正の数・負の数

引けない引き算があった 小学校では答えを出せなかった引き算を出発点に、なぜ数の範囲を広げる必要があるのかを考える。この単元で何を学ぶのかの地図も示す。

正の数・負の数・0 正の数・負の数・0を定義し、符号という言葉を確定する。整数でも小数でも分数でも、0との大小だけで分類が決まることを確かめる。

反対の向きをもつ量を符号で表す 東と西、増えると減る、収入と支出のように反対の向きをもつ量を、基準と正の向きを決めて符号つきの数で表す。正の向きは問題ごとに変わることを確かめる。

符号と計算記号を読み分ける −3 のマイナスと 5−3 のマイナスは、同じ形でも役割がちがう。符号としての読み方と計算記号としての読み方を区別し、かっこが必要になる場面を確かめる。

身のまわりの正負の数 セクション1のまとめ。場面から符号つきの数へ、符号つきの数から場面の言葉へ、両方向に往復できるようにする。基準と正の向きを書き出す型を定着させる。

数直線に正負の数を置く 数直線と原点を定義し、正の数・負の数を線の上に置けるようにする。0の位置・正の向き・1目盛りの大きさの三点を確かめてから読むことを型にする。

絶対値は0からの距離 絶対値を、その数を表す点と原点との距離として定義する。記号を導入し、距離だからいつも0以上になることを確かめる。

絶対値から数を求める 絶対値が分かっているときに、もとの数を求める。以上・以下・未満・より大きいを定義し、絶対値が決まった値以下で小数や分数でない数をすべて挙げる入試頻出の型を扱う。

正負の数の大小を比べる 数直線で右にあるほど大きい、という一つの原理から、正と負・負と0・負どうしの大小をすべて導く。不等号を定義し、三つ以上の数を並べかえられるようにする。

数直線でとらえる セクション2のまとめ。数直線上の2点間の距離を新しく扱い、位置・距離・大小を一枚の図の上で結びつける。

たし算は数直線上の移動 正負の数のたし算を、数直線の上の移動として考える。最初の数が出発点、たす数が向きと距離を決めることを確かめ、どんな組み合わせも同じ見方で扱えるようにする。

同じ符号の数をたす 同じ符号の数どうしのたし算を、数直線の移動から規則へまとめる。共通の符号を決めてから絶対値をたす、という二つの段階で計算できるようにする。

異なる符号の数をたす 符号がちがう数どうしのたし算を、打ち消し合う移動として理解する。絶対値の大きいほうの符号を残し、絶対値の差をとる、という三つの段階で計算できるようにする。

反対の数と、たす順番を変えてよい理由 符号だけを変えた数を反対の数と呼び、たして0になる組を見つけられるようにする。たす順番や組み合わせを変えてよい理由を数直線で確かめ、計算しやすい形に組みかえられるようにする。

3つ以上の数をたす セクション3のまとめ。交換法則と結合法則を使って、3つ以上の数を計算しやすい組に並べかえる。たして0になる組や、きりのよい数になる組を見つけられるようにする。

引き算をたし算に直す ある数を引くことは、その数の反対の数をたすことと同じになる。負の数を引くと元より大きくなる理由を数直線で確かめ、引き算をすべてたし算に直せるようにする。

4つの型の減法を計算する 正から正を引く、正から負を引く、負から正を引く、負から負を引くの4つの型を、書きかえてから加法の種類を見分ける二段階で処理する。小数と分数まで確実にする。

かっこを外して和の形に書く かっこと符号が並んだ式を、かっこのない短い形に書き直す。外したあとに元の式と一つずつ対応させて確かめる手順を型にする。

項という見方 式を $+$ と $-$ で区切ったひとかたまりを項と呼ぶ。符号は項に含まれることを確かめ、引き算のまじった式を「項の和」として読めるようにする。

項を並べかえて計算する 項を正の項と負の項に分けて並べかえ、加減の混じった式を手早く計算する。次の単元の同類項の整理につながる見方を身につける。

負の数をかけるとはどういうことか 負の数をかけることの意味を、毎分一定に減る水そうや深くもぐる場面と数直線上の移動でとらえる。かける数が減ると積がどう変わるかを表で確かめる。

負×負が正になる理由 かける数を1ずつ減らした表を下へ延ばすことと、「◯分前」を負の時間として読む場面の二つから、負の数どうしの積が正の数になる理由を説明できるようにする。

乗法の計算：符号と絶対値 かけ算の4つの場合を2行にまとめ、符号を先に決めてから絶対値どうしをかける「符号が先、絶対値があと」で整数の積を求める。0と1と−1をかける場合もあつかう。

3つ以上の積と、かける順番 3つ以上の数の積を、負の数の個数から符号を先に決めて計算する。乗法の交換法則・結合法則を使ったくふうも扱う。

小数と分数のかけ算 小数のかけ算は整数に直してから小数点を打ち直し、分数のかけ算はかける前に約分する。小数と分数が混じった式は分数にそろえる。符号の決め方は整数のときと変わらないことを確かめ、セクション5で作った道具を一枚にまとめる。

わり算は、かけ算の逆 12÷3を「3に何をかけたら12になるか」と読みかえ、乗法の道具だけで正負の数のわり算を解く。符号の決まりが乗法とそろう理由をたしかめ、「符号が先、絶対値があと」をそのまま使う。除法と商を定義し、わりきれないときは分数で書けることにもふれる。

0のあつかいと、0で割れない理由 0を割ったときの商が0になる理由と、0で割る計算が成り立たない理由を、わり算はかけ算の逆という見方から確かめる。あてはまる数が一つもない場合と、多すぎて一つに決まらない場合を分けて扱う。

逆数 かけて1になる2数の、一方をもう一方の逆数ということを学ぶ。分数・整数・小数の逆数を、符号を変えずに求められるようにする。0に逆数がない理由も、かけ算に戻して説明できるようにする。

分数のわり算 わり算は、かけ算の逆と逆数から手順を導き、わる数だけを逆数にしてかけ算に直す。整数・小数・帯分数・0がまじる分数の除法を、符号と絶対値に分けて計算する。

乗除の混じった計算 かけ算とわり算の混じった式を、わり算を逆数のかけ算に直してひとつの積にまとめて計算する。符号は負の数の個数で先に決める。左から順に計算する原則と、かっこがあるときの読み分けもあつかう。

累乗（底と指数） 同じ数を何回もかける式を累乗の形に短く書き、底と指数を読み分ける。指数はかける回数であって、かけ算の記号の数でも底にかける数でもないことを確かめる。かっこをつけた負の数・分数・小数の累乗と、0 と 1 の累乗もあつかう。

かっこがつくときとつかないとき かっこが累乗の底の範囲を決めることを理解する。よく似た式のちがいを、順序を追って計算し比べる。

分配法則 かっこの中を先に計算する道と、かっこの外の数をそれぞれにかける道が同じ答えになることを、長方形を切り分ける面積の図で確かめる。分配法則を数の形で確定し、負の数や分数をふくむ式、同じ数をかっこの外へ出す向きまであつかう。

四則の混じった計算の順序 かっこの中・累乗・乗除・加減の順で、四則の混じった式を計算する。かっこの入れ子は内側からほどき、加減のところはセクション4の加減の四つの手順をそのまま使う。一行に一つのことだけを書いて途中式を飛ばさない書き方も決める。

くふうして計算する くふうの型と、その見分け方をそろえる。交換法則・結合法則・分配法則という根拠があるときだけ順番を変えてよいこと、型が見つからなければ順序どおりに計算すればよいことを確かめる。セクション7のまとめ。

自然数・整数・数の広がり 自然数と整数を確定定義し、数の仲間が入れ子になっていることを図で確かめる。仲間を決めるのは見た目ではなく、その書き方が表している数であること、「すべての〜」は反例を一つ挙げればくずれることをあつかう。

その範囲でいつでも計算できるか 自然数・整数・小数や分数もふくめた数の全体のそれぞれで、四つの計算がいつでもできるかを調べる。整数の中ではわり算ができないことがある、という反例からセクション1の問いを回収する。

素数 約数の個数から素数を定義し、1が素数でない理由を確かめる。100までの素数を見つける方法を練習する。

素因数分解 整数を素数だけのかけ算の形に表す方法を決める。枝分かれ図を使い、分け方の順番を変えても出てくる素因数の顔ぶれが同じになることを確かめる。小さい素数から順に割る手順、同じ素因数を累乗にまとめる書き方、かけもどして確かめる方法をあつかう。

素因数分解を使う 素因数分解を使って、約数をすべて書き出す・約数の個数を数える・最大公約数と最小公倍数を求める。かけて平方数にする最小の数まで、入試頻出型を扱う。

基準との差 基準を決めて、実際の値を基準との差で表す。差から実際の値へ戻して確かめ、答えに基準と単位を添えて書けるようにする。

仮平均で平均を求める 平均を定義し、値の近くに置く仮平均から、仮平均の四つの手順で平均を求める。仮平均に差の平均をたすと本当の平均になる理由を図と式で示し、全部たして個数で割る道と一致することを確かめる。

変化量 変化量を「最後の値から最初の値を引いた数」と定め、三つの関係で最初の値・変化量・最後の値を行き来する。複数の増減を符号付きの数の和にまとめ、基準との差と区別して場面の言葉へ戻す。

表と資料を正負の数で整理する 基準を決めて基準との差の表を作り、実際の値と差を行き来する。基準を取り替えて作り直し、値どうしのちがい・合計・平均・最高と最低の差を差の欄から求められるようにする。

入試型の利用問題 平均から欠けた一つを求める、時差、教科ごとの得点、標高差、資料の読み取りという入試頻出の五つの場面を、基準との差の道具だけで解く。セクション9で作った道具を一枚の表にまとめて締めくくる。

用語と記号の総整理 この単元で決めた用語を分野ごとの一枚表にまとめ、記号のつくりと自分で書くときの約束を整理する。まぎらわしい言葉の対と、用語ごとに戻るレッスンの名前を示す。

ミスの四つの種類 符号のミス、かっこの外し方のミス、計算の順序のミス、問われたものを答えないミスの四つに分けて、誤答の式からどこで道を外したかを見つける。答えを見くらべて種類を決める見つけ方と、種類ごとに戻って読むレッスンまで示す。

入試実戦の計算 入試で出る計算の式を、解く前の見立てで読みほどく。累乗・かっこの入れ子・分数のわり算・くふうの型の四つをたしかめてから、一行に一つのことだけを書いて一問ずつ解ききる。新しい道具は出てこない。

入試実戦の文章題 基準と正の向きが書かれていない入試の文章題を、自分で決めるところから解く。実際の値・基準との差・値どうしのちがい・変化量を見分け、資料を表に整理して、答えを単位と場面の言葉に戻す。

単元の地図と、次の単元へ 引けない引き算から始まった数の広がりを一枚にまとめ、10のセクションで手に入れた道具を地図にする。次の単元「文字を用いた式」へ渡すものを確かめ、マスターチェックで戻り先のレッスンを見つける。