両辺に文字がある方程式を解く
このレッスンでできるようになること
- 等号の左右どちらにも文字がある方程式を、移項して解ける
- 文字をどちら側に集めると計算が楽になるかを、自分で決められる
- セクション3で学んだ用語と手順を、順番に言える
前のレッスンの確認
- 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
- 同類項 … 文字の部分がまったく同じ項どうしのこと
- 移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
- 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
- 係数 … 文字にかけられている数のこと
前のレッスンでは \(ax + b = c\) の形、つまり \(x\) に操作が二つ重なった形を解きました。先に数の項を移項して \(ax = c - b\) にし、そのあと両辺を係数で割る。この二段階です。
3x + 5 = 20
3x = 20 − 5 ← +5 を右辺へ移項した
3x = 15
x = 5 ← 両辺を3で割った
文字の項も移項できる
ここまで移項してきたのは、いつも数の項でした。\(+5\) を右へ、\(-7\) を左へ、というように。
今回からは \(3x + 5 = x + 9\) のように、等号の右側にも文字がある形を扱います。右辺の \(x\) が邪魔に見えますが、心配はいりません。
移項の決まりは「項を、符号を変えて反対の辺へ移す」でした。ここには「数の項だけ」とは書かれていません。文字の項も、まったく同じように移項できます。
\(3x + 5 = x + 9\) で試します。右辺の \(x\) を左辺へ移します。移すときは符号を変えるので、左辺には \(-x\) として現れます。同時に、左辺の \(+5\) を右辺へ移して \(-5\) にします。
\(3x - x = 9 - 5\)
これで左辺には文字の項だけ、右辺には数の項だけが残りました。移項の目的は、文字の項と数の項を左右に分けることです。
3x − x はいくつか
ここが、このレッスンで最もつまずきやすいところです。
\(3x - x\) は \(3x\) ではありません。\(3\) でもありません。答えは \(2x\) です。
理由は係数にあります。\(x\) は、何も書かれていませんが \(1 \times x\) のことです。つまり \(x\) の係数は \(1\) です。\(0\) ではありません。
だから \(3x - x\) は「\(x\) が3個から \(x\) が1個を取り去る」ことで、\(x\) が2個残ります。
\(3x - x = (3 - 1)x = 2x\)
同類項をまとめるときは、係数どうしを計算します。\(x\) の個数を数えていると思ってください。
| 式 | まとめた結果 | 係数の計算 |
|---|---|---|
| \(3x - x\) | \(2x\) | \(3 - 1 = 2\) |
| \(5x - 2x\) | \(3x\) | \(5 - 2 = 3\) |
| \(x + 4x\) | \(5x\) | \(1 + 4 = 5\) |
| \(2x - 5x\) | \(-3x\) | \(2 - 5 = -3\) |
いちばん下のように、係数が負になることもあります。それでも計算は同じです。
例題1
\(3x + 5 = x + 9\) を解きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3x + 5 = x + 9\) | もとの式 |
| \(3x - x = 9 - 5\) | 右辺の \(x\) を左辺へ、左辺の \(+5\) を右辺へ移項した |
| \(2x = 4\) | 同類項をまとめた（\(3 - 1 = 2\)、\(9 - 5 = 4\)） |
| \(x = 2\) | 両辺を \(x\) の係数 \(2\) で割った |
確かめ
左辺 = 3 × 2 + 5 = 11
右辺 = 2 + 9 = 11
左辺 = 右辺 なので x=2 は解
どちら側に文字を集めるか
文字の項は、左へ集めても右へ集めても構いません。どちらでも同じ解が出ます。ただし、途中の計算の楽さが変わります。
\(2x + 9 = 5x\) を、両方のやり方で解いてみます。
左に集めるやり方
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2x + 9 = 5x\) | もとの式 |
| \(2x - 5x = -9\) | 右辺の \(5x\) を左辺へ、左辺の \(+9\) を右辺へ移項した |
| \(-3x = -9\) | 同類項をまとめた（\(2 - 5 = -3\)） |
| \(x = 3\) | 両辺を \(-3\) で割った |
最後の行で \(-9 \div (-3)\) という負の数どうしの割り算が出ました。答えは正の \(3\) です。ここで符号を落とす人がとても多い場所です。
右に集めるやり方
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2x + 9 = 5x\) | もとの式 |
| \(9 = 5x - 2x\) | 左辺の \(2x\) を右辺へ移項した（\(+9\) は動かさない） |
| \(9 = 3x\) | 同類項をまとめた（\(5 - 2 = 3\)） |
| \(3 = x\) | 両辺を \(3\) で割った |
| \(x = 3\) | 向きをそろえた |
こちらは負の数が一度も出てきません。
確かめ
左辺 = 2 × 3 + 9 = 15
右辺 = 5 × 3 = 15
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
選び方の決まり
答えはどちらも \(x = 3\) で同じです。違うのは途中の形だけです。
\(2x\) と \(5x\) を見比べて、係数が大きいほうの辺に文字を集めると、係数が正のままになり、計算が楽になります。
負の数を通らない道があるなら、そちらを選びます。答えが同じでも、まちがえにくいほうを選ぶのが上手な解き方です。
3 = x と x = 3 は同じ
右に集めると、最後が \(3 = x\) の形で出てきます。「答えが左右逆になった」と不安になるかもしれませんが、心配いりません。
等号は向きを持ちません。 \(3 = x\) は「3と \(x\) は等しい」と言っているだけで、\(x = 3\) とまったく同じ意味です。どちらも正しい答えです。
ただし、書くときは \(x = 3\) の向きにそろえます。「\(x\) はいくつか」を答える形にしておくほうが読みやすいからです。
9 = 3x
3 = x
x = 3 ← 答えは x = の向きにそろえる
例題2
\(5x - 3 = 2x + 6\) を解きます。係数は \(5\) と \(2\) です。大きいのは左辺の \(5\) なので、文字は左に集めます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5x - 3 = 2x + 6\) | もとの式 |
| \(5x - 2x = 6 + 3\) | 右辺の \(2x\) を左辺へ、左辺の \(-3\) を右辺へ移項した |
| \(3x = 9\) | 同類項をまとめた（\(5 - 2 = 3\)、\(6 + 3 = 9\)） |
| \(x = 3\) | 両辺を \(3\) で割った |
\(-3\) を移項すると \(+3\) になります。符号を変えるのを忘れないでください。
確かめ
左辺 = 5 × 3 − 3 = 12
右辺 = 2 × 3 + 6 = 12
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
例題3
\(x + 14 = 4x - 4\) を解きます。係数は左辺が \(1\)、右辺が \(4\) です。大きいのは右辺なので、文字は右に集めます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x + 14 = 4x - 4\) | もとの式 |
| \(14 + 4 = 4x - x\) | 左辺の \(x\) を右辺へ、右辺の \(-4\) を左辺へ移項した |
| \(18 = 3x\) | 同類項をまとめた（\(14 + 4 = 18\)、\(4 - 1 = 3\)） |
| \(6 = x\) | 両辺を \(3\) で割った |
| \(x = 6\) | 向きをそろえた |
\(4x - x\) が \(3x\) になるのも、\(x\) の係数が \(1\) だからです。\(4 - 1 = 3\) です。
確かめ
左辺 = 6 + 14 = 20
右辺 = 4 × 6 − 4 = 24 − 4 = 20
左辺 = 右辺 なので x=6 は解
例題2は左に、例題3は右に集めました。集める側がちがえば、途中の式も答えもちがいます。前の問題と同じ答えになったから合っている、とは考えないでください。 毎回、元の式に代入して確かめます。
例題4 解が負になる場合
\(4x + 7 = 6x + 15\) を解きます。係数は \(4\) と \(6\) です。大きいのは右辺なので、右に集めます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4x + 7 = 6x + 15\) | もとの式 |
| \(7 - 15 = 6x - 4x\) | 左辺の \(4x\) を右辺へ、右辺の \(+15\) を左辺へ移項した |
| \(-8 = 2x\) | 同類項をまとめた（\(7 - 15 = -8\)、\(6 - 4 = 2\)） |
| \(-4 = x\) | 両辺を \(2\) で割った |
| \(x = -4\) | 向きをそろえた |
係数を正にそろえても、解が負になることはあります。 「マイナスが出たからまちがい」ではありません。
確かめ
左辺 = 4 × (−4) + 7 = −16 + 7 = −9
右辺 = 6 × (−4) + 15 = −24 + 15 = −9
左辺 = 右辺 なので x=−4 は解
セクション3のまとめ
セクション3で確定した用語です。忘れたらこのページに戻ってきてください。
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 項 | 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる） |
| 同類項 | 文字の部分がまったく同じ項どうしのこと |
| 移項 | 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと |
| 反対の数 | 符号だけを変えた数のこと |
| 係数 | 文字にかけられている数のこと |
\(ax + b = cx + d\) を解く手順は、次の4つです。
| 手順 | すること | \(5x - 3 = 2x + 6\) では |
|---|---|---|
| ① | 移項して、文字の項を一方の辺に、数の項をもう一方の辺に分ける | \(5x - 2x = 6 + 3\) |
| ② | 同類項をまとめる（係数どうしを計算する） | \(3x = 9\) |
| ③ | 両辺を \(x\) の係数で割る | \(x = 3\) |
| ④ | 解を元の式に代入して確かめる | 左辺 \(= 12\)、右辺 \(= 12\) |
①でどちらの辺に文字を集めるかを決めます。係数が大きいほうの辺を選びます。
今日の問い
\(2x + 9 = 5x\) は、左に集めても右に集めても \(x = 3\) になりました。答えが同じなら、どちらでもいいはずです。それなのに、なぜ集める側を選ぶのでしょうか。
理由はまちがえる回数です。左に集めると \(-3x = -9\) となり、負の数どうしの割り算をしなければなりません。右に集めれば \(9 = 3x\) で、負の数は一度も出てきません。
計算の道が2本あって、片方には落とし穴があり、もう片方にはない。それなら落とし穴のない道を選びます。同じ答えにたどり着くなら、まちがえにくい道を選ぶ。 これが「係数が大きいほうの辺に集める」という決まりの中身です。
よくある間違い
まちがい1：3x − x を 3x や 3 にしてしまう
✗ 3x + 4 = x + 10
✗ 3x − x = 10 − 4
✗ 3x = 6
✗ x = 2
\(3x - x\) を \(3x\) にしています。\(x\) を「何もない」と見て、引いても変わらないと思ってしまった形です。
もうひとつ、こちらもよく起きます。
✗ 3x + 4 = x + 10
✗ 3x − x = 10 − 4
✗ 3 = 6
こんどは \(x\) どうしが消えると思って、\(3\) だけ残してしまいました。\(3 = 6\) という、成り立たない式が出てきます。
○ 3x + 4 = x + 10
○ 3x − x = 10 − 4
○ 2x = 6
○ x = 3
正しくは、\(x\) の係数が \(1\) なので \(3 - 1 = 2\) で \(2x\) です。誤答の \(x = 2\) を元の式に入れると、左辺は \(3 \times 2 + 4 = 10\)、右辺は \(2 + 10 = 12\) で合いません。
まちがい2：文字の項を移項するとき、符号を変えない
✗ 4x + 3 = x + 9
✗ 4x + x = 9 + 3
✗ 5x = 12
数の項の \(+3\) は正しく \(-3\) にして移せているのに、右辺の \(x\) を左へ移すとき \(+x\) のままにしています。文字の項でも、移項したら符号は変わります。
○ 4x + 3 = x + 9
○ 4x − x = 9 − 3
○ 3x = 6
○ x = 2
まちがい3：文字の項と数の項が同じ辺に残ったまま割る
✗ 5x − 3 = 2x + 6
✗ 5x − 2x − 3 = 6
✗ x = 2
2行目までは正しいのですが、左辺には \(3x\) と \(-3\) の両方が残っています。この状態で割ることはできません。割るのは、片方の辺が文字の項ひとつだけになってからです。
○ 5x − 3 = 2x + 6
○ 5x − 2x = 6 + 3
○ 3x = 9
○ x = 3
まちがい4：負の数どうしの割り算で符号を落とす
✗ 2x + 9 = 5x
✗ 2x − 5x = −9
✗ −3x = −9
✗ x = −3
\(-9 \div (-3)\) は \(3\) です。負の数を負の数で割ると、答えは正になります。\(x = -3\) を元の式に入れると、左辺は \(2 \times (-3) + 9 = 3\)、右辺は \(5 \times (-3) = -15\) で合いません。
この間違いは、そもそも右に集めていれば起きませんでした。負の係数を作らない集め方を選ぶことが、いちばんの予防です。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。文字をどちらに集めたのかが分かるように、途中式を残すこと。
\(7x - 4 = 3x + 12\) を解きなさい。
\(2x + 11 = 6x - 1\) を解きなさい。
\(5x + 6 = 2x - 3\) を解きなさい。
\(6x - 1 = 2x + 5\) を解きなさい。
\(5x + 8 = 9x - 12\) を、左に集めるやり方と右に集めるやり方の両方で解き、答えが同じになることを確かめなさい。また、どちらが計算しやすかったかを書きなさい。
次の2つの変形は、それぞれどの行から違いますか。理由を書き、正しく解き直しなさい。
（ア）
3x + 4 = x + 10
3x − x = 10 − 4
3 = 6
（イ）
4x + 3 = x + 9
4x + x = 9 + 3
5x = 12
- \(ax + b = cx + d\) の形を解く4つの手順を、順番に書きなさい。また、文字をどちらの辺に集めるとよいかも書きなさい。
答えと考え方
1. 係数は \(7\) と \(3\)。大きいほうの左辺に文字を集めます。
7x − 4 = 3x + 12
7x − 3x = 12 + 4 ← 3x を左へ、−4 を右へ移項した
4x = 16 ← 同類項をまとめた
x = 4 ← 両辺を4で割った
左辺 = 7 × 4 − 4 = 24
右辺 = 3 × 4 + 12 = 24
左辺 = 右辺 なので x=4 は解
2. 係数は \(2\) と \(6\)。大きいほうの右辺に文字を集めます。
2x + 11 = 6x − 1
11 + 1 = 6x − 2x ← 2x を右へ、−1 を左へ移項した
12 = 4x ← 同類項をまとめた
3 = x ← 両辺を4で割った
x = 3 ← 向きをそろえた
左辺 = 2 × 3 + 11 = 17
右辺 = 6 × 3 − 1 = 17
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
3. 係数は \(5\) と \(2\)。左に集めます。解は負になります。
5x + 6 = 2x − 3
5x − 2x = −3 − 6 ← 2x を左へ、+6 を右へ移項した
3x = −9 ← 同類項をまとめた
x = −3 ← 両辺を3で割った
左辺 = 5 × (−3) + 6 = −15 + 6 = −9
右辺 = 2 × (−3) − 3 = −6 − 3 = −9
左辺 = 右辺 なので x=−3 は解
4. 係数は \(6\) と \(2\)。左に集めます。割り切れませんが、そのまま分数で答えます。
6x − 1 = 2x + 5
6x − 2x = 5 + 1 ← 2x を左へ、−1 を右へ移項した
4x = 6 ← 同類項をまとめた
x = 6 ÷ 4 ← 両辺を4で割った
\(6 \div 4\) は割り切れません。約分して \(x = \dfrac{3}{2}\) が答えです。
左辺 = 6 × (3÷2) − 1 = 9 − 1 = 8
右辺 = 2 × (3÷2) + 5 = 3 + 5 = 8
左辺 = 右辺 なので x=3÷2 は解
5. 左に集めるやり方。
5x + 8 = 9x − 12
5x − 9x = −12 − 8 ← 9x を左へ、+8 を右へ移項した
−4x = −20 ← 同類項をまとめた
x = 5 ← 両辺を−4で割った
右に集めるやり方。
5x + 8 = 9x − 12
8 + 12 = 9x − 5x ← 5x を右へ、−12 を左へ移項した
20 = 4x ← 同類項をまとめた
5 = x
x = 5 ← 向きをそろえた
どちらも \(x = 5\) で同じです。
左辺 = 5 × 5 + 8 = 33
右辺 = 9 × 5 − 12 = 33
左辺 = 右辺 なので x=5 は解
計算しやすいのは右に集めるやり方です。左に集めると \(-4x = -20\) となり、負の数どうしの割り算が必要になります。右に集めれば係数が \(4\) のままで、負の数が出てきません。係数は \(5\) と \(9\) なので、大きいほうの右辺に集めるのが正解でした。
6.（ア）3行目から違います。
\(3x - x\) を \(3\) としています。\(x\) どうしが消えると思ってしまった形です。\(x\) の係数は \(1\) なので、\(3 - 1 = 2\) で \(2x\) が正しい答えです。文字は消えません。
○ 3x + 4 = x + 10
○ 3x − x = 10 − 4
○ 2x = 6
○ x = 3
左辺 = 3 × 3 + 4 = 13
右辺 = 3 + 10 = 13
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
（イ）2行目から違います。
右辺の \(x\) を左辺へ移項したのに、符号を変えていません。\(+x\) は移項すると \(-x\) になります。数の項の \(+3\) は正しく \(-3\) にできているので、文字の項でも同じ扱いをすればよかったのです。
○ 4x + 3 = x + 9
○ 4x − x = 9 − 3
○ 3x = 6
○ x = 2
左辺 = 4 × 2 + 3 = 11
右辺 = 2 + 9 = 11
左辺 = 右辺 なので x=2 は解
誤答の \(x = \dfrac{12}{5}\) を元の式に入れると、左辺は \(4 \times \dfrac{12}{5} + 3 = \dfrac{63}{5}\)、右辺は \(\dfrac{12}{5} + 9 = \dfrac{57}{5}\) で合いません。
7.
- ① 移項して、文字の項を一方の辺に、数の項をもう一方の辺に分ける
- ② 同類項をまとめる（係数どうしを計算する）
- ③ 両辺を \(x\) の係数で割る
- ④ 解を元の式に代入して確かめる
文字は、係数が大きいほうの辺に集めます。 そうすると係数が正のままになり、負の数の計算を通らずにすむからです。
次のレッスンへ
これでセクション3は終わりです。\(3x + 5 = x + 9\) のように、等号の左右どちらにも文字がある方程式まで解けるようになりました。
ただし、ここまでで解けるのはかっこのない形だけです。次のセクションでは、
\(2(x + 3) = 14\)
のように、かっこのついた方程式を扱います。このままでは移項も同類項もできません。かっこを外すための新しい決まりを学んでから、いつもの4つの手順に戻ってきます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。