負×負が正になる理由

このレッスンでできるようになること

• 負の数どうしをかけると積が正の数になることを、表の規則から説明できる
• 「◯分前」を負の時間として読み、場面の中で負の数どうしの積を確かめられる
• 数直線の上で、向きが二度反対になるようすをたどれる

前のレッスンの確認

• 積 … かけ算の答えのこと
• かけ算は、同じ数を何回かたすこと … 前の数が1回分の大きさ、後ろの数が回数
• 符号がちがう \(2\) 数をかけると、積は負の数になります。
• どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。
• かけ算では、いつも \(0\) から出発します（数直線で見るとき）
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離

絶対値は記号でも書きます。\(|-3|\) は \(3\) です。\(|-5|\) は \(5\) です。

レッスン1は、ここで止まっていました

前のレッスンの終わりに、\((-4)\times 3\) から \((-4)\times 0\) までを並べた表を作りました。

上から下へ、かける数が \(1\) ずつ減っています。そして「積は \(4\) ずつ増えています」と確かめました。

\((-4)\times 0\) の次に \((-4)\times(-1)\) を書いたら、どうなるでしょうか。

「\(-4\) を \(-1\) 回たす」とは読めません。入れかえても \(-1\) 回のままです。

読み方をたどる道は、ここで行き止まりです。

そこで別の道を通ります。読み方ではなく、表の規則から答えを決めます。

表を下へ延ばしてみる

表の上の \(4\) 行には、はっきりした規則がありました。

• かける数は \(1\) ずつ減る
• 積は \(4\) ずつ増える

この規則を、下の行でも切らさないことにします。すると積は自然に決まります。

\(0\) の次は \(4\) ずつ増えて \(4\)、その次は \(8\)、その次は \(12\) です。続きの \(3\) 行は、こうなります。

点線から下では、積が \(0\) を通りこして正の数になりました。

規則を切らさないなら、答えは正の数になるしかありません。

上の行と下の行を、見くらべてください。\((-4)\times 3\) は \(-12\)、\((-4)\times(-3)\) は \(12\) です。

かける数を反対の数にすると、積も反対の数になっています。 これも表から読み取れる事実です。

もう一つの表でも同じになる

\(-4\) のときだけ、たまたまこうなったのかもしれません。別の数でも試します。

こんどは \(-6\) にいろいろな数をかけます。

\((-6)\times 2\) は \(-12\)、\((-6)\times 1\) は \(-6\)、\((-6)\times 0\) は \(0\) です。積は \(6\) ずつ増えています。

\((-6)\times(-2)\) も \(12\) で、正の数です。

増える大きさは、かけられる数の絶対値と同じです。\(-4\) のときは \(4\) ずつ、\(-6\) のときは \(6\) ずつでした。

第一の理由に名前をつける

表の規則を切らさないように積を決める、というやり方でした。この決め方を きまりを切らさない と呼びます。

これが第一の理由です。

場面でも同じことが起きる

「都合よく決めただけではないか」と思う人もいるはずです。そこで、場面の中でも確かめます。

イベント会場に、給水タンクが置かれています。\(1\) 分ごとに \(3\) L ずつ水が配られていきます。

増える量を正の数、減る量を負の数で表します。すると \(1\) 分あたりの変化は \(-3\) L です。

「◯分前」を負の時間で読む

新しいのは、時間のほうです。いまを \(0\) 分とします。

いまよりあとを正の時間、いまより前を負の時間とします。\(5\) 分前なら \(-5\) 分です。

基準と正の向きを決める話で、セクション1で練習しました。

いまタンクには \(20\) L の水があります。この量を出発点にして、前後の量を書き出します。

水は減り続けているので、前にさかのぼるほど水は多いはずです。表もそうなっています。

式にすると、負の数どうしのかけ算になる

変化した量は、\(1\) 分あたりの変化と時間のかけ算で求められます。

\(5\) 分後なら \((-3)\times 5=-15\) です。いまより \(15\) L 少なくなります。表と合っています。

同じ書き方を、\(5\) 分前にも当てはめます。時間は \(-5\) 分なので、式は \((-3)\times(-5)\) です。

表を見ると、\(5\) 分前はいまより \(15\) L 多い水がありました。だから答えは \(15\) です。

\((-3)\times(-5)=15\)

\(2\) 分前でも試します。式は \((-3)\times(-2)\) で、表の差は \(6\) L だから \((-3)\times(-2)=6\) です。

どちらも正の数になりました。表から決めた答えと、場面から出た答えが一致しています。

第二の理由に名前をつける

負の時間として読んだ「◯分前」が、場面と食いちがわない、ということでした。この確かめ方を 場面と合う と呼びます。

これが第二の理由です。

数直線でも確かめる

三つ目に、数直線で見なおします。決まった答えを、目で確かめるだけです。

\((-3)\times 5\) から出発します。\(0\) から左へ \(3\) ずつ \(5\) 回すすむので、着く点は \(-15\) です。

\((-3)\times(-5)\) の積は \(15\) でした。数直線では、\(0\) から右へ \(15\) すすんだ点です。

二つの矢印は、長さが同じで向きだけが反対です。\(-15\) と \(15\) は、反対の数どうしでした。

向きが二度反対になる

\(3\times 5\) は、右へ \(15\) すすむ計算です。ここから符号を一つずつ \(-\) に変えていきます。

\(-\) が一つ増えるたびに、向きが反対になります。二度反対になると、もとの向きに戻ります。

反対の反対は、もとの向きです。 だから積は正の数に戻ります。

なぜ理由を二つ出すのか

答えの出し方を二通り見ました。理由が二つあることには、意味があります。

一つ目は、数の世界の中の話です。表の規則を切らさないように決めました。

二つ目は、数の世界の外の話です。タンクの水という場面が、同じ答えを指しました。

中の理由と外の理由が同じ答えを指すから、この決め方を信じてよいのです。 数直線は、それを目で確かめる三つ目の見方です。

このレッスンで決まったこと

負の数どうしをかけると、積は正の数になります。

理由は二つでした。きまりを切らさないことと、場面と合うことです。

ここで決まったのは、この事実と二つの理由までです。符号と絶対値の決め方に名前をつけて道具に仕上げるのは、次のレッスンです。

例題1　表を下へ延ばして積を求める

\((-8)\times(-4)\) の積を、表を下へ延ばして求めなさい。

まず、かける数が正の数のところから書きます。そこから \(1\) ずつ減らしていきます。

確かめ

積を上から  −8 、0 、8 、16 、24 、32
かける数が 1 ずつ減り、積の差は どこも +8

答えの吟味

負の数どうしのかけ算なので、積は正の数になるはずです。

\(|-8|\) は \(8\)、\(|-4|\) は \(4\) で、かけると \(8\times 4=32\) になります。

答え　\(32\)

例題2　もとの積から、反対の数として求める

\((-11)\times 5\) の積をもとにして、\((-11)\times(-5)\) の積を求めなさい。

かける数を反対の数にすると、積も反対の数になります。表で読み取った事実です。

確かめ

(−11) × 0 = 0 、(−11) × (−1) = 11
11 ずつ増えるので (−11) × (−5) = 55

答えの吟味

\(-55\) と \(55\) は反対の数どうしで、\(0\) からの距離は同じです。

答え　\(55\)

例題3　何分前の水の量を求める

給水タンクから \(1\) 分ごとに \(3\) L ずつ水が配られ、いまは \(20\) L あります。

\(8\) 分前、タンクには何 L の水がありましたか。

\(1\) 分あたりの変化と時間を、符号付きの数にしてから式を作ります。

確かめ

8 分前に 44 L あったとする
8 分で 24 L 減るので 44 − 24 = 20
いまの量 20 L と合う

答えの吟味

前にさかのぼるほど水は多いはずです。\(44\) L は \(20\) L より多く、場面と合っています。

答え　\(44\) L

例題4　数直線の向きで説明する

\((-9)\times(-4)\) の積を、数直線の向きを使って説明しなさい。

正の数どうしの積から出発し、符号を一つずつ \(-\) に変えます。

確かめ

(−9) × (−1) = 9 、(−9) × (−2) = 18 、(−9) × (−3) = 27
9 ずつ増えるので (−9) × (−4) = 36

答えの吟味

\(0\) からの距離は三つとも \(36\) で、変わったのは向きだけです。

答え　\(36\)（\(0\) から右へ \(36\) すすんだ点）

例題5　積を求める

次の計算をしなさい。

（1）\((-5)\times(-7)\)　（2）\((-2)\times(-13)\)　（3）\((-10)\times(-6)\)

三つとも負の数どうしのかけ算なので、積は正の数になります。

確かめ

（1）(−5) × 7 = −35 、反対の数にして 35
（2）(−2) × 13 = −26 、反対の数にして 26
（3）(−10) × 6 = −60 、反対の数にして 60

答えの吟味

三つとも符号が同じ \(2\) 数の積なので、答えはすべて正の数です。

答え　（1）\(35\)　（2）\(26\)　（3）\(60\)

今日の問い

前のレッスンは、\((-4)\times(-1)\) はいくつか、という問いで終わっていました。

答えは \(4\) です。表の規則を切らさなければ、そうなるしかありませんでした。

ただし、読み方の問題は残ったままです。

\((-4)\times(-1)\) を「\(-4\) を \(-1\) 回たす」と読めるようになったわけではありません。

では、何が変わったのでしょうか。決め方が変わりました。

読み方をあきらめたのではありません。読み方が届かないところまで、決め方を広げたのです。

よくある間違い

まちがい1：負の数どうしなのに、積を負の数にする

\((-6)\times(-5)\) を計算する問題です。

✗ マイナスが 2 つあるから 答えもマイナス
✗ = −30

\(-\) が二つあることと、積の符号が \(-\) になることは、別の話です。

表を下へ延ばして確かめます。

○ (−6) × 0 = 0
○ (−6) × (−1) = 6
○ (−6) × (−2) = 12
○ 6 ずつ増えるので (−6) × (−5) = 30

\(0\) を通りこしたあとは、積はずっと正の数です。

誤答は −30 。表の続きは 30
−30 は (−6) × 5 の積で、かける数の符号がちがう
だから まちがい

かけた数の \(-\) が、そのまま答えの符号に移るのではありません。 符号は表の規則から決まります。負の数の個数と符号の関係は、レッスン4「3つ以上の積と、かける順番」でくわしく調べます。

まちがい2：表を延ばすとき、増える大きさをまちがえる

\((-18)\times(-2)\) を、表を延ばして求める問題です。

✗ (−18) × 0 = 0
✗ (−18) × (−1) = 1
✗ (−18) × (−2) = 2

\(1\) ずつ増やしてしまっています。\(1\) ずつ減るのは、かける数のほうです。

積は、かけられる数の絶対値だけ増えます。\(|-18|\) は \(18\) なので \(18\) ずつです。

○ (−18) × 1 = −18 、(−18) × 0 = 0
○ (−18) × (−1) = 18 、(−18) × (−2) = 36

上の行と見くらべます。

(−18) × 1 = −18 から (−18) × 0 = 0 へは +18
誤答では そのあとだけ +1 で、規則が切れている
だから まちがい

増える大きさは、表の上の行で先に確かめてください。

まちがい3：「◯分前」を正の数にしてしまう

給水タンクの問題です。\(1\) 分ごとに \(3\) L ずつ減り、いまは \(20\) L あります。\(4\) 分前の量を求めます。

✗ (−3) × 4 = −12
✗ 20 − 12 = 8
✗ 答えは 8 L

時間を \(+4\) 分として計算しています。\(4\) 分前なので、時間は \(-4\) 分です。

○ (−3) × (−4) = 12
○ 20 + 12 = 32
○ 答えは 32 L

場面に戻して確かめます。

誤答の 8 L が 4 分前の量なら
4 分で 12 L 減って いまは −4 L になり、場面に合わない
32 L なら 32 − 12 = 20 でいまの量と合う

時間にも符号をつけてください。 前を負の数にすると、式がそのまま使えます。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。表を延ばすときは、増える大きさを先に確かめること。

1. 表を下へ延ばして、次の積を求めなさい。\((-10)\times 1\) から書きはじめること。 （1）\((-10)\times(-1)\)　（2）\((-10)\times(-2)\)　（3）\((-10)\times(-3)\)

2. \((-8)\times 7=-56\) です。これをもとにして、\((-8)\times(-7)\) の積を求めなさい。

3. 次の計算をしなさい。 （1）\((-4)\times(-7)\)　（2）\((-3)\times(-9)\)　（3）\((-15)\times(-2)\)

4. \((-14)\times(-3)\) の積を、数直線の向きを使って説明しなさい。\(14\times 3\) から順に符号を変えて書きなさい。

5. 給水タンクから \(1\) 分ごとに \(3\) L ずつ水が配られ、いまは \(20\) L あります。\(6\) 分前と \(6\) 分後の水の量を求めなさい。

6. \((-9)\times(-6)\) の積について、符号と絶対値をそれぞれ書きなさい。

7. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−7) × (−6)
マイナスが 2 つあるので 答えもマイナス
= −42

8. \((-20)\times 2=-40\)、\((-20)\times 1=-20\)、\((-20)\times 0=0\) です。続きの \((-20)\times(-1)\) と \((-20)\times(-2)\) を求めなさい。

9. \(12\) と \(3\) の \(2\) 数について、符号のつけ方を変えた四つの積を求めなさい。

10. 次の計算をしなさい。 （1）\((-16)\times 0\)　（2）\((-16)\times(-1)\)

11. 「\(-4\) を \(-1\) 回たす」とは読めません。それなのに \((-4)\times(-1)\) の積を決められたのは、なぜですか。

12. 負の数どうしの積が正の数になる理由を、二つとも一文ずつで書きなさい。

積を上から  −10 、0 、10 、20 、30
となりとの差は どこも +10

(−8) × 0 = 0 、(−8) × (−1) = 8
8 ずつ増えるので (−8) × (−7) = 56

（1）(−4) × 7 = −28 、（2）(−3) × 9 = −27 、（3）(−15) × 2 = −30
どれも反対の数にすると 上の表の積になる

(−14) × 0 = 0 、(−14) × (−1) = 14
14 ずつ増えるので (−14) × (−3) = 42

38 − 18 = 20 でいまの量と合う

(−9) × (−1) = 9 、(−9) × (−2) = 18
9 ずつ増えるので (−9) × (−6) = 54

○ (−7) × 0 = 0 、(−7) × (−1) = 7
○ 7 ずつ増えるので (−7) × (−6) = 42

誤答は −42 。表の続きは 42
−42 は かける数が 6 のときの積で、符号がちがう
だから まちがい

−40 から −20 へは +20 、−20 から 0 へは +20
だから 0 の次は 20 、その次は 40

(−12) × (−1) = 12 、(−12) × (−2) = 24
12 ずつ増えるので (−12) × (−3) = 36

(−16) × 1 = −16 、(−16) × 0 = 0 、(−16) × (−1) = 16

(−4) × 1 = −4 、(−4) × 0 = 0 、(−4) × (−1) = 4
「−4 を −1 回たす」という読み方は使っていない

きまりを切らさない … (−4) × 3 、2 、1 、0 の次を 4 ずつ増やして決めた
場面と合う … 3 L ずつ減るタンクで 5 分前の量が 15 L 多いことと合った

次のレッスンへ

負の数どうしの積が正の数になることを、二つの理由から確かめました。きまりを切らさないことと、場面と合うことです。

これで、かけ算に出てくる符号の組み合わせが四つともそろいました。

ただし、計算のたびに表を延ばすのは大変です。

次のレッスンは「乗法の計算：符号と絶対値」です。

符号を決める行と、絶対値を計算する行を分けて書く形に仕上げます。四つの組み合わせを一つの決まりにまとめ、道具として使えるようにします。

次のレッスンへ　乗法の計算：符号と絶対値　→

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