かっこが二つある方程式に挑む
このレッスンでできるようになること
- かっこが二つ並んだ方程式を、かっこを1つずつ外して解ける
- 二つ目のかっこの前がマイナスのとき、中のすべての項に符号を配れる
- セクション4で学んだかっこの外し方と解く手順を、一覧として使える
前のレッスンの確認
- 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
- 同類項 … 文字の部分がまったく同じ項どうしのこと
- 移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
- 係数 … 文字にかけられている数のこと
- 分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
このセクションでは、分配法則、かっこの外し方、外したあとの整理、そしてかっこを含む方程式の解き方を扱ってきました。手順は「かっこを外す → 移項 → 同類項をまとめる → 係数で割る → 検算」です。ここまでのかっこは、式の中に1つか、左辺と右辺に1つずつでした。
片側にかっこが二つ並ぶ形
今回扱うのは、片方の辺にかっこが二つ並んだ形です。
\(2(x - 1) - 3(x + 2) = -9\)
左辺に \(2(x - 1)\) と \(3(x + 2)\) の二つのかたまりがあります。やることは今までと変わりませんが、一つだけ注意点があります。二つ目のかっこの前がマイナスだということです。ここが最大の落とし穴です。
\(-3(x + 2)\) のかっこの前にあるのは \(3\) ではなく \(-3\) です。符号は数にくっついて動きます。ですから \(-3\) を、かっこの中の \(x\) にも \(+2\) にもかけます。
\(-3(x + 2) = -3x - 6\)
\(-3 \times x = -3x\)、\(-3 \times (+2) = -6\) です。\(+2\) にかける \(-3\) を忘れると、\(6\) の符号が逆になります。
かっこの前の符号を先に書き出す
式を見たら、計算を始める前に、それぞれのかっこの前が \(+\) か \(-\) かに印をつけます。
2(x − 1) − 3(x + 2) = −9
↑ ↑
前は + 前は −
つけたら、かっこの前の数を符号ごと読み直します。一つ目は \(+2\)、二つ目は \(-3\) です。この一手間で取りこぼしは激減します。
例題1 二つ目のかっこの前がマイナス
\(2(x - 1) - 3(x + 2) = -9\) を解きます。かっこは1つずつ外します。 一度に外そうとすると、どこかの符号を落とします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(2(x - 1) - 3(x + 2) = -9\) | もとの式。前の符号は \(+\) と \(-\) |
| \(2x - 2 - 3(x + 2) = -9\) | 一つ目のかっこだけを外した |
| \(2x - 2 - 3x - 6 = -9\) | 二つ目のかっこを外した（\(-3\) を \(x\) と \(+2\) の両方にかけた） |
| \(-x - 8 = -9\) | 同類項をまとめた（\(2x - 3x = -x\)、\(-2 - 6 = -8\)） |
| \(-x = -1\) | \(-8\) を右辺へ移項した |
| \(x = 1\) | 両辺を \(-1\) で割った |
確かめ
左辺 = 2 × (1 − 1) − 3 × (1 + 2) = 0 − 9 = −9
右辺 = −9
左辺 = 右辺 なので x=1 は解
例題2 順番を入れかえた形
\(3(x + 2) - 2(x - 1) = 15\) を解きます。二つ目のかっこの中が \(x - 1\) で、前が \(-2\) なので、\(-2 \times (-1) = +2\) となり、外したあとはプラスになります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3(x + 2) - 2(x - 1) = 15\) | もとの式。前の符号は \(+\) と \(-\) |
| \(3x + 6 - 2(x - 1) = 15\) | 一つ目のかっこだけを外した |
| \(3x + 6 - 2x + 2 = 15\) | 二つ目のかっこを外した（\(-2 \times (-1) = +2\)） |
| \(x + 8 = 15\) | 同類項をまとめた |
| \(x = 7\) | \(8\) を右辺へ移項した |
確かめ
左辺 = 3 × (7 + 2) − 2 × (7 − 1) = 27 − 12 = 15
右辺 = 15
左辺 = 右辺 なので x=7 は解
例題3 係数が省略されている形
\(4(x - 1) - (x + 5) = 0\) を解きます。二つ目のかっこの前には数がありません。書かれていないだけで \(1\) があり、符号までふくめると \(-1\) です。
\(-(x + 5) = -1(x + 5) = -x - 5\)
不安なら、省略された \(1\) を書き戻してから外します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4(x - 1) - (x + 5) = 0\) | もとの式 |
| \(4(x - 1) - 1(x + 5) = 0\) | 省略された \(1\) を書き戻した |
| \(4x - 4 - 1(x + 5) = 0\) | 一つ目のかっこだけを外した |
| \(4x - 4 - x - 5 = 0\) | 二つ目のかっこを外した（\(-1\) を両方にかけた） |
| \(3x - 9 = 0\) | 同類項をまとめた |
| \(3x = 9\) | \(-9\) を右辺へ移項した |
| \(x = 3\) | 両辺を \(3\) で割った |
確かめ
左辺 = 4 × (3 − 1) − (3 + 5) = 8 − 8 = 0
右辺 = 0
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
例題4 二つとも前がプラスの形
前が両方とも \(+\) の形も見ておきます。\(5(x + 2) + 3(x - 4) = 46\) を解きます。前が \(+\) なら、かっこの中の符号はそのままです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5(x + 2) + 3(x - 4) = 46\) | もとの式。前の符号は \(+\) と \(+\) |
| \(5x + 10 + 3(x - 4) = 46\) | 一つ目のかっこだけを外した |
| \(5x + 10 + 3x - 12 = 46\) | 二つ目のかっこを外した |
| \(8x - 2 = 46\) | 同類項をまとめた |
| \(8x = 48\) | \(-2\) を右辺へ移項した |
| \(x = 6\) | 両辺を \(8\) で割った |
確かめ
左辺 = 5 × (6 + 2) + 3 × (6 − 4) = 40 + 6 = 46
右辺 = 46
左辺 = 右辺 なので x=6 は解
例題1から4まで、やっていることは同じです。ちがうのは、かっこの前の符号だけです。
例題5 解が負になる形
\(3(x + 1) - 5(x - 2) = 21\) を解きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3(x + 1) - 5(x - 2) = 21\) | もとの式。前の符号は \(+\) と \(-\) |
| \(3x + 3 - 5(x - 2) = 21\) | 一つ目のかっこだけを外した |
| \(3x + 3 - 5x + 10 = 21\) | 二つ目のかっこを外した（\(-5 \times (-2) = +10\)） |
| \(-2x + 13 = 21\) | 同類項をまとめた |
| \(-2x = 8\) | \(13\) を右辺へ移項した |
| \(x = -4\) | 両辺を \(-2\) で割った |
確かめ
左辺 = 3 × (−4 + 1) − 5 × (−4 − 2) = −9 + 30 = 21
右辺 = 21
左辺 = 右辺 なので x=−4 は解
解が負になっても、検算が合えばそれが解です。
例題6 解が分数になる形
\(4(x + 1) - 2(x - 7) = 23\) を解きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4(x + 1) - 2(x - 7) = 23\) | もとの式。前の符号は \(+\) と \(-\) |
| \(4x + 4 - 2(x - 7) = 23\) | 一つ目のかっこだけを外した |
| \(4x + 4 - 2x + 14 = 23\) | 二つ目のかっこを外した（\(-2 \times (-7) = +14\)） |
| \(2x + 18 = 23\) | 同類項をまとめた |
| \(2x = 5\) | \(18\) を右辺へ移項した |
| \(x = \dfrac{5}{2}\) | 両辺を \(2\) で割った |
確かめ
\(x = \dfrac{5}{2}\) を元の式に入れると、左辺は \(4 \times \left( \dfrac{5}{2} + 1 \right) - 2 \times \left( \dfrac{5}{2} - 7 \right) = 4 \times \dfrac{7}{2} - 2 \times \left( -\dfrac{9}{2} \right) = 14 + 9 = 23\) となり、右辺の \(23\) と一致します。
割り切れないときも、そのまま分数で答えます。
セクション4のまとめ
このセクションで手に入れた道具を並べます。困ったときはここに戻ってきてください。
分配法則
\(a(b + c) = ab + ac\)
かっこの外にある数を、かっこの中のすべての項にかける、という決まりです。
かっこの外し方 4パターン
| かっこの前 | 例 | 外した形 | 中の符号 |
|---|---|---|---|
| 正の数 | \(4(x + 3)\) | \(4x + 12\) | そのまま |
| 負の数 | \(-2(x - 5)\) | \(-2x + 10\) | すべて反対になる |
| マイナスだけ（\(-1\) が省略） | \(-(x + 7)\) | \(-x - 7\) | すべて反対になる |
| プラスだけ（\(+1\) が省略） | \(+(x - 3)\) | \(x - 3\) | そのまま |
下の2つは数が省略されているだけで、上の2つと同じことをしています。迷ったら \(1\) を書き戻します。
かっこを含む方程式を解く手順
- かっこを外す … かっこの前の符号に印をつけ、1つずつ外す
- 移項する … 文字の項を片方の辺へ、数の項をもう片方の辺へ
- 同類項をまとめる … \(ax = b\) の形にする
- 係数で割る … 両辺を \(x\) の係数で割る
- 検算する … 出た値をもとの式に代入し、左辺と右辺が等しいか確かめる
よくある符号の取りこぼしと、その防ぎ方
| 取りこぼし | 防ぎ方 |
|---|---|
| 二つ目のかっこの前のマイナスを、後ろの項に配り忘れる | かっこの前の符号に先に印をつけ、かっこを1つずつ外す |
| \(-(x + 5)\) を \(-x + 5\) としてしまう | 省略された \(1\) を書き戻し、\(-1(x + 5)\) にしてから外す |
| かっこの中の数に、外の数をかけ忘れる | 外の数から中のすべての項へ矢印を引いてから計算する |
| 移項するときに符号を変え忘れる | 移した項の符号だけを、その場で読み直す |
| 解が負や分数になると計算ミスだと思う | 検算する。左辺と右辺が合えば、それが解 |
今日の問い
\(2(x - 1) - 3(x + 2) = -9\) の二つ目のかっこを外すと \(-3x - 6\) になります。\(-3x + 6\) ではありません。なぜでしょうか。
かっこの前にあるのは \(3\) ではなく \(-3\) だからです。分配法則は外にある数を中のすべての項にかける決まりで、ここでの外の数は符号こみで \(-3\) です。
\(-3 \times x = -3x \qquad -3 \times (+2) = -6\)
\(+2\) にかけているのは \(-3\) なので、結果は \(-6\) です。\(-3x + 6\) とすると、\(+2\) にかけたのが \(+3\) だったことになり、外の数が途中で変わってしまいます。
符号は数の一部です。 \(-3\) をひとかたまりで持ち運べば、\(+2\) にかけた結果は自然に \(-6\) になります。
よくある間違い
まちがい1：二つ目のかっこの中の、後ろの項に符号を配らない
✗ 2(x − 1) − 3(x + 2) = −9
✗ 2x − 2 − 3x + 6 = −9
✗ −x + 4 = −9
✗ −x = −13
✗ x = 13
\(x\) には \(-3\) をかけたのに、\(+2\) には \(+3\) をかけています。かっこの前の数が途中で変わっています。
○ 2(x − 1) − 3(x + 2) = −9
○ 2x − 2 − 3x − 6 = −9
○ −x − 8 = −9
○ −x = −1
○ x = 1
誤答の \(x = 13\) をもとの式に入れると、左辺は \(2 \times 12 - 3 \times 15 = 24 - 45 = -21\) です。右辺の \(-9\) と合いません。代入して合わなければ、必ずどこかの行がちがいます。
まちがい2：かっこの前がマイナスだけのとき、後ろの項の符号を変えない
✗ 4(x − 1) − (x + 5) = 0
✗ 4x − 4 − x + 5 = 0
✗ 3x + 1 = 0
✗ 3x = −1
\(-(x + 5)\) を \(-x + 5\) としています。省略されているのは \(1\) で、符号は \(-\) のままです。\(-1\) を \(x\) にも \(+5\) にもかけるので \(-x - 5\) です。
○ 4(x − 1) − (x + 5) = 0
○ 4(x − 1) − 1(x + 5) = 0
○ 4x − 4 − x − 5 = 0
○ 3x − 9 = 0
○ 3x = 9
○ x = 3
誤答の \(x = -\dfrac{1}{3}\) をもとの式に入れると、左辺は \(-10\) になり、右辺の \(0\) と合いません。
まちがい3：かっこの中の数に、外の数をかけ忘れる
✗ 3(x + 2) − 2(x − 1) = 15
✗ 3x + 2 − 2x + 1 = 15 ← 中の数に外の数をかけていない
✗ x + 3 = 15
✗ x = 12
\(x\) には \(3\) や \(-2\) をかけたのに、\(+2\) と \(-1\) はそのまま書き写しています。分配法則は中のすべての項にかける決まりです。
○ 3(x + 2) − 2(x − 1) = 15
○ 3x + 6 − 2x + 2 = 15
○ x + 8 = 15
○ x = 7
誤答の \(x = 12\) を入れると、左辺は \(3 \times 14 - 2 \times 11 = 42 - 22 = 20\) で、右辺の \(15\) と合いません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。まず、それぞれのかっこの前が \(+\) か \(-\) かに印をつけること。
\(4(x - 3) - 2(x + 1) = 10\) を解きなさい。
\(3(x + 2) - (x + 4) = 10\) を解きなさい。
\(4(x + 2) - 6(x - 1) = 20\) を解きなさい。
\(6(x + 1) - 2(x - 2) = 15\) を解きなさい。
次の変形はまちがっています。どの行から違いますか。正しく解き直しなさい。
5(x − 1) − 2(x + 3) = 7
5x − 5 − 2x + 6 = 7
3x + 1 = 7
3x = 6
x = 2
- 次の変形はまちがっています。どの行から違いますか。正しく解き直しなさい。
3(x − 2) − (x + 9) = 3
3x − 6 − x + 9 = 3
2x + 3 = 3
2x = 0
x = 0
- かっこを含む方程式を解く手順を、5段階で答えなさい。
答えと考え方
1. 前の符号は \(+\) と \(-\) です。\(-2\) を \(x\) にも \(+1\) にもかけます。
4(x − 3) − 2(x + 1) = 10
4x − 12 − 2(x + 1) = 10 ← 一つ目のかっこを外した
4x − 12 − 2x − 2 = 10 ← 二つ目のかっこを外した
2x − 14 = 10 ← 同類項をまとめた
2x = 24 ← −14 を移項した
x = 12 ← 両辺を 2 で割った
左辺 = 4 × (12 − 3) − 2 × (12 + 1) = 36 − 26 = 10
右辺 = 10
左辺 = 右辺 なので x=12 は解
2. 二つ目のかっこの前には \(1\) が省略されています。符号こみで \(-1\) です。
3(x + 2) − (x + 4) = 10
3(x + 2) − 1(x + 4) = 10 ← 省略された 1 を書き戻した
3x + 6 − 1(x + 4) = 10 ← 一つ目のかっこを外した
3x + 6 − x − 4 = 10 ← 二つ目のかっこを外した
2x + 2 = 10 ← 同類項をまとめた
2x = 8 ← 2 を移項した
x = 4 ← 両辺を 2 で割った
左辺 = 3 × (4 + 2) − (4 + 4) = 18 − 8 = 10
右辺 = 10
左辺 = 右辺 なので x=4 は解
3. \(-6 \times (-1) = +6\) です。文字の項の係数が負になりますが、そのまま進めます。
4(x + 2) − 6(x − 1) = 20
4x + 8 − 6(x − 1) = 20 ← 一つ目のかっこを外した
4x + 8 − 6x + 6 = 20 ← 二つ目のかっこを外した
−2x + 14 = 20 ← 同類項をまとめた
−2x = 6 ← 14 を移項した
x = −3 ← 両辺を −2 で割った
左辺 = 4 × (−3 + 2) − 6 × (−3 − 1) = −4 + 24 = 20
右辺 = 20
左辺 = 右辺 なので x=−3 は解
4. 割り切れませんが、そのまま分数で答えます。
6(x + 1) − 2(x − 2) = 15
6x + 6 − 2(x − 2) = 15 ← 一つ目のかっこを外した
6x + 6 − 2x + 4 = 15 ← 二つ目のかっこを外した
4x + 10 = 15 ← 同類項をまとめた
4x = 5 ← 10 を移項した
答えは \(x = \dfrac{5}{4}\) です。もとの式に入れると、左辺は \(6 \times \left( \dfrac{5}{4} + 1 \right) - 2 \times \left( \dfrac{5}{4} - 2 \right) = 6 \times \dfrac{9}{4} - 2 \times \left( -\dfrac{3}{4} \right) = \dfrac{27}{2} + \dfrac{3}{2} = 15\) となり、右辺の \(15\) と一致します。
5. 2行目から違います。
\(-2(x + 3)\) の \(+3\) に \(-2\) をかけていません。\(-2 \times (+3) = -6\) なので \(-2x - 6\) です。
○ 5(x − 1) − 2(x + 3) = 7
○ 5x − 5 − 2(x + 3) = 7
○ 5x − 5 − 2x − 6 = 7
○ 3x − 11 = 7
○ 3x = 18
○ x = 6
左辺 = 5 × (6 − 1) − 2 × (6 + 3) = 25 − 18 = 7
右辺 = 7
左辺 = 右辺 なので x=6 は解
誤答の \(x = 2\) を入れると、左辺は \(5 \times 1 - 2 \times 5 = 5 - 10 = -5\) で、右辺の \(7\) と合いません。
6. 2行目から違います。
\(-(x + 9)\) を \(-x + 9\) としています。省略されている数は \(1\) で、符号は \(-\) です。\(-1\) を \(+9\) にもかけるので \(-9\) になります。
○ 3(x − 2) − (x + 9) = 3
○ 3(x − 2) − 1(x + 9) = 3
○ 3x − 6 − x − 9 = 3
○ 2x − 15 = 3
○ 2x = 18
○ x = 9
左辺 = 3 × (9 − 2) − (9 + 9) = 21 − 18 = 3
右辺 = 3
左辺 = 右辺 なので x=9 は解
誤答の \(x = 0\) を入れると、左辺は \(3 \times (-2) - 9 = -15\) で、右辺の \(3\) と合いません。
7.
- かっこを外す（前の符号に印をつけ、1つずつ外す）
- 移項する（文字の項と数の項を、それぞれの辺へ）
- 同類項をまとめる
- 両辺を \(x\) の係数で割る
- 検算する
次のレッスンへ
これでセクション4は終わりです。かっこが二つ並んでいても、前の符号に印をつけて1つずつ外せば、あとはこれまでどおりの手順で解けます。
ただし、ここまでの方程式には共通点があります。係数がすべて整数だということです。実際にはこんな形も出てきます。
\(0.2x + 0.5 = 1.1 \qquad \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{2} = 5\)
小数や分数が入ると計算が重くなります。次のセクションでは、こうした式を整数の式に直してから解く方法を扱います。今は解かなくて大丈夫です。形だけ見ておいてください。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。