引き算をたし算に直す

このレッスンでできるようになること

• 引き算を、反対の数をたす形に直せる
• 負の数を引くと元より大きくなる理由を、数直線で説明できる
• \(0\) を引く場合と、\(0\) から引く場合のちがいを言える

前のレッスンの確認

• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• たし算の役割分担 … 最初の数が出発点。たす数の符号が向きを決め、たす数の絶対値が距離を決める。
• 同じ符号の数をたす二つの段階 … ①共通の符号を、そのまま答えの符号にする ②二つの絶対値をたす
• 異なる符号の数をたす三つの段階 … ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く
• \(0\) をたしても位置は変わらない

絶対値は記号でも書きます。\(|-9|\) は \(9\) です。\(|+4|\) は \(4\) です。

このレッスンでも、進む距離を決めるのは絶対値です。

ここまでは、たし算だけだった

セクション3では、ずっとたし算を見てきました。\(-\) が出てきたのは符号としてだけです。

ここからは、計算記号としての \(-\) が入ります。つまり引き算です。

引き算が入ると、セクション3の道具は使えなくなるのでしょうか。

引き算をたし算に直せば、道具はそのまま使えます。 直し方をこのレッスンで確定させます。

引き算のことを、減法という

引き算のことを 減法 といいます。\((+22)-(+9)\) も \((-9)-(-28)\) も減法の式です。

たし算を加法というのと同じ言い方です。問題文では、引き算のかわりに減法と書かれることがあります。

小学校の引き算を、数直線で見直す

小学校でやっていた引き算を思い出します。\(28-11\) を数直線で考えます。

引き算は、戻る計算でした。\(28\) から左へ \(11\) 戻ると、\(17\) に着きます。

ここで、たし算の役割分担と見くらべてください。

着く場所が同じです。 どちらも \(17\) です。

\(28+(-11)\) で距離を決めているのは絶対値です。\(|-11|\) は \(11\) なので、\(11\) だけ進みます。

つまり \(11\) を引くことと \(-11\) をたすことは、同じ移動を表しています。\(-11\) は \(11\) の反対の数です。

小学校の引き算は、はじめからこの形でした。引く数を反対の数にして、たす。 これが土台になります。

負の数を引くと、どうなるか

ここからは負の数も引きます。\((+28)-(-4)\) を考えます。

答えを当てる前に、引き算の意味に戻ります。

引き算は、たし算の逆です。\((+28)-(-4)\) は「\(-4\) をたすと \(+28\) になる数はどれか」という問いです。

\(-4\) をたすのは、左へ \(4\) 進むことでした。左へ \(4\) 進んで \(+28\) に着いたのです。

では、進む前はどこにいたのでしょうか。\(+28\) より右へ \(4\) の場所、つまり \(+32\) です。

だから \((+28)-(-4)=+32\) になります。負の数を引くと、元の数より大きくなりました。

上下の数直線で見くらべる

同じ \(+28\) から、\(+4\) を引く場合と \(-4\) を引く場合を並べます。

出発点はどちらも \(+28\) です。ちがうのは引く数の符号だけです。

符号がちがうだけで、進む向きが反対になりました。

進む距離はどちらも \(4\) です。距離を決めるのは絶対値で、\(|+4|\) も \(|-4|\) も \(4\) だからです。

変えるのは二つだけ

式のどこを変えるのかを、はっきりさせます。

言葉にすると、次の一行になります。

ある数を引くことは、その数の反対の数をたすこと

手を入れるのは、二か所だけです。

1. 引く記号を「たす」に変える
2. 引く数を反対の数に変える

この二つだけを変えることを、変えるのは二つだけと呼びます。

最初の数は変えません。 最初の数は出発点だからです。

いくつか並べてみます。

なぜ、反対の数をたしてよいのか

理由を二つの見方で確かめます。

見方1　引く移動を、取り消している

\(-4\) をたすのは、左へ \(4\) 進むことです。\(-4\) を引くのは、その移動を打ち消すことです。

打ち消すには、動いた分を戻します。戻る動きは右へ \(4\)、つまり \(+4\) をたす動きです。

引くとは、その移動を反対向きにやり直すことです。 向きが反対になるので、符号が反対の数になります。

見方2　たし戻すと、元に戻る

引き算の答えに、引いた数をたし戻すと、元の数に戻るはずです。\((+28)-(-4)=+32\) で試します。

出た答えは +32
引いた数は −4 なので、これをたし戻す
(+32) + (−4) = +28
元の数 +28 に戻った

戻りました。だから \(+32\) で合っています。

もし答えを \(+24\) としたら、どうなるでしょうか。

(+24) + (−4) = +20
元の数 +28 に戻らない
だから +24 はまちがい

このたし戻しは、これから何度も使います。答えが合っているか自分で確かめられる道具です。

0 がからむ引き算

\(0\) がまじると手が止まりやすくなります。二つの形を分けて見ます。

0 を引くとき

\((+11)-0\) を直します。\(0\) の反対の数は \(0\) でした。だから \((+11)-0=(+11)+0=+11\) です。

\(0\) をたしても位置は変わりません。\(0\) を引いても、その数のままです。

0 から引くとき

今度は \(0-(+9)\) です。最初の数が \(0\) になりました。

二か所を変えます。記号を「たす」に変え、\(+9\) を \(-9\) にします。すると \(0-(+9)=0+(-9)=-9\) です。

同じように \(0-(-9)=0+(+9)=+9\) になります。

\(0\) からある数を引くと、その数の反対の数になります。

例題1　引き算をたし算に直して計算する

次の計算をしなさい。

（1）\((+22)-(+9)\)　（2）\((+11)-(-9)\)

二か所を変えてたし算の形にし、セクション3の道具を使います。

（1）では \(|+22|\) が \(22\)、\(|-9|\) が \(9\) です。大きいのは \(22\) なので符号は \(+\) になり、\(22-9=13\) です。

確かめ

（1）出た答え +13 に、引いた +9 をたし戻す
(+13) + (+9) = +22 。元の数に戻った
（2）出た答え +20 に、引いた −9 をたし戻す
(+20) + (−9) = +11 。元の数に戻った

答えの吟味

（1）は正の数を引いたので、元の \(+22\) より小さくなりました。左へ動いたからです。

（2）は負の数を引いたので、元の \(+11\) より大きくなりました。右へ動いたからです。

答え　（1）\(+13\)　（2）\(+20\)

例題2　負の数から負の数を引く

\((-9)-(-28)\) を計算しなさい。

最初の数も引く数も負です。それでもやることは変わりません。

\(|-9|\) は \(9\)、\(|+28|\) は \(28\) です。大きいのは \(28\) なので符号は \(+\) になります。

確かめ

出た答え +19 に、引いた −28 をたし戻す
(+19) + (−28) = −9 。元の数に戻った

答えの吟味

負の数どうしの引き算なのに、答えは正の数になりました。

\(-9\) から出発して、右へ \(28\) 進んだからです。\(28\) は \(9\) より大きい数なので、\(0\) を通りこします。

答え　\(+19\)

例題3　0 がからむ引き算

次の計算をしなさい。

（1）\((+22)-0\)　（2）\(0-(+22)\)　（3）\(0-(-16)\)

どれも同じように直します。

確かめ

（1）(+22) + 0 = +22 。元の数に戻った
（2）(−22) + (+22) = 0 。元の数に戻った
（3）(+16) + (−16) = 0 。元の数に戻った

答えの吟味

（1）と（2）は形が似ていますが、答えの符号が反対になりました。

\(0\) を引くときは動きません。\(0\) から引くときは \(0\) から動きます。どちらが出発点かで、結果が変わります。

答え　（1）\(+22\)　（2）\(-22\)　（3）\(+16\)

例題4　小数と分数

次の計算をしなさい。

（1）\((+2.6)-(-1.4)\)　（2）\(\left(-\dfrac{2}{9}\right)-\left(-\dfrac{3}{7}\right)\)

小数でも分数でも、直し方は同じです。

（2）は \(\dfrac{14}{63}\) より \(\dfrac{27}{63}\) のほうが大きい数です。だから符号は \(+\) になります。

確かめ

（1）(+4) + (−1.4) = +2.6 。元の数に戻った
（2）63 分の 13 に、引いた 7 分の −3 をたし戻す
7 分の −3 は 63 分の −27
63 分の 13 と 63 分の −27 の和は 63 分の −14
63 分の −14 は 9 分の −2 。元の数に戻った

答えの吟味

（1）は負の数を引いたので、\(2.6\) より大きくなりました。

（2）も負の数を引いたので、\(0\) を通りこして正の数になりました。

答え　（1）\(+4\)　（2）\(+\dfrac{13}{63}\)

例題5　標高の差を求める

海面の高さを \(0\) とします。地点Aの高さは \(+22\) m です。

地点Bの高さは \(-16\) m で、海面より下にあります。

地点Aは地点Bより何m高いですか。

高さのちがいを求めるので、高いほうから低いほうを引きます。

確かめ

海面を原点とした数直線で見る
地点 B の −16 から海面まで、上へ 16
海面から地点 A の +22 まで、上へ 22
16 + 22 = 38

答えの吟味

地点Bは海面より下、地点Aは海面より上にあります。

だから高さのちがいは \(22\) m だけでは足りません。\(38\) m は \(22\) より大きい数なので合っています。

答え　\(38\) m

今日の問い

\(-\) は引き算の記号です。それなのに、答えが元の数より大きくなることがありました。

引き算なのに増える。これはおかしくないでしょうか。

おかしくありません。「引く」は「減る」という意味ではないからです。

引き算がすることは、決まった向きへ動くことです。どちらへ動くかは、引く数の符号が決めます。

小学校では正の数しか引かなかったので、引き算はいつも左へ動きました。

負の数を引けるようになると、右へ動く引き算も出てきます。減るのは、引き算の一部でしかなかったのです。

よくある間違い

まちがい1：最初の数の符号まで変えてしまう

\((-28)-(+9)\) を計算する問題です。

✗ (−28) − (+9)
✗ (+28) + (−9)      ← 最初の −28 まで +28 に変えた
✗ = +19

最初の \(-28\) は出発点なので、そのまま残します。

○ (−28) − (+9)
○ (−28) + (−9)
○ = −37

たし戻して確かめます。

誤答 +19 に、引いた +9 をたし戻す
(+19) + (+9) = +28
元の数は −28 なので、戻っていない

書きかえる場所は、引く記号から後ろだけです。 最初の数に手を出したら、別の式になります。

まちがい2：記号だけ変えて、引く数はそのままにする

\((+22)-(-11)\) を計算する問題です。

✗ (+22) − (−11)
✗ (+22) + (−11)      ← 記号だけ変えて、−11 を残した
✗ = +11

記号だけでは半分しか済んでいません。\(-11\) を \(+11\) にする必要があります。

○ (+22) − (−11)
○ (+22) + (+11)
○ = +33

たし戻して確かめます。

誤答 +11 に、引いた −11 をたし戻す
(+11) + (−11) = 0
元の数は +22 なので、戻っていない

記号と数は、二つで一組です。 どちらか片方だけを変えると、向きが反対になってしまいます。

まちがい3：引く数だけ変えて、引く記号を残す

\((+4)-(-16)\) を計算する問題です。

✗ (+4) − (−16)
✗ (+4) − (+16)      ← 数だけ変えて、記号を − のまま残した
✗ = −12

まちがい2と反対の残し方です。引き算のままでは、たし算の道具が使えません。

○ (+4) − (−16)
○ (+4) + (+16)
○ = +20

たし戻して確かめます。

誤答 −12 に、引いた −16 をたし戻す
(−12) + (−16) = −28
元の数は +4 なので、戻っていない

二か所に印を付けてから書き直してください。

まちがい4：0 を引くのと 0 から引くのを取りちがえる

\(0-(+16)\) を計算する問題です。

✗ 0 − (+16)
✗ = +16              ← 0 を引いても変わらない、と考えてしまった

\(0\) を引いたのではありません。\(0\) から引いています。

○ 0 − (+16)
○ 0 + (−16)
○ = −16

たし戻して確かめます。

誤答 +16 に、引いた +16 をたし戻す
(+16) + (+16) = +32
元の数は 0 なので、戻っていない

\(0\) がどちら側にあるかを、先に見てください。 最初の数が \(0\) なら、答えは引く数の反対の数になります。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。二か所とも変えたか、最初の数を残したかを、毎回見なおすこと。

1. 次の引き算を、たし算に直しなさい。計算はしなくてかまいません。 （1）\((+4)-(+28)\)　（2）\((-16)-(+11)\)　（3）\((-22)-(-4)\)

2. 次の計算をしなさい。 （1）\((+28)-(+9)\)　（2）\((-11)-(-28)\)　（3）\((-16)-(+22)\)

3. 次の計算をしなさい。 （1）\((-28)-0\)　（2）\(0-(-4)\)　（3）\(0-(+11)\)

4. 次の計算をしなさい。 （1）\((-1.4)-(+2.6)\)　（2）\(\left(+\dfrac{3}{7}\right)-\left(-\dfrac{2}{9}\right)\)

5. ある人の貯金の残高を記録しています。先月の残高は \(-9\) 千円でした。これは \(9\) 千円借りている状態です。今月の残高は \(+28\) 千円になりました。先月から今月で、残高はいくら増えましたか。

6. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

(−28) − (−16)
引く数を反対の数にして (−28) + (+16)
符号がちがうので、絶対値をたして 44 。答えは −44 。

7. 負の数を引くと、元の数より大きくなります。その理由を、数直線の移動の言葉で説明しなさい。

（1）(+19) + (+9) = +28 。元の数に戻った
（2）(+17) + (−28) = −11 。元の数に戻った
（3）(−38) + (+22) = −16 。元の数に戻った

（1）(−28) + 0 = −28 。元の数に戻った
（2）(+4) + (−4) = 0 。元の数に戻った
（3）(−11) + (+11) = 0 。元の数に戻った

（1）(−4) + (+2.6) = −1.4 。元の数に戻った
（2）63 分の 41 に、引いた 9 分の −2 をたし戻す
   9 分の −2 は 63 分の −14
   63 分の 41 と 63 分の −14 の和は 63 分の 27
   63 分の 27 は 7 分の 3 。元の数に戻った

残高 0 を原点とした数直線で見る
先月の −9 から 0 まで、上へ 9
0 から今月の +28 まで、上へ 28
9 + 28 = 37

絶対値をくらべると 28 のほうが大きい
だから答えの符号は −
大きい絶対値から小さい絶対値を引いて 28 − 16 = 12
答えは −12

(−12) に、引いた −16 をたし戻す
(−12) + (−16) = −28 。元の数に戻った

次のレッスンへ

引き算をたし算に直せるようになりました。変えるのは引く記号と引く数の二つだけです。

直したあとは、ただのたし算です。だからセクション3の道具がそのまま使えます。

次のレッスンは「4つの型の減法を計算する」です。引き算には、正から正を引く型、正から負を引く型、負から正を引く型、負から負を引く型があります。

四つの型を表に整理して、どの型が来ても同じ二段階で計算できるようにします。

次のレッスンへ　4つの型の減法を計算する　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。