かっこを含む方程式を解く
このレッスンでできるようになること
- かっこを含む方程式を、かっこを外してから最後まで解ける
- これまでの手順の先頭に「かっこを外す」を一段足すだけでよい、と説明できる
- 両辺にかっこがある形、かっこの前がマイナスの形も解ける
- 両辺を先に割る近道が使えるかどうかを見分けられる
- 検算を、かっこを外す前の式で行える
前のレッスンの確認
- 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
- 同類項 … 文字の部分がまったく同じ項どうしのこと
- 移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
- 係数 … 文字にかけられている数のこと
- 分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
セクション3で、\(ax + b = cx + d\) の形を「移項 → 同類項をまとめる → 係数で割る → 検算」で解けるようになりました。前の3本では、外が正の数のとき、外したあとに同類項をまとめるとき、かっこの前がマイナスのときの外し方を練習しました。
今日はその2つをつなぎます。つなぐだけです。新しい解き方は出てきません。
手順に足すのは、先頭の一段だけ
\(2(x + 6) = 20\) を見てください。左辺は \(2(x + 6)\) でひとかたまりになっていて、動かせる項が並んでいません。これでは今までの手順の入口に立てません。
なら、項が並ぶ形にしてから入ればいい。
段階1から段階3は、セクション3で身についています。今日増えるのは、いちばん左の段階0だけです。
- 段階0 … かっこを外す（分配法則。ここが新しい）
- 段階1 … 移項して、文字の項と数の項を左右に分ける
- 段階2 … 同類項をまとめる
- 段階3 … 両辺を係数で割る
- 仕上げ … 元の式に代入して確かめる
かっこが外れた瞬間、その式は \(ax + b = cx + d\) の仲間になります。あとは前のセクションのなぞりです。
例題1 いちばん簡単な形
\(2(x + 6) = 20\) を解きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2(x + 6) = 20\) | もとの式 |
| \(2x + 12 = 20\) | 分配法則でかっこを外した（段階0） |
| \(2x = 20 - 12\) | \(+12\) を右辺へ移項した（段階1） |
| \(2x = 8\) | 右辺の数の項をまとめた（段階2） |
| \(x = 4\) | 両辺を係数の \(2\) で割った（段階3） |
確かめ
左辺 = 2 × (4 + 6) = 2 × 10 = 20
右辺 = 20
左辺 = 右辺 なので x=4 は解
2行目でかっこが外れると \(2x + 12 = 20\) になります。セクション3で何度も解いた形です。新しかったのは1行目から2行目への1回だけでした。
例題2 かっこの外に項があるとき
\(3(x - 2) + x = 14\) を解きます。左辺はかっこのかたまりと \(x\) の2つです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3(x - 2) + x = 14\) | もとの式 |
| \(3x - 6 + x = 14\) | かっこを外した。\(3 \times (-2) = -6\) |
| \(3x + x = 14 + 6\) | \(-6\) を右辺へ移項した |
| \(4x = 20\) | 同類項 \(3x\) と \(x\) をまとめた |
| \(x = 5\) | 両辺を \(4\) で割った |
確かめ
左辺 = 3 × (5 − 2) + 5 = 3 × 3 + 5 = 9 + 5 = 14
右辺 = 14
左辺 = 右辺 なので x=5 は解
\(3\) をかける相手は、かっこの中の \(x\) と \(-2\) だけです。外の \(+x\) まで3倍しないこと。
例題3 両辺にかっこがあるとき
\(2(x + 1) = 3(x - 2)\) を解きます。かっこが左右に1つずつあります。
両方のかっこを外してから、段階1に進みます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2(x + 1) = 3(x - 2)\) | もとの式 |
| \(2x + 2 = 3x - 6\) | 両辺のかっこをそれぞれ外した |
| \(2 + 6 = 3x - 2x\) | \(2x\) を右辺へ、\(-6\) を左辺へ移項した |
| \(8 = x\) | 両辺をまとめた |
| \(x = 8\) | 答えを \(x =\) の向きにそろえた |
確かめ
左辺 = 2 × (8 + 1) = 2 × 9 = 18
右辺 = 3 × (8 − 2) = 3 × 6 = 18
左辺 = 右辺 なので x=8 は解
ここでは文字の項を右辺に集めました。左に集めると \(-x = -8\) となり、係数が負になります。それでも \(x = 8\) にたどり着けますが、係数が正になる側へ集めたほうがミスが減ります。
例題4 かっこの前がマイナスのとき
\(9 - 2(x - 4) = 3\) を解きます。前のレッスンの山場が方程式になった形です。かっこにかかっているのは \(2\) ではなく \(-2\) で、中の2つの項の両方にかけます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(9 - 2(x - 4) = 3\) | もとの式 |
| \(9 - 2x + 8 = 3\) | かっこを外した。\(-2 \times x = -2x\)、\(-2 \times (-4) = +8\) |
| \(-2x = 3 - 9 - 8\) | \(+9\) と \(+8\) を右辺へ移項した |
| \(-2x = -14\) | 右辺をまとめた |
| \(x = 7\) | 両辺を係数の \(-2\) で割った |
確かめ
左辺 = 9 − 2 × (7 − 4) = 9 − 2 × 3 = 9 − 6 = 3
右辺 = 3
左辺 = 右辺 なので x=7 は解
最後の行は \(-14 \div (-2) = 7\) です。負どうしのわり算なので答えは正になります。
例題5 解が負になるとき
\(4(x + 5) = x + 8\) を解きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4(x + 5) = x + 8\) | もとの式 |
| \(4x + 20 = x + 8\) | かっこを外した |
| \(4x - x = 8 - 20\) | \(x\) を左辺へ、\(+20\) を右辺へ移項した |
| \(3x = -12\) | 両辺の同類項をまとめた |
| \(x = -4\) | 両辺を \(3\) で割った |
確かめ
左辺 = 4 × (−4 + 5) = 4 × 1 = 4
右辺 = −4 + 8 = 4
左辺 = 右辺 なので x=−4 は解
答えが負の数になりました。これは計算ミスではありません。 代入するときは \((-4 + 5)\) のようにかっこをそのまま使い、先に中を計算します。
両辺を先に割る近道
例題1の \(2(x + 6) = 20\) には、もう一つの解き方があります。
両辺を \(2\) で割ります。等式の性質④（\(A = B\) のとき、\(C\) が0でなければ \(\dfrac{A}{C} = \dfrac{B}{C}\)）です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2(x + 6) = 20\) | もとの式 |
| \(x + 6 = 10\) | 両辺を \(2\) で割った。左辺のかっこが消える |
| \(x = 4\) | \(+6\) を右辺へ移項した |
3行で終わりました。左辺が \(2\) でちょうど割れ、右辺も \(20 \div 2 = 10\) で割り切れたからです。
この近道が使えるのは、かっこの外の数で右辺が割り切れるときだけです。
たとえば \(2(x + 6) = 21\) では \(21 \div 2\) が整数になりません。こういうときは素直に分配法則で外します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2(x + 6) = 21\) | もとの式 |
| \(2x + 12 = 21\) | かっこを外した |
| \(2x = 9\) | \(+12\) を右辺へ移項してまとめた |
| \(x = \dfrac{9}{2}\) | 両辺を \(2\) で割った |
もう一つ条件があります。かっこの外に別の項があるときは使えません。 \(3(x - 2) + x = 14\) なら、\(+x\) も右辺の \(14\) も \(3\) で割ることになり、かえって面倒です。
近道を使ってよいのは、次の両方がそろったときです。
| 条件 | 中身 |
|---|---|
| 形 | 一方の辺が「数 \(\times\) かっこ」だけでできている |
| 数 | その数で、もう一方の辺が割り切れる |
近道は使わなくても必ず解けます。迷ったら分配法則で外してください。
分数や負の数が出てきても正しい
\(8(x + 1) = 20\) を解いてみます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(8(x + 1) = 20\) | もとの式 |
| \(8x + 8 = 20\) | かっこを外した |
| \(8x = 12\) | \(+8\) を右辺へ移項してまとめた |
| \(x = \dfrac{3}{2}\) | 両辺を \(8\) で割り、\(\dfrac{12}{8}\) を約分した |
割り切れませんが、これが正しい解です。\(x = \dfrac{3}{2}\) を元の式に入れると、左辺は \(8 \times \left( \dfrac{3}{2} + 1 \right) = 8 \times \dfrac{5}{2} = 20\) となり、右辺の \(20\) と一致します。
例題5の \(x = -4\) も同じです。答えが整数でないこと、答えが負であることは、まちがいのしるしではありません。 \(\dfrac{3}{2}\) を「だいたい1.5くらい」と丸めてはいけません。
検算はかっこを外す前の式で
検算のときに代入する式は、必ずいちばん最初の式です。外したあとの式に代入すると、外し方をまちがえていたときに気づけません。
\(3(x + 4) = 21\) を \(3x + 4 = 21\) と外したとします。この式を解くと \(3x = 17\)、\(x = \dfrac{17}{3}\) です。これを外したあとの式に代入すると、左辺は \(3 \times \dfrac{17}{3} + 4 = 21\) となり、右辺と一致してしまいます。まちがいが素通りします。
同じ値を元の式に入れると、左辺は \(3 \times \left( \dfrac{17}{3} + 4 \right) = 17 + 12 = 29\) で、右辺の \(21\) と合いません。ここで初めて「外し方が違う」と分かります。
正しくはこうです。
3(x + 4) = 21
3x + 12 = 21
3x = 9
x = 3
左辺 = 3 × (3 + 4) = 3 × 7 = 21
右辺 = 21
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
元の式に戻して確かめる。 習慣にすれば、段階0のミスも段階3のミスも見つかります。
今日の問い
\(2(x + 6) = 20\) で、いきなり \(+6\) を右辺へ移項して \(2x = 20 - 6\) としてはいけません。なぜでしょうか。
移項できるのは項です。左辺は \(2(x + 6)\) で1つのかたまりなので、\(+\) と \(-\) で区切れる場所がありません。かっこの中の \(6\) は単独の項ではなく、\(2\) 倍される中身の一部です。
かっこを外すと \(2x + 12\) になり、ここで初めて \(2x\) と \(+12\) の2つの項が現れます。移項されるのは \(6\) ではなく、\(2\) をかけたあとの \(12\) です。
✗ 2(x + 6) = 20
✗ 2x = 20 − 6
✗ 2x = 14
○ 2(x + 6) = 20
○ 2x + 12 = 20
○ 2x = 20 − 12
○ 2x = 8
○ x = 4
かっこが残っているうちは、移項の出番ではありません。 これが、段階0を先頭に置く理由です。
よくある間違い
まちがい1：かっこの中の後ろの項にかけ忘れる
✗ 3(x + 4) = 21
✗ 3x + 4 = 21
✗ 3x = 17
\(3\) をかけた相手が \(x\) だけです。分配法則は中の項すべてにかける約束なので、\(4\) にもかけます。
○ 3(x + 4) = 21
○ 3x + 12 = 21
○ 3x = 9
○ x = 3
外の数から中の項へ矢印を2本書いてから外すと、かけ忘れが減ります。
まちがい2：かっこの前がマイナスのとき、符号を変え忘れる
✗ 10 − 2(x − 1) = 4
✗ 10 − 2x − 2 = 4
✗ −2x + 8 = 4
✗ x = 2
かけているのは \(-2\) です。\(-2 \times (-1)\) は \(+2\) のはずが、\(-2\) のままです。後ろの項に符号が届いていません。
○ 10 − 2(x − 1) = 4
○ 10 − 2x + 2 = 4
○ −2x = 4 − 10 − 2
○ −2x = −8
○ x = 4
左辺 = 10 − 2 × (4 − 1) = 10 − 2 × 3 = 10 − 6 = 4
右辺 = 4
左辺 = 右辺 なので x=4 は解
かっこの前のマイナスは、中のすべての項の符号を反対にする。
まちがい3：近道を、使えない形で使う
✗ 3(x − 2) + x = 14
✗ x − 2 + x = 14
✗ 2x = 16
✗ x = 8
左辺のかっこだけを \(3\) で割っています。両辺を \(3\) で割るなら \(+x\) も右辺の \(14\) も割る必要があり、片方の項だけ割るのは等式の性質を守らない変形です。
\(x = 8\) を元の式に入れると左辺は \(3 \times (8 - 2) + 8 = 18 + 8 = 26\) で、右辺の \(14\) と合いません。正しくは例題2のとおり \(x = 5\) です。
かっこの外に項があるときは、分配法則で外す。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。どの行で何をしたのかを、必ず書き残すこと。検算は元の式で行います。
\(3(x + 5) = 27\) を解きなさい。
\(4(x - 1) + 2x = 26\) を解きなさい。
\(4(x + 6) = 6(x + 8)\) を解きなさい。
\(7 - 3(x - 1) = 4\) を解きなさい。
\(6(x - 1) = 15\) を解きなさい。
次の2つのうち、両辺を先に割る近道が使えるのはどちらですか。理由も書き、両方を解きなさい。
- （ア）\(3(x - 5) = 18\)
- （イ）\(3(x - 5) = 20\)
- 次の変形はまちがっています。どの行から違いますか。正しく解き直しなさい。
7(x + 3) = 70
7x + 3 = 70
7x = 67
- 次の変形はまちがっています。どの行から違いますか。正しく解き直しなさい。
8 − 4(x − 2) = 4
8 − 4x − 8 = 4
−4x = 4
x = −1
答えと考え方
1. \(x = 4\)
3(x + 5) = 27
3x + 15 = 27
3x = 27 − 15
3x = 12
x = 4
左辺 = 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
右辺 = 27
左辺 = 右辺 なので x=4 は解
近道でも解けます。\(27 \div 3 = 9\) なので、両辺を \(3\) で割って \(x + 5 = 9\)、\(x = 4\) です。
2. \(x = 5\)
4(x − 1) + 2x = 26
4x − 4 + 2x = 26
4x + 2x = 26 + 4
6x = 30
x = 5
左辺 = 4 × (5 − 1) + 2 × 5 = 4 × 4 + 10 = 16 + 10 = 26
右辺 = 26
左辺 = 右辺 なので x=5 は解
かっこの外の \(+2x\) には \(4\) をかけません。外したあと \(4x\) と \(2x\) がまとまります。
3. \(x = -12\)
両辺のかっこを、それぞれ外します。
4(x + 6) = 6(x + 8)
4x + 24 = 6x + 48
24 − 48 = 6x − 4x
−24 = 2x
x = −12
左辺 = 4 × (−12 + 6) = 4 × (−6) = −24
右辺 = 6 × (−12 + 8) = 6 × (−4) = −24
左辺 = 右辺 なので x=−12 は解
文字の項を右辺に集めたので、係数が正のまま進められました。負の解も正しい解です。
4. \(x = 2\)
かっこにかかっているのは \(-3\) です。
7 − 3(x − 1) = 4
7 − 3x + 3 = 4
−3x = 4 − 7 − 3
−3x = −6
x = 2
左辺 = 7 − 3 × (2 − 1) = 7 − 3 × 1 = 7 − 3 = 4
右辺 = 4
左辺 = 右辺 なので x=2 は解
\(-3 \times (-1) = +3\) です。ここを \(-3\) にしてしまうと答えが変わります。
5. \(x = \dfrac{7}{2}\)
6(x − 1) = 15
6x − 6 = 15
6x = 15 + 6
6x = 21
両辺を \(6\) で割ると \(x = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}\) です。約分を忘れないでください。確かめると、左辺は \(6 \times \left( \dfrac{7}{2} - 1 \right) = 6 \times \dfrac{5}{2} = 15\) で、右辺の \(15\) と一致します。\(15 \div 6\) は割り切れないので、この問題で近道は向きません。
6. 近道が使えるのは（ア）です。
（ア）は左辺が「数 \(\times\) かっこ」だけで、外の \(3\) で右辺の \(18\) が割り切れます（\(18 \div 3 = 6\)）。
3(x − 5) = 18
x − 5 = 6
x = 11
左辺 = 3 × (11 − 5) = 3 × 6 = 18
右辺 = 18
左辺 = 右辺 なので x=11 は解
（イ）は \(20 \div 3\) が整数になりません。近道は向かないので、分配法則で外します。
3(x − 5) = 20
3x − 15 = 20
3x = 20 + 15
3x = 35
両辺を \(3\) で割って \(x = \dfrac{35}{3}\) です。左辺は \(3 \times \left( \dfrac{35}{3} - 5 \right) = 35 - 15 = 20\) で、右辺と一致します。
7. 2行目から違います。
\(7\) をかけたのが \(x\) だけで、\(+3\) にかけ忘れています。\(7 \times 3 = 21\) なので、外したあとは \(7x + 21\) です。
○ 7(x + 3) = 70
○ 7x + 21 = 70
○ 7x = 70 − 21
○ 7x = 49
○ x = 7
左辺 = 7 × (7 + 3) = 7 × 10 = 70
右辺 = 70
左辺 = 右辺 なので x=7 は解
近道も使えます。\(70 \div 7 = 10\) なので、両辺を \(7\) で割って \(x + 3 = 10\)、\(x = 7\) です。
8. 2行目から違います。
かっこにかかっているのは \(-4\) です。\(-4 \times (-2) = +8\) なので、\(-8\) ではなく \(+8\) です。マイナスを後ろの項へ配り忘れた形です。
○ 8 − 4(x − 2) = 4
○ 8 − 4x + 8 = 4
○ −4x = 4 − 8 − 8
○ −4x = −12
○ x = 3
左辺 = 8 − 4 × (3 − 2) = 8 − 4 × 1 = 8 − 4 = 4
右辺 = 4
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
誤答の \(x = -1\) を元の式に入れると、左辺は \(8 - 4 \times (-3) = 8 + 12 = 20\) で、右辺の \(4\) と合いません。元の式で検算すれば気づけます。
次のレッスンへ
かっこが1つ、あるいは両辺に1つずつある形は解けるようになりました。手順に足したのは先頭の一段だけです。
次は、\(2(x - 1) - 3(x + 2) = -9\) のように、片側にかっこが2つ並ぶ形を扱います。外す作業が2回になり、2つ目のかっこの前がマイナスになることも増えます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。