入試レベルの計算演習

このレッスンでできるようになること

• 分数と小数が同時に出てくる方程式を、順番をまちがえずに処理できる
• 分母が三つ以上ある式や、かっこの中にかっこがある式を、手数を減らして正確に解ける
• 分子がひとまとまりの項にかっこを補い、比例式や係数を求める形まで通して解ける

前のレッスンの確認

• 一次方程式を解く七つの手順（分母をはらう → 小数をなくす → かっこを外す → 移項 → 同類項をまとめる → 係数で割る → 確かめる）
• 最小公倍数：公倍数のうちいちばん小さいもの
• 分子がひとまとまりの形（\(\dfrac{x+3}{4}\) のような形）
• 比例式と、\(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\)
• 解が分かっている方程式から係数を求める型
• 移項：項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと

入試の一次方程式は「手数」が多い

入試で出される一次方程式は、使う道具そのものが新しいわけではありません。分母をはらう、かっこを外す、移項する。どれもここまでで習ったものばかりです。ちがうのは、一つの式の中にそれらがいくつも重なって入っていることです。

たとえば \(\dfrac{x-2}{3} + 0.5x = 6\) という式には、分数と小数が同時に入っています。\(\dfrac{1}{2}\{3x - (x-4)\}\) には、かっこの中にかっこが入っています。道具は同じでも、使う順番をまちがえると、そこから先がすべてくずれます。

だからこのレッスンでねらうのは、新しい解き方をおぼえることではありません。同じ道具を、決まった順番で、手が止まらずに使えるようにすることです。ここは計算だけに集中します。中かっこは、この単元で習ったかっこが二重になっただけで、新しい道具ではありません。

分数と小数が同時に出たら、小数を先に分数へ

いちばん迷うのが、分数と小数が両方入っている式です。ここでの答えははっきりしています。

小数を先に分数に直し、そのあとで一度だけ分母をはらう。

なぜでしょうか。\(\dfrac{x-2}{3} + 0.5x = 6\) を、先に「小数をなくそう」として両辺を \(10\) 倍してみます。すると左辺の第1項は \(\dfrac{10(x-2)}{3}\) になり、分母の \(3\) が残ったままです。右辺は \(60\)、第2項は \(5x\) になって、式は \(\dfrac{10(x-2)}{3} + 5x = 60\) となります。分数が消えていないので、このあともう一度 \(3\) をかける作業が必要です。数も \(10\) 倍されて大きくなり、そのぶん計算がおもくなります。

一方、\(0.5\) を \(\dfrac{1}{2}\) に直してしまえば、式全体が分数だけになります。分母は \(3\) と \(2\) なので、最小公倍数の \(6\) を両辺にかければ、一度で分数が消えます。二段階が一段階になる、というのが理由です。

\(0.5 = \dfrac{1}{2}\)、\(0.25 = \dfrac{1}{4}\)、\(0.2 = \dfrac{1}{5}\)、\(0.75 = \dfrac{3}{4}\) の四つは、すぐ出るようにしておきましょう。

ただし、分母が \(10\) の約数になっているとき（\(\dfrac{x}{2}\) や \(\dfrac{x}{5}\) など）は例外です。両辺を \(10\) 倍するだけで、小数も分母も同時に消えます。分母を見て \(10\) で割り切れるかを確かめてから、どちらでいくかを決めてください。

この図で見てほしいのは二つです。ひとつは、右辺の \(6\) にも同じ \(6\) をかけていること。もうひとつは、\(\dfrac{x-2}{3}\) に \(6\) をかけた結果が \(2x-2\) ではなく \(2(x-2)\) になっていることです。分子の \(x-2\) はひとまとまりなので、かっこでくくらないと \(-2\) の分がかけられません。

分母が三つ以上のときの最小公倍数

分母が三つ以上あると、かける数を決めるところでまず時間がかかります。三つをぜんぶかけ合わせても分数は消えますが、数が大きくなって計算が重くなるので、最小公倍数を使います。

見つけ方は、いちばん大きい分母の倍数を、小さいほうから順に言ってみて、ほかの分母でも割り切れる最初の数を選ぶのがいちばん速いやり方です。分母が \(2\)、\(3\)、\(4\) なら、いちばん大きい \(4\) の倍数を \(4\)、\(8\)、\(12\) と並べます。\(4\) は \(3\) で割り切れません。\(8\) も割り切れません。\(12\) は \(2\) でも \(3\) でも割り切れるので、これが最小公倍数です。三つをかけた \(24\) の半分で済みます。

分母が \(4\)、\(6\) なら、\(6\) の倍数は \(6\)、\(12\)。\(12\) が \(4\) で割り切れるので \(12\) です。\(24\) ではありません。かける数が小さいほど、そのあとの数も小さくなります。

速く正確に解くための四つのこつ

入試では時間も限られます。次の四つは、そのまま手の動かし方を変えるものです。

こつ1　かける数を、各項の右に小さく書いてから計算する。 \(\dfrac{x-2}{3} + \dfrac{1}{2}x = 6\) なら、三つの項すべての右に「\(\times 6\)」と書きこみます。書いてから計算すれば、かけ忘れは起きません。

こつ2　分子が二つ以上の項でできていたら、かける前にかっこをつける。 \(\dfrac{x-3}{2}\) に \(6\) をかけるなら、まず \(3(x-3)\) と書き、そのあとで外します。かっこを書いてから外す、この二手が最短です。

こつ3　小数は先に分数に直し、分母をはらうのは一度だけにする。 \(10\) 倍と分母はらいを両方やると、手数も見直す場所も倍になります。

こつ4　暗算で二段階をまとめない。 「かっこを外しながら移項する」のような一行二役をすると、符号のミスがどこで起きたか分からなくなります。一行につき、することは一つだけです。

例題1　分数と小数が同時に出る式

\(\dfrac{x-2}{3} + 0.5x = 6\) を解きなさい。

難所は、小数を先に分数へ直すところと、\(\dfrac{x-2}{3}\) にかっこをつけるところの二か所です。

確かめ

左辺 = (8 − 2) ÷ 3 + 0.5 × 8 = 2 + 4 = 6
右辺 = 6
左辺 = 右辺 なので x=8 は解

答え　\(x = 8\)

例題2　分母が三つある式

\(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{x+2}{4}\) を解きなさい。

分母は \(2\)、\(3\)、\(4\) の三つです。三つをかけた \(24\) でもはらえますが、数が大きくなって計算が重くなります。最小公倍数は \(12\) です。

難所は、\(-\dfrac{x-1}{3}\) にかけたときの符号です。\(-4(x-1)\) を外すと \(-4x + 4\) で、\(+4\) になります。ここを \(-4\) のままにするミスがとても多いところです。

確かめ

左辺 = (−2) ÷ 2 − (−2 − 1) ÷ 3 = −1 − (−1) = 0
右辺 = (−2 + 2) ÷ 4 = 0
左辺 = 右辺 なので x=−2 は解

答え　\(x = -2\)

例題3　かっこの中にかっこがある式

\(\dfrac{1}{2}\{3x - (x-4)\} = 2x - 1\) を解きなさい。

中かっこ：かっこの中にさらにかっこが入るとき、外側に使う \(\{\ \}\) の形のかっこのこと。中かっこがある式は、内側の小かっこから先に外します。

難所は、外側から手をつけたくなるところです。内側を先に片づけて中身を短くしてから外側を外すと、書く量が減ってミスも減ります。

確かめ

左辺 = (3 × 3 − (3 − 4)) ÷ 2 = (9 − (−1)) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5
右辺 = 2 × 3 − 1 = 5
左辺 = 右辺 なので x=3 は解

答え　\(x = 3\)

例題4　係数が分数の式

\(\dfrac{2}{3}x - 1 = \dfrac{1}{2}x + 4\) を解きなさい。

分子が \(x\) ひとつだけなので、かっこは要りません。そのかわり、分数がついていない項にもかけ忘れないことが難所になります。

確かめ

左辺 = 2 ÷ 3 × 30 − 1 = 20 − 1 = 19
右辺 = 1 ÷ 2 × 30 + 4 = 15 + 4 = 19
左辺 = 右辺 なので x=30 は解

答え　\(x = 30\)

例題5　比例式の内側と外側が式になっている形

\((2x - 1) : 3 = (x + 4) : 2\) を解きなさい。

\(a : b = c : d\) ならば \(ad = bc\) を使います。ここでは \(a\) と \(c\) が式なので、式のままかっこに入れてかけるのが難所です。

\(ad = bc\) の \(a\) にあたるのが \(2x - 1\)、\(d\) にあたるのが \(2\) です。\(2x - 1\) はひとまとまりの式なので、\(2\) をかけると \(2\) が \(2x\) にも \(-1\) にもかかります。かっこを書かずに \(2 \times 2x - 1\) としてしまうと、\(-1\) の分がかけられません。分子がひとまとまりのときと、まったく同じ注意です。

確かめ

左辺 = (2 × 14 − 1) : 3 = 27 : 3　比の値は 27 ÷ 3 = 9
右辺 = (14 + 4) : 2 = 18 : 2　比の値は 18 ÷ 2 = 9
左辺 = 右辺 なので x=14 は解

答え　\(x = 14\)

例題6　解が分かっている方程式から係数を求める型

\(x\) についての方程式 \(\dfrac{2x - a}{5} = 3(x + 1) - a\) の解が \(x = 1\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

解が分かっているのですから、\(x\) に \(1\) を代入します。すると残る文字は \(a\) だけになり、\(a\) についての方程式になります。

難所は、右辺の \(6 - a\) に \(5\) をかけるところです。\(30 - a\) としてしまう人が多く、そうすると答えが変わってしまいます。

確かめ

左辺 = (2 × 1 − 7) ÷ 5 = (−5) ÷ 5 = −1
右辺 = 3 × (1 + 1) − 7 = 6 − 7 = −1
左辺 = 右辺 なので a=7 のとき x=1 は解

答え　\(a = 7\)

今日の問い

手数の多い式を前にしたとき、どこから手をつければいちばん速く、いちばん確実でしょうか。

答えは「式全体を一段だけ簡単にする作業を、決まった順で重ねる」です。例題1では小数を分数に直すことだけ、例題2では分母をはらうことだけ、例題3では内側のかっこを外すことだけを一行でしています。一行で二つのことをしないから、まちがえてもその一行を見直すだけで済みます。速さは、飛ばすことからではなく、戻る回数を減らすことから生まれます。

よくある間違い

まちがい1：分子にかっこを補い忘れる

例題2の \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{x+2}{4}\) で、両辺に \(12\) をかけるときです。

✗ 6x − 4x − 1 = 3x + 2
○ 6x − 4(x−1) = 3(x+2)

\(\dfrac{x-1}{3}\) の分子はひとまとまりです。\(12\) をかけると \(4\) が \(x-1\) 全体にかかるので、\(4x - 4\) になります。かっこを書かないと \(-1\) にかけ忘れて \(-1\) のままになり、右辺も \(+2\) のままになってしまいます。

誤った式を解くと \(2x - 1 = 3x + 2\) となり、\(x = -3\) が出ます。これをもとの式に代入してみます。

左辺 = (−3) ÷ 2 − (−3 − 1) ÷ 3 = −1.5 + 1.333… = −0.1666…
右辺 = (−3 + 2) ÷ 4 = (−1) ÷ 4 = −0.25
左辺 と 右辺 がちがうので x=−3 は解ではない

入試でいちばん多い失点がここです。分子が二つ以上の項でできていたら、かける前に必ずかっこと覚えてください。

まちがい2：分数がついていない項にかけ忘れる

例題4の \(\dfrac{2}{3}x - 1 = \dfrac{1}{2}x + 4\) で、両辺に \(6\) をかけるときです。

✗ 4x − 1 = 3x + 4
○ 4x − 6 = 3x + 24

分母をはらうのは「分数の項だけ」の作業ではありません。等式の性質③は \(A = B\) のとき \(A \times C = B \times C\) で、辺ごと丸ごとかけるという意味です。だから \(-1\) も \(4\) も \(6\) 倍されます。

誤った式を解くと \(x = 5\) が出ます。もとの式に代入します。

左辺 = 2 ÷ 3 × 5 − 1 = 3.333… − 1 = 2.333…
右辺 = 1 ÷ 2 × 5 + 4 = 2.5 + 4 = 6.5
左辺 と 右辺 がちがうので x=5 は解ではない

まちがい3：比例式で式にかっこをつけずにかける

\((x + 5) : (x + 1) = 3 : 2\) を解くときです。

✗  2x + 5 = 3x + 1
○  2(x + 5) = 3(x + 1)

\(ad = bc\) の \(a\) や \(d\) が式のときは、その式全体が一つの数のはたらきをします。\(2\) は \(x\) だけでなく \(+5\) にもかかります。

誤った式を解くと \(x = 4\) が出ます。このとき比は \((4 + 5) : (4 + 1) = 9 : 5\) となり、\(3 : 2\) にはなりません。正しくは \(2x + 10 = 3x + 3\) から \(x = 7\) で、このとき \(12 : 8 = 3 : 2\) になります。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。前半はならし運転、後半は入試で実際に出る形です。

1. \(\dfrac{x+5}{4} = \dfrac{x}{3}\)
2. \(0.2x - 1 = \dfrac{x}{4}\)
3. \(\dfrac{3x-1}{2} - \dfrac{x+2}{5} = 3\)
4. \(\dfrac{3}{4}x + 2 = \dfrac{1}{6}x - 5\)
5. \(3(\dfrac{x-1}{2} + 1) = x + 4\)
6. \(\dfrac{x+1}{2} + \dfrac{x-3}{4} = \dfrac{2x+1}{3}\)
7. \(0.25x + \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{x+3}{2} - 1\)
8. \(2\{x - 4(x-2)\} = x + 2\)
9. \((x+1) : (x-2) = 7 : 4\)
10. \(x\) についての方程式 \(\dfrac{3x - a}{4} = 0.5x - a\) の解が \(x = 6\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

左辺 = (15 + 5) ÷ 4 = 5
右辺 = 15 ÷ 3 = 5
左辺 = 右辺 なので x=15 は解

左辺 = 0.2 × (−20) − 1 = −4 − 1 = −5
右辺 = (−20) ÷ 4 = −5
左辺 = 右辺 なので x=−20 は解

左辺 = (3 × 3 − 1) ÷ 2 − (3 + 2) ÷ 5 = 4 − 1 = 3
右辺 = 3
左辺 = 右辺 なので x=3 は解

左辺 = 3 ÷ 4 × (−12) + 2 = −9 + 2 = −7
右辺 = 1 ÷ 6 × (−12) − 5 = −2 − 5 = −7
左辺 = 右辺 なので x=−12 は解

左辺 = 3 × ((5 − 1) ÷ 2 + 1) = 3 × (2 + 1) = 9
右辺 = 5 + 4 = 9
左辺 = 右辺 なので x=5 は解

左辺 = (7 + 1) ÷ 2 + (7 − 3) ÷ 4 = 4 + 1 = 5
右辺 = (2 × 7 + 1) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5
左辺 = 右辺 なので x=7 は解

左辺 = 0.25 × 10 + (10 − 1) ÷ 3 = 2.5 + 3 = 5.5
右辺 = (10 + 3) ÷ 2 − 1 = 6.5 − 1 = 5.5
左辺 = 右辺 なので x=10 は解

左辺 = 2 × (2 − 4 × (2 − 2)) = 2 × (2 − 0) = 4
右辺 = 2 + 2 = 4
左辺 = 右辺 なので x=2 は解

左辺 = (6 + 1) : (6 − 2) = 7 : 4
右辺 = 7 : 4
左辺 = 右辺 なので x=6 は解

左辺 = (3 × 6 − (−2)) ÷ 4 = (18 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5
右辺 = 0.5 × 6 − (−2) = 3 + 2 = 5
左辺 = 右辺 なので a=−2 のとき x=6 は解

次のレッスンへ

計算の手数が多い形は、これで一通り通れるようになりました。次は、このセクションの最後、単元マスターチェックです。一次方程式で習ったことを、計算も立式もまとめて一つの問題集で確かめます。ここまでの四つのレッスンで身につけた七つの手順、ミスの見つけ方、立式の点検、そしてこのレッスンの計算のこつを、全部持って進みましょう。

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