3つ以上の数をたす
このレッスンでできるようになること
- 計算しやすい組を見つけて、3つ以上の数のたし算を並べかえられる
- 正の数だけ、負の数だけをまとめてから合わせる手順で計算できる
- セクション3で作った道具を、一つの表にまとめて言える
前のレッスンの確認
- 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
- 反対の数どうしをたすと、和は \(0\) になる
- 加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない
- 加法の結合法則 … どこからたしても、和は変わらない
セクション3で作った道具は、後半で一つの表にまとめます。
二つの法則を、道具として使う
前のレッスンで、二つの法則を確かめました。たす順番を入れかえてよいことと、どこからたしてもよいことです。
確かめただけで、まだ使ってはいません。このレッスンでは、3つ以上の数が並んだ式を、実際に組みかえます。
たし算は、二つずつしかできない
\((-15) + (+27) + (+15)\) を見ます。数が三つ並んでいます。
たし算は、二つの数のあいだでする計算です。三つを一度にたすことはできません。だから、どこかの二つを先にまとめます。
書かれた順に左からまとめても、答えは出ます。ただしどの二つを先にまとめるかで、計算のらくさは大きく変わります。
計算しやすい組の見つけ方
先にまとめる組の選び方には、よく効く型が三つあります。
① たして0になる組
反対の数の組です。まとめると \(0\) になり、そのあとは \(0\) をたすだけになります。
\(0\) をたしても位置は変わりません。その二つは、まるごと消したのと同じです。\((-15) + (+27) + (+15)\) なら、\(|-15|\) と \(|+15|\) が等しいので、\(-15\) と \(+15\) がこの組です。
② きりのよい数になる組
たすと \(10\) や \(50\)、\(100\) のような、区切りのよい数になる組です。
\((+23) + (+27)\) は \(+50\) になります。そのあとの計算が暗算でできるので、式がずいぶん軽くなります。
③ 同じ符号どうしの組
符号がそろっている二つを組にします。同じ符号の数をたす二つの段階が使えるからです。
この段階では、符号を決めてから絶対値をたすだけです。引き算が出てきません。
並べかえるときの約束
組を作るには、数を動かします。動かすときに、必ず守ることが一つあります。
前のレッスンで、\(-15\) の \(-\) は \(15\) に付いているしるしだと確かめました。符号は数といっしょに動く、一つのかたまりです。
\(15\) だけを動かして \(-\) を置いてくると、別の式になってしまいます。かっこが付いていれば、かっこのまま動かせばまちがえません。
いちばん確実な手順
型を三つ紹介しましたが、いつも都合のよい組が見つかるとはかぎりません。どんな式でも同じように使える手順があります。
正の数だけ、負の数だけを、それぞれ先にまとめるやり方です。
正と負に分けてたす三つの段取り
- 正の数だけを集めて、その和を求める
- 負の数だけを集めて、その和を求める
- 二つの和を合わせる
\((-26) + (+23) + (-15) + (+27)\) でやってみます。
段取り1で正の数の \(+23\) と \(+27\) を集めると、和は \(+50\) です。段取り2で負の数の \(-26\) と \(-15\) を集めると、和は \(-41\) です。
段取り3で \((+50) + (-41)\) を計算します。答えは \(+9\) になりました。
この段取りのよいところは、異なる符号のたし算が最後の一回だけになることです。段取り1と2は、どちらも同じ符号のたし算になります。
セクション3で作った道具
セクション3で確定させた道具を、一枚の表にまとめます。あとのレッスンも、この文言のまま使います。
| 道具 | 中身 | 確定したレッスン |
|---|---|---|
| たし算の役割分担 | 最初の数が出発点、たす数の符号が向き、たす数の絶対値が距離 | たし算は数直線上の移動 |
| 数直線でたし算をする三つの手順 | ①最初の数を数直線に置く。ここが出発点 ②たす数の符号を見て、進む向きを決める。\(+\) なら右、\(-\) なら左 ③たす数の絶対値だけ目盛りを進み、着いた点を読む | たし算は数直線上の移動 |
| \(0\) をたしても位置は変わらない | どんな数に \(0\) をたしても、その数のまま | たし算は数直線上の移動 |
| 和 | たし算の答え | 同じ符号の数をたす |
| 同じ符号の数をたす二つの段階 | ①共通の符号を、そのまま答えの符号にする ②二つの絶対値をたす | 同じ符号の数をたす |
| 異なる符号の数をたす三つの段階 | ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く | 異なる符号の数をたす |
| 反対の数 | 符号だけを変えた数のこと | 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| 反対の数どうしの和 | 反対の数どうしをたすと、和は \(0\) になる | 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| \(0\) の反対の数 | \(0\) の反対の数は \(0\) | 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| 加法の交換法則 | たす順番を入れかえても、和は変わらない | 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| 加法の結合法則 | どこからたしても、和は変わらない | 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| 正と負に分けてたす三つの段取り | ①正の数だけを集めて、その和を求める ②負の数だけを集めて、その和を求める ③二つの和を合わせる | このレッスン |
上の五つは数直線から作った道具、下の七つは式を組みかえるための道具です。
例題1 たして0になる組をさがす
\((-15) + (+27) + (+15)\) を計算しなさい。
三つの数を見わたします。反対の数の組がないかを、先にさがします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-15\) と \(+15\) は反対の数の組 | 絶対値が等しく、符号だけがちがう |
| \((-15) + (+15) + (+27)\) | 交換法則で \(+27\) と \(+15\) を入れかえた |
| \((-15) + (+15) = 0\) | 結合法則で、反対の数の組を先にまとめた |
| \(0 + (+27) = +27\) | \(0\) をたしても位置は変わらない |
確かめ
書かれた順に左からまとめても確かめられる
(−15) + (+27) = +12
(+12) + (+15) = +27
どちらのまとめ方でも +27 。合っている
答えの吟味
並べかえた道では、引き算が一度も出てきませんでした。左から順にたす道では、\(27 - 15\) という引き算が必要でした。
\(0\) になる組を先にまとめると、むずかしい計算が消えます。
答え \(+27\)
例題2 きりのよい数になる組をさがす
\((+23) + (-20) + (+27)\) を計算しなさい。
反対の数の組はありません。次にさがすのは、きりのよい数になる組です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(23 + 27 = 50\) なので、\(+23\) と \(+27\) が組になる | きりのよい数になる組を見つけた |
| \((+23) + (+27) + (-20)\) | 交換法則で \(-20\) と \(+27\) を入れかえた |
| \((+23) + (+27) = +50\) | 同じ符号の二つの段階でまとめた |
| \((+50) + (-20) = +30\) | 異なる符号の三つの段階で計算した |
確かめ
書かれた順に左からまとめても確かめられる
(+23) + (−20) = +3
(+3) + (+27) = +30
どちらのまとめ方でも +30 。合っている
答えの吟味
\(+50\) を作ったので、最後の計算は \(50 - 20\) だけになりました。
正の数の合計のほうが大きいので、答えが正になるのも合っています。
答え \(+30\)
例題3 正と負に分けてたす
\((-26) + (+23) + (-15) + (+27)\) を計算しなさい。
数が四つに増えました。組をさがすより、正と負に分けたほうが確実です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 正の数は \(+23\) と \(+27\) | 段取り1。正の数だけを集めた |
| \((+23) + (+27) = +50\) | 段取り1。同じ符号の二つの段階 |
| 負の数は \(-26\) と \(-15\) | 段取り2。負の数だけを集めた |
| \((-26) + (-15) = -41\) | 段取り2。同じ符号の二つの段階 |
| \((+50) + (-41) = +9\) | 段取り3。異なる符号の三つの段階 |
確かめ
書かれた順に左からまとめても確かめられる
(−26) + (+23) = −3
(−3) + (−15) = −18
(−18) + (+27) = +9
どちらのまとめ方でも +9 。合っている
答えの吟味
左から順にまとめる道では、異なる符号のたし算が二回ありました。段取りを使った道では一回だけです。
正の合計 \(50\) は負の合計 \(41\) より大きい数です。だから答えが正になりました。
答え \(+9\)
例題4 小数と分数
次の計算をしなさい。
（1）\((+3.3) + (-0.4) + (-3.3)\) （2）\(\left(+\dfrac{1}{6}\right) + \left(-\dfrac{5}{12}\right) + \left(+\dfrac{1}{6}\right)\)
小数や分数でも、組のさがし方は変わりません。（1）は反対の数の組を、（2）は同じ符号どうしの組をさがします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\(+3.3\) と \(-3.3\) は反対の数の組 | 絶対値が等しく、符号だけがちがう |
| （1）\((+3.3) + (-3.3) + (-0.4)\) | 交換法則で入れかえた |
| （1）\((+3.3) + (-3.3) = 0\) で、\(0 + (-0.4) = -0.4\) | 結合法則でまとめた |
| （2）正の数は \(+\dfrac{1}{6}\) が二つ | 段取り1。同じ符号どうしを集めた |
| （2）\(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}\) で、和は \(+\dfrac{4}{12}\) | 段取り1。分母を \(12\) にそろえた |
| （2）負の数は \(-\dfrac{5}{12}\) だけなので、\(\left(+\dfrac{4}{12}\right) + \left(-\dfrac{5}{12}\right) = -\dfrac{1}{12}\) | 段取り2と3。異なる符号の三つの段階 |
確かめ
（1）左から順に (+3.3) + (−0.4) = +2.9 、(+2.9) + (−3.3) = −0.4
（2）6 分の 1 は 12 分の 2
(+12 分の 2) + (−12 分の 5) = −12 分の 3
(−12 分の 3) + (+12 分の 2) = −12 分の 1 。合っている
答えの吟味
（1）は反対の数の組が消えて、\(-0.4\) だけが残りました。（2）は \(\dfrac{4}{12}\) より \(\dfrac{5}{12}\) が大きいので、答えは負になりました。
答え （1）\(-0.4\) （2）\(-\dfrac{1}{12}\)
例題5 場面から式を作る
東を正の向きとします。ある人が地点Oから東へ \(23\) m進み、次に西へ \(15\) m進みました。
そのあと西へ \(20\) m進み、最後に東へ \(2\) m進みました。着いた場所を答えなさい。
進んだ順に符号を付けて、四つの数の和にします。そのあとで、正と負に分けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 東へは \(+23\) と \(+2\)、西へは \(-15\) と \(-20\) | 正の向きと同じなら \(+\)、反対なら \(-\) |
| \((+23) + (-15) + (-20) + (+2)\) | 進んだ順に和の式にした |
| \((+23) + (+2) = +25\) | 段取り1。正の数だけを集めた |
| \((-15) + (-20) = -35\) | 段取り2。負の数だけを集めた |
| \((+25) + (-35) = -10\) | 段取り3。異なる符号の三つの段階 |
確かめ
1 目盛りが 5 m の数直線で、地点 O を原点とする
東へ進んだ長さの合計は 23 + 2 = 25
西へ進んだ長さの合計は 15 + 20 = 35
西のほうが 10 長いので、着いた点は原点より西で −10
答えの吟味
東へ進んだ合計より、西へ進んだ合計のほうが長い道のりです。だから地点Oより西側に残りました。答えの \(-10\) は負の数なので、西を表しています。
答え 式は \((+23) + (-15) + (-20) + (+2) = -10\)。地点Oから西へ \(10\) m
今日の問い
計算しやすい組をさがす型を三つ見ました。それなのに、正と負に分ける段取りをいちばん確実だと言えるのはなぜでしょうか。
理由は、異なる符号のたし算が最後の一回しか出てこないからです。
異なる符号のたし算では、絶対値をくらべ、大きいほうの符号を選び、引き算をします。同じ符号のたし算より段階が一つ多く、まちがえやすい計算です。
| 道 | 同じ符号のたし算 | 異なる符号のたし算 |
|---|---|---|
| 書かれた順に左からたす | そのつど変わる | 何回も出てくることがある |
| 正と負に分けてたす | 段取り1と2 | 段取り3の一回だけ |
組をさがす型は、見つかったときはとてもらくです。ただし、見つからない式もあります。
見つかれば型を使い、見つからなければ段取りに戻る。 この順で考えれば、手が止まりません。
よくある間違い
まちがい1：並べかえるときに符号を置いてくる
\((+18) + (-20) + (+2)\) を計算する問題です。正の数どうしを組にしようとしました。
✗ (+18) と (+2) を先にまとめたいので、−20 を後ろへ動かす
✗ (+18) + (+2) + (20) = (+20) + (20) = +40
動かしたのは \(20\) だけで、\(-\) を元の場所に置いてきています。
もとの式で、20 には − が付いていた
− が消えると、左へ 20 進むはずの移動が、右へ 20 進む移動に変わる
向きが反対になるので、まったく別の式になる
誤答の \(+40\) を、もとの式で確かめます。
書かれた順に左からたすと
(+18) + (−20) = −2
(−2) + (+2) = 0
答えは 0 で、+40 ではない
○ (+18) + (+2) + (−20) = (+20) + (−20) = 0
動かすのは、符号までふくめた一つのかたまりです。 かっこごと動かせば、置き去りは起きません。
まちがい2：合わせるところで絶対値をたしてしまう
\((+23) + (-26) + (+2)\) を、正と負に分けて計算する問題です。
✗ 正の数の和は (+23) + (+2) = +25
✗ 負の数は −26 だけ
✗ 合わせて 25 + 26 = 51 なので、答えは −51
段取り1と2は合っています。落ちているのは段取り3です。\(+25\) と \(-26\) は符号がちがうので、ここで使うのは異なる符号の三つの段階です。
+25 と −26 は反対を向いた移動なので、打ち消し合う
打ち消し合えば、原点からの距離は 26 より小さくなるはず
ところが 51 は、26 よりずっと大きい
○ 絶対値は 25 と 26 で、大きいのは 26
○ −26 の符号を使って − 、26 − 25 = 1 なので −1
段取り1と2は同じ符号どうし、段取り3は異なる符号どうしです。 使う道具が入れかわります。
まちがい3：並べかえるときに数を落とす
\((+23) + (-15) + (-2) + (+15)\) を計算する問題です。
✗ −15 と +15 は反対の数の組だから、たすと 0
✗ 0 + (+23) = +23 。答えは +23
\(0\) になる組を見つけたところまでは合っています。落ちているのは、\(-2\) です。
もとの式には数が四つある
まとめたのは −15 、+15 、+23 の三つだけ
−2 をたしていない
誤答の \(+23\) を、もとの式で確かめます。
書かれた順に左からたすと
(+23) + (−15) = +8
(+8) + (−2) = +6
(+6) + (+15) = +21
答えは +21 で、+23 ではない
○ (−15) + (+15) = 0
○ 0 + (+23) + (−2) = +21
並べかえたら、数の個数をもとの式と見くらべてください。 組みかえてよいのは並び順だけで、数を減らしてよいわけではありません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。並べかえたときは、符号ごと動かしたか、数の個数が合っているかを必ず見なおすこと。
たして \(0\) になる組を先にまとめて、答えを求めなさい。 （1）\((+20) + (-18) + (-20)\) （2）\((-23) + (+15) + (+23)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((+2) + (-18) + (+26)\) （2）\((-27) + (-15) + (+20)\) （3）\((+18) + (-26) + (+23) + (-20)\)
正の数だけ、負の数だけをまとめてから計算しなさい。 \((-15) + (+27) + (+18) + (-26) + (-2)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((-3.3) + (+0.4) + (+3.3)\) （2）\(\left(+\dfrac{5}{12}\right) + \left(-\dfrac{1}{6}\right) + \left(-\dfrac{1}{6}\right)\)
上がるほうを正の向きとします。水そうの水位が \(20\) cm下がり、次に \(27\) cm上がりました。そのあと \(15\) cm下がり、最後に \(2\) cm上がりました。式を書き、答えを場面の言葉で書きなさい。
次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。
(+27) + (−18) + (−27)
(+27) と (−27) は反対の数だから、たすと 0 。
0 + 18 = 18 なので、答えは 18 。
- 正の数だけ、負の数だけを先にまとめると、計算がまちがえにくくなります。その理由を説明しなさい。
答えと考え方
1. どちらも、反対の数の組をさがしてから並べかえます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\(+20\) と \(-20\) は反対の数の組 | 絶対値が等しく、符号だけがちがう |
| （1）\((+20) + (-20) + (-18) = 0 + (-18) = -18\) | 交換法則で入れかえ、先にまとめた |
| （2）\(-23\) と \(+23\) は反対の数の組 | 絶対値が等しく、符号だけがちがう |
| （2）\((-23) + (+23) + (+15) = 0 + (+15) = +15\) | 交換法則で入れかえ、先にまとめた |
確かめ
（1）左から順に (+20) + (−18) = +2 、(+2) + (−20) = −18
（2）左から順に (−23) + (+15) = −8 、(−8) + (+23) = +15
どちらのまとめ方でも同じ答え。合っている
答えの吟味
二問とも、反対の数の組が消えて、残った数がそのまま答えになりました。
答え （1）\(-18\) （2）\(+15\)
2. 組がさがせるものはさがし、なければ正と負に分けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）正の和は \(+28\)、負は \(-18\) で、\((+28) + (-18) = +10\) | 段取り1から3 |
| （2）負の和は \(-42\)、正は \(+20\) で、\((-42) + (+20) = -22\) | 段取り1から3 |
| （3）正の和は \(+41\)、負の和は \(-46\) で、\((+41) + (-46) = -5\) | 段取り1から3 |
確かめ
（1）左から順に (+2) + (−18) = −16 、(−16) + (+26) = +10
（2）左から順に (−27) + (−15) = −42 、(−42) + (+20) = −22
（3）左から順に (+18) + (−26) = −8 、(−8) + (+23) = +15 、(+15) + (−20) = −5
答えの吟味
（2）と（3）は、負の数の合計のほうが大きい数でした。だから答えも負になりました。
（1）は正の合計のほうが大きいので、答えが正になりました。負の数の個数ではなく、合計の大きさで決まります。
答え （1）\(+10\) （2）\(-22\) （3）\(-5\)
3. 数が五つあります。組をさがすより、分けたほうが確実です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 正の数は \(+27\) と \(+18\) | 段取り1 |
| \((+27) + (+18) = +45\) | 段取り1。同じ符号の二つの段階 |
| 負の数は \(-15\) と \(-26\) と \(-2\) | 段取り2 |
| \((-15) + (-26) = -41\)、\((-41) + (-2) = -43\) | 段取り2。同じ符号どうしを続けてたした |
| \((+45) + (-43) = +2\) | 段取り3。異なる符号の三つの段階 |
確かめ
書かれた順に左からたすと
(−15) + (+27) = +12
(+12) + (+18) = +30
(+30) + (−26) = +4
(+4) + (−2) = +2
どちらのまとめ方でも +2 。合っている
答えの吟味
正の合計 \(45\) と負の合計 \(43\) が近い数なので、答えも \(0\) に近い数になりました。数が五つに増えても、段取りは三つのままです。
答え \(+2\)
4. 小数と分数でも、道具は同じです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\(-3.3\) と \(+3.3\) は反対の数の組 | 絶対値が等しく、符号だけがちがう |
| （1）\((-3.3) + (+3.3) + (+0.4) = 0 + (+0.4) = +0.4\) | 交換法則で入れかえ、先にまとめた |
| （2）負の数は \(-\dfrac{1}{6}\) が二つ | 段取り2 |
| （2）\(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{12}\) で、和は \(-\dfrac{4}{12}\) | 段取り2。分母を \(12\) にそろえた |
| （2）\(\left(+\dfrac{5}{12}\right) + \left(-\dfrac{4}{12}\right) = +\dfrac{1}{12}\) | 段取り3。異なる符号の三つの段階 |
確かめ
（1）左から順に (−3.3) + (+0.4) = −2.9 、(−2.9) + (+3.3) = +0.4
（2）6 分の 1 は 12 分の 2
(+12 分の 5) + (−12 分の 2) = +12 分の 3
(+12 分の 3) + (−12 分の 2) = +12 分の 1 。合っている
答えの吟味
（1）は反対の数の組が消えて、\(+0.4\) だけが残りました。
（2）は \(\dfrac{5}{12}\) より \(\dfrac{4}{12}\) のほうが小さい数です。だから答えは正になりました。
答え （1）\(+0.4\) （2）\(+\dfrac{1}{12}\)
5. 上がるほうが正なので、下がる変わり方には \(-\) を付けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 上がったのは \(+27\) と \(+2\)、下がったのは \(-20\) と \(-15\) | 正の向きと同じなら \(+\)、反対なら \(-\) |
| \((-20) + (+27) + (-15) + (+2)\) | 変わった順に和の式にした |
| \((+27) + (+2) = +29\) | 段取り1 |
| \((-20) + (-15) = -35\) | 段取り2 |
| \((+29) + (-35) = -6\) | 段取り3 |
確かめ
1 目盛りが 1 cm の数直線で、はじめの水位を原点とする
上がった長さの合計は 27 + 2 = 29
下がった長さの合計は 20 + 15 = 35
下がったほうが 6 長いので、着いた点は原点より下で −6
答えの吟味
上がった合計より、下がった合計のほうが大きい数です。だから、はじめより低くなっているはずです。答えが負の数なので、場面と合っています。
答え 式は \((-20) + (+27) + (-15) + (+2) = -6\)。はじめの水位より \(6\) cm低い
6. まちがっているのは、\(-18\) を動かすときに符号を置いてきたところです。
\(+27\) と \(-27\) を先にまとめてよいところまでは合っています。二つは反対の数なので、和は \(0\) です。
落ちているのは、そのあとです。残っている数は \(-18\) なのに、\(18\) としてたしています。
もとの式で、18 には − が付いていた
− を落とすと、左へ 18 進む移動が、右へ 18 進む移動に変わる
正しくは 0 + (−18) = −18
確かめ
書かれた順に左からたすと
(+27) + (−18) = +9
(+9) + (−27) = −18
どちらのまとめ方でも −18 。合っている
答えの吟味
もとの式の移動は、右へ \(27\)、左へ \(18\)、左へ \(27\) でした。左へ進んだ合計のほうが長いので、原点より左に着くはずです。
答え \(-18\)
7. 説明の中に、二つの段階と三つの段階のちがいを入れてください。
正の数だけを集めると、符号がそろった数の和になります。負の数だけを集めたときも同じです。どちらも、同じ符号の数をたす二つの段階で計算できます。
この段階では、共通の符号を決めて絶対値をたすだけです。引き算が出てこないので、まちがえにくい計算です。
異なる符号のたし算は、絶対値をくらべて引き算をします。先に分けておけば、その計算は最後の一回だけになります。
答え 正どうし・負どうしはたし算だけで済み、まちがえやすい異なる符号の計算が最後の一回だけになるから
次のレッスンへ
3つ以上の数が並んでいても、組みかえて計算できるようになりました。セクション3の道具は、これでそろいました。
ただし、ここまではずっとたし算だけでした。\(-\) が出てきたのは、符号としてだけです。
次のセクションに進みます。最初のレッスン「引き算をたし算に直す」では、計算記号としての \(-\) が登場します。
引き算が出てくると、これまでの道具は使えなくなるのでしょうか。そうではありません。引き算をたし算に直せば、このセクションの道具がそのまま使えます。
正の数だけ、負の数だけをまとめるやり方も、セクション4で名前の付いた手順として戻ってきます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。