負の数をかけるとはどういうことか

このレッスンでできるようになること

• かけ算が「同じ数を何回かたすこと」だったことをもとに、負の数をかける意味を言える
• \(3\times(-4)\) や \((-4)\times 3\) を、数直線上の移動としてたどれる
• \(0\) をかけると答えが \(0\) になる理由を説明できる

前のレッスンの確認

• 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• たし算の役割分担 … 最初の数が出発点。たす数の符号が向きを決め、たす数の絶対値が距離を決める。
• 同じ符号の数をたす二つの段階 … ①共通の符号を、そのまま答えの符号にする ②二つの絶対値をたす
• 加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない
• \(0\) をたしても位置は変わらない

絶対値は記号でも書きます。\(|-4|\) は \(4\) です。\(|+3|\) は \(3\) です。

このレッスンでは、答えの符号と絶対値を、別々に見ていきます。

セクション5では、かけ算をあつかいます

セクション3と4で、たし算と引き算が終わりました。ここからはかけ算です。

\(4\times 3\) なら、小学校で何度も計算しました。では \(3\times(-4)\) はどうでしょうか。

負の数をかける計算は、まだ一度もやっていません。まず、その意味からはじめます。

かけ算の答えを 積 といいます。たし算の答えを和といったのと同じです。

小学校のかけ算は、同じ数を何回かたすこと

新しい意味を決めるときは、もとの意味に戻ります。

小学校で習ったかけ算は、同じ数を何回かたすことでした。

\(4\times 3\) は \(4+4+4\) のことです。積は \(12\) です。

前の数が1回分の大きさ、後ろの数が回数です。\(4\times 3\) なら、\(4\) を \(3\) 回たします。

もう一つ、小学校で確かめたことがあります。\(4\times 3\) と \(3\times 4\) は、どちらも \(12\) でした。

点をならべると、どちらの読み方でも \(12\) 個です。

1回分の大きさと回数を入れかえても、積は変わりません。 この事実を、すぐあとで使います。

毎分 4 L ずつ減る水そう

水そうから水がぬけている場面で考えます。

この水そうは、\(1\) 分ごとに \(4\) L ずつ減っていきます。

増える量を正の数、減る量を負の数で表します。すると \(1\) 分ごとの変化は \(-4\) L です。

では、\(3\) 分間でどれだけ変わるでしょうか。\(-4\) L の変化が \(3\) 回起きます。

式にすると \((-4)+(-4)+(-4)\) です。ここで同じ符号の数をたす二つの段階を使います。

共通の符号は \(-\) です。絶対値をたすと \(4+4+4=12\) になります。だから答えは \(-12\) L です。

\(3\) 分間で \(12\) L 減りました。負の数を何回かたす計算が、ここに出てきました。

正の数に負の数をかける

同じ数を何回かたす計算は、かけ算で書けました。\((-4)+(-4)+(-4)\) も書けるはずです。

ここでは \(3\times(-4)\) という式を考えます。

小学校の読み方を、そのまま当てはめてみます。前の数が1回分の大きさ、後ろの数が回数でした。

すると「\(3\) を \(-4\) 回たす」となります。しかし、\(-4\) 回という回数はありません。

そこで、さっき確かめた事実を使います。

1回分の大きさと回数を入れかえても、積は変わらないのでした。

入れかえて読むと「\(-4\) を \(3\) 回たす」になります。これなら意味が通ります。

\(3\times(-4)=(-4)+(-4)+(-4)=-12\)

水そうの場面で出した \(-12\) L と同じです。

数直線でたどる

数直線の上を動いてみます。かけ算では、いつも \(0\) から出発します。

たす数は \(-4\) です。符号が \(-\) なので向きは左、絶対値は \(4\) なので距離は \(4\) です。

その動きを \(3\) 回くり返します。左へ \(4\) ずつ、\(3\) 回です。

着いた点は \(-12\) でした。

たし算は、一度だけ動く計算です。かけ算は、同じ動きを何回もくり返す計算です。

負の数に正の数をかける

今度は前と後ろを入れかえた \((-4)\times 3\) を見ます。

こちらは、そのまま読めます。前の数が \(-4\)、後ろの数が \(3\) だからです。

「\(-4\) を \(3\) 回たす」と読めば、さっきとまったく同じ計算になります。

\((-4)\times 3=(-4)+(-4)+(-4)=-12\)

水そうの場面を式にするなら、こちらが自然です。\(1\) 分あたりの変化 \(-4\) L の \(3\) 分ぶんだからです。

かける順番を変えても、積は同じでした。

セクション3では、たす順番を入れかえてよいことを習いました。加法の交換法則です。

かけ算にも、よく似た話があります。ただし、たし算の法則とは別のものです。

かけ算のほうの名前は、レッスン4「3つ以上の積と、かける順番」で決めます。ここでは事実としておさえてください。

符号と絶対値に分けて見る

ここまでで出た積は、どちらも \(-12\) でした。

\(-12\) を符号と絶対値に分けます。符号は \(-\)、絶対値は \(12\) です。

かけた \(2\) 数の絶対値はどうでしょうか。\(|3|\) は \(3\)、\(|-4|\) は \(4\) です。

この二つをかけると \(3\times 4=12\) です。積の絶対値と、ぴったり合いました。

ほかの式でも同じかを見ます。

四つとも、積の符号は \(-\) です。

符号がちがう \(2\) 数をかけると、積は負の数になります。 いまはこの観察をおさえておきます。

この決まりを計算の道具として仕上げるのは、レッスン3「乗法の計算：符号と絶対値」です。

0 をかけるとどうなるか

\((-4)\times 0\) を考えます。読み方は「\(-4\) を \(0\) 回たす」です。

\(0\) 回なので、一度もたしません。数直線では、\(0\) から一歩も動きません。

だから \((-4)\times 0=0\) です。

水そうの場面でも同じです。\(0\) 分のあいだに減る水は \(0\) L です。

かける数を \(1\) ずつ減らしながら、積を並べてみます。

積は \(4\) ずつ増えています。\(0\) をかけたところで、ちょうど \(0\) に着きました。

どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。 \(0\) にどんな数をかけても、やはり \(0\) です。

「0 をたす」とのちがい

\(0\) をたす場合と、まぜないでください。

\(0\) をたしても位置は変わりません。だから \((-4)+0=-4\) です。

\(0\) をかけると、一度も動きません。だから \((-4)\times 0=0\) です。

たすときの出発点は \(-4\)、かけるときの出発点は \(0\) です。

例題1　かけ算をたし算に直して考える

次の計算をしなさい。

（1）\((-6)\times 4\)　（2）\((-2)\times 9\)

どちらも「同じ数を何回かたす」形に直してから計算します。

確かめ

（1）−6 − 6 = −12 、−12 − 6 = −18 、−18 − 6 = −24
（2）2 が 9 回で 18 、向きは左。だから −18

答えの吟味

どちらも負の数を何回かたしています。左へ進み続けるので、積は負の数になります。

答え　（1）\(-24\)　（2）\(-18\)

例題2　数直線の移動で計算する

\(2\times(-7)\) を、数直線の移動として説明し、計算しなさい。

前の数が \(2\)、後ろの数が \(-7\) です。\(-7\) 回とは読めないので、入れかえて読みます。

確かめ

出発点は 0
1 回目 0 − 7 = −7
2 回目 −7 − 7 = −14
着いた点は −14

答えの吟味

\(|-7|\) は \(7\) です。\(7\) の \(2\) 回ぶんなので \(0\) から \(14\) 離れます。

左へ動いたので、積は負の数です。

答え　\(-14\)

例題3　符号と絶対値に分けて計算する

次の計算をしなさい。

（1）\(3\times(-9)\)　（2）\((-8)\times 2\)　（3）\((-11)\times 4\)

先に符号を決めます。そのあとで絶対値を計算します。

三つとも、符号がちがう \(2\) 数のかけ算です。だから積はすべて負の数になります。

確かめ

（1）−9 − 9 − 9 = −27
（2）−8 − 8 = −16
（3）−11 − 11 − 11 − 11 = −44

答えの吟味

（3）は \(|-11|\) が \(11\) です。\(11\) の \(4\) 回ぶんで \(0\) から \(44\) 離れます。

答え　（1）\(-27\)　（2）\(-16\)　（3）\(-44\)

例題4　0 をかける計算

次の計算をしなさい。

（1）\(0\times(-13)\)　（2）\((-9)\times 0\)

どちらも \(0\) がからんでいます。何回たすのかを見ます。

確かめ

（1）一度もたさないので 0 から動かない。着いた点は 0
（2）一度もたさないので 0 から動かない。着いた点は 0

答えの吟味

\((-9)+0\) なら \(-9\) です。\((-9)\times 0\) は \(0\) です。

たすのかかけるのかで、答えが変わります。

答え　（1）\(0\)　（2）\(0\)

例題5　深くもぐる

水面の高さを \(0\) m、上を正の向きとします。

ある小さな機械が、\(1\) 分に \(5\) m ずつ深くもぐっていきます。

\(6\) 分後、この機械は水面からどれだけの高さにいますか。

まず \(1\) 分あたりの変化を、符号付きの数にします。

確かめ

1 分で −5 、2 分で −10 、3 分で −15
4 分で −20 、5 分で −25 、6 分で −30

答えの吟味

もぐっているので、水面より下にいるはずです。

答えは負の数になり、場面と合っています。

答え　\(-30\) m（水面より \(30\) m 深いところ）

例題6　かける順番を入れかえる

\((-10)\times 3\) と \(3\times(-10)\) を、それぞれ計算しなさい。

読み方はちがいます。それでも積が同じになるかを確かめます。

確かめ

どちらも 0 から左へ 10 ずつ 3 回
1 回目 −10 、2 回目 −20 、3 回目 −30
着いた点はどちらも −30

答えの吟味

符号はどちらも \(-\)、絶対値はどちらも \(10\times 3=30\) です。だから積も同じです。

答え　どちらも \(-30\)

今日の問い

\(-4\) と \(3\) という同じ \(2\) 数で、たし算とかけ算をくらべます。

\((-4)+3\) は \(-1\) です。\((-4)\times 3\) は \(-12\) です。

同じ \(2\) つの数なのに、答えがずいぶん離れました。どうしてでしょうか。

ちがいは、出発点と動く回数にあります。

たし算は、最初の数を出発点にして一度だけ動きます。

かけ算は、\(0\) を出発点にして同じ動きをくり返します。

くり返す回数がふえれば、\(0\) からどんどん離れていきます。

たし算とかけ算は、動き方そのものがちがう計算です。

よくある間違い

まちがい1：符号を落として、絶対値だけ答える

\((-7)\times 5\) を計算する問題です。

✗ 7 × 5 = 35
✗ 答えは 35

絶対値だけを計算して、符号を書き忘れています。

\(-7\) を \(5\) 回たすので、左へ動き続けます。\(0\) より右へは行きません。

○ 積の符号は −
○ 積の絶対値は 7 × 5 = 35
○ 答えは −35

たし算の形に戻して確かめます。

−7 − 7 = −14 、−14 − 7 = −21 、−21 − 7 = −28 、−28 − 7 = −35
誤答は 35 。正しい答え −35 と符号がちがうので、まちがい

符号と絶対値は、二つで一組です。 絶対値を出したら、符号を書いたか見なおしてください。

まちがい2：かける数を、たす数だと思ってしまう

\((-8)\times 3\) を計算する問題です。

✗ −8 に 3 をたして
✗ = −5

\(3\) は「たす数」ではありません。「回数」です。\(-8\) を \(3\) 回たします。

○ −8 を 3 回たす
○ (−8) + (−8) + (−8)
○ = −24

数直線で確かめます。

0 から左へ 8 ずつ 3 回
1 回目 −8 、2 回目 −16 、3 回目 −24
誤答は −5 。着いた点 −24 とちがうので、まちがい

かけ算の後ろの数は、回数です。 たし算の式とまぜないでください。

まちがい3：0 をかけたのに、もとの数を答える

\((-12)\times 0\) を計算する問題です。

✗ 0 をかけても変わらないから
✗ = −12

変わらないのは、\(0\) をたしたときです。\((-12)+0\) なら \(-12\) になります。

\(0\) をかけるのは、一度もたさないということです。

○ −12 を 0 回たす
○ 0 から一歩も動かない
○ = 0

かける数を減らしながら確かめます。

(−12) × 2 = −24 、(−12) × 1 = −12 、(−12) × 0 = 0
誤答は −12 。これは (−12) × 1 の積で、まちがい

\(0\) をかけると、積はいつも \(0\) です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。符号と絶対値は、いつも別々に書くこと。

1. 同じ数を何回かたす形に直して、計算しなさい。 （1）\((-5)\times 4\)　（2）\((-2)\times 5\)　（3）\(3\times(-11)\)

2. 数直線の移動として説明し、計算しなさい。どちらへいくつずつ、何回すすむかも書きなさい。 （1）\((-6)\times 3\)　（2）\(3\times(-7)\)

3. 符号と絶対値に分けて計算しなさい。 （1）\((-8)\times 5\)　（2）\(2\times(-11)\)　（3）\((-13)\times 3\)　（4）\(6\times(-9)\)

4. 次の計算をしなさい。 （1）\((-15)\times 0\)　（2）\(0\times(-8)\)

5. \((-14)\times 2\) と \(2\times(-14)\) をそれぞれ計算し、二つの積をくらべなさい。

6. ある水そうから水がぬけています。水の量は \(1\) 分ごとに \(9\) L ずつ減ります。増える量を正の数、減る量を負の数で表します。\(5\) 分間で水の量はどれだけ変わりますか。

7. 水面の高さを \(0\) m、上を正の向きとします。ある機械が \(1\) 分に \(2\) m ずつ深くもぐります。\(10\) 分後の高さを、符号付きの数で答えなさい。

8. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−7) × 4
−7 から 4 を引いて
= −11

9. \((-11)\times 6\) の積について、符号と絶対値をそれぞれ書きなさい。

（1）−5 − 5 = −10 、−10 − 5 = −15 、−15 − 5 = −20
（2）2 が 5 回で 10 、向きは左。だから −10
（3）−11 − 11 = −22 、−22 − 11 = −33

（1）1 回目 −6 、2 回目 −12 、3 回目 −18
（2）1 回目 −7 、2 回目 −14 、3 回目 −21

（1）8 が 5 回で 40 　（2）11 が 2 回で 22
（3）13 が 3 回で 39 　（4）9 が 6 回で 54
向きはどれも左

（1）も（2）も 0 から一歩も動かない。着いた点は 0

どちらも 0 から左へ 14 ずつ 2 回
1 回目 −14 、2 回目 −28
着いた点はどちらも −28

1 分で −9 、2 分で −18 、3 分で −27 、4 分で −36 、5 分で −45

5 分で −10 、10 分で −20
着いた高さは −20

○ −7 を 4 回たす
○ (−7) + (−7) + (−7) + (−7)
○ 積の符号は − 、積の絶対値は 7 × 4 = 28
○ 答えは −28

0 から左へ 7 ずつ 4 回
1 回目 −7 、2 回目 −14 、3 回目 −21 、4 回目 −28
誤答は −11 。着いた点 −28 とちがうので、まちがい

−11 を 6 回たすと −66
11 が 6 回で 66 、向きはずっと左

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負の数をかける意味が決まりました。かけ算は、同じ数を何回かたすことでした。

\(3\times(-4)\) も \((-4)\times 3\) も、\(0\) から左へ \(4\) ずつ \(3\) 回すすむ計算です。

符号がちがう \(2\) 数をかけると、積は負の数になりました。\(0\) をかけると積は \(0\) です。

ここで、かける数を減らしていった表をもう一度見てください。

\((-4)\times 0\) の次に \((-4)\times(-1)\) を書いたら、どうなるでしょうか。

「\(-4\) を \(-1\) 回たす」とは読めません。入れかえても \(-1\) 回のままです。

今日の読みかえは、ここでは助けになりません。

次のレッスンは「負×負が正になる理由」です。

答えを導く道は二本です。

一本目は、かける数を \(1\) ずつ減らしていく表です。この表を、そのまま下へ延ばします。

二本目は、一定の割合で減る場面です。答えを場面の中で確かめます。

次のレッスンへ　負×負が正になる理由　→

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