反対の数と、たす順番を変えてよい理由

このレッスンでできるようになること

• ある数の反対の数を答え、たして \(0\) になる組を見つけられる
• たす順番を入れかえても和が変わらない理由を、数直線の移動で説明できる
• どこからたしても和が変わらないことを、二通りの計算で確かめられる

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離。\(|-14|\) のように縦線ではさんで書く。いつも0か正の数
• たし算の役割分担 … 最初の数が出発点、たす数の符号が向き、たす数の絶対値が距離
• 同じ符号の数をたす二つの段階 … ①共通の符号を、そのまま答えの符号にする ②二つの絶対値をたす
• 異なる符号の数をたす三つの段階 … ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く

前のレッスンで残しておいた二つのこと

前のレッスンでは、和が \(0\) になる組に出会いました。\((+16) + (-16)\) のような組です。まだ名前を付けていません。

順番を入れかえても答えが同じになることも見ました。同じになることは確かめました。でも、なぜ変えてよいのかは説明していません。

このレッスンで、二つとも片づけます。

符号だけを変えた数

数直線に \(+10\) と \(-10\) を置きます。\(+10\) は原点から右へ \(10\)、\(-10\) は原点から左へ \(10\) のところです。

二つの点は、原点から同じだけ離れています。ちがうのは、原点のどちらがわにいるかだけです。

\(+14\) と \(-14\) も同じです。どちらも原点から \(14\) 離れていて、いるがわだけがちがいます。

こういう組に名前を付けます。

反対の数 … 符号だけを変えた数のこと

\(+10\) の反対の数は \(-10\) です。\(-10\) の反対の数は \(+10\) です。

変えるのは符号だけです。絶対値はそのままにします。 \(|+10| = 10\)、\(|-10| = 10\) で、原点からの距離は同じです。

小数でも分数でも同じです。見るのは符号だけです。

0の反対の数は0

\(0\) には符号が付いていません。では、\(0\) の反対の数はどうなるでしょうか。

\(0\) は原点そのもので、原点からの距離は \(0\) です。

反対がわへ同じ距離だけ移そうとしても、距離が \(0\) なので動きません。移した先も、やはり原点です。

だから \(0\) の反対の数は \(0\) です。\(0\) だけは、自分自身が反対の数になります。

反対の数どうしをたすと0になる

\((+25) + (-25)\) を計算します。二つの絶対値は、どちらも \(25\) です。

異なる符号の三つの段階では、大きい絶対値から小さい絶対値を引きました。ここでは \(25 - 25 = 0\) になります。

残る長さも、残る向きもありません。だから和は \(0\) です。

\((+25) + (-25) = 0\)

\((-10) + (+10)\) も同じです。原点から左へ \(10\) 進み、右へ \(10\) もどれば、また原点に立っています。

反対の数どうしをたすと、和は \(0\) になります。

前のレッスンで見た \((+16) + (-16) = 0\) も、この形でした。名前がついたので、これからは「反対の数の組」と呼べます。

符号がちがうだけでは \(0\) になりません。 絶対値も等しくなければ、打ち消しきれずに残りが出ます。

二通りの道で、同じ場所に着く

\((+14) + (-10)\) と \((-10) + (+14)\) をくらべます。使っている数は同じで、書く順番だけがちがいます。

数直線では、二通りの道になります。両方とも原点から出発します。

道Aは、原点から右へ \(14\) 進みます。そこから左へ \(10\) もどります。途中では \(+14\) を通りました。

道Bは、原点から左へ \(10\) 進みます。そこから右へ \(14\) 進みます。途中では \(-10\) を通りました。

通る場所はまるでちがいます。それでも、着いた点はどちらも \(+4\) でした。

\((+14) + (-10) = +4 \qquad (-10) + (+14) = +4\)

途中がちがうのに、着く場所が同じになる理由

二つの道でしていることを並べます。どちらも「右へ \(14\)」と「左へ \(10\)」を、一回ずつしています。

ちがうのは順番だけです。右へ進んだ長さの合計も、左へ進んだ長さの合計も、まったく同じです。

反対向きの移動は打ち消し合いました。消えるのは、短いほうの \(10\) までです。

先に右へ行っても、先に左へ行っても、消える長さは \(10\) で変わりません。残るのは、右へ \(14 - 10 = 4\) です。

道はちがっても、右と左の長さが同じなら、着く場所は同じです。

符号がそろっているときも同じです。右へ二回動くなら、どちらを先にしても進む合計は変わりません。例題3で確かめます。

加法の交換法則

ここまでで分かったことを、一つの言い切りにします。

加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない

名前は長いですが、中身は「入れかえてよい」というだけです。

どこからたしても、和は変わらない

こんどは数を三つにします。\((+6) + (-14) + (+14)\) を考えます。

たし算は、二つずつしかできません。三つ並んでいるときは、どこかを先に計算することになります。

まとめ方は二通りあります。両方やってみます。

①では、はじめの二つを先にまとめました。\((+6) + (-14) = -8\) で、そこに \(+14\) をたすと \(+6\) です。

②では、あとの二つを先にまとめました。\((-14) + (+14) = 0\) で、そこに \(+6\) をたすと \(+6\) です。

数直線で見ても分かります。「右へ \(6\)」「左へ \(14\)」「右へ \(14\)」の三つの移動を、この順にしています。

まとめ方を変えても、動く順番は入れかわりません。変わるのは、どこまでを一区切りとして数えるかだけです。だから着く場所も同じです。

加法の結合法則 … どこからたしても、和は変わらない

②のほうがらくでした。反対の数の組を先にまとめると \(0\) になり、\(0\) をたしても位置は変わらないからです。

この二つの法則がそろうと、たし算だけの式は自由に組みかえてよいことになります。計算しやすい形を作る練習は、次のレッスンでたっぷりします。

例題1　反対の数を答える

次の数の反対の数を答えなさい。

（1）\(+14\)　（2）\(-10\)　（3）\(-\dfrac{4}{9}\)

絶対値には手を付けません。符号だけを書きかえます。

確かめ

三組とも、二つの絶対値が等しく符号だけがちがう
打ち消し合って何も残らないので、和はどれも 0

答えの吟味

三つとも、絶対値は元の数のままです。原点からの距離が変わっていないので、正しく作れています。

（2）は元が負の数で、反対の数は正になりました。反対の数がいつも負になるわけではありません。

答え　（1）\(-14\)　（2）\(+10\)　（3）\(+\dfrac{4}{9}\)

例題2　和が0になる組をつくる

次の□に入る数を答えなさい。

（1）\((-14) + \square = 0\)　（2）\(\square + (+25) = 0\)

和が \(0\) になるのは、反対の数の組のときでした。相手の反対の数を書けばよいことになります。

確かめ

（1）左へ 14 進んでから右へ 14 もどると、もとの原点。和は 0
（2）左へ 25 進んでから右へ 25 もどると、もとの原点。和は 0

答えの吟味

（2）では□が前にあります。それでも、やることは（1）と同じでした。加法の交換法則があるので、前後の入れかえは答えに影響しません。

答え　（1）\(+14\)　（2）\(-25\)

例題3　順番を入れかえて確かめる

次の二つを計算し、答えが同じになるか確かめなさい。

（1）\((+6) + (+14)\) と \((+14) + (+6)\) （2）\((-25) + (-14)\) と \((-14) + (-25)\)

どちらも符号がそろっています。同じ符号の数をたす二つの段階を使います。入れかえるときは、符号もいっしょに動かします。

確かめ

（1）右へ 6 のあと右へ 14 でも、右へ 14 のあと右へ 6 でも、右へ 20
（2）左へ 25 のあと左へ 14 でも、左へ 14 のあと左へ 25 でも、左へ 39

答えの吟味

符号がそろっているときは、共通の符号がそのまま残ります。絶対値の和も、たす順番では変わりません。だから答えも同じでした。

答え　（1）どちらも \(+20\)　（2）どちらも \(-39\)

例題4　どこからたすかを変えて確かめる

\((-10) + (+25) + (+10)\) を、二通りのまとめ方で計算しなさい。

一つ目は、書かれた順に左からまとめます。二つ目は、反対の数の組を先にまとめます。

確かめ

①の道　左へ 10 が右へ 25 の一部を消して右に 15 、そこへ右へ 10 で 25
②の道　左へ 10 と右へ 10 が打ち消し合って 0 、残るのは右へ 25 だけ

答えの吟味

①は \(+15\) を通り、②は原点を通りました。それでも着いた点は同じです。

②のほうが暗算しやすくなっています。反対の数の組を見つけたら、先にまとめると計算がらくになります。

答え　どちらも \(+25\)

今日の問い

\((-10) + (+25)\) を入れかえます。動かすのは数だけでよいのでしょうか。

数の \(10\) と \(25\) だけを入れかえると、\((+10) + (-25)\) になります。位置は入れかわりましたが、符号はもとの場所に残ったままです。

二つを計算してくらべます。

(−10) + (+25) → 絶対値は 10 と 25 、大きいのは 25
              → 符号は + 、25 − 10 = 15 なので +15
(+10) + (−25) → 絶対値は 10 と 25 、大きいのは 25
              → 符号は − 、25 − 10 = 15 なので −15

答えが \(+15\) と \(-15\) に分かれました。この二つは別の式です。

もとの式は、左へ \(10\) 進んでから右へ \(25\) 進む動きでした。右のほうが長いので、着く点は原点の右がわのはずです。\(-15\) は原点の左がわにあり、動きと合いません。

\(-10\) の \(-\) は、\(10\) に付いているしるしです。符号は数といっしょに動く、一つのかたまりです。 動かすなら \(-10\) ごと動かします。

この「符号ごと動かす」という見方は、セクション4でもう一度、名前を付けて扱います。

よくある間違い

まちがい1：入れかえるときに、符号を置いてきてしまう

\((-14) + (+25)\) の順番を入れかえる問題です。

✗ 入れかえて (+14) + (−25) にする
✗ 大きい絶対値は 25 で符号は − 、25 − 14 = 11 なので −11

もとの式を数直線の移動に戻して確かめます。

出発点は −14 で、原点より左
たす数 +25 の符号は + なので、進む向きは右
原点まで 14 進み、残りの 11 が原点より右に出る
着く点は原点の右がわなので、答えは正の数のはず

誤答の \(-11\) は原点の左がわです。動きと合いません。

○ 入れかえて (+25) + (−14) にする
○ 大きい絶対値は 25 で符号は + 、25 − 14 = 11 なので +11

入れかえるのは、符号の付いた数のかたまりです。 数だけを動かすと、別の式になってしまいます。

まちがい2：反対の数はいつも負の数だと思う

\(-25\) の反対の数を答える問題です。

✗ 反対の数はマイナスが付いた数だから、−25 のまま

反対の数どうしをたすと \(0\) になるはずです。この答えで確かめます。

(−25) + (−25) は、符号がそろっている形
共通の符号は − で、絶対値は 25 + 25 = 50
和は −50 で、0 にならない

\(0\) にならないので、\(-25\) は \(-25\) の反対の数ではありません。

○ −25 の符号だけを変えて +25
○ (−25) + (+25) = 0 なので、確かに反対の数

反対の数は「符号を \(-\) にすること」ではありません。「符号を反対にすること」です。 元が負なら、反対の数は正になります。

まちがい3：符号がちがえば和は0になると思う

\((-10) + (+6)\) を計算する問題です。

✗ 符号がちがうので、打ち消し合って 0

打ち消し合うのは本当です。ただし、消えるのは短いほうの長さまでです。

原点から左へ 10 進み、そこから右へ 6 もどる
もどった 6 が、左へ進んだ 10 の一部を消す
消えなかった 10 − 6 = 4 が、原点より左に残る

残りがあるので、原点には届いていません。

○ 絶対値は 10 と 6 で、大きいのは 10
○ 大きいほうは −10 なので符号は − 、10 − 6 = 4
○ 答えは −4

和が \(0\) になるのは、絶対値まで等しいときだけです。 符号がちがうだけでは足りません。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。順番を入れかえるときは、符号もいっしょに動かすこと。

1. 次の数の反対の数を答えなさい。 （1）\(+31\)　（2）\(+6\)　（3）\(-0.7\)　（4）\(0\)

2. 次の□に入る数を答えなさい。 （1）\((+6) + \square = 0\)　（2）\(\square + (-10) = 0\)　（3）\(0 + \square = 0\)

3. 次の二つを計算し、答えが同じになるか確かめなさい。 （1）\((+25) + (+10)\) と \((+10) + (+25)\) （2）\(\left(-\dfrac{4}{9}\right) + \left(+\dfrac{4}{9}\right)\) と \(\left(+\dfrac{4}{9}\right) + \left(-\dfrac{4}{9}\right)\)

4. \((-25) + (+14) + (+25)\) を、二通りのまとめ方で計算しなさい。

5. 東を正の向きとします。地点Oから、Aさんは東へ \(6\) m進み、そのあと西へ \(25\) m進みました。Bさんは西へ \(25\) m進み、そのあと東へ \(6\) m進みました。二人の式をそれぞれ書き、着いた場所を答えなさい。

6. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

(−14) + (+10) + (+14)
(−14) と (+14) は反対の数だから、たすと 0 。
答えは 0 。

7. たす順番を入れかえても和が変わらない理由を、数直線の移動の言葉で説明しなさい。

（1）(+31) + (−31) = 0
（2）(+6) + (−6) = 0
（3）(−0.7) + (+0.7) = 0
（4）0 + 0 = 0

（1）右へ 6 進んで左へ 6 もどると、もとの原点
（2）左へ 10 進んで右へ 10 もどると、もとの原点
（3）どちらも動かないので、原点のまま

（1）右へ 25 のあと右へ 10 でも、右へ 10 のあと右へ 25 でも、右へ 35
（2）9 分の 4 だけ進んで同じだけもどるので、先がどちらでも原点

①の道　左へ 25 のうち 14 が消えて左に 11 、そこへ右へ 25 で右に 14
②の道　左へ 25 と右へ 25 が打ち消し合って 0 、残るのは右へ 14 だけ

1 目盛りが 1 m の数直線で、地点 O を原点とする
A は東へ 6 のあと西へ 25 。原点まで 6 もどり、さらに西へ 19
B は西へ 25 のあと東へ 6 。西へ 25 のうち 6 が消えて西へ 19

(−14) + (+14) = 0 まではよい
残っている (+10) をたしていない
0 + (+10) = +10 が抜けている

書かれた順に左からたしても確かめられる
(−14) + (+10) = −4
(−4) + (+14) = +10
どちらのまとめ方でも +10 。合っている

次のレッスンへ

このレッスンで、二つの道具がそろいました。反対の数の組と、順番や組み合わせを変えてよいという二つの法則です。

次のレッスン「3つ以上の数をたす」では、この道具を実際に使います。数がいくつ並んでいても、計算しやすい組を作ってから計算できるようになります。

動かすのは、符号の付いた数のかたまりです。この見方には、セクション4で正式な名前が付きます。単元でいちばん大事な考え方になります。

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