かっこを外して和の形に書く

このレッスンでできるようになること

• かっこを外す4つの形を、反対の数をたす考えから説明できる
• \((+5)+(-3)-(-2)\) のような式を、\(5-3+2\) と短く書き直せる
• 外した式を元の式と一つずつ対応させて、書きまちがいを見つけられる

前のレッスンの確認

• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 変えるのは二つだけ … ①引く記号を「たす」に変える ②引く数を反対の数に変える。最初の数は変えない
• 減法を計算する二段階 … ①たし算に書きかえる ②書きかえた式の符号を見て計算する
• 符号の \(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない

絶対値は記号でも書きます。\(|-21|\) は \(21\) です。\(|+19|\) は \(19\) です。

このレッスンでも、答えの符号を決めるのは絶対値です。

かっこが多いと、式が読みにくい

ここまでの式には、いつもかっこが付いていました。

たとえば \((+19)+(-21)-(-33)\) です。かっこが3組、記号が5つあります。

出てくる数は3つだけなのに、目で追うところが多すぎます。

この式は \(19-21+33\) と書き直せます。ずっと短くなりました。

同じ計算を、かっこなしで書く。 それがこのレッスンの仕事です。

かっこを外すとは、記号を一つにまとめること

\(+(-21)\) を見てください。記号が二つ並んでいます。

前の \(+\) は「たす」という計算記号です。うしろの \(-\) は \(21\) に付いた符号です。

役目のちがう記号が、となりあっています。かっこを外すとは、この二つを一つにまとめることです。

まとまったあとの記号が何になるかは、4つの形で決まります。一つずつ確かめます。

形1　たす記号と正の数

\(+(+19)\) は「\(+19\) をたす」という意味です。

\(+19\) をたすのは、数直線を右へ \(19\) 進むことでした。進む距離を決めるのは \(|+19|\) です。

だから \(+(+19)\) は \(+19\) になります。二つの \(+\) が、一つの \(+\) にまとまりました。

形2　たす記号と負の数

\(+(-21)\) は「\(-21\) をたす」という意味です。

\(-21\) をたすのは、左へ \(21\) 進むことです。

だから \(+(-21)\) は \(-21\) になります。

形3　引く記号と正の数

\(-(+30)\) は「\(+30\) を引く」という意味です。

ここで前のレッスンの言い切りを使います。ある数を引くことは、その数の反対の数をたすことでした。

\(+30\) の反対の数は \(-30\) です。つまり \(-(+30)\) は「\(-30\) をたす」ことになります。

負の数をたす形2と同じです。だから \(-(+30)\) は \(-30\) です。

形4　引く記号と負の数

\(-(-33)\) は「\(-33\) を引く」という意味です。

同じように、引くのをたすに直します。\(-33\) の反対の数は \(+33\) です。

つまり \(-(-33)\) は「\(+33\) をたす」ことになります。正の数をたす形1と同じです。

だから \(-(-33)\) は \(+33\) です。引く記号と負の符号がぶつかると、\(+\) になります。

4つの形をまとめる

表にすると次のようになります。◯には、どんな数が入ってもかまいません。

丸暗記しなくても大丈夫です。形3と形4は、反対の数をたす形に直せば出てきます。

表を見なおすと、覚えやすい言い方が見つかります。二つの記号が同じなら \(+\)、ちがえば \(-\) です。

ただし、これは覚え方でしかありません。理由は、反対の数をたす考えのほうにあります。

式全体のかっこを外す

はじめの \((+19)+(-21)-(-33)\) に戻ります。左から順に外します。

最初の \((+19)\) には、前に記号がありません。式の先頭なので、そのまま \(+19\) です。

次の \(+(-21)\) は形2なので \(-21\)、最後の \(-(-33)\) は形4なので \(+33\) になります。

三つを並べると \(+19-21+33\) です。かっこが消えました。

先頭の符号が正なら省略できる

セクション1で決めたことがありました。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない、です。

\(+19-21+33\) の先頭は \(+19\) です。\(+\) を省いて \(19\) と書けます。

書き直すと \(19-21+33\) になります。これが目ざしていた形です。

\(+33\) の \(+\) も省けそうに見えます。しかし省くと、\(33\) が前の \(21\) とくっついてしまいます。

省けるのは先頭の \(+\) だけです。 途中の記号は残します。

先頭が負のときも、\(-\) は残します。\(-33+22\) を \(33+22\) と書いたら、ちがう式になります。

一つずつ対応させて確かめる

外したあとは、すぐに計算しないでください。まず元の式と見くらべます。

式を左から区切ると、符号と数がひとかたまりになって並びます。それを一つずつ見ます。

一つずつ対応させる確かめ

1. 元の式を、左からひとかたまりずつ区切る
2. 外した式も、左から同じように区切る
3. 同じ番目どうしで、符号と数がそろっているか見る

かたまりの数は、外す前も外したあとも同じです。合わなければ、どこかを飛ばしています。

符号だけでなく数も見てください。符号と数は、二つで一つのかたまりです。

例題1　かっこを外して書き直す

次の式のかっこを外しなさい。計算はしなくてかまいません。

（1）\((+30)+(-21)-(-19)\)　（2）\((-33)-(-22)+(+19)\)

一つずつ形を見分けます。先頭は前に記号がないので、符号だけを見ます。

（2）の先頭は \(-33\) です。\(-\) は省略できないので、そのまま残します。

確かめ

（1）(+30) と +30 、 +(−21) と −21 、 −(−19) と +19
（2）(−33) と −33 、 −(−22) と +22 、 +(+19) と +19
どちらも 3 つとも 符号と数がそろっている

答えの吟味

（1）も（2）も、かたまりの数は3つのままです。増えても減ってもいません。

引く記号のうしろが負の数だったところは、\(+\) に変わりました。

答え　（1）\(30-21+19\)　（2）\(-33+22+19\)

例題2　かっこを外してから計算する

\((+19)-(+30)-(-21)\) を計算しなさい。

先にかっこを外します。計算はそのあと、左から順にします。

\(19-30\) は、\(+19\) と \(-30\) をたすことです。\(|+19|\) は \(19\)、\(|-30|\) は \(30\) です。

大きいのは \(30\) なので符号は \(-\) になり、\(30-19=11\) です。

次の \(-11+21\) では \(|+21|\) の \(21\) が大きいので、符号は \(+\) で \(21-11=10\) です。

確かめ

かたまりは (+19) と +19 、 −(+30) と −30 、 −(−21) と +21 。そろっている
かっこ付きのままやり直すと
(+19) − (+30) = −11 、 (−11) − (−21) = +10 。同じ答え

答えの吟味

\(19\) から \(30\) を引いたので、いったん負の数になりました。

そのあと \(21\) をたして、\(0\) を通りこしています。だから答えは正の数です。

答え　\(+10\)

例題3　0 をふくむ式

\((-22)-(-33)+0-(+19)\) を計算しなさい。

\(0\) には符号を付けません。\(+0\) と書かず、\(0\) と書きます。

\(-22+33\) では \(|+33|\) の \(33\) が大きい絶対値です。だから符号は \(+\) で、\(33-22=11\) です。

確かめ

かたまりは (−22) と −22 、 −(−33) と +33 、 たす 0 と 0 、 −(+19) と −19
四つとも符号と数がそろっている

答えの吟味

\(0\) をたす行では、答えが変わりませんでした。数直線で動かなかったからです。

最後に \(11\) より大きい \(19\) を引いたので、答えは負の数になりました。

答え　\(-8\)

例題4　小数と分数

次の計算をしなさい。

（1）\((-6.3)-(-1.7)+(+6.3)\)

（2）\(\left(-\dfrac{1}{8}\right)-\left(-\dfrac{7}{12}\right)+\left(-\dfrac{1}{8}\right)\)

小数でも分数でも、外し方は変わりません。分数は、外してから通分します。

（1）の \(-6.3+1.7\) では、\(|-6.3|\) の \(6.3\) が大きい絶対値です。だから符号は \(-\) になります。

確かめ

（1）かたまりは −6.3 と +1.7 と +6.3 の 3 つ。元の式と同じ
（2）かたまりは 8 分の −1 と 12 分の 7 と 8 分の −1 の 3 つ。元の式と同じ
    8 分の −1 が 2 つで 4 分の −1 、12 分の 7 とたして 12 分の 4
    12 分の 4 は 3 分の 1

答えの吟味

（1）には \(-6.3\) と \(+6.3\) が入っています。反対の数どうしなので打ち消し合います。

残るのは \(+1.7\) です。計算した答えと合っています。

答え　（1）\(+1.7\)　（2）\(+\dfrac{1}{3}\)

例題5　貯金の出入りを式にする

ある人が、今月のお金の出入りを記録しました。月のはじめの残高を \(0\) 千円とします。

はじめに \(41\) 千円が入り、次に \(21\) 千円が出て、最後に \(19\) 千円が入りました。

月の終わりの残高は、はじめとくらべてどうなりましたか。入った分はたし、出た分は引きます。

確かめ

入った分の合計は 41 + 19 = 60 、出た分は 21
60 − 21 = 39 。同じ答え

答えの吟味

出た分より入った分のほうが多いので、残高は増えるはずです。

答えは \(+39\) 千円で、正の数になりました。場面と合っています。

答え　\(+39\) 千円

かっこのない式を、かたまりで読む

もう一度、\(5-3+2\) を見てください。\((+5)+(-3)-(-2)\) を外した形です。

この式は、たし算だけの式として読めます。\(+5\) と \(-3\) と \(+2\) をたした形です。

先頭の \(5\) は、省略された \(+\) を戻して \(+5\) と読みます。

まん中の \(-3\) は「\(3\) を引く」とも「\(-3\) をたす」とも読めます。どちらでも同じ計算です。

この、符号と数がひとまとまりになったものに、次のレッスンで名前を付けます。

今日の問い

\((+5)+(-3)-(-2)\) と \(5-3+2\) は、見た目がまるでちがいます。

記号の数もかっこの数もちがうのに、なぜ同じ計算だと言えるのでしょうか。

理由は、記号を減らしただけで、かたまりを変えていないことにあります。

三つとも、表す数は変わっていません。たす順番も同じままです。

同じ数を同じ順にたしているのですから、答えも同じになります。

つまり、かっこを外した式は同じ計算の、別の書き方です。

よくある間違い

まちがい1：引く記号と負の符号を、そのまま残す

\((+19)-(-33)+(-21)\) を計算する問題です。

✗ (+19) − (−33) + (−21)
✗ 19 − 33 − 21      ← 2つめを −33 のままにした
✗ = −35

2つめは \(-(-33)\) です。形4なので \(+33\) になります。

○ (+19) − (−33) + (−21)
○ 19 + 33 − 21
○ 19 + 33 = 52 、 52 − 21 = 31

一つずつ対応させて確かめます。

元の式の 2 つめは −(−33) 。負の数を引いている
誤答の 2 つめは −33 。負の数をたしている
引くとたすが入れかわっているので、まちがい

引く記号のうしろが負の数なら、必ず \(+\) になります。 反対の数をたす形に戻してください。

まちがい2：かっこの中の符号だけを見る

\((+30)-(+21)+(-19)\) を計算する問題です。

✗ (+30) − (+21) + (−19)
✗ 30 + 21 − 19      ← 2つめは中の + だけを見た
✗ = 32

2つめは \(-(+21)\) で、かっこの前に引く記号があります。

見るのは中の符号だけではありません。前の記号と中の符号、二つとも見ます。

○ (+30) − (+21) + (−19)
○ 30 − 21 − 19
○ 30 − 21 = 9 、 9 − 19 = −10

一つずつ対応させて確かめます。

元の式の 2 つめは −(+21) 。正の数を引いている
誤答の 2 つめは +21 。正の数をたしている
向きが反対なので、まちがい

まちがい3：先頭の負の符号を省いてしまう

\((-28)+(+19)-(+21)\) を計算する問題です。

✗ (−28) + (+19) − (+21)
✗ 28 + 19 − 21      ← 先頭の − を省いた
✗ = 26

省けるのは \(+\) だけです。\(-\) を省くと、正の数に変わってしまいます。

○ (−28) + (+19) − (+21)
○ −28 + 19 − 21
○ −28 + 19 = −9 、 −9 − 21 = −30

一つずつ対応させて確かめます。

元の式の 1 つめは (−28) 。負の数
誤答の 1 つめは 28 。正の数
符号がちがうので、まちがい

先頭に何も書かれていない数は、正の数という意味です。 負の数の \(-\) は、いつでも書きます。

三つとも、原因は同じです。かたまりごとに、その場で形を見分けてください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。外したあとに一つずつ対応させることを、毎回してください。

1. 次の式のかっこを外しなさい。計算はしなくてかまいません。 （1）\((+22)+(-30)-(-19)\)　（2）\((-19)-(+33)+(-28)\)

2. 次の計算をしなさい。かっこを外した式も書きなさい。 （1）\((+28)-(+19)+(-30)\)　（2）\((-33)+(+21)-(-19)\)　（3）\((-22)-(-28)-(+19)\)

3. \(0-(-19)+(-30)\) を計算しなさい。\(0\) もかたまりの一つとして数えなさい。

4. 次の計算をしなさい。 （1）\((+1.7)-(+6.3)-(-1.7)\)

（2）\(\left(+\dfrac{7}{12}\right)-\left(-\dfrac{1}{8}\right)+\left(-\dfrac{7}{12}\right)\)

5. 登山道を歩きました。出発地点の標高は \(+30\) m です。まず \(37\) m 上り、次に \(33\) m 下り、最後に \(19\) m 上りました。着いた地点の標高を求めなさい。

6. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

(−28) − (−21) + (−19)
かっこを外して −28 − 21 − 19
左から計算して −68

7. \(-(-◯)\) が \(+◯\) になる理由を、反対の数の言葉で説明しなさい。

（1）(+22) と 22 、 +(−30) と −30 、 −(−19) と +19
（2）(−19) と −19 、 −(+33) と −33 、 +(−28) と −28
どちらも符号と数がそろっている

どの式も かたまりは 3 つ。元の式と同じ
かっこ付きでやり直すと
（1）(+28) − (+19) = +9 、 (+9) + (−30) = −21
（2）(−33) + (+21) = −12 、 (−12) − (−19) = +7
（3）(−22) − (−28) = +6 、 (+6) − (+19) = −13

かたまりは 0 と +19 と −30 の 3 つ。元の式と同じ
かっこ付きでやり直すと 0 − (−19) = +19 、 (+19) + (−30) = −11

（1）+1.7 が 2 つで +3.4 、これと −6.3 の和は −2.9
（2）12 分の 7 と 12 分の −7 は反対の数どうしで和は 0
    残るのは 8 分の 1

上った分の合計は 37 + 19 = 56 、下った分は 33
出発地点の標高 30 に、56 − 33 = 23 を加えて 53 。同じ答え

○ (−28) − (−21) + (−19)
○ −28 + 21 − 19
○ −28 + 21 = −7 、 −7 − 19 = −26

元の式の 2 つめは −(−21) で、負の数を引いている
誤答の 2 つめは −21 で、負の数をたしている
かっこ付きでやり直すと (−28) − (−21) = −7 、 (−7) + (−19) = −26

次のレッスンへ

かっこを外して、和の形に書けるようになりました。手がかりは、前の記号と中の符号だけです。

外したあとは一つずつ対応させて、符号と数がそろっているか確かめてください。

\(5-3+2\) を見ると、\(+5\) と \(-3\) と \(+2\) の三つが並んでいます。符号はかたまりの一部でした。

次のレッスンは「項という見方」です。このひとかたまりに、いよいよ名前が付きます。

名前が付くと、式を並べかえて計算する道が開けます。この単元で大事な見方です。

次のレッスンへ　項という見方　→

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