり実際に持っている枚数を、2つの場面それぞれから式にします。
5枚ずつ配る場合
- 1人に5枚ずつ \(x\) 人に配るのだから、配るのに必要な枚数は \(5x\) 枚
- ところが8枚足りなかった。「足りない」とは、必要な枚数に届かなかったということ
- つまり実際に持っている枚数は、必要な枚数より8枚少ない
- 実際の総数 \(= 5x - 8\)（枚）
4枚ずつ配る場合
- 1人に4枚ずつ \(x\) 人に配るのだから、配るのに必要な枚数は \(4x\) 枚
- 配り終えて6枚余った。「余る」とは、必要な枚数より多く持っていたということ
- つまり実際に持っている枚数は、必要な枚数より6枚多い
- 実際の総数 \(= 4x + 6\)（枚）
ここで、\(5x - 8\) も \(4x + 6\) も、**同じ「実際に持っている枚数」**を表しています。表し方が二通りあるだけで、指しているものは1つです。だから等号で結べます。
\(5x - 8 = 4x + 6\)
足りないときは引く。余るときは足す。 ただしこれを言葉だけで覚えないでください。覚えるべきなのは、その手前にある次の関係です。
| 場面 | 必要な枚数と実際の枚数の関係 | 実際の枚数の式 |
|---|---|---|
| \(a\) 枚ずつ配って \(b\) 枚足りない | 実際は必要より \(b\) 枚少ない | \(ax - b\) |
| \(a\) 枚ずつ配って \(b\) 枚余る | 実際は必要より \(b\) 枚多い | \(ax + b\) |
まず「必要な枚数」を書き、次に「実際はそれより多いのか少ないのか」を考える。この順番なら、向きを取りちがえません。
帯の長さで見る
必要な枚数と実際の枚数を、帯の長さで比べます。
上の段では、必要な枚数の帯が実際の枚数の帯より右にはみ出しています。はみ出した分が「足りない8枚」です。下の段では、必要な枚数の帯のほうが短く、実際の枚数の帯が右に余っています。余った分が「6枚」です。
そして、実際の枚数を表す2本の帯は、右端の位置がそろっています。同じ折り紙の束だからです。この一致が \(5x - 8 = 4x + 6\) です。
少ない人数で試してみる
\(x\) が分からないうちは、式の向きが合っているか不安になります。そのときは、具体的な人数を1つ入れて試します。
たとえば3人で試します。
3人に5枚ずつ配るには15枚必要です。それが8枚足りないのだから、実際に持っているのは \(15 - 8 = 7\) 枚です。式で書けば \(5 \times 3 - 8 = 7\) となり、\(5x - 8\) の \(x\) に3を入れた形とぴったり合います。
具体的な数を1つ入れるだけで、向きの誤りはすぐ見つかります。
例題1 足りない場合と余る場合
先ほどの問題です。今度は折り紙の枚数まで求めます。
何人かの子どもに折り紙を配る。5枚ずつ配ると8枚足りない。4枚ずつ配ると6枚余る。子どもの人数と折り紙の枚数を求めなさい。
人数を \(x\) 人とします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5x - 8 = 4x + 6\) | 実際の枚数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(5x - 4x = 6 + 8\) | \(4x\) を左辺に、\(-8\) を右辺に移項した |
| \(x = 14\) | 両辺をそれぞれ計算した |
枚数は \(5 \times 14 - 8 = 62\) より62枚です。
確かめ
人数 14人、折り紙 62枚
5枚ずつ … 5 × 14 = 70枚必要。62枚しかないので 70 − 62 = 8枚足りない
4枚ずつ … 4 × 14 = 56枚必要。62枚あるので 62 − 56 = 6枚余る
どちらの条件も合う
答え 子ども14人、折り紙62枚
例題2 どちらも余る場合
何人かの子どもにあめを配る。3個ずつ配ると10個余る。4個ずつ配ると2個余る。人数とあめの個数を求めなさい。
どちらも余っています。やることは同じで、必要な個数を書き、余った分を足すだけです。
- 3個ずつ … 必要な個数は \(3x\) 個。それより10個多く持っているので、実際は \(3x + 10\)
- 4個ずつ … 必要な個数は \(4x\) 個。それより2個多く持っているので、実際は \(4x + 2\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3x + 10 = 4x + 2\) | 実際の個数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(10 - 2 = 4x - 3x\) | \(3x\) を右辺に、\(2\) を左辺に移項した |
| \(8 = x\) | 両辺をそれぞれ計算した |
| \(x = 8\) | 答えの向きをそろえた |
個数は \(3 \times 8 + 10 = 34\) より34個です。
確かめ
人数 8人、あめ 34個
3個ずつ … 3 × 8 = 24個必要。34 − 24 = 10個余る
4個ずつ … 4 × 8 = 32個必要。34 − 32 = 2個余る
どちらの条件も合う
答え 子ども8人、あめ34個
例題3 どちらも足りない場合
何人かの子どもにリボンを配る。6本ずつ配ると14本足りない。5本ずつ配ると2本足りない。人数とリボンの本数を求めなさい。
- 6本ずつ … 必要な本数は \(6x\) 本。それより14本少ないので、実際は \(6x - 14\)
- 5本ずつ … 必要な本数は \(5x\) 本。それより2本少ないので、実際は \(5x - 2\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(6x - 14 = 5x - 2\) | 実際の本数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(6x - 5x = -2 + 14\) | \(5x\) を左辺に、\(-14\) を右辺に移項した |
| \(x = 12\) | 両辺をそれぞれ計算した |
本数は \(6 \times 12 - 14 = 58\) より58本です。
確かめ
人数 12人、リボン 58本
6本ずつ … 6 × 12 = 72本必要。72 − 58 = 14本足りない
5本ずつ … 5 × 12 = 60本必要。60 − 58 = 2本足りない
どちらの条件も合う
答え 子ども12人、リボン58本
例題4 長いすに座る場合
何脚かの長いすがある。1脚に5人ずつ座ると3人が座れない。1脚に6人ずつ座ると、最後の1脚だけ4人になり、空いた長いすはない。長いすの脚数と生徒の人数を求めなさい。
二通りに表すのは生徒の人数です。長いすの脚数を \(x\) 脚とします。
5人ずつ座る場合
- \(x\) 脚に5人ずつなので、座れるのは \(5x\) 人
- 3人が座れずに残った。つまり実際の人数は、座れる人数より3人多い
- 実際の人数 \(= 5x + 3\)
6人ずつ座る場合
- 最後の1脚だけ4人なので、6人ずつ座っている長いすは \(x - 1\) 脚
- そこに座るのは \(6(x - 1)\) 人。これに最後の1脚の4人を足す
- 実際の人数 \(= 6(x - 1) + 4\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5x + 3 = 6(x - 1) + 4\) | 生徒の人数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(5x + 3 = 6x - 6 + 4\) | 右辺のかっこを分配法則ではずした |
| \(5x + 3 = 6x - 2\) | 右辺の数の項をまとめた |
| \(3 + 2 = 6x - 5x\) | \(5x\) を右辺に、\(-2\) を左辺に移項した |
| \(5 = x\) | 両辺をそれぞれ計算した |
| \(x = 5\) | 答えの向きをそろえた |
人数は \(5 \times 5 + 3 = 28\) より28人です。
確かめ
長いす 5脚、生徒 28人
5人ずつ … 5 × 5 = 25人座れる。28 − 25 = 3人が座れない
6人ずつ … 4脚に6人ずつで 6 × 4 = 24人。残り 28 − 24 = 4人が5脚目に座る
5脚目は4人。空いた長いすはない
どちらの条件も合う
答え 長いす5脚、生徒28人
求めた人数と総数を確かめる
過不足の問題で求めるのは、人数・個数・脚数です。これらは必ず正の整数になります。
- \(x\) が負の数になった … 立式のどこかで向きが逆です
- \(x\) が小数や分数になった … 数値の読み取りか立式が違います
- \(x = 0\) になった … 場面として成り立ちません
そして、\(x\) が出たら終わりではありません。求めた人数から総数も計算して、問題文の2つの条件を両方とも満たすか確かめます。 片方だけ合っていて、もう片方が合わないことがあるからです。
確かめの進め方
1. 人数を答えの値にする
2. 一方の配り方から総数を求める
3. その総数で、もう一方の配り方を試す
4. 「足りない」「余る」の数が問題文と一致すればよい
今日の問い
「8枚足りない」のに、なぜ \(5x\) から8を引くのでしょうか。足りないのだから、その分を足して補うのではないでしょうか。
補うのは行動としては正しいのですが、式が表しているのは「補ったあとの理想」ではなく、いま実際に手元にある枚数です。
\(5x\) は「全員に配りきるのに必要な枚数」です。実際にはそこまで持っていなかったから、8枚足りませんでした。必要な量に届いていないのだから、実際の量は必要な量より小さい。 だから引きます。
3人で試せば一目で分かります。
必要 5 × 3 = 15枚
足りない分 8枚
実際 15 − 8 = 7枚 ← 15より小さい
もし \(5x + 8\) としたら、実際に23枚持っていることになります。15枚あればよいところに23枚あるのですから、足りないどころか8枚余ります。問題文と正反対です。
「足りない、だから引く」を丸暗記するのではなく、「必要より少ないから引く」と言えるようにしてください。
よくある間違い
まちがい1：足りないのに足してしまう
✗ 5x + 8 = 4x + 6
✗ 5x − 4x = 6 − 8
✗ x = −2
人数が \(-2\) 人になりました。この時点でおかしいと気づけます。原因は「足りない」を足し算にしたことです。
○ 5x − 8 = 4x + 6
○ 5x − 4x = 6 + 8
○ x = 14
答えが負になったら、まず過不足の向きを疑ってください。
まちがい2：必要な枚数と実際の枚数を取りちがえる
\(5x\) を「実際に持っている枚数」だと思い込むと、こうなります。
✗ 5x = 4x + 6
✗ x = 6
6人で試すと合いません。
6人のとき
5枚ずつ … 5 × 6 = 30枚必要
8枚足りないのだから、実際は 30 − 8 = 22枚
4枚ずつ … 4 × 6 = 24枚必要。22枚では 2枚足りない
問題文は「6枚余る」なので、合わない
\(5x\) はあくまで必要な枚数です。実際の枚数はそこから8を引いた \(5x - 8\) です。先に必要な枚数を書き、そのあとで多いか少ないかを足し引きする、という順番を守ってください。
まちがい3：聞かれていないほうを答える
過不足の問題では人数と総数の2つの数が出てきます。例題1で「人数を求めなさい」と聞かれているのに、枚数のほうを書いてしまう間違いです。
✗ 答え 62人
✗ 答え 14枚
○ 答え 子ども14人、折り紙62枚
最後に問題文をもう一度読んで、どちらを聞かれていたのかを確かめてください。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。式を立てるときは、必ず「必要な数」を先に書くこと。
何人かの子どもに色紙を配る。7枚ずつ配ると5枚足りない。6枚ずつ配ると3枚余る。人数を \(x\) 人として、色紙の総数を二通りの式で表しなさい。
何人かの子どもにあめを配る。4個ずつ配ると9個余る。5個ずつ配ると4個余る。人数を \(x\) 人として、あめの総数を二通りの式で表しなさい。
1の問題で、子どもの人数と色紙の枚数を求めなさい。
2の問題で、子どもの人数とあめの個数を求めなさい。
何人かの子どもにえんぴつを配る。5本ずつ配ると7本足りない。4本ずつ配ると1本足りない。人数とえんぴつの本数を求めなさい。
何脚かの長いすがある。1脚に4人ずつ座ると5人が座れない。1脚に5人ずつ座ると、最後の1脚だけ2人になり、空いた長いすはない。長いすの脚数と生徒の人数を求めなさい。
「何人かの子どもにクッキーを配る。6枚ずつ配ると4枚足りない。5枚ずつ配ると5枚余る」という問題に、ある人は \(6x + 4 = 5x + 5\) と立てて \(x = 1\) としました。どこが違いますか。1人で試して合わないことを示し、正しく解き直しなさい。
「何人かの子どもにみかんを配る。3個ずつ配ると7個足りない。2個ずつ配ると5個余る」という問題に、ある人は「実際に持っているのは \(3x\) 個」と考えて \(3x = 2x + 5\) と立て、\(x = 5\) としました。どこが違いますか。5人で試して合わないことを示し、正しく解き直しなさい。
答えと考え方
1. 必要な枚数を先に書きます。
- 7枚ずつ … 必要なのは \(7x\) 枚。5枚足りないので実際はそれより5枚少ない。\(7x - 5\)
- 6枚ずつ … 必要なのは \(6x\) 枚。3枚余るので実際はそれより3枚多い。\(6x + 3\)
2.
- 4個ずつ … 必要なのは \(4x\) 個。9個余るので \(4x + 9\)
- 5個ずつ … 必要なのは \(5x\) 個。4個余るので \(5x + 4\)
3. 1で作った2つの式を等号で結びます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(7x - 5 = 6x + 3\) | 総数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(7x - 6x = 3 + 5\) | \(6x\) を左辺に、\(-5\) を右辺に移項した |
| \(x = 8\) | 両辺をそれぞれ計算した |
枚数は \(7 \times 8 - 5 = 51\) より51枚です。
確かめ
人数 8人、色紙 51枚
7枚ずつ … 7 × 8 = 56枚必要。56 − 51 = 5枚足りない
6枚ずつ … 6 × 8 = 48枚必要。51 − 48 = 3枚余る
どちらの条件も合う
答え 子ども8人、色紙51枚
4.
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4x + 9 = 5x + 4\) | 総数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(9 - 4 = 5x - 4x\) | \(4x\) を右辺に、\(4\) を左辺に移項した |
| \(5 = x\) | 両辺をそれぞれ計算した |
| \(x = 5\) | 答えの向きをそろえた |
個数は \(4 \times 5 + 9 = 29\) より29個です。
確かめ
人数 5人、あめ 29個
4個ずつ … 4 × 5 = 20個必要。29 − 20 = 9個余る
5個ずつ … 5 × 5 = 25個必要。29 − 25 = 4個余る
どちらの条件も合う
答え 子ども5人、あめ29個
5. どちらも足りないので、どちらも引きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5x - 7 = 4x - 1\) | 総数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(5x - 4x = -1 + 7\) | \(4x\) を左辺に、\(-7\) を右辺に移項した |
| \(x = 6\) | 両辺をそれぞれ計算した |
本数は \(5 \times 6 - 7 = 23\) より23本です。
確かめ
人数 6人、えんぴつ 23本
5本ずつ … 5 × 6 = 30本必要。30 − 23 = 7本足りない
4本ずつ … 4 × 6 = 24本必要。24 − 23 = 1本足りない
どちらの条件も合う
答え 子ども6人、えんぴつ23本
6. 長いすの脚数を \(x\) 脚とし、生徒の人数を二通りに表します。
- 4人ずつ … 座れるのは \(4x\) 人。5人が座れずに残るので、実際の人数は \(4x + 5\)
- 5人ずつ … 最後の1脚以外の \(x - 1\) 脚に5人ずつで \(5(x - 1)\) 人。最後の1脚に2人なので \(5(x - 1) + 2\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4x + 5 = 5(x - 1) + 2\) | 人数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(4x + 5 = 5x - 5 + 2\) | 右辺のかっこを分配法則ではずした |
| \(4x + 5 = 5x - 3\) | 右辺の数の項をまとめた |
| \(5 + 3 = 5x - 4x\) | \(4x\) を右辺に、\(-3\) を左辺に移項した |
| \(8 = x\) | 両辺をそれぞれ計算した |
| \(x = 8\) | 答えの向きをそろえた |
人数は \(4 \times 8 + 5 = 37\) より37人です。
確かめ
長いす 8脚、生徒 37人
4人ずつ … 4 × 8 = 32人座れる。37 − 32 = 5人が座れない
5人ずつ … 7脚に5人ずつで 5 × 7 = 35人。残り 37 − 35 = 2人が8脚目に座る
8脚目は2人。空いた長いすはない
どちらの条件も合う
答え 長いす8脚、生徒37人
7. 「4枚足りない」のに足してしまったのが違います。
x = 1 で試す
6枚ずつ … 6 × 1 = 6枚必要。4枚足りないので実際は 6 − 4 = 2枚
5枚ずつ … 5 × 1 = 5枚必要。2枚では 3枚足りない
問題文は「5枚余る」なので、合わない
必要な枚数は \(6x\) 枚で、実際はそれより4枚少ないので \(6x - 4\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(6x - 4 = 5x + 5\) | 総数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(6x - 5x = 5 + 4\) | \(5x\) を左辺に、\(-4\) を右辺に移項した |
| \(x = 9\) | 両辺をそれぞれ計算した |
枚数は \(6 \times 9 - 4 = 50\) より50枚です。
確かめ
人数 9人、クッキー 50枚
6枚ずつ … 6 × 9 = 54枚必要。54 − 50 = 4枚足りない
5枚ずつ … 5 × 9 = 45枚必要。50 − 45 = 5枚余る
どちらの条件も合う
答え 子ども9人、クッキー50枚
8. \(3x\) を実際の個数だと思ったのが違います。
\(3x\) は「3個ずつ配りきるのに必要な個数」です。実際はそれより7個少ないので \(3x - 7\) です。
x = 5 で試す
3個ずつ … 3 × 5 = 15個必要。7個足りないので実際は 15 − 7 = 8個
2個ずつ … 2 × 5 = 10個必要。8個では 2個足りない
問題文は「5個余る」なので、合わない
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3x - 7 = 2x + 5\) | 総数を二通りに表して等号で結んだ |
| \(3x - 2x = 5 + 7\) | \(2x\) を左辺に、\(-7\) を右辺に移項した |
| \(x = 12\) | 両辺をそれぞれ計算した |
個数は \(3 \times 12 - 7 = 29\) より29個です。
確かめ
人数 12人、みかん 29個
3個ずつ … 3 × 12 = 36個必要。36 − 29 = 7個足りない
2個ずつ … 2 × 12 = 24個必要。29 − 24 = 5個余る
どちらの条件も合う
答え 子ども12人、みかん29個
次のレッスンへ
同じ量を二通りに表す、という考え方が手に入りました。過不足の問題はもちろん、これから出てくる多くの文章題がこの形をしています。次のレッスンでは、出てきた答えが問題の場面として意味を持つかどうかを見きわめる練習と、このセクションで学んだ型を混ぜた練習をします。人数が小数になったとき、代金が負になったとき、何を疑えばよいのかをはっきりさせます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。