代金と個数の問題
このレッスンでできるようになること
- 二種類の品物を買う場面を、単価・個数・代金の表に整理できる
- 個数の関係と代金の関係という二つの条件を、役割どおりに使い分けられる
- 表の代金の欄から方程式を作り、解いて個数として合うかを確かめられる
前のレッスンの確認
- 単価 \(\times\) 個数 \(=\) 代金 … 1個80円を3個買えば \(80 \times 3 = 240\) 円
- 合計が決まっているときの表し方 … 合わせて10個で、一方が \(x\) 個なら、もう一方は \(10 - x\) 個
- 分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
- 移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
- \(x\) とおいたものが問われたものとちがうときは、もう一歩計算してから答える
セクション2から5で、かっこ・小数・分数を含む方程式まで解けます。今回は \(10 - x\) を表に載せます。
条件が二つある
前のレッスンで解いた問題を、もう一度使います。今度は、表に整理してから式を作るまでを、順を追って見ていきます。
1個80円のみかんと1個120円のりんごを、合わせて10個買ったところ、代金は960円でした。みかんは何個買いましたか。
問題文には、数の情報が二つあります。
- 条件A（個数の関係）… 合わせて10個
- 条件B（代金の関係）… 代金を合わせて960円
よくあるつまずきは、どちらを方程式にすればよいか分からなくなることです。
二つの条件の役割分担
条件Aは、個数を \(x\) と \(10 - x\) で表すために使います。方程式にするのは条件Bです。
なぜか。条件Aのほうを式にしてみます。みかんを \(x\) 個とすると、りんごは \(10 - x\) 個。個数の合計が10個なので、
\(x + (10 - x) = 10\)
かっこを外すと \(x + 10 - x = 10\)、つまり \(10 = 10\)。\(x\) が消えてしまい、何も分かりません。
\(x\) が消えたのは、りんごを \(10 - x\) 個と書いた時点で条件Aを使い終わっているからです。使い終わった条件を式にしても、新しいことは出てきません。
だから、まだ使っていない条件Bを方程式にします。条件Bには80円・120円・960円が入るので、\(x\) が生き残ります。
表に整理する
あとは表に書き込みます。列は品物・単価・個数・代金の四つです。
| 品物 | 単価 | 個数 | 代金 |
|---|---|---|---|
| みかん | 80円 | \(x\) 個 | \(80x\) 円 |
| りんご | 120円 | \(10 - x\) 個 | \(120(10 - x)\) 円 |
| 合計 | 10個 | 960円 |
この表の代金の欄を、上から下へ縦に読んでください。
\(80x + 120(10 - x) = 960\)
「みかんの代金」と「りんごの代金」を足すと「合計の代金」。縦に足して、いちばん下と等しいと置く。
個数の欄を縦に読んでも、さきほどの \(10 = 10\) にしかなりません。式にするのは代金の欄だけです。
表を埋める順番
表は埋める順番が決まっています。この順なら迷いません。
- 単価は問題文からそのまま写す
- 個数は条件Aから決める。一方が \(x\) 個なら、もう一方は \(10 - x\) 個
- 代金は単価 \(\times\) 個数で自動的に決まる
3番目が大事です。単価と個数が入れば、代金の欄はかけ算だけで埋まります。\(120 \times (10 - x)\) だから \(120(10 - x)\) 円。かっこを必ずつけてください。 \(120 \times 10 - x\) では、120がかかるのは10だけになります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(80x + 120(10 - x) = 960\) | 代金の欄を縦に見て式にした |
| \(80x + 1200 - 120x = 960\) | 分配法則でかっこを外した |
| \(-40x + 1200 = 960\) | 同類項をまとめた |
| \(-40x = -240\) | 1200を右辺に移項した |
| \(x = 6\) | 両辺を \(-40\) で割った |
確かめ
みかん 6 個 … 80 × 6 = 480 円
りんご 10 − 6 = 4 個 … 120 × 4 = 480 円
個数の合計 6 + 4 = 10 個、代金の合計 480 + 480 = 960 円
両方の条件に合う
答え みかん6個
この手つきは、次の三つの形でも使えます。
例題1 代金の差が与えられる型
1本60円のえんぴつと1本140円のボールペンを、合わせて10本買いました。ボールペンの代金は、えんぴつの代金より600円高くなりました。えんぴつは何本買いましたか。
条件Bが「合計」から「差」に変わっただけで、表の作り方は同じです。
| 品物 | 単価 | 本数 | 代金 |
|---|---|---|---|
| えんぴつ | 60円 | \(x\) 本 | \(60x\) 円 |
| ボールペン | 140円 | \(10 - x\) 本 | \(140(10 - x)\) 円 |
| 合計 | 10本 | 差が600円 |
差のときは高いほうから安いほうを引きます。高いのはボールペンの代金なので、そこからえんぴつの代金を引いて600円です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(140(10 - x) - 60x = 600\) | 高いほうから安いほうを引いて式にした |
| \(1400 - 140x - 60x = 600\) | 分配法則でかっこを外した |
| \(1400 - 200x = 600\) | 同類項をまとめた |
| \(-200x = -800\) | 1400を右辺に移項した |
| \(x = 4\) | 両辺を \(-200\) で割った |
確かめ
えんぴつ 4 本 … 60 × 4 = 240 円
ボールペン 10 − 4 = 6 本 … 140 × 6 = 840 円
本数の合計 4 + 6 = 10 本、代金の差 840 − 240 = 600 円
両方の条件に合う
答え えんぴつ4本
例題2 品物以外の代金が加わる型
1個130円のシュークリームと1個180円のプリンを、合わせて8個買いました。箱代150円を加えて、代金は1340円でした。シュークリームは何個買いましたか。
箱代は個数で増減しません。個数の欄には書かず、代金の欄にだけ足します。
| 品物 | 単価 | 個数 | 代金 |
|---|---|---|---|
| シュークリーム | 130円 | \(x\) 個 | \(130x\) 円 |
| プリン | 180円 | \(8 - x\) 個 | \(180(8 - x)\) 円 |
| 箱 | 150円 | ||
| 合計 | 8個 | 1340円 |
箱の行は単価と個数が空でも大丈夫です。縦に足すのは代金の欄だけだからです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(130x + 180(8 - x) + 150 = 1340\) | 代金の欄を縦に見て式にした |
| \(130x + 1440 - 180x + 150 = 1340\) | 分配法則でかっこを外した |
| \(-50x + 1590 = 1340\) | 同類項をまとめた |
| \(-50x = -250\) | 1590を右辺に移項した |
| \(x = 5\) | 両辺を \(-50\) で割った |
確かめ
シュークリーム 5 個 … 130 × 5 = 650 円
プリン 8 − 5 = 3 個 … 180 × 3 = 540 円
個数の合計 5 + 3 = 8 個、代金の合計 650 + 540 + 150 = 1340 円
両方の条件に合う
答え シュークリーム5個
例題3 問われているのが、もう一方のとき
1個40円のあめと1個70円のゼリーを、合わせて12個買ったところ、代金は750円でした。ゼリーは何個買いましたか。
聞かれているのはゼリーですが、あめを \(x\) 個とおきます。
| 品物 | 単価 | 個数 | 代金 |
|---|---|---|---|
| あめ | 40円 | \(x\) 個 | \(40x\) 円 |
| ゼリー | 70円 | \(12 - x\) 個 | \(70(12 - x)\) 円 |
| 合計 | 12個 | 750円 |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(40x + 70(12 - x) = 750\) | 代金の欄を縦に見て式にした |
| \(40x + 840 - 70x = 750\) | 分配法則でかっこを外した |
| \(-30x + 840 = 750\) | 同類項をまとめた |
| \(-30x = -90\) | 840を右辺に移項した |
| \(x = 3\) | 両辺を \(-30\) で割った |
ここで手を止めてはいけません。\(x\) はあめの行です。問われているのはゼリーの行なので、\(12 - 3 = 9\) と、もう一歩進みます。
確かめ
あめ 3 個 … 40 × 3 = 120 円
ゼリー 12 − 3 = 9 個 … 70 × 9 = 630 円
個数の合計 3 + 9 = 12 個、代金の合計 120 + 630 = 750 円
両方の条件に合う
答え ゼリー9個
どちらの行を \(x\) にしてもかまいません。だからこそ聞かれている行を \(x\) にするのが安全です。ゼリーを \(x\) 個とすれば \(70x + 40(12 - x) = 750\) から直接 \(x = 9\) が出ます。
代金のほうを文字にするとどうなるか
「みかんの代金を \(x\) 円とする」置き方もできます。最初の問題で試します。
みかんの代金が \(x\) 円なら個数は \(\dfrac{x}{80}\) 個、りんごの代金は \(960 - x\) 円なので個数は \(\dfrac{960 - x}{120}\) 個。個数の合計が10個だから、
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{x}{80} + \dfrac{960 - x}{120} = 10\) | 個数の合計を式にした |
| \(3x + 2(960 - x) = 2400\) | 両辺に240をかけた |
| \(3x + 1920 - 2x = 2400\) | 分配法則でかっこを外した |
| \(x + 1920 = 2400\) | 同類項をまとめた |
| \(x = 480\) | 1920を右辺に移項した |
出たのは代金の480円。個数に直すには \(480 \div 80 = 6\) が要ります。答えは同じ6個ですが、分数の方程式に加えて割り算まで残りました。求めるものを直接 \(x\) にすれば、この手間は消えます。
出た個数が場面に合うか見る
\(x\) が出たら、その値を見ます。個数には決まりがあります。
- 0以上の整数（2.5個の商品は買えません）
- 合計以下（合わせて10個なら、片方が12個はありません）
この二つを外れる値が出たら、立式か計算のどこかが違います。 表に戻って代金の欄を計算し直せば、必ず合わなくなります。
今日の問い
条件は二つなのに、作る方程式は一つだけです。使わなかったほうの条件は、どこへ行ったのでしょうか。
消えたわけではありません。りんごを \(10 - x\) 個と書いた、あの一行に入っています。条件Aは \(10 - x\) という書き方そのものとして使われました。
りんごを新しい文字で置くと条件Aは使われないまま残り、式が二つ必要になります。一方を \(10 - x\) と書くのは、条件Aを先に使い切って式を一つで済ませる工夫なのです。
よくある間違い
まちがい1：個数の関係のほうを方程式にしてしまう
最初の問題で、こう書く人がいます。
✗ みかんを x 個とすると、りんごは 10 − x 個
✗ x + (10 − x) = 960
✗ x + 10 − x = 960
✗ 10 = 960
\(x\) が打ち消し合って消え、\(10 = 960\) という成り立たない式が残りました。
個数を足したものを代金と等しいと置いたのが原因です。左辺は個数、右辺は円。くらべられません。
○ 80x + 120(10 − x) = 960
○ 80x + 1200 − 120x = 960
○ −40x + 1200 = 960
○ −40x = −240
○ x = 6
個数を足す式が出てきたら、条件Aで使い終わったものです。
まちがい2：かっこを外すときマイナスを配り忘れる
1個50円のミニトマトと1個150円のいちごを合わせて8個買ったら、代金は1000円でした。ミニトマトは何個ですか。
✗ 50x + 150(8 − x) = 1000
✗ 50x + 1200 + 150x = 1000 ← −x に 150 をかけるとき符号を落とした
✗ 200x + 1200 = 1000
✗ 200x = −200
✗ x = −1
ミニトマトが \(-1\) 個はありえません。違うのは2行目。\(150 \times (-x)\) は \(-150x\) で、\(+150x\) ではありません。
○ 50x + 150(8 − x) = 1000
○ 50x + 1200 − 150x = 1000
○ −100x + 1200 = 1000
○ −100x = −200
○ x = 2
確かめ
ミニトマト 2 個 … 50 × 2 = 100 円
いちご 8 − 2 = 6 個 … 150 × 6 = 900 円
個数の合計 2 + 6 = 8 個、代金の合計 100 + 900 = 1000 円
両方の条件に合う
答え ミニトマト2個
かっこの前の数は、中のすべての項に符号ごとかける。声に出してから外します。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。表を必ずかいてから式を作ること。
- 1個90円のロールパンと1個140円のサンドイッチを合わせて8個買い、代金は1020円でした。ロールパンを \(x\) 個として、次の表のア〜ウを \(x\) の式で埋め、方程式を作りなさい（解かなくてよい）。
| 品物 | 単価 | 個数 | 代金 |
|---|---|---|---|
| ロールパン | 90円 | \(x\) 個 | ア |
| サンドイッチ | 140円 | イ | ウ |
| 合計 | 8個 | 1020円 |
1枚60円のはがきと1枚100円の切手を合わせて9枚買い、代金は780円でした。はがきは何枚ですか。
1本120円の紅茶と1本200円のコーヒーを合わせて10本買い、コーヒーの代金は紅茶の代金より720円高くなりました。紅茶は何本ですか。
1個160円のドーナツと1個220円のマフィンを合わせて7個買い、箱代120円を加えて代金は1420円でした。ドーナツは何個ですか。
1本500円のバラと1本300円のカーネーションを合わせて13本買い、代金は5100円でした。カーネーションは何本ですか。
1枚80円のクッキーと1枚130円のせんべいを合わせて12枚買い、代金は1360円でした。クッキーの枚数を次のように求めました。どの行から違いますか。理由を書き、正しく解き直しなさい。
クッキーを x 枚とすると、せんべいは 12 − x 枚
x + (12 − x) = 1360
12 = 1360
- 1枚20円のシールと1枚100円のカードを合わせて10枚買い、代金は760円でした。シールの枚数を次のように求めました。どの行から違いますか。理由を書き、正しく解き直しなさい。
20x + 100(10 − x) = 760
20x + 1000 + 100x = 760
120x = −240
x = −2
答えと考え方
1.
- ア … \(90x\) 円（単価 \(\times\) 個数）
- イ … \(8 - x\) 個（8個のうちロールパンが \(x\) 個なので残り）
- ウ … \(140(8 - x)\) 円（単価 \(\times\) 個数。かっこを忘れないこと）
代金の欄を縦に見て、方程式は
\(90x + 140(8 - x) = 1020\)
解くと \(90x + 1120 - 140x = 1020\) から \(-50x = -100\)、\(x = 2\) です。
確かめ
ロールパン 2 個 … 90 × 2 = 180 円
サンドイッチ 8 − 2 = 6 個 … 140 × 6 = 840 円
個数の合計 2 + 6 = 8 個、代金の合計 180 + 840 = 1020 円
両方の条件に合う
2. はがきを \(x\) 枚とすると、切手は \(9 - x\) 枚です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(60x + 100(9 - x) = 780\) | 代金の欄を縦に見た |
| \(60x + 900 - 100x = 780\) | かっこを外した |
| \(-40x + 900 = 780\) | 同類項をまとめた |
| \(-40x = -120\) | 900を移項した |
| \(x = 3\) | 両辺を \(-40\) で割った |
確かめ
はがき 3 枚 … 60 × 3 = 180 円
切手 9 − 3 = 6 枚 … 100 × 6 = 600 円
枚数の合計 3 + 6 = 9 枚、代金の合計 180 + 600 = 780 円
両方の条件に合う
答え はがき3枚
3. 紅茶を \(x\) 本とすると、コーヒーは \(10 - x\) 本。高いのはコーヒーの代金なので、そこから紅茶の代金を引きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(200(10 - x) - 120x = 720\) | 高いほうから安いほうを引いた |
| \(2000 - 200x - 120x = 720\) | かっこを外した |
| \(2000 - 320x = 720\) | 同類項をまとめた |
| \(-320x = -1280\) | 2000を移項した |
| \(x = 4\) | 両辺を \(-320\) で割った |
確かめ
紅茶 4 本 … 120 × 4 = 480 円
コーヒー 10 − 4 = 6 本 … 200 × 6 = 1200 円
本数の合計 4 + 6 = 10 本、代金の差 1200 − 480 = 720 円
両方の条件に合う
答え 紅茶4本
4. ドーナツを \(x\) 個とすると、マフィンは \(7 - x\) 個。箱代は個数の欄には書きません。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(160x + 220(7 - x) + 120 = 1420\) | 代金の欄を縦に見た |
| \(160x + 1540 - 220x + 120 = 1420\) | かっこを外した |
| \(-60x + 1660 = 1420\) | 同類項をまとめた |
| \(-60x = -240\) | 1660を移項した |
| \(x = 4\) | 両辺を \(-60\) で割った |
確かめ
ドーナツ 4 個 … 160 × 4 = 640 円
マフィン 7 − 4 = 3 個 … 220 × 3 = 660 円
個数の合計 4 + 3 = 7 個、代金の合計 640 + 660 + 120 = 1420 円
両方の条件に合う
答え ドーナツ4個
5. 聞かれているのはカーネーションですが、バラを \(x\) 本とおきます。カーネーションは \(13 - x\) 本です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(500x + 300(13 - x) = 5100\) | 代金の欄を縦に見た |
| \(500x + 3900 - 300x = 5100\) | かっこを外した |
| \(200x + 3900 = 5100\) | 同類項をまとめた |
| \(200x = 1200\) | 3900を移項した |
| \(x = 6\) | 両辺を \(200\) で割った |
\(x\) はバラの行です。問われているのはカーネーションの行なので、\(13 - 6 = 7\) と進みます。
確かめ
バラ 6 本 … 500 × 6 = 3000 円
カーネーション 13 − 6 = 7 本 … 300 × 7 = 2100 円
本数の合計 6 + 7 = 13 本、代金の合計 3000 + 2100 = 5100 円
両方の条件に合う
答え カーネーション7本
6. 2行目から違います。
\(x + (12 - x) = 1360\) は、個数の関係のほうを方程式にしています。 左辺は枚数、右辺は円でくらべられませんし、\(x\) が消えて \(12 = 1360\) になります。「合わせて12枚」は、せんべいを \(12 - x\) 枚と書いた時点で使い終わっています。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(80x + 130(12 - x) = 1360\) | 代金の欄を縦に見た |
| \(80x + 1560 - 130x = 1360\) | かっこを外した |
| \(-50x + 1560 = 1360\) | 同類項をまとめた |
| \(-50x = -200\) | 1560を移項した |
| \(x = 4\) | 両辺を \(-50\) で割った |
確かめ
クッキー 4 枚 … 80 × 4 = 320 円
せんべい 12 − 4 = 8 枚 … 130 × 8 = 1040 円
枚数の合計 4 + 8 = 12 枚、代金の合計 320 + 1040 = 1360 円
両方の条件に合う
答え クッキー4枚
7. 2行目から違います。
\(100 \times (-x)\) を \(+100x\) としています。正しくは \(-100x\) です。かっこの前の数は、中のすべての項に符号ごとかけます。 誤答の \(x = -2\) はシール \(-2\) 枚という意味で、個数は0以上ですから、この時点で気づけます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(20x + 100(10 - x) = 760\) | 代金の欄を縦に見た |
| \(20x + 1000 - 100x = 760\) | かっこを外した |
| \(-80x + 1000 = 760\) | 同類項をまとめた |
| \(-80x = -240\) | 1000を移項した |
| \(x = 3\) | 両辺を \(-80\) で割った |
確かめ
シール 3 枚 … 20 × 3 = 60 円
カード 10 − 3 = 7 枚 … 100 × 7 = 700 円
枚数の合計 3 + 7 = 10 枚、代金の合計 60 + 700 = 760 円
両方の条件に合う
答え シール3枚
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二種類の品物の問題は、表に整理して代金の欄を縦に読めば作れます。次は、配る個数と余る個数から全体を求める、過不足の問題を扱います。「4個ずつ配ると10個余り、5個ずつ配ると3個足りない」というように、同じ全体の量を二通りに書いて \(=\) で結ぶ考え方が主役になります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。