立式の総点検
このレッスンでできるようになること
- 問題文の言葉から型を見分け、何を \(x\) とおくかを自分で決められる
- もう一方の量を \(x\) を使って表し、どこが「等しい」かを問題文の言葉で指させる
- 表と線分図を場面によって使い分けられる
前のレッスンの確認
- 文章題を解く五つの手順：①何を \(x\) とおくか決めて、単位まで書く ②数量を式で表す ③等しい関係を見つけて方程式を作る ④方程式を解く ⑤場面に合うか確かめて、単位をつけて答える
- 前のレッスンで整理したミスの四つの種類：符号のミス、かけ忘れのミス、移項の取りちがえ、問われたものを答えないミス
- 答えの吟味：求めた値がその量としてありえるかを見ること
解かずに、式を作るところで止める
文章題で手が止まるとき、その原因は計算ではありません。方程式さえできれば、あとはこの単元でずっと練習してきた解き方をあてはめるだけです。止まっているのは、その前の段階です。立式とは、問題文を方程式に直す作業のことです。たとえば「同じノートを \(4\) 冊買って \(520\) 円」を \(4x = 520\) と書き直すのが立式です。
そこでこのレッスンでは、五つの手順のうち④と⑤をあえてやりません。①②③だけ、つまり方程式ができたところで止めます。解かないと決めると一問が短くなり、同じ時間で多くの型にふれられます。立式だけを続けると、問題文のどの言葉が式のどの部分になるのかが見えてきます。式を作るところで止める練習では、確かめ（代入して左辺と右辺を見る作業）はしません。かわりに、式ができた時点で「吟味の観点」を先に決めておきます。最後の二問だけは解答まで通すので、そこでは確かめまでやりきります。
問題文から式までの道すじ
立式は、次の順に一つずつ決めていく作業です。
上から三つめ、四つめ、五つめが、このあと見る三つの落とし穴です。ここでつまずくと、正確に計算しても正しい答えになりません。
この単元で出てきた型の一枚表
セクション6からセクション9までの型を一枚にまとめます。問題文にその言葉を見つけたら、右へ順に読んでください。
| 問題文に出てくる言葉 | 型 | 何を \(x\) とおくか | 使う表や図 |
|---|---|---|---|
| 「合わせて◯個」「全部で◯人」 | 合計が決まっている型 | 一方の個数を \(x\)、他方は \(◯ - x\) | 線分図 |
| 「◯ずつ配ると足りない／余る」 | 過不足の型 | 配る相手の人数を \(x\) 人 | 全体の数を二通りの式で表す |
| 「◯個買って合計△円」 | 代金と個数の型 | 一方の個数を \(x\) 個 | 単価・個数・代金の表 |
| 「◯より△大きい／小さい」 | 差が決まっている型 | 小さいほうを \(x\)、他方は \(x + △\) | 線分図 |
| 「向かい合って進み出会う」 | 出会いの型 | 出発してからの時間を \(x\) 分 | 速さ・時間・道のりの表 |
| 「あとから追いかけて追いつく」 | 追いつきの型 | 追いかけるほうが進んだ時間を \(x\) 分 | 速さ・時間・道のりの表 |
| 「◯%引き」「◯割増し」 | 割合の型 | もとにする量を \(x\) | 線分図 |
| 「◯%の食塩水」「水を加える」 | 濃度の型 | 加える重さを \(x\) グラム | 食塩水の表 |
| 「◯対△になるように」 | 比例式の型 | 比の一つ分を \(x\)、または一方を \(x\) | 比例式から \(ad = bc\) |
| 「何年後に◯倍になるか」 | 年齢の型 | 何年後かを \(x\) 年 | 年齢の表 |
| 「連続する三つの整数」 | 連続する整数の型 | まん中を \(x\) | \(x - 1\)、\(x\)、\(x + 1\) のならび |
| 「十の位と一の位を入れかえる」 | 2けたの整数の型 | 十の位の数を \(x\) | 位ごとに分けた式 |
| 「平均が◯点になる」 | 平均の型 | 求めたい値を \(x\) | 個数・平均・合計の表 |
| 「◯個渡すと同じになる」 | やりとりの型 | はじめの個数を \(x\) 個 | やりとりの表 |
この表は覚えるものではなく、手が止まったときに左の列から見ていく道具です。
落とし穴1 何を文字でおくか
一つめの落とし穴は、問われているものをそのまま \(x\) とおくとは限らないことです。
「連続する三つの整数があり、その和が \(204\) です。いちばん小さい数を求めなさい」を考えます。問われているのはいちばん小さい数ですから、それを \(x\) とおきたくなります。
\(x + (x + 1) + (x + 2) = 204\)
これでも正しく、解くと \(x = 67\) になります。では、まん中の数を \(x\) とおくとどうでしょう。三つの数は \(x - 1\)、\(x\)、\(x + 1\) ですから、
\((x - 1) + x + (x + 1) = 204\)
となり、左辺をまとめると \(3x = 204\) です。\(-1\) と \(+1\) が消えるので、こちらのほうが簡単です。ただし \(x = 68\) はまん中の数ですから、答えるときは \(x - 1 = 67\) と一つ戻します。ここを忘れると、前のレッスンで見た「問われたものを答えないミス」になります。
何を \(x\) とおくかは、式がいちばん簡単になるものを選んでよい。ただし選んだ瞬間に、最後に何を答えるかを書きとめておく。 これが対処です。
落とし穴2 もう一方の量をどう表すか
二つめの落とし穴は、\(x\) でないほうの量を \(x\) の式で表せないことです。文字は一つしか使えませんから、もう一方は必ず \(x\) を使って書きます。表し方は、問題文が何を決めているかで変わります。
- 合計が決まっているとき 花だんにチューリップとパンジーを合わせて \(45\) 株植えます。チューリップを \(x\) 株とすると、残りがパンジーですから \(45 - x\) 株です。
- 差が決まっているとき たての長さが横より \(8\) センチメートル長い長方形では、横を \(x\) センチメートルとすると、たては \(x + 8\) センチメートルです。
- 割合が決まっているとき 定価の \(15\) %引きで買ったなら、定価を \(x\) 円として、はらった代金は \((1 - 0.15)x\) 円、つまり \(0.85x\) 円です。もとにする量のほうを \(x\) にすると、もう一方がかけ算だけで書けます。
- 比が決まっているとき 二人の枚数の比が \(3 : 7\) なら、一つ分を \(x\) 枚として \(3x\) 枚と \(7x\) 枚と書きます。一つの文字で両方を表せます。
どの場合も、書いたらすぐ読み返してください。「\(45 - x\) はパンジーの株数」と言えれば大丈夫です。言えないなら、その式はまだ意味を持っていません。
落とし穴3 どこが「等しい」か
三つめの落とし穴は、等号をどこに置くかです。方程式は等式ですから、等しい二つの式がなければ作れません。等しい関係は必ず問題文のどこかの言葉から来ています。その言葉を指でさせるかどうかが分かれ目です。
- 「\(4\) 個ずつ配ると \(7\) 個余り、\(5\) 個ずつ配ると \(8\) 個足りない」…… 等しいのはあめの全体の個数です。配り方を変えても個数は変わらない、という事実が等号の根拠です。
- 「弟に追いついた」…… 等しいのは二人が進んだ道のりです。同じ道を同じ地点まで進んだからです。
- 「向かい合って進み、出会った」…… 等しいのは二人の道のりの合計と、はじめの二人のへだたりです。
- 「水を加えて \(8\) %にした」…… 等しいのは食塩の重さです。水を加えても食塩は増えないので、加える前と加えたあとで同じです。
問題文に線を引き、横に「ここが等しい」と書きこむ習慣をつけてください。等しい関係が見つからないと、必ず手が止まります。
表と線分図の使い分け
数量が多い問題は、頭の中だけで整理しないでください。道具は次のように選びます。
表は、速さ・時間・道のりのように数量が三つある場面や、人ごと・回ごとに値がある場面で使います。たてに足せる列とそうでない列を区別できるのが強みです。線分図は、一つの量を分けたり、二つの量の差を見せたりする場面に向きます。
例題1 代金と個数の型を式にする
1本 \(150\) 円のマーカーと1冊 \(220\) 円のノートを合わせて \(14\) 点買ったところ、代金の合計は \(2660\) 円でした。マーカーを何本買ったかを求めるために、方程式を作りなさい。解かなくてよろしい。
まず単価と個数と代金を表に整理します。
| 品物 | 単価（円） | 個数 | 代金（円） |
|---|---|---|---|
| マーカー | \(150\) | \(x\) | \(150x\) |
| ノート | \(220\) | \(14 - x\) | \(220(14 - x)\) |
| 合計 | \(14\) | \(2660\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x\) 本 | マーカーの本数を \(x\) 本とおいた（求めるものをそのまま文字にした） |
| \(14 - x\) 冊 | 「合わせて \(14\) 点」からノートの冊数を表した |
| \(150x\) 円 | 単価 \(\times\) 個数でマーカーの代金を表した |
| \(220(14 - x)\) 円 | 同じようにノートの代金を表した。かっこを忘れない |
| \(150x + 220(14 - x) = 2660\) | 「代金の合計は \(2660\) 円」から等しい関係を作った |
等号のもとは「代金の合計は \(2660\) 円でした」です。この一文がなければ等号は置けません。
吟味の観点も先に決めます。\(x\) は買った本数ですから、\(0\) 以上 \(14\) 以下の整数です。分数や負の数が出たら立式を疑います。
答え マーカーの本数を \(x\) 本として、\(150x + 220(14 - x) = 2660\)
例題2 追いつきの場面を式にする
弟が分速 \(50\) メートルで家を出発しました。その \(10\) 分後に、姉が分速 \(150\) メートルの自転車で同じ道を追いかけました。姉が弟に追いつくまでの方程式を作りなさい。解かなくてよろしい。
まず速さ・時間・道のりの表に整理します。姉が出発してからの時間を \(x\) 分とおくと、そのとき弟はすでに \(10\) 分多く歩いています。
| 人 | 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） |
|---|---|---|---|
| 姉 | \(150\) | \(x\) | \(150x\) |
| 弟 | \(50\) | \(x + 10\) | \(50(x + 10)\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(x\) 分 | 姉が出発してからの時間を \(x\) 分とおいた（弟の時間を \(x\) とすると式が長くなる） |
| \(x + 10\) 分 | 弟は姉より \(10\) 分早く出ているので、時間に \(10\) を足した |
| \(150x\) メートル | 速さ \(\times\) 時間で姉の道のりを表した |
| \(50(x + 10)\) メートル | 同じように弟の道のりを表した。かっこの中の時間全体に速さをかける |
| \(150x = 50(x + 10)\) | 「追いついた」＝二人の道のりが等しい、から等号を置いた |
ここでは問われている時間をそのまま \(x\) にできました。ただし弟の時間を \(x\) とおくと \(150(x - 10) = 50x\) となり、答えで \(10\) を引き忘れる危険が出ます。時間の起点をどちらにそろえるかを、式を書く前に決めることが大切です。
吟味の観点は、\(x\) が正の数になることです。負になったら、時間の足し引きを逆にしています。
答え 姉が出発してからの時間を \(x\) 分として、\(150x = 50(x + 10)\)
今日の問い
文章題ができないとき、私たちは「計算が苦手だから」と考えがちです。本当につまずいているのはどこでしょうか。
このレッスンで見てきたとおり、つまずきは立式の三か所に集まります。何を文字でおくか、もう一方の量をどう表すか、どこが等しいか。この三つを決めてしまえば、あとに残るのは練習ずみの計算だけです。解かずに式まで作る練習をすると、三か所のうちどこで止まったかが、そのつど自分で分かります。
よくある間違い
まちがい1：合計と差を取りちがえる
「花だんにチューリップとパンジーを合わせて \(45\) 株植えます。チューリップはパンジーより \(9\) 株多いとき、パンジーは何株ですか」という問題です。
✗ x + 9 = 45
○ x + (x + 9) = 45
パンジーを \(x\) 株とすると、チューリップは \(x + 9\) 株です。✗ の式は「パンジーより \(9\) 多い数が \(45\)」と読んでおり、合計が \(45\) であることを式にしていません。✗ を解くと \(x = 36\) です。この値を場面に戻します。
パンジー = 36 株
チューリップ = 36 + 9 = 45 株
合わせて = 36 + 45 = 81 株
問題文の合計 45 株と合わない
○ の式なら \(2x + 9 = 45\) となり \(x = 18\)、チューリップは \(27\) 株です。合計は \(18 + 27 = 45\) 株、差は \(27 - 18 = 9\) 株で、どちらの条件も満たします。
まちがい2：もとにする量を取りちがえる
「ある品物を定価の \(15\) %引きで買ったら \(2380\) 円でした。定価はいくらですか」という問題です。
✗ x = 2380 × 1.15
○ 0.85x = 2380
✗ は「\(2380\) 円の \(15\) %増しが定価」と考えた式です。しかし \(15\) %引きのもとにする量は定価であって、はらった \(2380\) 円ではありません。✗ を計算すると \(x = 2737\) 円です。この定価を確かめます。
2737 円の 15 %引き = 2737 × 0.85 = 2326.45 円
問題文の 2380 円と合わない
○ の式なら \(x = 2800\) 円です。
確かめ
左辺 = 0.85 × 2800 = 2380
右辺 = 2380
左辺 = 右辺 なので x=2800 は解
まちがい3：時間の差を道のりの式に足す
例題2の場面で、次のように書いてしまう間違いです。
✗ 150x = 50x + 10
○ 150x = 50(x + 10)
\(150x\) も \(50x\) も道のりで、単位はメートルです。そこに時間の \(10\) 分を足すことはできません。足すなら時間どうし、つまり \(x + 10\) を作ってから速さをかけます。✗ を解くと \(100x = 10\) で \(x = 0.1\) 分です。場面に戻します。
姉の道のり = 150 × 0.1 = 15 m
弟の道のり = 50 × 10.1 = 505 m
姉のほうが後ろにいて、追いついていない
○ の式なら \(x = 5\) 分で、姉の道のりは \(150 \times 5 = 750\) メートル、弟の道のりは \(50 \times 15 = 750\) メートルとなり、たしかに同じ地点です。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。
1から5は、解かなくてよいので、何を \(x\) とおき、どんな方程式ができるかだけ答えなさい。
- 折り紙を子どもたちに配ります。1人に \(7\) 枚ずつ配ると \(10\) 枚余り、1人に \(9\) 枚ずつ配ると \(6\) 枚足りません。子どもの人数を求めたい。
- \(1560\) メートルはなれた2地点から、みなとさんが分速 \(55\) メートル、あおいさんが分速 \(75\) メートルで、同時に向かい合って歩き出しました。出会うまでの時間を求めたい。
- \(12\) %の食塩水 \(200\) グラムに水を加えて、\(8\) %の食塩水にします。加える水の重さを求めたい。
- 今、おじは \(38\) 歳、めいは \(8\) 歳です。おじの年齢がめいの年齢のちょうど \(3\) 倍になるのは何年後かを求めたい。
- 兄と弟が持っているビー玉は合わせて \(60\) 個です。兄が弟に \(6\) 個渡すと、二人の個数が同じになります。兄がはじめに持っていた個数を求めたい。
6と7は、立式から答えまで通して解きなさい。
- 2けたの整数があります。十の位の数と一の位の数の和は \(11\) で、十の位と一の位を入れかえてできる数は、もとの数より \(45\) 大きくなります。もとの整数を求めなさい。
- あるテストを4回受けたところ、平均は \(78\) 点でした。5回目を受けて、5回の平均を \(80\) 点にするには、5回目で何点をとればよいですか。
答えと考え方
1 過不足の型です。「配ると足りない／余る」が目じるしです。
- 何を \(x\) とおくか……子どもの人数を \(x\) 人
- もう一方の量……折り紙の枚数を二通りに表す。\(7\) 枚ずつなら \(7x + 10\) 枚、\(9\) 枚ずつなら \(9x - 6\) 枚
- 等しい関係の根拠……配り方を変えても折り紙の枚数は同じ
- 方程式……\(7x + 10 = 9x - 6\)
- 吟味の観点……\(x\) は人数なので正の整数。枚数も正の整数になるはず
「足りない」ときは引きます。\(9\) 枚ずつ配るには \(6\) 枚多く必要なので、実際の枚数は \(9x\) より \(6\) 少ないと考えます。
2 出会いの型です。速さ・時間・道のりの表を作ります。
| 人 | 速さ（m/分） | 時間（分） | 道のり（m） |
|---|---|---|---|
| みなとさん | \(55\) | \(x\) | \(55x\) |
| あおいさん | \(75\) | \(x\) | \(75x\) |
- 何を \(x\) とおくか……出発してから出会うまでの時間を \(x\) 分
- もう一方の量……二人とも同じ \(x\) 分歩くので、道のりはそれぞれ \(55x\) メートルと \(75x\) メートル
- 等しい関係の根拠……「向かい合って歩く」ので、二人の道のりの合計がはじめのへだたり \(1560\) メートルに等しい
- 方程式……\(55x + 75x = 1560\)
- 吟味の観点……\(x\) は正の数。道のりが \(1560\) メートルを超えないこと
3 濃度の型です。食塩水の表を作ります。
| 食塩水の重さ（g） | 濃度 | 食塩の重さ（g） | |
|---|---|---|---|
| 加える前 | \(200\) | \(0.12\) | \(24\) |
| 加えるもの | \(x\) | \(0\) | \(0\) |
| 加えたあと | \(200 + x\) | \(0.08\) | \(0.08(200 + x)\) |
- 何を \(x\) とおくか……加える水の重さを \(x\) グラム
- もう一方の量……加えたあとの食塩水の重さは \(200 + x\) グラム
- 等しい関係の根拠……水を加えても食塩は増えないので、食塩の重さが加える前と加えたあとで等しい
- 方程式……\(0.08(200 + x) = 24\)
- 吟味の観点……\(x\) は正の数。うすめたので濃度が下がること
4 年齢の型です。年齢の表を作ります。
| 人 | 今（歳） | \(x\) 年後（歳） |
|---|---|---|
| おじ | \(38\) | \(38 + x\) |
| めい | \(8\) | \(8 + x\) |
- 何を \(x\) とおくか……何年後かを \(x\) 年
- もう一方の量……二人とも同じだけ年をとるので、どちらにも同じ \(x\) を足す
- 等しい関係の根拠……「めいの年齢のちょうど \(3\) 倍」が、そのときのおじの年齢に等しい
- 方程式……\(38 + x = 3(8 + x)\)
- 吟味の観点……\(x\) は正の数。二人の年齢の差は \(30\) 歳のまま変わらない
かっこを忘れて \(38 + x = 3 \times 8 + x\) と書くと、かけ忘れのミスになります。
5 やりとりの型です。やりとりの表を作ります。
| 人 | はじめ（個） | やりとりのあと（個） |
|---|---|---|
| 兄 | \(x\) | \(x - 6\) |
| 弟 | \(60 - x\) | \((60 - x) + 6\) |
- 何を \(x\) とおくか……兄がはじめに持っていた個数を \(x\) 個
- もう一方の量……合計が \(60\) 個なので、弟は \(60 - x\) 個
- 等しい関係の根拠……「二人の個数が同じになる」が等号の根拠。渡す側は引き、受け取る側は足す
- 方程式……\(x - 6 = (60 - x) + 6\)
- 吟味の観点……\(x\) は \(6\) より大きく \(60\) より小さい整数
6 2けたの整数の型です。十の位の数を \(x\) とおきます。和が \(11\) なので、一の位の数は \(11 - x\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(10x + (11 - x)\) | もとの数を、十の位が \(10\) 倍になることを使って表した |
| \(9x + 11\) | 同類項をまとめた |
| \(10(11 - x) + x\) | 位を入れかえた数を、同じように表した |
| \(110 - 9x\) | かっこを外して同類項をまとめた |
| \(110 - 9x = (9x + 11) + 45\) | 「入れかえた数はもとの数より \(45\) 大きい」から等号を置いた |
| \(110 - 9x = 9x + 56\) | 右辺を計算した |
| \(-9x - 9x = 56 - 110\) | 文字の項を左辺へ、数の項を右辺へ移項した |
| \(-18x = -54\) | 両辺をそれぞれまとめた |
| \(x = 3\) | 両辺を \(-18\) で割った |
十の位が \(3\)、一の位は \(11 - 3 = 8\) なので、もとの整数は \(38\) です。
確かめ
左辺 = 110 − 9 × 3 = 110 − 27 = 83
右辺 = 9 × 3 + 56 = 27 + 56 = 83
左辺 = 右辺 なので x=3 は解
場面でも確かめます。位の数の和は \(3 + 8 = 11\)、入れかえた数 \(83\) について \(83 - 38 = 45\) です。\(x\) が \(1\) から \(9\) までの整数であることも合っています。
答え \(38\)
7 平均の型です。個数・平均・合計の表を作ります。たてに足せるのは個数と合計だけで、平均は足せません。
| 個数（回） | 平均（点） | 合計（点） | |
|---|---|---|---|
| はじめの4回 | \(4\) | \(78\) | \(312\) |
| 5回目 | \(1\) | \(x\) | \(x\) |
| 全体 | \(5\) | \(80\) | \(312 + x\) |
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(78 \times 4 = 312\) | 平均 \(\times\) 個数で、4回の合計点を求めた |
| \(312 + x\) | 5回目を \(x\) 点として、5回の合計点を表した |
| \(312 + x = 80 \times 5\) | 「5回の平均が \(80\) 点」から、合計点どうしで等号を置いた |
| \(312 + x = 400\) | 右辺を計算した |
| \(x = 400 - 312\) | \(312\) を移項した |
| \(x = 88\) | 右辺を計算した |
確かめ
左辺 = 312 + 88 = 400
右辺 = 80 × 5 = 400
左辺 = 右辺 なので x=88 は解
吟味します。\(88\) 点はテストの点数としてありえる値です。合計 \(400\) 点を \(5\) で割ると \(80\) 点で、条件に合います。
答え \(88\) 点
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立式ができれば、残るのは計算です。次のレッスンでは、入試レベルの計算演習に取り組みます。かっこ・小数・分数が重なった式や比例式まで、この単元で習ったすべての形を、速さと正確さを意識して解きます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。