項という見方

このレッスンでできるようになること

• 式を \(+\) と \(-\) で区切って、項を書き出せる
• 符号をふくめて項を読み、正の項と負の項に分けられる
• 引き算のまじった式を、たし算だけの式として読める

前のレッスンの確認

• かっこを外す4つの形 … 二つの記号が同じなら \(+\)、ちがえば \(-\)
• 先頭の符号 … \(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• ある数を引くことは、その数の反対の数をたすこと

絶対値は記号でも書きます。\(|-23|\) は \(23\) です。\(|+34|\) は \(34\) です。

このレッスンでも、符号と絶対値は切りはなしません。

「ひとかたまり」に名前を付ける

前のレッスンの終わりに、\(5-3+2\) という式を見ました。

ここには \(+5\) と \(-3\) と \(+2\) が並んでいました。

符号と数で、ひとかたまりでした。まだ名前がありませんでした。

このかたまりのことを、項といいます。 今日は、この見方を確定させます。

項とは何か

新しい言葉です。次の一文で覚えてください。

項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）

\(-3+5-8\) で確かめます。区切るのは \(+\) と \(-\) のところです。

区切り線は、符号の前に入れます。符号は、うしろの数といっしょに残ります。

左から書き出すと、\(-3\) と \(+5\) と \(-8\) になります。

項は3つです。項の数は、区切ってできたかたまりの数です。

符号は項に含まれる

大事なのは、符号がどちらに付くかです。

\(-3+5-8\) の3つめの項は \(-8\) で、\(8\) ではありません。

\(8\) と書いてしまうと、正の数になります。

2つめも同じです。\(5\) ではなく、\(+5\) が項です。

\(-23+36\) の項は \(-23\) と \(+36\) の2つです。あとで項を動かすときも同じです。

動かす単位は \(36\) ではなく \(+36\) になります。

符号は、いつも数といっしょに動きます。

正の項と負の項

項は、符号で2種類に分かれます。

正の項 … 符号が \(+\) である項

負の項 … 符号が \(-\) である項

\(-3+5-8\) なら、正の項は \(+5\) だけです。負の項は \(-3\) と \(-8\) の2つです。

見分けるのは符号だけで、数の大きさは関係ありません。

\(-32+29\) では、\(|-32|\) は \(32\)、\(|+29|\) は \(29\) です。

絶対値は \(-32\) のほうが大きい数です。それでも負の項は \(-32\)、正の項は \(+29\) です。

先頭の項の符号

\(5-3+2\) には、目に見える符号が2つしかありません。それでも項は3つです。

先頭の \(5\) には、\(+\) がかくれているからです。

セクション1で決めたとおりです。\(+\) は省略できますが、\(-\) は省略できません。

だから \(5-3+2\) の先頭の項は、\(+5\) と読みます。

先頭が負のときは、\(-\) が見えています。\(-27+34\) の先頭の項は \(-27\) です。

この \(-\) は、\(27\) に付いた符号です。引き算の記号ではありません。

0 をふくむ式

\(0\) には符号を付けません。\(0\) は、正の項でも負の項でもありません。

セクション1のとおり、\(0\) は正の数でも負の数でもない境目の数でした。

式の中の \(0\) は、\(0\) のまま項として数えます。

書き出した項を、つなぎ直して確かめる

項を書き出したら、必ず確かめてください。

項を書き出したあとの確かめ

1. 書き出した項を、左から順に \(+\) でつなぎ直す
2. かっこを外して、先頭の \(+\) を省く
3. 元の式と同じになっているか見る

\(36-32+29\) でやってみます。項は \(+36\) と \(-32\) と \(+29\) です。

(+36) + (−32) + (+29)
かっこを外すと 36 − 32 + 29
元の式と同じ

同じ式に戻ったので、書き出し方は合っています。

戻らなければ、符号をどこかで落としています。

なぜ、この見方が役に立つのか

では、項を書き出すと何がうれしいのでしょうか。

\(36-32+29\) には引き算がまじっています。ところが項に分けると変わります。

\(+36\) と \(-32\) と \(+29\) の和になり、たし算だけの式になりました。

\(32\) を引くことは、\(-32\) をたすことだったからです。

たし算だけの式になると、セクション3の道具が使えます。

• 加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない
• 加法の結合法則 … どこからたしても、和は変わらない

この二つは、たし算にしか使えません。

でも項の和として読めば、たし算だけです。だから項を並べかえてよいことになります。

並べかえる練習は次のレッスンです。今日は、正しく書き出せるようになってください。

例題1　式の項を書き出す

次の式の項を、左から順に書き出しなさい。

（1）\(34-27\)　（2）\(-23+29\)　（3）\(36-32+29\)

まず \(+\) と \(-\) の前に、区切り線を入れます。

確かめ

（1）(+34) + (−27) は 34 − 27
（2）(−23) + (+29) は −23 + 29
（3）(+36) + (−32) + (+29) は 36 − 32 + 29
どれも元の式と同じ

答えの吟味

項の数は、区切り線の数より1つ多くなります。（3）は線が2本で、項は3つでした。

答え　（1）\(+34\)、\(-27\)　（2）\(-23\)、\(+29\)　（3）\(+36\)、\(-32\)、\(+29\)

例題2　先頭が負の式

次の式の項を書き出しなさい。

（1）\(-27+34-23\)　（2）\(-32-29\)

先頭の \(-\) は符号です。そのまま項に付けます。

（2）の \(-\) は2つあります。1つめは符号、2つめは区切りの位置です。

確かめ

（1）(−27) + (+34) + (−23) は −27 + 34 − 23 。元の式と同じ
（2）(−32) + (−29) は −32 − 29 。元の式と同じ

答えの吟味

（2）は負の項ばかりです。正の項が1つもない式もあります。

答え　（1）\(-27\)、\(+34\)、\(-23\)　（2）\(-32\)、\(-29\)

例題3　かっこを外してから項に分ける

次の式の項を書き出しなさい。

（1）\((+29)-(-34)+(-23)\)　（2）\((-36)+(-27)-(+32)\)

かっこが付いたままでは区切れません。先に外します。

確かめ

（1）(+29) + (+34) + (−23) は 29 + 34 − 23 。外した式と同じ
（2）(−36) + (−27) + (−32) は −36 − 27 − 32 。外した式と同じ

答えの吟味

（1）の2つめは \(-(-34)\) でした。外すと \(+34\) で、正の項になります。

答え　（1）\(+29\)、\(+34\)、\(-23\)　（2）\(-36\)、\(-27\)、\(-32\)

例題4　小数と分数の項

次の式の項を書き出しなさい。

（1）\(-4.6+0.9\)　（2）\(\dfrac{2}{11}-\dfrac{5}{7}\)

小数でも分数でも、区切り方は変わりません。

分数のときも、符号は分数の前に書きます。分子だけに付けるのではありません。

確かめ

（1）(−4.6) + (+0.9) は −4.6 + 0.9 。元の式と同じ
（2）11 分の 2 に 7 分の −5 をたす形。元の式と同じ

答えの吟味

（2）は \(\dfrac{5}{7}\) のほうが大きい数です。それでも正の項は \(+\dfrac{2}{11}\) です。

答え　（1）\(-4.6\)、\(+0.9\)　（2）\(+\dfrac{2}{11}\)、\(-\dfrac{5}{7}\)

例題5　項が多い式と、0 をふくむ式

次の式の項を書き出し、項の数も答えなさい。

（1）\(29-23+36-32-27\)　（2）\(34-29+0-23\)

項が増えても、左から順に区切るだけです。

（2）の \(0\) には符号を付けません。\(+0\) とは書きません。

確かめ

（1）(+29) + (−23) + (+36) + (−32) + (−27) は 29 − 23 + 36 − 32 − 27
（2）(+34) + (−29) + 0 + (−23) は 34 − 29 + 0 − 23
どちらも元の式と同じ

答えの吟味

（1）の正の項は2つ、負の項は3つです。合わせて5つになります。

答え　（1）\(+29\)、\(-23\)、\(+36\)、\(-32\)、\(-27\) の5つ　（2）\(+34\)、\(-29\)、\(0\)、\(-23\) の4つ

例題6　正の項と負の項に分ける

\(-23+36-27+34\) の項を書き出し、正の項と負の項に分けなさい。

まず全部の項を書き出し、そのあとで分けます。

正の項は \(+36\) と \(+34\)、負の項は \(-23\) と \(-27\) です。

確かめ

(−23) + (+36) + (−27) + (+34) は −23 + 36 − 27 + 34 。元の式と同じ
正の項 2 つと 負の項 2 つで 4 つ。項の数と合っている

答えの吟味

書き出した順番は、元の式のままです。まだ並べかえてはいません。

答え　正の項は \(+36\) と \(+34\)、負の項は \(-23\) と \(-27\)

例題7　バスの乗り降りを項で読む

始発のバスの乗り降りを、停留所の順に記録しました。はじめの乗客は \(0\) 人です。

\(34\) 人が乗り、\(27\) 人が降り、\(29\) 人が乗り、\(23\) 人が降りました。

乗り降りを式にして項を書き出し、乗った分と降りた分に分けなさい。

乗った分はたし、降りた分は引きます。かっこは外した形で書きます。

はじめの \(0\) 人も、項の一つとして数えます。項は全部で5つです。

確かめ

0 + (+34) + (−27) + (+29) + (−23) は 0 + 34 − 27 + 29 − 23 。元の式と同じ
乗った分は 34 と 29 、降りた分は 27 と 23 。正の項と負の項に合っている

答えの吟味

乗る人が正の項、降りる人が負の項になりました。

\(|+34|\) は \(34\)、\(|-27|\) は \(27\) です。符号が向きを、絶対値が人数を表します。

答え　項は \(0\)、\(+34\)、\(-27\)、\(+29\)、\(-23\)。乗った分は \(+34\) と \(+29\)、降りた分は \(-27\) と \(-23\)

今日の問い

\(-3+5-8\) には、引き算の記号が入っています。

それなのに、この式を「\(-3\) と \(+5\) と \(-8\) の和」と読みました。

引き算がまじっているのに、なぜ「和」と言えるのでしょうか。

理由は、前のレッスンの一行にあります。

ある数を引くことは、その数の反対の数をたすことでした。

\(8\) を引くことは \(-8\) をたすことです。だから、たし算に読み替えられます。

三つとも「たす」になりました。式全体が、たし算だけになっています。

たし算だけなら、交換法則と結合法則が使えます。これが、項という見方の値打ちです。

よくある間違い

まちがい1：符号を置き去りにする

\(29-32+34\) の項を書き出す問題です。

✗ 29 − 32 + 34 の項は
✗ +29 と 32 と +34

2つめの符号が落ちています。式には \(-\) があるのに、項には付いていません。

\(-32\) と \(32\) は、ちがう数です。負の項と正の項に分かれます。

\(|-32|\) も \(|+32|\) も \(32\) です。絶対値が同じでも、符号がちがえば別の項です。

○ 29 − 32 + 34 の項は
○ +29 と −32 と +34

つなぎ直して確かめます。

誤答の項をつなぐと (+29) + (+32) + (+34) で 29 + 32 + 34
元の式は 29 − 32 + 34 。2 つめがちがうので、まちがい

符号は項の一部です。 数だけを取り出して書くことはできません。

まちがい2：先頭の項の符号をまちがえる

先頭では、二通りのまちがいが起きます。

まず、\(-36+23-29\) の項を書き出す問題です。

✗ −36 + 23 − 29 の項は
✗ +36 と +23 と −29

先頭の \(-\) が落ちて、\(+36\) になっています。\(-\) は省略できない符号でした。

○ −36 + 23 − 29 の項は
○ −36 と +23 と −29

つなぎ直して確かめます。

誤答の項をつなぐと (+36) + (+23) + (−29) で 36 + 23 − 29
元の式は −36 + 23 − 29 。先頭がちがうので、まちがい

反対に、余計な \(-\) を付けてしまうこともあります。\(27-34\) の項を書き出す問題です。

✗ 27 − 34 の項は
✗ −27 と −34

うしろの \(-\) につられて、先頭にも \(-\) を付けています。

式の先頭には、何も書かれていません。書かれていなければ、正の数でした。

○ 27 − 34 の項は
○ +27 と −34

つなぎ直して確かめます。

誤答の項をつなぐと (−27) + (−34) で −27 − 34
元の式は 27 − 34 。先頭がちがうので、まちがい

先頭に符号がなければ \(+\)、\(-\) があればそのまま残す。 この二つだけです。

まちがい3：引き算の記号と負の符号を取りちがえる

\(29-36\) について、こんな読み方をする人がいます。

✗ 29 − 36 の − は引き算の記号だから、36 の符号ではない
✗ だから項は +29 と +36 の 2 つ
✗ この式は和ではなく、差である

セクション1で、\(-\) には符号と計算記号の二つの役目があると習いました。

項に分けるときは、引き算の記号を負の符号として読み直します。

読み直せるのは、\(36\) を引くことが \(-36\) をたすことだからです。

○ 29 − 36 の項は
○ +29 と −36
○ この式は +29 と −36 の和として読める

つなぎ直して確かめます。

誤答の項をつなぐと (+29) + (+36) で 29 + 36
元の式は 29 − 36 。2 つめがちがうので、まちがい

引き算の記号は、うしろの数の符号になります。 だから、和の形になります。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。書き出した項を、毎回つなぎ直して確かめること。

1. 次の式の項を書き出しなさい。 （1）\(34-29\)　（2）\(-27+32\)　（3）\(23-36+27\)

2. 次の式の項を書き出し、正の項と負の項に分けなさい。 （1）\(-34+27-29+36\)　（2）\(32-36-23\)

3. 次の式のかっこを外してから、項を書き出しなさい。 （1）\((-29)-(+23)+(-34)\)　（2）\((+27)+(-36)-(-32)\)

4. 次の式の項を書き出しなさい。 （1）\(4.6-0.9\)

（2）\(-\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{11}\)

5. 次の式の項を書き出し、項の数も答えなさい。 （1）\(-23+29-36+34-27\)　（2）\(27-34+0+29\)

6. 次の書き出しはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

−32 + 29 − 23 の項は
32 と 29 と 23 の 3 つ

7. \(32-23\) を、たし算だけの式として読み直しなさい。そう読める理由も書きなさい。

（1）(+34) + (−29) は 34 − 29
（2）(−27) + (+32) は −27 + 32
（3）(+23) + (−36) + (+27) は 23 − 36 + 27
どれも元の式と同じ

（1）(−34) + (+27) + (−29) + (+36) は −34 + 27 − 29 + 36 。元の式と同じ
（2）(+32) + (−36) + (−23) は 32 − 36 − 23 。元の式と同じ
どちらも 正の項と負の項の数を合わせると、項の数と合っている

（1）(−29) + (−23) + (−34) は −29 − 23 − 34 。外した式と同じ
（2）(+27) + (−36) + (+32) は 27 − 36 + 32 。外した式と同じ

（1）(+4.6) + (−0.9) は 4.6 − 0.9 。元の式と同じ
（2）7 分の −5 に 11 分の 2 をたす形。元の式と同じ

（1）(−23) + (+29) + (−36) + (+34) + (−27) は −23 + 29 − 36 + 34 − 27
（2）(+27) + (−34) + 0 + (+29) は 27 − 34 + 0 + 29
どちらも元の式と同じ

○ −32 + 29 − 23 の項は
○ −32 と +29 と −23 の 3 つ

誤答の項をつなぐと (+32) + (+29) + (+23) で 32 + 29 + 23
元の式は −32 + 29 − 23 。1 つめと 3 つめがちがうので、まちがい
正しい項をつなぐと (−32) + (+29) + (−23) で −32 + 29 − 23 。元の式と同じ

(+32) + (−23) は 32 − 23 。元の式と同じ

次のレッスンへ

式を \(+\) と \(-\) で区切ると、項が見えるようになりました。符号は、いつも項の一部です。

書き出したら、\(+\) でつなぎ直して元の式に戻るか確かめてください。

項に分ければ、引き算のまじった式も、たし算だけの式として読めます。

たし算だけなら、たす順番を入れかえてよいのでした。ここが次への入り口です。

次のレッスンは「項を並べかえて計算する」です。計算しやすい順に並べかえて、答えを出す手順を確定させます。

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