分子がひとまとまりのとき

このレッスンでできるようになること

• 分数の横線がかっこの働きをしていることを、自分の言葉で説明できる
• 分母を払うとき、分子にかっこを付けて計算できる
• 分数の前がマイナスのとき、その符号を分子のすべての項に配れる

前のレッスンの確認

• 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
• 同類項 … 文字の部分がまったく同じ項どうしのこと
• 移項 … 項を、符号を変えて反対の辺へ移すこと
• 係数 … 文字にかけられている数のこと
• 分配法則 … \(a(b + c) = ab + ac\)
• 最小公倍数 … 公倍数のうちいちばん小さいもの
• 等式の性質③ … \(A = B\) のとき、\(A \times C = B \times C\)

このセクションの3本目までで、小数の方程式は10倍・100倍して、分子が \(x\) や数だけの分数の方程式は分母の最小公倍数をかけて解けるようになりました。今回は、分子が \(x + 1\) のように二つ以上の項でできている形を扱います。ここはこの単元でいちばん誤答が多いところです。

分数の横線は、かっこの働きをしている

\(\dfrac{x+1}{2}\) を見てください。この分数の分子は \(x\) ではありません。\(x + 1\) というひとまとまりです。

なぜひとまとまりだと分かるかというと、下に横線があるからです。横線の上に乗っているものは全部で1つの分子だ、と横線が示してくれています。\(x + 1\) を先に計算してから2で割る、という意味です。\(x = 5\) なら \(\dfrac{5+1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\) です。\(5 + \dfrac{1}{2}\) ではありません。

ここからが大事なところです。分母を払うと、その横線が消えます。

横線が消えるということは、ひとまとまりであることを示す印がなくなるということです。印がないまま \(x + 1\) を書けば、\(x\) と \(1\) はばらばらの項として読まれてしまいます。だから、横線の代わりになるものを自分で置かなければなりません。それがかっこです。

\(6 \times \dfrac{x+1}{2} = 3(x + 1)\)

\(3x + 1\) ではありません。\(3x + 1\) と書くと、3倍されたのは \(x\) だけで、\(1\) はそのまま残ったことになります。実際には \(x + 1\) というかたまり全体が3倍されているので、\(1\) も3倍されなければおかしいのです。

横線が消えたら、かっこを置く。 これがこのレッスンの一つ目の柱です。

かける前に、頭の中でかっこを付ける

かっこを付け忘れるのは、たいてい「かけ算をしている最中に忘れる」からです。そこで、かける前に付けてしまうのがおすすめです。

\(\dfrac{x-1}{3}\) を見たら、頭の中で \(\dfrac{(x-1)}{3}\) と読みます。紙に薄く書いてしまってもかまいません。かっこが先にあれば、分母を払ったときに残るのは \(2(x - 1)\) のような形になり、外し忘れようがありません。

この一手間で取りこぼしが激減します。分子が \(x\) や数だけのときはかっこは要りませんが、分子に \(+\) か \(-\) が見えたら必ず付ける、と決めておくと迷いません。

例題1　いちばん簡単な形

\(\dfrac{x+1}{2} = 3\) を解きます。

確かめ　左辺は \(\dfrac{5+1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)、右辺は \(3\)。等しいので \(x = 5\) は解です。

この形では、かける数2と分母2が同じなので、分子はそのまま残ります。かっこを付けても付けなくても答えは変わりません。ちがいが出るのは、かける数が分母より大きいときです。

例題2　分子がどちらもひとまとまり

\(\dfrac{x-1}{3} + \dfrac{x+1}{2} = 6\) を解きます。分母は3と2なので、最小公倍数の6を両辺にかけます。

確かめ　左辺は \(\dfrac{7-1}{3} + \dfrac{7+1}{2} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{8}{2} = 2 + 4 = 6\)、右辺は \(6\)。等しいので \(x = 7\) は解です。

もしかっこを付けずに \(2x - 1 + 3x + 1 = 36\) としてしまうと、\(5x = 36\) となり、\(x\) は \(\dfrac{36}{5}\) になります。1行のかっこ忘れで答えが変わります。

分数の前がマイナスのとき

ここが二つ目の柱で、この単元で最も誤答が多い形です。

\(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x-1}{3} = 1\) の両辺に6をかけます。

\(6 \times \dfrac{x}{2} - 6 \times \dfrac{x-1}{3} = 6 \times 1\)

\(3x - 2(x - 1) = 6\)

注目してほしいのは \(-2(x - 1)\) です。かっこの前にはマイナスが付いています。ここでマイナスを \(x\) と \(-1\) の両方に配ります。

\(-2 \times x = -2x\)、\(-2 \times (-1) = +2\) なので、\(-2(x - 1) = -2x + 2\) です。うしろの符号が変わることに注意してください。

これは新しい決まりではありません。 セクション4で「かっこの前がマイナスのときは、中の全部の項の符号を変えて外す」と学びました。それがそのまま効いてくるだけです。分数から出てきたかっこも、ふつうのかっことまったく同じに扱います。

例題3　前がマイナスの形

確かめ　左辺は \(\dfrac{4}{2} - \dfrac{4-1}{3} = 2 - \dfrac{3}{3} = 2 - 1 = 1\)、右辺は \(1\)。等しいので \(x = 4\) は解です。

前の分数 \(\dfrac{x}{2}\) の分子は \(x\) ひとつだけなので、かっこは要りません。かっこが要るのは、分子が二つ以上の項でできているほうだけです。

例題4　係数のついた分子で、前がマイナス

\(\dfrac{2x+1}{3} - \dfrac{x-2}{4} = 2\) を解きます。分母は3と4なので、最小公倍数は12です。

確かめ　\(2 \times \dfrac{14}{5} + 1 = \dfrac{28}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{33}{5}\) で、これを3で割ると \(\dfrac{11}{5}\)。\(\dfrac{14}{5} - 2 = \dfrac{14}{5} - \dfrac{10}{5} = \dfrac{4}{5}\) で、これを4で割ると \(\dfrac{1}{5}\)。左辺は \(\dfrac{11}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{10}{5} = 2\)、右辺は \(2\)。等しいので \(x = \dfrac{14}{5}\) は解です。

解が分数になっても、まちがいではありません。 割り切れないから計算ミスだ、と思わないでください。

例題5　解が負になる形

\(\dfrac{x+5}{4} - \dfrac{x-3}{2} = 3\) を解きます。分母は4と2で、最小公倍数は4です。

確かめ　左辺は \(\dfrac{-1+5}{4} - \dfrac{-1-3}{2} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{-4}{2} = 1 - (-2) = 3\)、右辺は \(3\)。等しいので \(x = -1\) は解です。

\((x + 5)\) のかっこは外してもかまいませんが、書いておくと、うしろの \(-2(x - 3)\) との対応が見やすくなります。

確かめは、元の分数の式で

確かめをするときは、必ず元の分数の式に代入してください。 分母を払ったあとの式に代入してはいけません。

理由ははっきりしています。分母の払い方をまちがえていた場合、まちがった式にまちがった値を入れると、つじつまが合ってしまうからです。それでは何も確かめたことになりません。元の分数の式は、まだ一度も手を加えていない式です。ここに入れて合うなら、途中の行が全部正しかったということです。

今日の問い

\(6 \times \dfrac{x+1}{2}\) は、なぜ \(3x + 1\) ではなく \(3(x + 1)\) になるのでしょうか。

答えは「横線が消えるから」です。

もとの式では、横線が「ここからここまでで1つの分子ですよ」と囲ってくれていました。分母を払うとその囲いが外れるので、そのまま \(x + 1\) と書いたのでは、\(x\) と \(1\) が別々の項として読まれてしまいます。

そこで、横線の役目を引き継ぐものとしてかっこを置きます。\(3(x + 1)\) のかっこは、消えた横線の代わりです。だから \(3\) は \(x\) にも \(1\) にもかかり、外すと \(3x + 3\) になります。

「分子全体が3倍だから」ではなく、「囲いが消えたから、代わりの囲いが要る」と覚えてください。こう考えておけば、\(\dfrac{x-1}{3}\) でも \(\dfrac{2x+1}{3}\) でも同じように判断できます。

よくある間違い

まちがい1：かっこを付けず、分子の前の項だけにかける

\(\dfrac{x+3}{2} - \dfrac{x}{4} = 1\) を解いた例です。

✗ (x+3)/2 − x/4 = 1
✗ 4 × (x+3)/2 − 4 × x/4 = 4 × 1
✗ 2x + 3 − x = 4
✗ x + 3 = 4
✗ x = 1

3行目で、2倍されたのが \(x\) だけになっています。\(3\) が置いていかれました。

○ (x+3)/2 − x/4 = 1
○ 4 × (x+3)/2 − 4 × x/4 = 4 × 1
○ 2(x + 3) − x = 4
○ 2x + 6 − x = 4
○ x + 6 = 4
○ x = −2

誤答の \(x = 1\) を元の式に入れると、左辺は \(\dfrac{1+3}{2} - \dfrac{1}{4} = 2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{4}\) で、右辺の \(1\) と合いません。正しい \(x = -2\) なら、左辺は \(\dfrac{-2+3}{2} - \dfrac{-2}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\) で右辺と一致します。

まちがい2：前のマイナスを、分子の後ろの項に配り忘れる

\(\dfrac{x}{3} - \dfrac{x-5}{2} = 1\) を解いた例です。

✗ x/3 − (x−5)/2 = 1
✗ 6 × x/3 − 6 × (x−5)/2 = 6 × 1
✗ 2x − 3x − 15 = 6
✗ −x = 21
✗ x = −21

3行目で、\(-3\) を \(x\) には配ったのに、\(-5\) には配っていません。\(-3 \times (-5) = +15\) なので、正しくは \(+15\) です。

○ x/3 − (x−5)/2 = 1
○ 6 × x/3 − 6 × (x−5)/2 = 6 × 1
○ 2x − 3(x − 5) = 6
○ 2x − 3x + 15 = 6
○ −x = −9
○ x = 9

誤答の \(x = -21\) を元の式に入れると、左辺は \(\dfrac{-21}{3} - \dfrac{-21-5}{2} = -7 - (-13) = 6\) で、右辺の \(1\) と合いません。正しい \(x = 9\) なら、左辺は \(\dfrac{9}{3} - \dfrac{9-5}{2} = 3 - 2 = 1\) で一致します。

まちがい3：分母を払ったあとの式で確かめてしまう

\(\dfrac{x+4}{3} - \dfrac{x}{2} = 1\) を解いた例です。

✗ (x+4)/3 − x/2 = 1
✗ 6 × (x+4)/3 − 6 × x/2 = 6 × 1
✗ 2x + 4 − 3x = 6
✗ −x = 2
✗ x = −2

ここで \(-x = 2\) に \(x = -2\) を入れると \(2 = 2\) になり、合っているように見えます。でもこれは、まちがえた式に、その式の解を入れただけです。

元の分数の式に入れてみます。左辺は \(\dfrac{-2+4}{3} - \dfrac{-2}{2} = \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}\) で、右辺の \(1\) と合いません。ここでやっと気づけます。

○ 6 × (x+4)/3 − 6 × x/2 = 6 × 1
○ 2(x + 4) − 3x = 6
○ 2x + 8 − 3x = 6
○ −x = −2
○ x = 2

正しい \(x = 2\) なら、左辺は \(\dfrac{2+4}{3} - \dfrac{2}{2} = 2 - 1 = 1\) で一致します。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。分母を払った行では、かっこを必ず書き残すこと。

1. 次の式を計算しなさい。かっこが要るものは、かっこを付けた形も書きなさい。

   (1) \(6 \times \dfrac{x+1}{2}\)　　(2) \(12 \times \dfrac{2x-3}{4}\)　　(3) \(10 \times \dfrac{x-4}{5}\)　　(4) \(-6 \times \dfrac{x+2}{3}\)

2. \(\dfrac{x-2}{5} = 3\) を解きなさい。

3. \(\dfrac{x+1}{3} + \dfrac{x-3}{2} = 3\) を解きなさい。

4. \(\dfrac{x}{3} - \dfrac{x-2}{4} = 1\) を解きなさい。

5. \(\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x+1}{2} = 1\) を解きなさい。

6. \(\dfrac{x-1}{4} - \dfrac{x+1}{2} = 1\) を解きなさい。

7. もとの式は \(\dfrac{x+1}{2} - \dfrac{x}{3} = 2\) です。次の変形はまちがっています。どの行から違いますか。正しく解き直し、誤答を元の式に代入して合わないことも示しなさい。

✗ 6 × (x+1)/2 − 6 × x/3 = 6 × 2
✗ 3x + 1 − 2x = 12
✗ x + 1 = 12
✗ x = 11

8. もとの式は \(\dfrac{x}{4} - \dfrac{x-3}{6} = 1\) です。次の変形もまちがっています。どの行から違いますか。正しく解き直し、誤答を元の式に代入して合わないことも示しなさい。

✗ 12 × x/4 − 12 × (x−3)/6 = 12 × 1
✗ 3x − 2x − 6 = 12
✗ x − 6 = 12
✗ x = 18

○ 6 × (x+1)/2 − 6 × x/3 = 6 × 2
○ 3(x + 1) − 2x = 12
○ 3x + 3 − 2x = 12
○ x + 3 = 12
○ x = 9

○ 12 × x/4 − 12 × (x−3)/6 = 12 × 1
○ 3x − 2(x − 3) = 12
○ 3x − 2x + 6 = 12
○ x + 6 = 12
○ x = 6

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分子がひとまとまりの形と、分数の前がマイナスの形を扱えるようになりました。ここまでで、小数だけの式と分数だけの式は解けます。次は、\(0.3x + \dfrac{x-1}{2} = 1\) のように小数と分数が同じ式に混ざっているものを練習します。どちらを先に片づけるかで、手間が大きく変わります。

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