その範囲でいつでも計算できるか

このレッスンでできるようになること

• 一つの仲間の中で、四つの計算がいつでもできるかどうかを調べられる
• 「できないことがある」ことを、答えが仲間の外に出る例を一つ挙げて示せる
• 整数から、小数や分数もふくめた数の全体へ広げた理由を、わり算で説明できる

前のレッスンの確認

• 自然数 … \(1\)、\(2\)、\(3\)、… のような正の整数
• 整数 … 自然数と \(0\) と負の整数を合わせたもの
• 内がわの箱に入っている数は、外がわの箱にも入っています。
• あてはまらない例のことを、反例といいます。
• 「すべての〜」は、反例を一つ挙げればくずれます。
• くずすときは反例を一つ、示すときは理由を一つ。
• 答えが出せないのなら、答えが出せるように数の範囲を広げてしまう。
• 引く数が引かれる数より大きいときは、引けない。
• ある数を引くことは、その数の反対の数をたすこと
• かけ算は、同じ数を何回かたすこと
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める ②絶対値どうしをかける
• わる数を逆数にして、かけ算に直す。
• 逆数がないのは \(0\) だけです。
• \(0\) で割ってはいけないのではなく、商を決められないのです。
• 「一つもない」と「一つに決まらない」は、別のことです。
• 計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

絶対値は記号でも書きます。\(|-5|\) は \(5\) です。

新しい問いを立てます

前のレッスンで、数を三つの仲間に分けました。自然数と、整数と、小数や分数もふくめた数の全体です。

今日は、その仲間の中に入ったまま計算します。

その仲間の中だけで、四つの計算がいつでもできるだろうか。

計算をすると、答えが仲間の外へ出てしまうことがあります。

仲間は、図では箱で表します。答えが箱の中に残れば、その計算は仲間の中でできました。

外へ出れば、できなかったことになります。

自然数の中で調べる

いちばん内がわの仲間から始めます。

たし算とかけ算は、いつでもできます

\(3+5\) は \(8\) で、自然数です。自然数に自然数をたすと、もとより大きい自然数になります。\(1\)、\(2\)、\(3\)、… のならびから出ません。

\(7\times 10\) は \(70\) で、これも自然数です。理由は かけ算は、同じ数を何回かたすこと から出ます。

自然数のたし算をくり返しても、答えは自然数のままです。

引き算は、できないことがあります

\(3-5\) の答えは \(-2\) で、自然数ではありません。

小学校では、こう習いました。引く数が引かれる数より大きいときは、引けない。

\(3-5\) は、まさにその形です。セクション1のレッスン1「引けない引き算があった」の出発点でした。

ただし \(5-3\) は \(2\) で、自然数の中に残ります。

自然数の中では、引き算ができないことがあります。

わり算も、できないことがあります

\(3\div 5\) の答えは \(0.6\) です。小数点より下が \(0\) ではないので、自然数ではありません。

こちらも \(20\div 4\) は \(5\) で、自然数の中に残ります。

自然数の中では、わり算ができないことがあります。

整数の中で調べる

一つ外がわの仲間へ移ります。負の整数と \(0\) が加わりました。

たし算・引き算・かけ算は、いつでもできます

引き算の行を見てください。自然数の箱から外へ出た \(3-5\) が、整数の箱には残っています。セクション1で数を広げた成果です。

理由も書けます。ある数を引くことは、その数の反対の数をたすこと でした。整数の反対の数も整数なので、引き算はたし算に直せます。

かけ算の理由は 符号が先、絶対値があと から出ます。手順②で絶対値どうしをかけると、自然数どうしのかけ算になります。

わり算は、できないことがあります

ここが今日の山場です。\(3\div 5\) の答えは \(0.6\) でした。整数の箱からも、外へ出てしまいました。

できるわり算もあります。\((-35)\div 7\) は \(-5\) で、整数の中に残ります。

だから「整数の中では、わり算はできません」と書いてはいけません。言いすぎです。

整数の中では、わり算ができないことがあります。

反例が一つあれば足ります

「すべての〜」は、反例を一つ挙げればくずれます。

調べる文は「すべての整数どうしのわり算の答えは、整数である」です。反例は \(3\div 5\) です。

\(3\) も \(5\) も整数で、答えの \(0.6\) は整数ではありません。

だから、さらに広げました

\(3\div 5\) の答えは \(\dfrac{3}{5}\) とも書けます。小数や分数もふくめた数の全体には、この数があります。

セクション1と同じ手を、もう一度使いました。答えが出せないのなら、答えが出せるように数の範囲を広げてしまう。

広げた先では、わり算もできます

理由は、セクション6のレッスン4の手順から出ます。わる数を逆数にして、かけ算に直す。

わる数に逆数があれば、わり算はかけ算に直せます。かけ算はいつでもできるので、商もいつでもあります。

0 で割ることだけは、どこまで広げてもできません

例外は \(0\) です。逆数がないのは \(0\) だけです。

実際にやってみます。\(3\div 0\) は「\(0\) に何をかけたら \(3\) になるか」でした。

0 × 1 = 0
0 × 100 = 0
0 × (−48) = 0
どんな数をもってきても 0 になり、3 にはならない

数を広げても、この行がふえるだけです。\(3\) に着く数は一つもありません。

\(0\) で割ってはいけないのではなく、商を決められないのです。

計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

二つの「できない」は、理由がちがいます

\(3\div 5\) は、答えそのものはあります。整数という仲間が、せますぎただけです。

\(3\div 0\) は、仲間の広さの問題ではありません。「一つもない」と「一つに決まらない」は、別のことです。

数が足りないのと、商を決められないのは、別のことです。

一枚の表にまとめる

○はいつでもできる、×はできないことがある、という意味です。

いちばん下の行のわり算だけ、ただし書きが付きます。\(0\) で割ることは、のぞいてあります。

×の三つは、\(3-5\) と \(3\div 5\) の二つの反例でくずせます。\(3\div 5\) は、自然数の仲間からも整数の仲間からも外へ出ます。

表を下へ読むと、○がふえます。×に戻った計算はありません。

内がわの箱に入っている数は、外がわの箱にも入っています。 内がわでできた計算は、外がわでもそのままできます。

○と×は、示し方がちがいます

くずすときは反例を一つ、示すときは理由を一つ。

×のところは、外へ出る例を一つ書けば足ります。

○のところは、例をいくつ並べても足りません。調べていない式が残るからです。だから○には、理由を書きます。

最初の問いに、答えが出ました

セクション1のレッスン1は、\(3-5\) から始まりました。答えを書く数が、そこにはなかったのです。

そして、こう決めました。答えが出せないのなら、答えが出せるように数の範囲を広げてしまう。

今日、同じことが起きました。\(3\div 5\) の答えが整数の中になかったので、また広げました。

広げてきた道すじは、一枚の地図にまとめます。それはセクション10のレッスン5「単元の地図と、次の単元へ」の仕事です。

例題1　自然数の中に残るかどうか

次の計算の答えは、自然数ですか。自然数でないものは、整数かどうかも答えなさい。

（1）\(8+13\)　（2）\(8-13\)　（3）\(16\div 2\)　（4）\(9\div 4\)

先に計算して、答えを自然数の仲間にあてはめます。

確かめ

（1）21 − 13 = 8 　（2）−5 + 13 = 8 　（3）8 × 2 = 16 　（4）2.25 × 4 = 9
どれも もどった

答えの吟味

外へ出たのは（2）と（4）です。自然数の行の×と合います。

答え　（1）自然数　（2）自然数ではない。整数である　（3）自然数　（4）自然数ではない。整数でもない

例題2　整数の中に残るかどうか

次の計算の答えは、整数ですか。

（1）\((-16)+7\)　（2）\((-16)-7\)　（3）\((-12)\times 14\)　（4）\((-18)\div 5\)

小数点より下が \(0\) でなければ、整数ではありません。

確かめ

（1）−9 − 7 = −16 　（2）−23 + 7 = −16
（3）（−168） ÷ 14 = −12 　（4）（−3.6） × 5 = −18
どれも もどった

答えの吟味

外へ出たのは（4）だけです。整数の行の×は、わり算だけでした。

答え　（1）整数　（2）整数　（3）整数　（4）整数ではない

例題3　わり算だけを集めて調べる

次のわり算の答えは、整数ですか。計算できないものは、そう書きなさい。

（1）\((-28)\div 4\)　（2）\((-33)\div 11\)　（3）\((-13)\div 5\)　（4）\((-26)\div 0\)

わる数が \(0\) のものがないか、はじめに見ます。

確かめ

（1）（−7） × 4 = −28 　（2）（−3） × 11 = −33 　（3）（−2.6） × 5 = −13
どれも もどった
（4）0 にかけて −26 になる数は 一つもない

答えの吟味

（1）と（2）はできました。だから「できないことがある」という言い方です。

答え　（1）整数　（2）整数　（3）整数ではない　（4）計算できない

例題4　文が正しいかどうかを決める

次の文が正しいかどうかを答えなさい。正しくないものは、反例を一つ挙げなさい。

• （1）すべての自然数どうしのたし算の答えは、自然数である
• （2）すべての自然数どうしの引き算の答えは、自然数である
• （3）すべての整数どうしのかけ算の答えは、整数である
• （4）すべての整数どうしのわり算の答えは、整数である

「すべての〜」なので、まず反例をさがします。見つからなければ、理由を書きます。

（4）で使う \(-19\) の絶対値は \(|-19|\) で \(19\) です。\(19\) は \(4\) で割り切れません。

確かめ

（1）自然数はたすほど大きくなる → ならびから出ない
（2）7 − 12 = −5 　−5 は自然数ではない → 反例
（3）絶対値どうしの積は自然数か 0 → 符号を付けても整数
（4）（−19） ÷ 4 = −4.75 　−4.75 は整数ではない → 反例

答えの吟味

反例は、話題に入っている数で作ります。（4）の \(-19\) と \(4\) は、どちらも整数です。

答え　（1）正しい　（2）正しくない。反例は \(7-12\)　（3）正しい　（4）正しくない。反例は \((-19)\div 4\)

例題5　○のところの理由を書く

次の二つに、理由を書きなさい。反例をさがすのではありません。

• （1）整数の中では、たし算がいつでもできる
• （2）小数や分数もふくめた数の全体では、わり算がいつでもできる（\(0\) で割るときをのぞく）

○のときは、理由を一つ書きます。使う道具は、どちらも前のセクションのものです。

確かめ

（1）同じ符号なら 絶対値どうしをたす → 自然数か 0
（1）ちがう符号なら 大きい絶対値から 小さい絶対値を引く → 自然数か 0
（2）逆数がないのは 0 だけ → わる数が 0 でなければ かけ算に直せる

答えの吟味

例をいくつ並べても、○は示せません。だから理由の形で書きました。

答え　（1）絶対値は自然数か \(0\) で、その和や差も自然数か \(0\) になる。符号を付ければ整数になるから　（2）\(0\) 以外の数にはかならず逆数があり、かけ算に直せるから

今日の問い

「その仲間の中でいつでもできるか」を調べると、何がうれしいのでしょうか。

うれしいのは、計算を始める前に分かることです。○なら、答えは必ず仲間の中にあります。

セクション1のレッスン1では、計算できる式とできない式を見分ける手間について書きました。

自然数だけで引き算をしていたころは、\(8-3\) はよくて \(3-8\) はだめでした。

整数まで広げたあとは、その手間が消えます。わり算でも同じでした。

計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

よくある間違い

まちがい1：×のところを、全部できないと言い切る

整数の中でのわり算について答える問題です。

✗ 整数の中では、わり算はできません

言いすぎです。実際に一つ計算してみます。

（−56） ÷ 8 = −7 　−7 は整数
（−7） × 8 = −56 　もどった

整数どうしのわり算で、答えが整数になりました。だから言い切りはくずれます。

○ 整数の中では、わり算ができないことがあります

×の意味は「いつもできるとはかぎらない」です。「一度もできない」ではありません。

まちがい2：例をいくつか挙げて、○と決めてしまう

自然数の中で引き算がいつでもできるか、を答える問題です。

✗ 9 − 2 = 7 　7 は自然数
✗ 15 − 6 = 9 　9 は自然数
✗ だから 自然数の中では 引き算が いつでも できる

二つとも自然数になったのは本当です。それでも、調べていない式が残っています。

○ 2 − 9 = −7 　−7 は自然数ではない
○ だから 自然数の中では 引き算が できないことが ある

くずすときは反例を一つ、示すときは理由を一つ。 例を並べるのは、どちらでもありません。

まちがい3：0 で割れないのは、数が足りないからだと思う

\(23\div 0\) について答える問題です。

✗ 23 ÷ 0 の答えは、まだ習っていない数だ
✗ もっと数を広げれば、そのうち見つかる

実際にためします。\(0\) にかけて \(23\) になる数をさがします。

0 × 5 = 0
0 × 0.25 = 0
どんな数をもってきても 0 になり、23 にはならない

広げても、この行がふえるだけです。\(23\) に着く数はありません。

○ 23 ÷ 0 は 商を決められない

数が足りないのと、商を決められないのは、別のことです。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。「いつでもできるか」の問題では、反例と理由のどちらを書くのかを先に決めること。

1. 次の計算の答えは自然数ですか。自然数ではないものは、整数かどうかも答えなさい。

（1）\(6+17\)　（2）\(6-17\)　（3）\(36\div 6\)　（4）\(11\div 2\)

2. 次の計算の答えは整数ですか。

（1）\((-13)+(-8)\)　（2）\((-13)-(-8)\)　（3）\((-9)\times 15\)　（4）\((-13)\div 8\)

3. 次の文は正しいですか。正しくないものは反例を、正しいものは理由を書きなさい。 「すべての自然数どうしのかけ算の答えは、自然数である」

4. 同じことを「すべての整数どうしの引き算の答えは、整数である」について答えなさい。

5. 同じことを「すべての自然数どうしのわり算の答えは、自然数である」について答えなさい。

6. \((-45)\div 5\) と \((-45)\div 0\) は、できないことのちがいがありますか。

7. （1）自然数から整数へ広げたとき、新しくいつでもできるようになった計算は何ですか。 （2）整数からさらに広げたとき、新しくいつでもできるようになった計算は何ですか。

8. 「小数や分数もふくめた数の全体では、わり算がいつでもできる」と言える理由を書きなさい。\(0\) で割るときはのぞきます。

9. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。

（−15） ÷ 4 は 整数にならないので 答えはない

10. 同じように、次の答えを直しなさい。

19 ÷ 0 の答えは 0

11. \(-31\) の絶対値は自然数ですか。また、\((-31)\div 4\) の答えは整数ですか。

12. 次の数は整数ですか。整数なら、自然数かどうかも答えなさい。

（1）\(-\dfrac{10}{4}\)　（2）\(\dfrac{63}{7}\)

1（1）23 − 17 = 6 　1（2）−11 + 17 = 6 　1（3）6 × 6 = 36 　1（4）5.5 × 2 = 11
2（1）−21 − （−8） = −13 　2（2）−5 + （−8） = −13
2（3）（−135） ÷ 15 = −9 　2（4）（−1.625） × 8 = −13
どれも もどった

3. かけ算は、同じ数を何回かたすこと 。自然数をたし続けても自然数のまま
4. ある数を引くことは、その数の反対の数をたすこと 。整数の反対の数は整数
5. 5 ÷ 8 = 0.625 　5 も 8 も自然数 。0.625 は自然数ではない → 反例
5. 0.625 × 8 = 5 　もどった

（−45） ÷ 5 = −9 　（−9） × 5 = −45 　もどった
（−45） ÷ 0 　0 にかけて −45 になる数は 一つもない

自然数の行 … 引き算 × わり算 ×
整数の行 　… 引き算 ○ わり算 ×
全体の行 　… 引き算 ○ わり算 ○
8. 逆数がないのは 0 だけ → わる数が 0 でなければ かけ算に直せる

（−3.75） × 4 = −15 　もどった
−3.75 は 整数ではないが、答えとしては ある

答えが 0 なら 0 × 0 = 19 になるはず
0 × 0 = 0 　19 ではないので この答えは合っていない
0 にかけて 19 になる数は 一つもない

−31 の絶対値は 31 　31 は正の整数 → 自然数
（−31） ÷ 4 = −7.75 　（−7.75） × 4 = −31 　もどった
12（1）10 ÷ 4 = 2.5 なので −2.5 　2.5 × 4 = 10 　もどった
12（2）63 ÷ 7 = 9 　9 × 7 = 63 　もどった

次のレッスンへ

今日で、単元の最初の問いに答えが出ました。その仲間の中だけで、四つの計算がいつでもできるだろうか。

この問いが、数を二度広げさせました。

そして 数が足りないのと、商を決められないのは、別のことです。 \(0\) で割ることだけは、どこまで広げても残ります。

次のレッスンは「素数」です。\(1\) とその数自身でしか割り切れない、特別な整数をあつかいます。

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