4つの型の減法を計算する
このレッスンでできるようになること
- 減法の4つの型を、書きかえてから加法の種類を見分ける二段階で計算できる
- 書きかえたあと、同じ符号のたし算になるか異なる符号のたし算になるかを言える
- 引く数と引かれる数を入れかえると答えが変わることを、式で示せる
前のレッスンの確認
- 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
- 変えるのは二つだけ … ①引く記号を「たす」に変える ②引く数を反対の数に変える。最初の数は変えない
- 同じ符号の数をたす二つの段階 … ①共通の符号を、そのまま答えの符号にする ②二つの絶対値をたす
- 異なる符号の数をたす三つの段階 … ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く
絶対値は記号でも書きます。\(|-18|\) は \(18\) です。\(|+24|\) は \(24\) です。
このレッスンでも、答えの符号を決めるのは絶対値です。
引き算には4つの型がある
前のレッスンで、引き算をたし算に直せるようになりました。
引き算に出てくる数は二つです。引かれる数と引く数です。
引かれる数は、最初に書かれている数のことです。引く数は、引き算の記号のあとに書かれている数のことです。
どちらも正か負のどちらかです。だから組み合わせは4通りになります。
| 型の名前 | 引かれる数 | 引く数 | 例 |
|---|---|---|---|
| 正から正を引く | 正の数 | 正の数 | \((+24)-(+13)\) |
| 正から負を引く | 正の数 | 負の数 | \((+13)-(-12)\) |
| 負から正を引く | 負の数 | 正の数 | \((-18)-(+24)\) |
| 負から負を引く | 負の数 | 負の数 | \((-12)-(-30)\) |
型は4つありますが、覚えることは増えません。
どの型も、まったく同じ二段階で処理できます。
減法を計算する二段階
段階①は、前のレッスンでやったことです。引く記号と引く数の二か所を変えます。
段階②は、セクション3でやったことです。書きかえた式が同じ符号か異なる符号かを見分け、その段階で計算します。
減法を計算する二段階
- 引く記号と引く数を変えて、たし算に書きかえる
- 書きかえた式の二つの符号を見て、同じ符号か異なる符号かで計算する
段階②で見るのは、書きかえたあとの式です。元の式の符号ではありません。
書きかえると、符号の関係が入れかわる
4つの型を実際に書きかえて、加法の種類まで書き入れます。
| 元の式 | 書きかえた式 | 加法の種類 | 答え |
|---|---|---|---|
| \((+24)-(+13)\) | \((+24)+(-13)\) | 異なる符号 | \(+11\) |
| \((+13)-(-12)\) | \((+13)+(+12)\) | 同じ符号 | \(+25\) |
| \((-18)-(+24)\) | \((-18)+(-24)\) | 同じ符号 | \(-42\) |
| \((-12)-(-30)\) | \((-12)+(+30)\) | 異なる符号 | \(+18\) |
表をたてに見てください。元の式で符号が同じだった1行目と4行目は、異なる符号のたし算になりました。
元の式で符号がちがう2行目と3行目は、同じ符号のたし算になりました。
すっかり入れかわっています。理由は、書きかえで手を入れる場所にあります。
書きかえで符号が変わるのは、引く数だけです。引かれる数はそのまま残ります。
片方だけ符号が変われば、二つの符号の関係は反対になります。
| 元の式の二つの符号 | 書きかえたあと | 使う道具 |
|---|---|---|
| 同じ（正から正、負から負） | 異なる符号のたし算 | 三つの段階 |
| ちがう（正から負、負から正） | 同じ符号のたし算 | 二つの段階 |
元の式の見た目で決めると、必ず反対の道具を選んでしまいます。 書きかえてから見てください。
例題1 4つの型を続けて計算する
次の計算をしなさい。
（1）\((+17)-(+24)\) （2）\((+24)-(-18)\) （3）\((-30)-(+13)\) （4）\((-30)-(-13)\)
4つの型が1問ずつ出ています。まず書きかえ、それから加法の種類を見ます。
| 元の式 | 書きかえた式と答え | この行でしたこと |
|---|---|---|
| （1）\((+17)-(+24)\) | \((+17)+(-24)=-7\) | 異なる符号。三つの段階 |
| （2）\((+24)-(-18)\) | \((+24)+(+18)=+42\) | 同じ符号。二つの段階 |
| （3）\((-30)-(+13)\) | \((-30)+(-13)=-43\) | 同じ符号。二つの段階 |
| （4）\((-30)-(-13)\) | \((-30)+(+13)=-17\) | 異なる符号。三つの段階 |
（1）では \(|+17|\) が \(17\)、\(|-24|\) が \(24\) です。大きいのは \(24\) なので符号は \(-\) になり、\(24-17=7\) です。（4）も同じ見方で、\(|-30|\) の \(30\) が大きいので \(-17\) になります。
（2）では共通の符号が \(+\) なので、\(24\) と \(18\) をたして \(42\) です。（3）は共通の符号が \(-\) なので、\(30\) と \(13\) をたして \(43\) になります。
確かめ
（1）(−7) + (+24) = +17 。元の数に戻った
（2）(+42) + (−18) = +24 。元の数に戻った
（3）(−43) + (+13) = −30 。元の数に戻った
（4）(−17) + (−13) = −30 。元の数に戻った
答えの吟味
（1）と（3）は正の数を引いたので、元の数より小さくなりました。（2）と（4）は負の数を引いたので大きくなりました。
引く数の符号を見れば、答えが元の数より大きいか小さいかが先に分かります。
答え （1）\(-7\) （2）\(+42\) （3）\(-43\) （4）\(-17\)
例題2 0 を含む減法
次の計算をしなさい。
（1）\(0-(-12)\) （2）\((-12)-0\) （3）\(0-(+17)\)
（1）と（2）には同じ数が出てきます。ちがうのは、どちらが引かれる数かだけです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\(0-(-12)=0+(+12)=+12\) | \(0\) から引いた。\(0\) から右へ \(12\) 進んだ |
| （2）\((-12)-0=(-12)+0=-12\) | \(0\) を引いた。\(0\) の反対の数は \(0\) なので動かない |
| （3）\(0-(+17)=0+(-17)=-17\) | \(0\) から引いた。\(0\) から左へ \(17\) 進んだ |
確かめ
（1）(+12) + (−12) = 0 。元の数に戻った
（2）(−12) + 0 = −12 。元の数に戻った
（3）(−17) + (+17) = 0 。元の数に戻った
答えの吟味
（1）と（2）は出てくる数が同じなのに、答えは \(+12\) と \(-12\) でちがいました。
\(0\) が引かれる数のときは \(0\) から動きます。\(0\) が引く数のときは動きません。
どちらが引かれる数かで、答えが変わります。
答え （1）\(+12\) （2）\(-12\) （3）\(-17\)
例題3 小数と分数
ここまでは、小数点のつかない数だけを使ってきました。小数や分数でも、二段階はそのまま使えます。
次の計算をしなさい。
（1）\((+5.1)-(-0.8)\) （2）\(\left(-\dfrac{3}{10}\right)-\left(+\dfrac{5}{8}\right)\)
分数は、書きかえたあとで通分します。順番を守ってください。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\((+5.1)+(+0.8)\) | 記号を \(+\) に、\(-0.8\) を \(+0.8\) に変えた |
| （1）\((+5.1)+(+0.8)=+5.9\) | 同じ符号の二つの段階。\(5.1+0.8=5.9\) |
| （2）\(\left(-\dfrac{3}{10}\right)+\left(-\dfrac{5}{8}\right)\) | 記号を \(+\) に、\(+\dfrac{5}{8}\) を \(-\dfrac{5}{8}\) に変えた |
| （2）\(-\dfrac{12}{40}\) と \(-\dfrac{25}{40}\) にそろえる | 分母を \(40\) にそろえた |
| （2）\(\left(-\dfrac{12}{40}\right)+\left(-\dfrac{25}{40}\right)=-\dfrac{37}{40}\) | 同じ符号の二つの段階 |
（2）は書きかえたあと、どちらも負の数です。だから共通の符号 \(-\) をそのまま使います。通分を先にすると、符号を変えるのを忘れやすくなります。
確かめ
（1）(+5.9) + (−0.8) = +5.1 。元の数に戻った
（2）40 分の −37 に、引いた 8 分の 5 をたし戻す
8 分の 5 は 40 分の 25
40 分の −37 と 40 分の 25 の和は 40 分の −12
40 分の −12 は 10 分の −3 。元の数に戻った
答えの吟味
（1）は負の数を引いたので大きくなり、（2）は正の数を引いたので \(0\) から遠くなりました。
答え （1）\(+5.9\) （2）\(-\dfrac{37}{40}\)
引く数と引かれる数を入れかえると、答えが変わる
たし算では、二つの数を入れかえても答えが変わりませんでした。\((+13)+(+17)\) も \((+17)+(+13)\) も \(+30\) です。
引き算はちがいます。入れかえると、答えまで変わります。
例題4 入れかえて計算する
\((+13)-(+17)\) と \((+17)-(+13)\) をそれぞれ計算しなさい。
どちらも正から正を引く型です。書きかえると、異なる符号のたし算になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((+13)-(+17)\) | 元の式 |
| \((+13)+(-17)\) | 記号を \(+\) に、\(+17\) を \(-17\) に変えた |
| \((+13)+(-17)=-4\) | 異なる符号の三つの段階 |
| \((+17)-(+13)\) | 元の式 |
| \((+17)+(-13)\) | 記号を \(+\) に、\(+13\) を \(-13\) に変えた |
| \((+17)+(-13)=+4\) | 異なる符号の三つの段階 |
上の式では \(|-17|\)、下の式では \(|+17|\) の \(17\) が大きい絶対値です。だから符号が反対になります。
絶対値の差は、どちらも \(17-13=4\) です。ちがうのは符号だけでした。
確かめ
出た答え −4 に、引いた +17 をたし戻す
(−4) + (+17) = +13 。元の数に戻った
出た答え +4 に、引いた +13 をたし戻す
(+4) + (+13) = +17 。元の数に戻った
答えの吟味
\(-4\) と \(+4\) は、符号だけがちがう数です。つまり反対の数どうしです。
数直線で見ると、\(0\) をはさんで同じだけ離れています。
答え \((+13)-(+17)=-4\)、\((+17)-(+13)=+4\)
例題5 二つの月の増減をくらべる
あるお店では、1か月でお金が増えた月を正の数、減った月を負の数で表しています。
先月の増減は \(-18\) 万円、今月は \(+13\) 万円でした。
（1）今月の増減は、先月より何万円大きいですか。
（2）先月の増減から今月の増減を引くと、どうなりますか。
（1）は大きいほうから小さいほうを引きます。（2）は引く順番を入れかえた式です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\((+13)-(-18)\) | 今月の増減から、先月の増減を引いた |
| （1）\((+13)+(+18)\) | 記号を \(+\) に、\(-18\) を \(+18\) に変えた |
| （1）\((+13)+(+18)=+31\) | 同じ符号の二つの段階 |
| （2）\((-18)-(+13)\) | 引く順番を入れかえた |
| （2）\((-18)+(-13)\) | 記号を \(+\) に、\(+13\) を \(-13\) に変えた |
| （2）\((-18)+(-13)=-31\) | 同じ符号の二つの段階 |
確かめ
先月の −18 に、求めた差 31 をたし戻す
(−18) + (+31) = +13 。今月の増減に合った
答えの吟味
（2）の答え \(-31\) は、先月が今月より \(31\) 万円小さいという意味です。
ちがいそのものは \(31\) 万円です。引く順番が変わると、符号が変わります。
答え （1）\(31\) 万円 （2）\(-31\) になり、先月が今月より \(31\) 万円小さいことを表す
今日の問い
\((-12)-(-30)\) の答えは \(+18\) でした。
負の数から負の数を引いたのに、答えは正の数です。おかしくないでしょうか。
おかしくありません。引き算の式のままでは、答えの符号は見えないからです。
書きかえると \((-12)+(+30)\) になります。ここで初めて、符号を決める材料がそろいます。
材料は絶対値です。\(|-12|\) は \(12\)、\(|+30|\) は \(30\) なので、大きいのは \(30\) です。
だから答えの符号は \(+\) になります。
| 見ているもの | 答えの符号を決めるか |
|---|---|
| 元の式の二つの符号 | 決めない |
| 書きかえたあとの二つの符号 | 同じか異なるかを決める |
| 書きかえたあとの二つの絶対値 | 異なる符号のときに決める |
式を見た瞬間に符号を当てようとしないでください。 書きかえてから、絶対値を見ます。
よくある間違い
まちがい1：元の式を見て、同じ符号のたし算だと決めてしまう
\((-18)-(-12)\) を計算する問題です。
✗ (−18) − (−12)
✗ (−18) + (+12) ← 書きかえはできている
✗ 元の式が負と負なので同じ符号 。18 + 12 = 30
✗ = −30
書きかえまでは合っています。落ちているのは、そのあとの見分けです。
書きかえたあとの式は \(-18\) と \(+12\) で、符号がちがいます。使うのは三つの段階です。
○ (−18) − (−12)
○ (−18) + (+12)
○ 絶対値は 18 と 12 。大きいのは 18 で、その数は −18
○ 答えの符号は − 。18 − 12 = 6 なので −6
たし戻して確かめます。
誤答 −30 に、引いた −12 をたし戻す
(−30) + (−12) = −42
元の数は −18 なので、戻っていない
見分けに使うのは、書きかえたあとの式だけです。
まちがい2：引く数のほうが大きいと、順番を入れかえてしまう
\((+13)-(+24)\) を計算する問題です。
✗ (+13) − (+24)
✗ 13 から 24 は引けないので 24 − 13 = 11
✗ = +11
小学校では、小さい数から大きい数を引けませんでした。その感覚が残っています。負の数を作ったので、いまは引けます。
○ (+13) − (+24)
○ (+13) + (−24)
○ 絶対値は 13 と 24 。大きいのは 24 で、その数は −24
○ 答えの符号は − 。24 − 13 = 11 なので −11
たし戻して確かめます。
誤答 +11 に、引いた +24 をたし戻す
(+11) + (+24) = +35
元の数は +13 なので、戻っていない
絶対値の差を求めるときは、大きいほうから引きます。式そのものを入れかえるのとは、ちがう話です。
まちがい3：元の式にプラスとマイナスが見えて、異なる符号だと決めてしまう
\((-24)-(+12)\) を計算する問題です。
✗ (−24) − (+12)
✗ (−24) + (−12) ← 書きかえはできている
✗ 元の式に − と + があるので異なる符号 。24 − 12 = 12
✗ = −12
まちがい1と反対の取りちがえです。やはり元の式を見てしまっています。
書きかえたあとの式は \(-24\) と \(-12\) で、符号がそろっています。使うのは二つの段階です。
○ (−24) − (+12)
○ (−24) + (−12)
○ 共通の符号は − 。24 + 12 = 36 なので −36
たし戻して確かめます。
誤答 −12 に、引いた +12 をたし戻す
(−12) + (+12) = 0
元の数は −24 なので、戻っていない
答えの符号を決める手がかりには、元の式の符号は使えません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。書きかえた式を必ず1行残すこと。
次の計算をしなさい。書きかえた式も、答えといっしょに書きなさい。 （1）\((+30)-(+17)\) （2）\((-13)-(-30)\) （3）\((+12)-(-17)\) （4）\((-24)-(+13)\)
次の計算をしなさい。 （1）\(0-(-24)\) （2）\((-24)-0\) （3）\(0-(+30)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((-0.8)-(+5.1)\) （2）\(\left(-\dfrac{3}{10}\right)-\left(-\dfrac{5}{8}\right)\)
\((+18)-(+30)\) と \((+30)-(+18)\) をそれぞれ計算しなさい。二つの答えにどんな関係があるかも書きなさい。
次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。
(−17) − (−24)
引く記号と引く数を変えて (−17) + (+24)
どちらも 0 から遠い数なので、絶対値をたして 41
答えは +41
- 負の数から負の数を引くと、答えが正の数になることも負の数になることもあります。どんなときに正の数になりますか。絶対値の言葉で説明しなさい。
答えと考え方
1. まず引く記号と引く数の二か所を変えます。そのあと、書きかえた式の符号を見ます。
| 元の式 | 書きかえた式と答え | この行でしたこと |
|---|---|---|
| （1）\((+30)-(+17)\) | \((+30)+(-17)=+13\) | 異なる符号。三つの段階 |
| （2）\((-13)-(-30)\) | \((-13)+(+30)=+17\) | 異なる符号。三つの段階 |
| （3）\((+12)-(-17)\) | \((+12)+(+17)=+29\) | 同じ符号。二つの段階 |
| （4）\((-24)-(+13)\) | \((-24)+(-13)=-37\) | 同じ符号。二つの段階 |
（1）では \(|+30|\) の \(30\) が大きいので、符号は \(+\) です。\(30-17=13\) になります。
（2）では \(|+30|\) の \(30\) が大きいので、符号は \(+\) です。\(30-13=17\) になります。
確かめ
（1）(+13) + (+17) = +30 。元の数に戻った
（2）(+17) + (−30) = −13 。元の数に戻った
（3）(+29) + (−17) = +12 。元の数に戻った
（4）(−37) + (+13) = −24 。元の数に戻った
答えの吟味
（1）と（2）は元の式の符号がそろっていたので、書きかえると符号がちがいます。（3）と（4）はその反対でした。
答え （1）\(+13\) （2）\(+17\) （3）\(+29\) （4）\(-37\)
2. \(0\) がどちら側にあるかを、先に見ます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\(0-(-24)=0+(+24)=+24\) | \(0\) から引いたので、\(-24\) の反対の数 |
| （2）\((-24)-0=(-24)+0=-24\) | \(0\) を引いたので、そのまま |
| （3）\(0-(+30)=0+(-30)=-30\) | \(0\) から引いたので、\(+30\) の反対の数 |
確かめ
（1）(+24) + (−24) = 0 。元の数に戻った
（2）(−24) + 0 = −24 。元の数に戻った
（3）(−30) + (+30) = 0 。元の数に戻った
答えの吟味
（1）と（2）は同じ \(-24\) と \(0\) が出てきますが、答えは反対の数になりました。
\(0\) が引かれる数なら動きます。\(0\) が引く数なら動きません。
答え （1）\(+24\) （2）\(-24\) （3）\(-30\)
3. 小数でも分数でも、二段階は変わりません。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）\((-0.8)+(-5.1)\) | 記号を \(+\) に、\(+5.1\) を \(-5.1\) に変えた |
| （1）\((-0.8)+(-5.1)=-5.9\) | 同じ符号の二つの段階。\(0.8+5.1=5.9\) |
| （2）\(\left(-\dfrac{3}{10}\right)+\left(+\dfrac{5}{8}\right)\) | 記号を \(+\) に、\(-\dfrac{5}{8}\) を \(+\dfrac{5}{8}\) に変えた |
| （2）\(-\dfrac{12}{40}\) と \(+\dfrac{25}{40}\) にそろえる | 分母を \(40\) にそろえた |
| （2）\(\left(-\dfrac{12}{40}\right)+\left(+\dfrac{25}{40}\right)=+\dfrac{13}{40}\) | 異なる符号の三つの段階 |
（2）では \(\dfrac{25}{40}\) のほうが大きい数です。だから符号は \(+\) になります。
確かめ
（1）(−5.9) + (+5.1) = −0.8 。元の数に戻った
（2）40 分の 13 に、引いた 8 分の −5 をたし戻す
8 分の −5 は 40 分の −25
40 分の 13 と 40 分の −25 の和は 40 分の −12
40 分の −12 は 10 分の −3 。元の数に戻った
答えの吟味
（1）は正の数を引いたので \(0\) から遠くなり、（2）は負の数を引いたので \(0\) を通りこしました。
答え （1）\(-5.9\) （2）\(+\dfrac{13}{40}\)
4. どちらも正から正を引く型です。書きかえると、異なる符号のたし算になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((+18)-(+30)\) を書きかえて \((+18)+(-30)=-12\) | 異なる符号の三つの段階 |
| \((+30)-(+18)\) を書きかえて \((+30)+(-18)=+12\) | 異なる符号の三つの段階 |
上の式では \(|-30|\)、下の式では \(|+30|\) の \(30\) が大きい絶対値です。だから符号が反対になります。
絶対値の差は、どちらも \(30-18=12\) です。
確かめ
(−12) + (+30) = +18 。元の数に戻った
(+12) + (+18) = +30 。元の数に戻った
答えの吟味
\(-12\) と \(+12\) は符号だけがちがうので、反対の数どうしです。
答え \((+18)-(+30)=-12\)、\((+30)-(+18)=+12\)。二つは反対の数どうし
5. まちがっているのは、3行目です。
\((-17)+(+24)\) に書きかえたところまでは合っています。
書きかえたあとの符号は \(-\) と \(+\) でちがいます。だから絶対値をたしてはいけません。
絶対値は 17 と 24 。大きいのは 24 で、その数は +24
だから答えの符号は +
大きい絶対値から小さい絶対値を引いて 24 − 17 = 7
答えは +7
確かめ
(+7) に、引いた −24 をたし戻す
(+7) + (−24) = −17 。元の数に戻った
答えの吟味
\(-17\) から右へ \(24\) 進みました。\(24\) は \(17\) より大きいので、\(0\) を通りこします。
だから答えは正の数になります。誤答の \(+41\) では、右へ行きすぎです。
答え \(+7\)
6. 書きかえてから、絶対値をくらべます。
負の数から負の数を引く型は、書きかえると異なる符号のたし算になります。答えの符号は、絶対値が大きいほうの数の符号です。
書きかえたあと、引く数だけが正の数になっています。だから引く数の絶対値のほうが大きいとき、答えは正の数になります。
答え 引く数の絶対値が、引かれる数の絶対値より大きいとき
次のレッスンへ
4つの型が、どれも同じ二段階で計算できました。書きかえてから、加法の種類を見分けるだけです。
引く順番を入れかえると答えが変わることも確かめました。ここまでの式には、いつもかっこが付いています。
次のレッスンは「かっこを外して和の形に書く」です。かっこを外して、もっと短く書けるようにします。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。