最小公倍数を見つける
このレッスンでできるようになること
- 倍数を書き並べて、2つや3つの数の最小公倍数を自分で求められる
- 分母をなくすために、両辺に何をかければよいかを自分で決められる
- \(6 \times \dfrac{x}{3}\) のような、整数と分数のかけ算を正しく計算できる
前のレッスンの確認
- 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
- 係数 … 文字にかけられている数のこと
- 分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
- 等式の性質③ … \(A = B\) のとき、\(A \times C = B \times C\)
前のレッスンで、小数の方程式を両辺10倍・100倍して整数に直す方法を学びました。根拠は等式の性質③、すべての項にかかるのは分配法則の結果です。
このレッスンは、同じことを分数でやるための準備です。ただし分数では、10倍・100倍のように「かける数がひと目で決まる」わけではありません。何倍すればよいかを自分で決める必要があります。今日そろえるのは、その決め方と、決めたあとに必要になるかけ算の2つです。方程式は解きません。
何倍すればよいかは、すぐには決まらない
次の方程式を見てください。
\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{2} = 5\)
分母の \(3\) と \(2\) さえ消えれば、あとはこれまでどおりに解けます。では両辺を何倍すればよいでしょうか。思いつく数を試してみます。
両辺に \(3\) をかけた場合
3 × (x/3) + 3 × (x/2) = 3 × 5
x + 3 × (x/2) = 15
左の項の分母 \(3\) は消えました。ところが右の項には分母 \(2\) が残っています。
両辺に \(2\) をかけた場合
2 × (x/3) + 2 × (x/2) = 2 × 5
2 × (x/3) + x = 10
今度は逆です。分母 \(2\) は消えましたが、分母 \(3\) が残りました。
片方の分母だけを見て数を決めると、もう片方が必ず残ります。ほしいのは \(3\) でも \(2\) でも割り切れる数です。そういう数には名前がついています。
倍数・公倍数・最小公倍数
倍数 … その数を1倍、2倍、3倍…した数 公倍数 … 2つ以上の数に共通する倍数 最小公倍数 … 公倍数のうちいちばん小さいもの
\(3\) の倍数は \(3\)、\(6\)、\(9\)、\(12\)、\(15\)、\(18\)、… と続きます。\(2\) の倍数は \(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)、\(10\)、\(12\)、… です。
このうち両方に出てくる数が公倍数で、\(6\)、\(12\)、\(18\)、… がそれにあたります。いちばん小さいものは \(6\)。これが \(3\) と \(2\) の最小公倍数です。
最小公倍数の見つけ方
やり方は単純です。それぞれの倍数を書き並べて、両方に出てくる数のうちいちばん小さいものを選びます。
書き出すとこうなります。
3の倍数 … 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
2の倍数 … 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
両方にある数（公倍数） … 6, 12, 18, …
いちばん小さいもの（最小公倍数） … 6
そこで \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{2} = 5\) の両辺には \(6\) をかけます。
6 × (x/3) + 6 × (x/2) = 6 × 5
2x + 3x = 30
両方の分母が消えました。この先を解くのは次のレッスンです。
早く見つけるコツ
毎回すべて書き並べなくても済む方法があります。大きいほうの数の倍数を順に見て、小さいほうの数で割り切れるかを調べるのです。
\(4\) と \(6\) でやってみます。大きいほうは \(6\) です。
6 → 4 で割り切れない
12 → 4 で割り切れる ← ここで決まり
\(4\) と \(6\) の最小公倍数は \(12\) です。小さいほうの \(4\) から並べると 4, 8, 12 と3回かかりますが、大きいほうの \(6\) から見れば2回で見つかります。大きいほうから見るほど、調べる回数が少なくて済みます。
分母が3つあるとき
やり方は変わりません。3つとも割り切れる数のうち、いちばん小さいものを探します。\(2\) と \(3\) と \(4\) なら、いちばん大きい \(4\) の倍数を順に見ます。
4 → 2 で割り切れる、3 で割り切れない
8 → 2 で割り切れる、3 で割り切れない
12 → 2 で割り切れる、3 でも割り切れる ← ここで決まり
\(2\) と \(3\) と \(4\) の最小公倍数は \(12\) です。
よく出る組み合わせを表にしておきます。ただし表を覚えることが目的ではありません。表にない組み合わせが出たら、上のやり方で自分で見つけてください。
| 分母 | 最小公倍数 |
|---|---|
| \(2\) と \(3\) | \(6\) |
| \(3\) と \(6\) | \(6\) |
| \(2\) と \(5\) | \(10\) |
| \(4\) と \(6\) | \(12\) |
| \(2\) と \(3\) と \(4\) | \(12\) |
分母どうしをかけても消せる。ただし損
分母が \(4\) と \(6\) のとき、\(4 \times 6 = 24\) を使っても分母は消えます。
24 × (x/4) = 6x
24 × (x/6) = 4x
たしかに消えました。**これはまちがいではありません。**ただし最小公倍数の \(12\) を使えば、同じ場所が \(3x\) と \(2x\) で済みます。数が2倍大きくなるぶん、このあとの計算で桁をまちがえやすくなります。まちがいではないが損、と覚えてください。分母どうしをかけた数は公倍数ではありますが、いちばん小さいとはかぎらないのです。
分数と整数のかけ算
道具のもう1つがこれです。\(6 \times \dfrac{x}{3}\) はいくつになるでしょうか。
\(\dfrac{x}{3}\) は、\(x\) を3等分したうちの1つぶんです。それが6個集まっています。3個で \(x\) 1つぶんですから、6個なら \(x\) 2つぶん。つまり \(2x\) です。
計算のときは、「かける数 ÷ 分母」を先に計算します。\(6 \div 3 = 2\) を出し、その \(2\) が \(x\) にかかって \(2x\) になります。
同じ型で、あと2つ確かめます。
6 × (1/2) → 6 ÷ 2 = 3 答え 3
12 × (x/4) → 12 ÷ 4 = 3 答え 3x
分子が数だけのときは、答えも数になります。\(6 \times \dfrac{1}{2} = 3\) です。分子に \(x\) があるときは、わり算の答えがそのまま \(x\) の係数になります。\(12 \times \dfrac{x}{4} = 3x\) です。
なぜ先に割ってよいのでしょうか。 \(6 \times \dfrac{x}{3}\) は「\(x\) を3で割ってから6倍する」という意味です。順番を入れかえて「6を3で割ってから \(x\) にかける」としても、答えは変わりません。そして先に割ったほうが、あつかう数がずっと小さくて済みます。
今日の問い
\(12 \times \dfrac{x}{4}\) は \(3x\) になります。\(12x\) でもなく、\(\dfrac{12x}{4}\) でもありません。なぜでしょうか。
\(\dfrac{x}{4}\) は \(x\) を4等分したうちの1つぶんです。それが12個あります。4個集まると \(x\) 1つぶんですから、12個なら \(x\) 3つぶん。だから \(3x\) です。
\(12x\) としてしまうのは、分母の \(4\) を見ていない答えです。\(\dfrac{12x}{4}\) のほうは値としては合っていますが、まだわり算が残っています。分母をなくすためにかけたのですから、\(3x\) まで進めて初めて目的を果たしたことになります。「かける数 ÷ 分母」を先に計算する、という型を思い出してください。
よくある間違い
まちがい1：分母を見ずに、分子だけにかける
✗ 6 × (x/3) = 6x
分母の3を無視しています。\(\dfrac{x}{3}\) は \(x\) より小さい量ですから、6倍しても \(6x\) にはなりません。
○ 6 × (x/3)
○ 6 ÷ 3 = 2
○ 答え 2x
確かめ \(x\) に3を入れて確かめます。
6x に x=3 を入れると 6 × 3 = 18
2x に x=3 を入れると 2 × 3 = 6
もとの式 6 × (3/3) = 6 × 1 = 6
6x のほうは合わないので、2x が正しい
まちがい2：わり算を残したまま止める
✗ 6 × (x/3) = 6x/3
値としてはまちがっていませんが、分母が残ったままです。**分母を消すためにかけたのに、消えていません。**ここで止めると、次のレッスンで分母のある式を持ったまま解くことになり、必ず苦しくなります。
○ 6x/3 = 2x
かけ算をしたら \(2x\) の形まで進める、と決めてください。
まちがい3：両方の分母で割り切れない数をかける
分母が \(4\) と \(6\) のときに、\(2\) をかけてしまう例です。
✗ 2 × (x/4) = x/2 ← 分母が残った
✗ 2 × (x/6) = x/3 ← 分母が残った
\(2\) は \(4\) と \(6\) の両方を割り切る数であって、両方で割り切れる数ではありません。ほしいのは後者、つまり公倍数のほうです。
○ 12 × (x/4) = 3x
○ 12 × (x/6) = 2x
小さい数を探すのではなく、倍数を書き並べた中から探す。 これを覚えておくと取りちがえません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。最小公倍数の問題では、倍数を書き並べた様子も残すこと。
倍数を書き並べて、\(3\) と \(4\) の最小公倍数を求めなさい。
次の最小公倍数を求めなさい。（ア）\(4\) と \(6\) （イ）\(3\) と \(5\) （ウ）\(6\) と \(9\) （エ）\(2\) と \(3\) と \(4\)
\(\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 1\) の分母をなくすには、両辺に何をかければよいですか。その数を選んだ理由も書きなさい。
次を計算しなさい。（ア）\(8 \times \dfrac{x}{2}\) （イ）\(10 \times \dfrac{x}{5}\) （ウ）\(6 \times \dfrac{1}{3}\) （エ）\(12 \times \dfrac{5}{6}\)
3の式で、両辺に \(24\) をかけた人がいます。分母は消えますか。消えるとしたら、\(12\) を使う場合とくらべて何が損ですか。
次の2つは、どちらもこのままでは正しくありません。それぞれどこが違いますか。正しい答えも書きなさい。
✗ 6 × (x/3) = 6x
✗ 6 × (x/3) = 6x/3
- \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{5} = 2\) の両辺に最小公倍数をかけて、分母のない式に直しなさい。解かなくてよいです。
答えと考え方
1. 答え \(12\)
3の倍数 … 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
4の倍数 … 4, 8, 12, 16, 20, …
両方にある数 … 12, 24, …
いちばん小さいもの … 12
大きいほうの \(4\) から見れば、4は3で割り切れない、8も割り切れない、12は割り切れる、と3回で決まります。
2.
（ア）大きいほうの \(6\) の倍数を見ます。
6 → 4 で割り切れない
12 → 4 で割り切れる
答え \(12\)。
（イ）大きいほうの \(5\) の倍数を見ます。
5 → 3 で割り切れない
10 → 3 で割り切れない
15 → 3 で割り切れる
答え \(15\)。
（ウ）大きいほうの \(9\) の倍数を見ます。
9 → 6 で割り切れない
18 → 6 で割り切れる
答え \(18\)。
（エ）いちばん大きい \(4\) の倍数を見ます。
4 → 2 で割り切れる、3 で割り切れない
8 → 2 で割り切れる、3 で割り切れない
12 → 2 で割り切れる、3 でも割り切れる
答え \(12\)。
（イ）と（ウ）は本文の表にありません。それでも書き並べれば必ず見つかります。表になければ求める、これができれば大丈夫です。
3. 答え \(12\)
分母は \(4\) と \(6\) です。大きいほうの \(6\) の倍数を見ると、\(6\) は \(4\) で割り切れず、\(12\) は割り切れます。だから最小公倍数は \(12\)。両辺に \(12\) をかければ、両方の分母が消えます。
12 × (x/4) = 3x ← 12 ÷ 4 = 3
12 × (x/6) = 2x ← 12 ÷ 6 = 2
4. どれも「かける数 ÷ 分母」を先に計算します。
(ア) 8 ÷ 2 = 4 答え 4x
(イ) 10 ÷ 5 = 2 答え 2x
(ウ) 6 ÷ 3 = 2 答え 2
(エ) 12 ÷ 6 = 2 、2 × 5 = 10 答え 10
（ウ）は分子が \(1\) なので、わり算の答えがそのまま答えです。\(6 \times \dfrac{1}{3} = 2\)。
（エ）は分子が \(5\) です。先に \(12 \div 6 = 2\) を計算し、そのあと分子の \(5\) をかけて \(2 \times 5 = 10\)。\(12 \times \dfrac{5}{6} = 10\) です。
5. 消えます。まちがいではありません。ただし数が大きくなるぶん損です。
\(24\) は \(4\) でも \(6\) でも割り切れるので、公倍数です。だから分母は消えます。
24 × (x/4) = 6x
24 × (x/6) = 4x
→ 6x + 4x = 24
\(12\) を使うとこうなります。
12 × (x/4) = 3x
12 × (x/6) = 2x
→ 3x + 2x = 12
どちらも分母は消えていますが、\(24\) を使ったほうは係数も右辺も2倍です。最小公倍数を選ぶのは、正しさのためではなく、計算を軽くするためです。
6.
1つめは、分母の \(3\) を見ていません。\(\dfrac{x}{3}\) は \(x\) を3等分した1つぶんですから、6個集めても \(x\) 2つぶんにしかなりません。正しくは \(2x\) です。
6x に x=3 を入れると 6 × 3 = 18
もとの式 6 × (3/3) = 6 × 1 = 6
値が合わないので 6x は正しくない
2つめは、計算そのものは合っていますが、わり算が残っています。分母を消すためにかけたのに、\(\dfrac{6x}{3}\) では分母が残ったままです。\(6 \div 3 = 2\) まで進めて \(2x\) とします。
○ 6 × (x/3) = 2x
7. 最小公倍数は \(15\)
分母は \(3\) と \(5\) です。大きいほうの \(5\) の倍数を見ます。
5 → 3 で割り切れない
10 → 3 で割り切れない
15 → 3 で割り切れる
両辺に \(15\) をかけます。
x/3 + x/5 = 2
15 × (x/3) + 15 × (x/5) = 15 × 2
5x + 3x = 30
\(15 \div 3 = 5\) なので左の項は \(5x\)、\(15 \div 5 = 3\) なので次の項は \(3x\)、右辺は \(15 \times 2 = 30\) です。分母が消えました。ここから先の手順は次のレッスンで扱います。
次のレッスンへ
これで道具が2つそろいました。分母の最小公倍数を自分で見つけられること、そして \(6 \times \dfrac{x}{3}\) のようなかけ算を \(2x\) まで進められること。次のレッスンでは、この2つを使って分数を含む方程式から分母を消し、実際に解きます。
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