項を並べかえて計算する

このレッスンでできるようになること

• 加減の四つの手順を使って、項の多い式を計算できる
• 項を並べかえてよい理由を、加法の交換法則と結合法則から説明できる
• 正の項の和と負の項の和を別々に求めて、答えを出せる

前のレッスンの確認

• 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
• 正の項 … 符号が \(+\) である項
• 負の項 … 符号が \(-\) である項
• かっこを外す4つの形 … 形1は \(+(+◯)\) が \(+◯\)、形2は \(+(-◯)\) が \(-◯\)、形3は \(-(+◯)\) が \(-◯\)、形4は \(-(-◯)\) が \(+◯\)
• 異なる符号の数をたす三つの段階 … ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く
• 加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない
• 加法の結合法則 … どこからたしても、和は変わらない
• 正と負に分けてたす三つの段取り … ①正の数だけを集めてたす ②負の数だけを集めてたす ③出た二つの数をたす

絶対値は記号でも書きます。\(|-31|\) は \(31\) です。\(|+42|\) は \(42\) です。

このレッスンでは、道具を一本の手順にまとめます。

セクション4で作った道具を、つなぎ合わせる

四つのレッスンで作った道具は、もうそろっています。あとは、つなげて使うだけです。

今日は \(35-29+42-31\) のような式を、迷わず計算できるようにします。

引き算のままでは、並べかえられない

はじめに、やってはいけないことを見ます。

\(35-29\) を計算すると \(+6\) です。数を入れかえて \(29-35\) とすると \(-6\) になります。

答えがちがいました。レッスン2で確かめたとおり、引く数と引かれる数を入れかえると、答えが変わるのでした。

だから、引き算の式を見た目のまま入れかえることはできません。

では、どうすれば並べかえられるのでしょうか。

和の形に直せば、並べかえられる

答えは、前のレッスンにあります。項に分けると、式はたし算だけになります。

\(35-29\) の項は \(+35\) と \(-29\) です。つまり、\(+35\) と \(-29\) の和です。

和なら、セクション3の道具が使えます。

• 加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない
• 加法の結合法則 … どこからたしても、和は変わらない

\((+35)+(-29)\) を \((-29)+(+35)\) に書き直しても、答えは \(+6\) のままです。

かっこを外すと \(-29+35\) になります。\(29-35\) とは、まったくちがう式です。

動かすのは項です。数だけを動かすのではありません。

\(-29\) を動かすときは、\(-\) もいっしょに動きます。符号は項の一部だからです。

数直線で見ると、着く点は同じ

\(4-9+7\) で確かめます。項は \(+4\) と \(-9\) と \(+7\) の3つです。

もとの順にたすと、\(0\) から右へ \(4\)、左へ \(9\)、右へ \(7\) と動きます。

並べかえて正の項を先にたすと、右へ \(11\) 進んでから、左へ \(9\) 戻ります。

どちらの道すじでも \(+2\) に着きました。通り道はちがっても、着く点は同じです。

これが、並べかえてよいということの中身です。

三つの段取りを、項の言葉で言い直す

セクション3の最後で、正と負に分けてたす三つの段取りを習いました。

1. 正の数だけを集めてたす
2. 負の数だけを集めてたす
3. 出た二つの数をたす

あのときは、たし算だけの式で使いました。今は、引き算のまじった式も項の和として読めます。

だから「正の数」を「正の項」、「負の数」を「負の項」と言い直せば、そのまま使えます。

新しい道具ではありません。あの段取りを、項という言葉で言い直したものです。

加減の四つの手順

ここまでを一本にまとめます。この単元の中心になる手順です。

加減の四つの手順

1. 項に分ける（符号は項に含める）
2. 並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）
3. 正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める
4. 合わせる

手順1は、レッスン4でやったことです。手順2の根拠は、セクション3の二つの法則です。

手順3は、三つの段取りの①と②にあたります。手順4は③にあたります。

①と②の順は、入れかえられません。 項に分ける前に並べかえると、符号を落とします。

四つの手順で、一つの式をたどる

\(35-29+42-31\) を計算します。

手順1　項に分ける

\(+35\)、\(-29\)、\(+42\)、\(-31\) の4つです。先頭の \(35\) には \(+\) がかくれています。

手順2　並べかえる

正の項を前に、負の項をうしろに集めます。\(35+42-29-31\) となります。

手順3　正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める

正の項の和は \(35+42=77\)、負の項の和は \(-29-31=-60\) です。

手順4　合わせる

\(+77\) と \(-60\) をたします。異なる符号の三つの段階を使うと、\(+17\) になります。

確かめ

左から順に計算すると
35 − 29 = 6
6 + 42 = 48
48 − 31 = 17
並べかえた計算と同じ +17

同じ答えになりました。並べかえても、式の表す数は変わっていません。

かっこがある式は、先に外す

かっこが付いたままでは、項に分けられません。レッスン3の4つの形で先に外します。

覚え方は、二つの記号が同じなら \(+\)、ちがえば \(-\) でした。

外したら、一つずつ対応させる確かめをしてください。同じ番目どうしで、符号と数がそろっているかを見ます。

かっこを外した式ができてから、手順1に入ります。

0 をふくむ式

\(0\) は、正の項でも負の項でもありません。

だから手順2で並べかえるとき、\(0\) はどちらの組にも入れません。

\(0\) をたしても位置は変わらないので、答えにはひびきません。項の数には数えます。

例題1　四つの手順で計算する

次の計算をしなさい。

（1）\(38-34+7\)　（2）\(-31+42-8\)

まず項に分けます。先頭に符号がなければ \(+\) を補います。

確かめ

（1）左から 38 − 34 = 4 、4 + 7 = 11 。同じ +11
（2）左から −31 + 42 = 11 、11 − 8 = 3 。同じ +3

答えの吟味

どちらも正の項の和のほうが大きいので、答えは正の数になります。

答え　（1）\(+11\)　（2）\(+3\)

例題2　先頭が負の式

次の計算をしなさい。

（1）\(-29+35-34+38\)　（2）\(-31-29+5\)

先頭の \(-\) は符号です。そのまま項に付けて、負の項の組に入れます。

確かめ

（1）左から −29 + 35 = 6 、6 − 34 = −28 、−28 + 38 = 10 。同じ +10
（2）左から −31 − 29 = −60 、−60 + 5 = −55 。同じ −55

答えの吟味

（2）の正の項は \(+5\) ひとつだけです。負の項の和のほうが大きいので、答えは負の数になります。

答え　（1）\(+10\)　（2）\(-55\)

例題3　かっこを外してから計算する

次の計算をしなさい。

（1）\((+42)-(+35)+(-29)\)　（2）\((-34)-(-38)+(-31)\)

かっこが付いたままでは項に分けられません。先に外します。

確かめ

（1）−(+35) → −35 、+(−29) → −29
（1）左から 42 − 35 = 7 、7 − 29 = −22 。同じ −22
（2）−(−38) → +38 、+(−31) → −31
（2）左から −34 + 38 = 4 、4 − 31 = −27 。同じ −27

答えの吟味

（2）の \(-(-38)\) は、外すと \(+38\) になります。ここを \(-38\) にすると答えが変わります。

答え　（1）\(-22\)　（2）\(-27\)

例題4　小数と分数

次の計算をしなさい。

（1）\(-2.2+7.4-4\)

（2）\(\dfrac{3}{5}-\dfrac{9}{10}+\dfrac{1}{2}\)

小数でも分数でも、四つの手順はそのまま使えます。分数は通分してから計算します。

確かめ

（1）左から −2.2 + 7.4 = 5.2 、5.2 − 4 = 1.2 。同じ +1.2
（2）左から 10 分の 6 引く 10 分の 9 は 10 分の −3
（2）10 分の −3 たす 10 分の 5 は 10 分の 2 。同じ 5 分の 1

答えの吟味

（2）は分母をそろえてから足し引きします。符号は分数全体に付いています。

答え　（1）\(+1.2\)　（2）\(\dfrac{1}{5}\)

例題5　くふうして並べかえる

次の計算をしなさい。

（1）\(-6+35+6-31\)　（2）\(-29+42-1\)

手順2では、計算しやすい組を作ることもできます。（1）はたして \(0\) になる組、（2）はきりのよい数になる組です。

手順3では、正の項どうし・負の項どうしのかわりに、計算しやすい組でまとめてもかまいません。

確かめ

（1）左から −6 + 35 = 29 、29 + 6 = 35 、35 − 31 = 4 。同じ +4
（2）左から −29 + 42 = 13 、13 − 1 = 12 。同じ +12

答えの吟味

（1）は \(-6\) と \(+6\) が反対の数どうしで、和が \(0\) になりました。

答え　（1）\(+4\)　（2）\(+12\)

例題6　山道の上り下り

出発点の高さを \(0\) m とします。ある山道を \(42\) m 上り、\(34\) m 下り、\(9\) m 上り、\(6\) m 下りました。

いま立っている場所は、出発点より何m高いですか。上りは正の数、下りは負の数で表します。

確かめ

上った分の合計は 42 + 9 = 51
下った分の合計は 34 + 6 = 40
51 − 40 = 11 。同じ +11

答えの吟味

上った分のほうが多いので、出発点より高い場所にいるはずです。

答えは \(+11\) m で正の数になり、場面と合っています。

答え　\(11\) m 高い

今日の問い

\(35-29\) は、入れかえてはいけない式でした。\(29-35\) は答えがちがいます。

ところが \(-29+35\) には書き直せます。どちらも入れかえに見えるのに、なぜ一方だけがよいのでしょうか。

ちがいは、\(29\) の前にある \(-\) の役目です。

\(-\) を「引き算の記号」と読むと、\(29\) は引く数になります。引く数と引かれる数には順番があります。

\(-\) を「\(29\) の符号」と読み直すと、\(-29\) という一つの項になります。項になれば、式は和です。

和には順番がありません。だから並べかえられます。

読み方を変えると、使える道具が変わります。これが、項という見方の力です。

よくある間違い

まちがい1：数だけを動かして、符号を置き去りにする

\(-34+42-29\) を計算する問題です。

✗ 正の項を前に出して 42 + 34 − 29
✗ = 76 − 29
✗ = 47

\(-34\) を動かすときに、\(-\) を置いていっています。

動かす単位は \(34\) ではなく \(-34\) でした。符号は項の一部です。

○ 並べかえて 42 − 34 − 29
○ 正の和は 42 、負の和は −63
○ 42 − 63 = −21

左から計算して確かめます。

左から −34 + 42 = 8 、8 − 29 = −21
誤答は 47 。元の式の答え −21 とちがうので、まちがい

項を動かすときは、符号もいっしょに動かします。

まちがい2：引き算のまま、数を入れかえる

\(35-29\) を計算する問題です。

✗ 大きい数を前にすると計算しやすいから
✗ 29 − 35 にしてよい
✗ = −6

入れかえてよいのは、たし算だけでした。

レッスン2で確かめたとおり、引く数と引かれる数を入れかえると、答えが変わります。

並べかえたいなら、先に項に分けます。

○ 35 − 29 の項は +35 と −29 、並べかえるなら −29 + 35
○ = +6

誤答は −6 、正しい答えは +6
符号が反対になっているので、まちがい

引き算の式のまま数を入れかえてはいけません。 項に分けてからにします。

まちがい3：合わせるときに、符号を決めそこなう

\(-34+35-29+8\) を計算する問題です。

✗ 正の和は 43 、負の和は −63
✗ 63 − 43 = 20
✗ 答えは +20

手順4では、\(+43\) と \(-63\) をたします。異なる符号のたし算です。

\(|-63|\) は \(63\)、\(|+43|\) は \(43\) です。絶対値が大きいのは負の項の和のほうです。

だから答えの符号は \(-\) になります。

○ 絶対値が大きいのは −63 のほう
○ 答えの符号は − 、絶対値は 63 − 43 = 20
○ 答えは −20

元の式を左から計算して確かめます。

左から −34 + 35 = 1 、1 − 29 = −28 、−28 + 8 = −20
誤答は +20 。符号がちがうので、まちがい

手順4は、異なる符号の三つの段階で計算します。 引き算の形だけを見て符号を決めないでください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。四つの手順を、毎回そのまま通して使うこと。

1. 四つの手順で計算しなさい。 （1）\(42-29-8\)　（2）\(-31+38-4\)　（3）\(-29-31+42\)

2. 正の項の和と負の項の和をそれぞれ書いてから、答えを出しなさい。 （1）\(-31+38-34+42\)　（2）\(35-29-34+9\)

3. 次の計算をしなさい。 （1）\(38-29+35-34-31\)　（2）\(35-31+0-29+38\)

4. かっこを外してから計算しなさい。 （1）\((+35)-(-38)-(+34)\)　（2）\((-31)+(-29)-(-38)+(+7)\)

5. 次の計算をしなさい。 （1）\(3.5-2.2-8\)

（2）\(-\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}\)

6. くふうして計算しなさい。どんなくふうをしたかも書きなさい。 （1）\(-5+42+5-38\)　（2）\(-31+42-9\)

7. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

−29 + 38 − 34 を並べかえて
38 + 29 − 34
= 33

8. \(42-35\) を \(35-42\) と書きかえてはいけません。その理由を、項という言葉を使って書きなさい。

9. 部活動の会計をしています。学期のはじめの残金を \(0\) 千円とします。\(34\) 千円が入り、\(42\) 千円が出て、\(38\) 千円が入り、\(29\) 千円が出ました。学期の終わりの残金は、はじめとくらべてどうなっていますか。

（1）左から 42 − 29 = 13 、13 − 8 = 5 。同じ +5
（2）左から −31 + 38 = 7 、7 − 4 = 3 。同じ +3
（3）左から −29 − 31 = −60 、−60 + 42 = −18 。同じ −18

（1）左から −31 + 38 = 7 、7 − 34 = −27 、−27 + 42 = 15 。同じ +15
（2）左から 35 − 29 = 6 、6 − 34 = −28 、−28 + 9 = −19 。同じ −19

（1）左から 38 − 29 = 9 、9 + 35 = 44 、44 − 34 = 10 、10 − 31 = −21 。同じ −21
（2）左から 35 − 31 = 4 、4 + 0 = 4 、4 − 29 = −25 、−25 + 38 = 13 。同じ +13

（1）かたまりは 3 つ。−(−38) → +38 、−(+34) → −34
（1）左から 35 + 38 = 73 、73 − 34 = 39 。同じ +39
（2）かたまりは 4 つ。左から −31 − 29 = −60 、−60 + 38 = −22 、−22 + 7 = −15 。同じ −15

（1）左から 3.5 − 2.2 = 1.3 、1.3 − 8 = −6.7 。同じ −6.7
（2）左から 12 分の −10 たす 12 分の 9 は 12 分の −1
（2）12 分の −1 から 12 分の 4 を引いて 12 分の −5 。同じ答え

（1）左から −5 + 42 = 37 、37 + 5 = 42 、42 − 38 = 4 。同じ +4
（2）左から −31 + 42 = 11 、11 − 9 = 2 。同じ +2

○ −29 + 38 − 34 の項は −29 と +38 と −34
○ 並べかえて 38 − 29 − 34
○ 正の和は 38 、負の和は −63
○ 38 − 63 = −25

左から −29 + 38 = 9 、9 − 34 = −25
誤答は 33 。元の式の答え −25 とちがうので、まちがい

42 − 35 = +7
35 − 42 = −7
答えの符号がちがうので、同じ式ではない

左から 0 + 34 = 34 、34 − 42 = −8
−8 + 38 = 30 、30 − 29 = 1 。同じ +1

次のレッスンへ

これで、正の数・負の数のたし算と引き算がひととおり終わりました。

加減の四つの手順があれば、項がいくつあっても計算できます。

引き算のままでは並べかえられません。項に分けて和の形にしてから並べかえてください。

次のセクションからは、かけ算に入ります。

第1回は「負の数をかけるとはどういうことか」です。負の数をかけると何が起きるのかを、場面と数直線で確かめます。

次のセクションへ　負の数をかけるとはどういうことか　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。