もう一方を x で表す
このレッスンでできるようになること
- 合計が決まっているとき、もう一方の数量を \(x\) を使って表せる
- なぜ引き算の形になるのかを、図と自分の言葉で説明できる
- 合計と単価が決まった場面の方程式を作り、答えとして書くところまで進められる
前のレッスンの確認
- 文章題を解く五つの手順 … 立てて、解いて、場面に合うか確かめて、単位をつけて答えるところまでを一続きにする
- 単価 \(\times\) 個数 \(=\) 代金
- 分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
- 解 … その方程式を成り立たせる、文字の値
- 式の解と、問題の答えはちがう。答えには単位をつけて書く
ここからは、分からない数が2つあるように見える場面に進みます。
数で何度か試してみる
みかんとりんごを、合わせて10個買った。
みかんの数を決めると、りんごの数はどうなるでしょうか。みかんが3個なら、りんごは \(10 - 3 = 7\) 個。みかんが4個なら \(10 - 4 = 6\) 個。いくつか試して表にしてみます。
| みかんの数 | 計算 | りんごの数 |
|---|---|---|
| 3個 | \(10 - 3\) | 7個 |
| 4個 | \(10 - 4\) | 6個 |
| 5個 | \(10 - 5\) | 5個 |
気づいてほしいことが2つあります。
1つめ。りんごの数は、こちらで決めていません。 みかんの数を決めた瞬間に、合わせて10個という約束から自動的に決まります。自由に決められるのは片方だけです。
2つめ。どの行も、やっている計算は同じです。 「10から、みかんの数を引く」。ちがうのは引く数だけです。
文字に置きかえる
計算のしかたが同じなら、引く数のところを文字にできます。みかんの数が \(x\) 個のとき、りんごの数は、\(10\) から \(x\) を引いて \(10 - x\) 個です。
上の帯と下の帯は、切れ目の場所が同じです。\(3\) とあったところを \(x\) に、\(7\) とあったところを \(10 - x\) に置きかえた、それだけのことです。
全体から取り除いた残り
\(10 - x\) は、覚える式ではなく読める式です。図の下の目もりを見ると、りんごの部分は帯の全体からみかんの部分を取り除いた残りになっています。だから引き算です。
合計から、一方を取り除いた残りが、もう一方。
この読み方があれば、数や場面が変わっても自分で式を作れます。\(x\) に \(3\) を入れれば \(10 - 3 = 7\) に戻ります。
両方を同じ文字でおいてはいけない
多くの人がやってしまう書き方があります。
みかんを \(x\) 個、りんごも \(x\) 個とする。
数を入れてみます。\(x = 3\) ならみかん3個・りんご3個、\(x = 5\) ならみかん5個・りんご5個。これはみかんとりんごが必ず同じ個数だと決めつけたことになります。問題文には「合わせて10個」としかなく、みかん2個・りんご8個かもしれません。
同じ文字は、同じ数を表します。 ちがうかもしれない2つの数量に、同じ文字を使ってはいけません。
では、りんごを \(y\) 個と文字を2つ使えばよいのでしょうか。文字が2つある式の解き方は中学2年の内容で、いまの道具では解けません。この単元で使える文字は1つだけです。
片方を \(x\) で表したら、もう一方も \(x\) を使って表す。
合計が決まっている場面はいろいろある
「全体が決まっていて、それを2つに分ける」場面は、どれも同じ形になります。
| 場面 | 一方 | もう一方 |
|---|---|---|
| 合わせて10個買った | \(x\) 個 | \(10 - x\) 個 |
| 合わせて1000円使った | \(x\) 円 | \(1000 - x\) 円 |
| 全体20mのうち使った分 | \(x\) m | 残りは \(20 - x\) m |
| 20人のクラスの男子 | \(x\) 人 | 女子は \(20 - x\) 人 |
（全体）\(-\)（一方） の順です。（一方）\(-\)（全体）ではありません。単位も、全体の単位とそろえます。
代金の式を作る
例題1 みかんとりんごを合わせて10個買った。みかんは1個80円、りんごは1個120円で、代金は合計960円だった。みかんは何個買ったか。
みかんの個数を \(x\) 個とおいて、表に整理します。
| 単価 | 個数 | 代金 | |
|---|---|---|---|
| みかん | 80円 | \(x\) 個 | \(80x\) 円 |
| りんご | 120円 | \(10 - x\) 個 | \(120(10 - x)\) 円 |
| 合計 | 10個 | 960円 |
かける相手が \(10 - x\) というひとまとまりなので、りんごの代金にはかっこが必要です。代金の合計が960円なので、
\(80x + 120(10 - x) = 960\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(80x + 120(10 - x) = 960\) | 立てた式 |
| \(80x + 1200 - 120x = 960\) | かっこを外した |
| \(-40x + 1200 = 960\) | 同類項をまとめた |
| \(-40x = -240\) | 移項した |
| \(x = 6\) | 両辺を \(-40\) で割った |
確かめ
みかん 6個 … 80 × 6 = 480 円
りんご 10 − 6 = 4個 … 120 × 4 = 480 円
個数の合計 6 + 4 = 10 個
代金の合計 480 + 480 = 960 円
どちらも問題文と同じなので、正しい
答え みかん6個
かっこは、外し方をもう知っている
\(120(10 - x)\) は、セクション4で練習した形そのものです。
120(10 − x)
= 120 × 10 − 120 × x
= 1200 − 120x
新しい計算は1つも増えていません。文章題が難しいのは、計算ではなく式を作るところです。
同じ型をもう一問
例題2 赤と青のペンを合わせて15本買った。赤は1本90円、青は1本60円で、代金は合計1050円だった。赤は何本買ったか。
赤の本数を \(x\) 本とおくと、青は \(15 - x\) 本。代金は \(90x\) 円と \(60(15 - x)\) 円で、その和が1050円です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(90x + 60(15 - x) = 1050\) | 立てた式 |
| \(90x + 900 - 60x = 1050\) | かっこを外した |
| \(30x + 900 = 1050\) | 同類項をまとめた |
| \(30x = 150\) | 移項した |
| \(x = 5\) | 両辺を \(30\) で割った |
確かめ
赤 5本 … 90 × 5 = 450 円
青 15 − 5 = 10本 … 60 × 10 = 600 円
本数の合計 5 + 10 = 15 本
代金の合計 450 + 600 = 1050 円
問題文と同じなので、正しい
答え 赤5本
差が決まっている場面
合計ではなく、差が決まっていることもあります。片方を \(x\) とおいて、もう一方を \(x\) で表す考え方は同じです。
例題3 全体20mのひもを2つに切ったら、長いほうが短いほうより4m長かった。短いほうは何mか。
短いほうを \(x\) m とおきます。長いほうはそれより4m長いので \(x + 4\) m。「より長い」なので、今度は足し算です。
図の下の目もりのとおり、長いほうは短いほうと同じ長さに4mが付け足された形です。合わせると全体の20mです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + (x + 4) = 20\) | 立てた式 |
| \(x + x + 4 = 20\) | かっこを外した |
| \(2x + 4 = 20\) | 同類項をまとめた |
| \(2x = 16\) | 移項した |
| \(x = 8\) | 両辺を \(2\) で割った |
確かめ
短いほう 8m
長いほう 8 + 4 = 12m
長さの合計 8 + 12 = 20m
長さの差 12 − 8 = 4m
どちらも問題文と同じなので、正しい
答え 短いほうは8m
問われているのが、もう一方のとき
\(x\) とおいたものがそのまま答えになるとは限りません。
例題4 ジュースとお茶を合わせて12本買った。ジュースは1本120円、お茶は1本90円で、代金は合計1290円だった。お茶は何本買ったか。
問われているのはお茶の本数ですが、ジュースを \(x\) 本とおけば、お茶は \(12 - x\) 本です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(120x + 90(12 - x) = 1290\) | 立てた式 |
| \(120x + 1080 - 90x = 1290\) | かっこを外した |
| \(30x + 1080 = 1290\) | 同類項をまとめた |
| \(30x = 210\) | 移項した |
| \(x = 7\) | 両辺を \(30\) で割った |
\(x = 7\) はジュースの本数です。ここで止めず、もう一歩計算します。
\(12 - 7 = 5\)
確かめ
ジュース 7本 … 120 × 7 = 840 円
お茶 5本 … 90 × 5 = 450 円
本数の合計 7 + 5 = 12 本
代金の合計 840 + 450 = 1290 円
問題文と同じなので、正しい
答え お茶5本
\(x\) が求まったら、問題文をもう一度読んで、何を聞かれていたかを確かめる。
答えが場面に合っているかを見る
合計10個の場面で \(x\) が個数なら、\(x\) は次の条件を満たしていなければなりません。
- 個数なので、整数であること
- \(0\) 以上であること（個数がマイナスにはならない）
- \(10\) 以下であること（合計を超えることはない）
たとえば \(x = 12\) と出たら、もう一方は \(10 - 12 = -2\) 個。りんごが \(-2\) 個はありません。\(x = \dfrac{26}{7}\) のように整数にならない場合も、立式か計算のどこかが違っています。解いたあとに場面へ戻す。
今日の問い
みかんとりんごを合わせて10個買いました。みかんの個数を \(x\) 個とすると、りんごの個数はなぜ \(10 - x\) 個と書けるのでしょうか。
合計が10個と決まっているからです。みかんの数を決めた瞬間に、りんごの数は「10から、みかんの分を取り除いた残り」に決まります。どの場合も「10から引く」という同じ計算で、その引く数を \(x\) にしたのが \(10 - x\) です。
\(10 - x\) は暗記する式ではなく、「全体から取り除いた残り」を書き写した式です。
よくある間違い
まちがい1：両方を同じ文字でおいてしまう
パンとおにぎりを合わせて6個、パンは1個120円、おにぎりは1個160円、代金は合計800円。パンを \(x\) 個、おにぎりも \(x\) 個としてしまった例です。
✗ 120x + 160x = 800
✗ 280x = 800
問題文には「合わせて6個」としかないのに、同じ個数だと決めつけています。
○ 120x + 160(6 − x) = 800
○ 120x + 960 − 160x = 800
○ −40x + 960 = 800
○ −40x = −160
○ x = 4
誤答のほうを解くと \(x = \dfrac{20}{7}\) で、個数なのに整数になりません。
まちがい2：引く向きが反対になる
\(10 - x\) と書くべきところを \(x - 10\) と書いてしまう間違いです。
✗ もう一方 = x − 10
\(x = 3\) を入れると \(3 - 10 = -7\)。りんごが \(-7\) 個になってしまいます。取り除くのは全体からです。
○ もう一方 = 10 − x
○ x = 3 のとき 10 − 3 = 7 個
（全体）\(-\)（一方）の順。 迷ったら、具体的な数を1つ入れて確かめてください。
まちがい3：かっこの中の1つ目にしかかけない
✗ 120(10 − x) = 1200 − x
\(120\) を \(10\) にはかけたのに、\(x\) にはかけていません。分配法則は、かっこの中のすべての項にかけます。
○ 120(10 − x) = 1200 − 120x
\(x = 1\) で試すと、正しい式は \(120 \times 9 = 1080\)、誤答の式は \(1200 - 1 = 1199\) で合いません。
まちがい4：求めた値をそのまま答えにしてしまう
例題4でいえば、\(x = 7\) と出たところで「答え7本」と書いてしまう形です。\(x = 7\) はジュースの本数で、聞かれていたのはお茶の本数でした。\(12 - 7 = 5\) 本まで進んで、はじめて答えです。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。何を \(x\) とおいたのかを必ず書き残すこと。
次のそれぞれについて、もう一方を \(x\) を使って表しなさい。単位もつけること。
- (1) みかんとバナナを合わせて14個買った。みかんが \(x\) 個のとき、バナナは何個か。
- (2) 長さ25mのテープから \(x\) m 使った。残りは何mか。
- (3) 32人のクラスで、女子が \(x\) 人のとき、男子は何人か。
1個70円のパンと1個110円のドーナツを合わせて9個買ったら、代金は合計790円だった。パンは何個買ったか。
全体32mのロープを2本に切ったら、長いほうが短いほうより6m長かった。短いほうは何mか。
大人と子どもが合わせて24人で展示を見に行った。入館料は大人1人400円、子ども1人150円で、合計6100円だった。大人は何人か。
1枚50円の色紙と1枚80円の画用紙を合わせて13枚買ったら、代金は合計860円だった。画用紙は何枚買ったか。
次の解き方はまちがっています。どこが違いますか。正しく解き直しなさい。
クッキーとチョコを合わせて8個買った。
クッキーは1個50円、チョコは1個90円、代金は合計520円。クッキーは何個か。
クッキーを x 個、チョコを x 個とする。
50x + 90x = 520
140x = 520
- 次の解き方はまちがっています。どこが違いますか。正しく解き直しなさい。
ノートを合わせて10冊買った。
A社は1冊150円、B社は1冊100円、代金は合計1200円。A社のノートは何冊か。
A社を x 冊とすると、B社は x − 10 冊。
150x + 100(x − 10) = 1200
答えと考え方
1. どれも「全体から、一方を取り除いた残り」です。（全体）\(-\)（一方）の順で書きます。
- (1) \(14 - x\) 個 … 合計14個からみかんの分を取り除いた残り
- (2) \(25 - x\) m … 全体25mから使った分を取り除いた残り
- (3) \(32 - x\) 人 … クラス32人から女子の分を取り除いた残り
(1) で \(x = 6\) を入れると \(14 - 6 = 8\) 個。合わせて14個になり、合っています。
2. パンを \(x\) 個とおくと、ドーナツは \(9 - x\) 個。代金は \(70x\) 円と \(110(9 - x)\) 円で、その和が790円です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(70x + 110(9 - x) = 790\) | 立てた式 |
| \(70x + 990 - 110x = 790\) | かっこを外した |
| \(-40x + 990 = 790\) | 同類項をまとめた |
| \(-40x = -200\) | 移項した |
| \(x = 5\) | 両辺を \(-40\) で割った |
確かめ
パン 5個 … 70 × 5 = 350 円
ドーナツ 9 − 5 = 4個 … 110 × 4 = 440 円
個数の合計 5 + 4 = 9 個
代金の合計 350 + 440 = 790 円
問題文と同じなので、正しい
答え パン5個
3. 短いほうを \(x\) m とおくと、長いほうは \(x + 6\) m。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + (x + 6) = 32\) | 立てた式 |
| \(x + x + 6 = 32\) | かっこを外した |
| \(2x + 6 = 32\) | 同類項をまとめた |
| \(2x = 26\) | 移項した |
| \(x = 13\) | 両辺を \(2\) で割った |
確かめ
短いほう 13m
長いほう 13 + 6 = 19m
長さの合計 13 + 19 = 32m
長さの差 19 − 13 = 6m
問題文と同じなので、正しい
答え 短いほうは13m
4. 大人を \(x\) 人とおくと、子どもは \(24 - x\) 人。入館料は \(400x\) 円と \(150(24 - x)\) 円で、その和が6100円です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(400x + 150(24 - x) = 6100\) | 立てた式 |
| \(400x + 3600 - 150x = 6100\) | かっこを外した |
| \(250x + 3600 = 6100\) | 同類項をまとめた |
| \(250x = 2500\) | 移項した |
| \(x = 10\) | 両辺を \(250\) で割った |
確かめ
大人 10人 … 400 × 10 = 4000 円
子ども 24 − 10 = 14人 … 150 × 14 = 2100 円
人数の合計 10 + 14 = 24 人
金額の合計 4000 + 2100 = 6100 円
問題文と同じなので、正しい
答え 大人10人
5. 色紙を \(x\) 枚とおきます。画用紙は \(13 - x\) 枚、代金は \(50x\) 円と \(80(13 - x)\) 円で、その和が860円です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(50x + 80(13 - x) = 860\) | 立てた式 |
| \(50x + 1040 - 80x = 860\) | かっこを外した |
| \(-30x + 1040 = 860\) | 同類項をまとめた |
| \(-30x = -180\) | 移項した |
| \(x = 6\) | 両辺を \(-30\) で割った |
\(x = 6\) は色紙の枚数です。聞かれているのは画用紙なので、もう一歩進みます。
\(13 - 6 = 7\)
確かめ
色紙 6枚 … 50 × 6 = 300 円
画用紙 7枚 … 80 × 7 = 560 円
枚数の合計 6 + 7 = 13 枚
代金の合計 300 + 560 = 860 円
問題文と同じなので、正しい
答え 画用紙7枚
6. 「チョコを \(x\) 個とする」としたところが違います。
クッキーとチョコが同じ個数だと決めつけています。合わせて8個としかないので、チョコは \(8 - x\) 個です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(50x + 90(8 - x) = 520\) | 作り直した式 |
| \(50x + 720 - 90x = 520\) | かっこを外した |
| \(-40x + 720 = 520\) | 同類項をまとめた |
| \(-40x = -200\) | 移項した |
| \(x = 5\) | 両辺を \(-40\) で割った |
確かめ
クッキー 5個 … 50 × 5 = 250 円
チョコ 8 − 5 = 3個 … 90 × 3 = 270 円
個数の合計 5 + 3 = 8 個
代金の合計 250 + 270 = 520 円
問題文と同じなので、正しい
誤答をそのまま解くと \(x = \dfrac{26}{7}\) で、個数なのに整数になりません。
答え クッキー5個
7. 「B社は \(x - 10\) 冊」としたところが違います。引く向きが反対です。
全体は10冊なので、B社は \(10 - x\) 冊です。\(x = 4\) を \(x - 10\) に入れると \(-6\) 冊となり、ありえません。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(150x + 100(10 - x) = 1200\) | 作り直した式 |
| \(150x + 1000 - 100x = 1200\) | かっこを外した |
| \(50x + 1000 = 1200\) | 同類項をまとめた |
| \(50x = 200\) | 移項した |
| \(x = 4\) | 両辺を \(50\) で割った |
確かめ
A社 4冊 … 150 × 4 = 600 円
B社 10 − 4 = 6冊 … 100 × 6 = 600 円
冊数の合計 4 + 6 = 10 冊
代金の合計 600 + 600 = 1200 円
問題文と同じなので、正しい
誤答のまま解くと \(250x = 2200\) から \(x = \dfrac{44}{5}\) となり、B社は \(8.8 - 10 = -1.2\) 冊です。冊数がマイナスになる時点で、式が違うと分かります。
答え A社4冊
次のレッスンへ
合計が決まっているとき、もう一方を \(x\) で表せるようになりました。次は、単価と個数がからむ代金の問題を、表で整理しながらまとめて練習します。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。