乗法の計算：符号と絶対値

このレッスンでできるようになること

• かけ算の \(4\) つの場合を、同じ符号どうしとちがう符号どうしの \(2\) 行にまとめられる
• 符号を先に決めてから絶対値どうしをかけて、整数の積を計算できる
• \(0\) や \(1\) や \(-1\) をかける計算を、理由をつけて説明できる

前のレッスンの確認

• 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 積 … かけ算の答えのこと
• かけ算は、同じ数を何回かたすこと
• 符号がちがう \(2\) 数をかけると、積は負の数になります。（レッスン1で分かったこと）
• どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。（レッスン1で分かったこと）
• 負の数どうしをかけると、積は正の数になります。（レッスン2で分かったこと）
• かける数を反対の数にすると、積も反対の数になっています。（レッスン2で分かったこと）
• 異なる符号の数をたす三つの段階 … ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く

絶対値は記号でも書きます。\(|-7|\) は \(7\) です。\(|+9|\) は \(9\) です。

このレッスンでは、二つのレッスンで分かったことを、一つの計算の道具にまとめます。

タイトルの乗法は、かけ算のこと

かけ算のことを 乗法 といいます。\(6\times 8\) も \((-9)\times(-7)\) も乗法の式です。

問題文では、かけ算のかわりに乗法と書かれることがあります。

レッスン1と2で分かったことを、1枚の表にする

かける \(2\) 数の符号の組み合わせは、\(4\) 通りしかありません。

正と正、正と負、負と正、負と負の \(4\) つです。

同じ数の組で、この \(4\) 通りをならべてみます。使う数は \(6\) と \(8\) です。

\(4\) つとも、かけた数の絶対値は \(6\) と \(8\) です。ちがうのは符号だけです。

それなのに、積は \(48\) と \(-48\) の \(2\) 種類しかありません。

4つの場合は、2行に縮められる

表をよく見てください。積が正になったのは、\(1\) 行目と \(4\) 行目です。

この \(2\) つは、どちらも同じ符号どうしのかけ算です。正と正、負と負だからです。

残りの \(2\) 行は、どちらもちがう符号どうしのかけ算でした。積は負の数です。

同じ符号どうしをとなりに並べかえると、表は \(2\) 行に縮みます。

縮めた表が、これです。

同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。

覚えることは、この \(2\) 行だけです。\(4\) 通りを別々に覚える必要はありません。

絶対値は、符号と切りはなしてかける

符号の話が終わりました。次は絶対値です。

さきほどの \(4\) つの式を、もう一度見てください。積の絶対値はどれも \(48\) でした。

かけた \(2\) 数の絶対値は \(6\) と \(8\) です。\(6\times 8\) は \(48\) です。

つまり、積の絶対値は、\(2\) 数の絶対値をかけたものになっています。

記号で書くと、はっきりします。\(|-6|\) は \(6\)、\(|-8|\) は \(8\) です。

だから \(|-6|\times|-8|=6\times 8=48\) となります。

ここで大事なのは、絶対値の計算にマイナスが出てこないことです。

絶対値は距離なので、いつも \(0\) 以上でした。かけ算をしても負にはなりません。

符号のことは忘れて、絶対値どうしをそのままかければよいのです。

道具に名前をつける

符号の決め方と、絶対値の計算がそろいました。二つを順番に並べれば、計算の道具になります。

順番は、符号が先です。この二つの手順を、符号が先、絶対値があと と呼びます。

1. 符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)）
2. 絶対値どうしをかける

手順②は、記号を使うとこう書けます。\((-9)\times(-7)\) なら \(|-9|\times|-7|=9\times 7=63\) です。

手順①で符号は \(+\) と決まっています。積は \(+63\)、つまり \(63\) です。

書くときは、符号の行と絶対値の行を分けてください。一行に二つのことを書かないためです。

\((-14)\times 5\) で、書き方を見せます。

0 をかけるときは、特別あつかい

ここで、\(0\) をかける場合を考えます。

\((-11)\times 0\) を、手順①にかけてみてください。\(0\) は正の数でしょうか、負の数でしょうか。

\(0\) は正の数でも負の数でもない、境目の数でした。

だから「同じ符号どうし」とも「ちがう符号どうし」とも言えません。符号が決められないのです。

レッスン1で確かめたとおりです。どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。

\(0\) には符号がありません。だから積の \(0\) にも、\(+\) や \(-\) は付けません。

\(0\) を見つけたら、手順①へ進む前に答えが出ます。ここだけは別あつかいにしてください。

1 をかけると、そのまま

次は \(1\) と \(-1\) です。この二つは、あとのレッスンでよく出てきます。

まず \(1\) をかける場合です。\(1\) をかけると、数は変わりません。

\(8\times 1=8\) です。\((-8)\times 1=-8\) です。

道具でも確かめられます。\((-8)\times 1\) は、ちがう符号どうしなので積の符号は \(-\) です。

絶対値は \(8\times 1=8\) です。合わせて \(-8\) になります。

−1 をかけると、反対の数になる

では \(-1\) をかけると、どうなるでしょうか。

\(7\times(-1)\) で見ます。ちがう符号どうしなので、積の符号は \(-\) です。

絶対値は \(7\times 1=7\) で、\(7\) のままです。だから積は \(-7\) です。

\(7\) が \(-7\) に変わりました。絶対値はそのままで、符号だけが変わっています。

もう一つ見ます。\((-5)\times(-1)\) は、同じ符号どうしなので積の符号は \(+\) です。

絶対値は \(5\times 1=5\) です。だから積は \(5\) です。今度は \(-5\) が \(5\) になりました。

符号だけを変えた数を、反対の数といいました。

\(-1\) をかけると、その数の反対の数になります。

数直線で見ると、原点をはさんで反対がわにうつります。

黒くぬった点が元の数、白い点が \(-1\) をかけたあとの数です。

どちらも原点からのきょりは変わっていません。反対がわにうつっただけです。

例題1　4つの場合を、道具で計算する

次の計算をしなさい。

（1）\((-7)\times 9\)　（2）\(7\times 12\)　（3）\((-13)\times(-7)\)　（4）\(18\times(-5)\)

\(4\) つとも、まず符号を決めます。そのあとで絶対値をかけます。

確かめ

（1）(−7) を 9 回たすと −63 。左へ進むので負
（2）どちらも正なので、小学校のかけ算のまま 84
（3）負と負なので正。13 × 7 = 91 だから 91
（4）(−5) を 18 回たすと −90 。左へ進むので負

答えの吟味

（3）は負の数どうしなので、積は正の数です。\(|-13|\) は \(13\)、\(|-7|\) は \(7\) です。

答え　（1）\(-63\)　（2）\(84\)　（3）\(91\)　（4）\(-90\)

例題2　絶対値が大きい数の乗法

次の計算をしなさい。

（1）\((-14)\times 9\)　（2）\((-12)\times(-11)\)

数が大きくなっても、やることは変わりません。

確かめ

（1）14 × 9 = 126 。符号は − だから −126
（2）12 × 11 = 132 。符号は + だから 132

答えの吟味

（1）はちがう符号どうしなので、積は負の数です。（2）は負の数どうしなので、積は正の数です。

答え　（1）\(-126\)　（2）\(132\)

例題3　絶対値が同じでも、符号でちがう

次の計算をしなさい。

（1）\(11\times 9\)　（2）\(11\times(-9)\)　（3）\((-11)\times 9\)　（4）\((-11)\times(-9)\)

\(4\) つとも、かけた数の絶対値は \(11\) と \(9\) です。ちがうのは符号だけです。

確かめ

手順② の計算は 4 つとも同じ 11 × 9 = 99
（1）正と正 → + 　（2）正と負 → −
（3）負と正 → − 　（4）負と負 → +

答えの吟味

積の絶対値は \(4\) つとも \(99\) でした。符号だけが \(2\) 種類に分かれます。

答え　（1）\(99\)　（2）\(-99\)　（3）\(-99\)　（4）\(99\)

例題4　0 をふくむ乗法

次の計算をしなさい。

（1）\(0\times(-14)\)　（2）\((-20)\times 0\)

\(0\) があるので、手順①へは進みません。

確かめ

（1）(−14) を 0 回たすので、0 から動かない
（2）(−20) を 0 回たすので、0 から動かない

答えの吟味

\(0\) に符号は付きません。だから \(+0\) とも \(-0\) とも書きません。

答え　（1）\(0\)　（2）\(0\)

例題5　1 と −1 をかける

次の計算をしなさい。

（1）\(1\times(-6)\)　（2）\(8\times(-1)\)　（3）\((-1)\times 13\)　（4）\((-1)\times(-10)\)

\(1\) をかけるとそのままです。\(-1\) をかけると反対の数になります。

確かめ

（1）1 をかけたので、−6 のまま
（2）8 の反対の数は −8
（3）13 の反対の数は −13
（4）−10 の反対の数は 10

答えの吟味

（2）（3）（4）は、どれも絶対値が変わっていません。符号だけが入れかわりました。

答え　（1）\(-6\)　（2）\(-8\)　（3）\(-13\)　（4）\(10\)

例題6　みじかくなるろうそく

火をつけたろうそくが、\(1\) 分ごとに \(12\) mm ずつみじかくなります。

長くなる変化を正の数、みじかくなる変化を負の数で表します。

\(5\) 分間で、ろうそくの長さはどれだけ変わりますか。

まず \(1\) 分あたりの変化を、符号付きの数にします。

確かめ

1 分で −12 、2 分で −24 、3 分で −36
4 分で −48 、5 分で −60

答えの吟味

ろうそくはみじかくなっています。だから変化は負の数になるはずです。

答えは \(-60\) mm で、場面と合っています。

答え　\(-60\) mm（\(60\) mm みじかくなる）

今日の問い

道具の名前は「符号が先、絶対値があと」でした。順番が名前に入っています。

では、なぜ符号を先に決めるのでしょうか。絶対値から計算してはいけないのでしょうか。

じつは、絶対値を先に計算しても答えは同じです。\((-15)\times 7\) で試してみます。

絶対値を先にかけると \(105\) です。あとから符号 \(-\) を付けて \(-105\) になります。

それでも、符号を先に決めるほうがよい理由が二つあります。

一つ目は、符号がすぐ決まるからです。符号は \(2\) 数の符号だけで決まります。

二つ目は、書き忘れを防げるからです。

絶対値を先に計算すると、出てきた \(105\) をそのまま書き写しがちです。符号が抜けて \(105\) と答えてしまいます。

先に \(-\) と書いておけば、あとは絶対値の計算に集中できます。

符号と絶対値を、同じ行で同時に考えないこと。 それが、この道具のねらいです。

よくある間違い

まちがい1：符号が同じなのに、積を負の数にする

\((-11)\times(-8)\) を計算する問題です。

✗ 負の数が出てくるから、答えも負
✗ 符号は −
✗ = −88

しかし手順①で見るのは、\(2\) 数の符号の組み合わせです。

\(-11\) も \(-8\) も負の数です。つまり同じ符号どうしなので、積は正の数です。

○ 同じ符号どうしなので 積の符号は +
○ 積の絶対値は 11 × 8 = 88
○ 答えは 88

レッスン2で分かったことから確かめます。

(−11) × 8 = −88 。ちがう符号どうしなので負
かける数 8 を 反対の数 −8 に変えると 積も反対の数になる
−88 の反対の数は 88 。だから (−11) × (−8) = 88
誤答は −88 。正しい答え 88 と符号がちがうので、まちがい

\(2\) 数のかけ算では、二つの符号が同じかちがうかを見てください。

まちがい2：たし算の決まりを、かけ算に持ちこむ

\((-4)\times 13\) を計算する問題です。

✗ 絶対値は 4 と 13 で、13 のほうが大きい
✗ 大きいほうの符号 + を答えの符号にして
✗ = 52

これは、たし算の決まりを持ちこんだ間違いです。

たし算では、絶対値が大きいほうの符号を答えの符号にしました。異なる符号の数をたす三つの段階です。

かけ算で符号を決めるときは、絶対値の大きさは使いません。符号の組み合わせだけを見ます。

○ −4 と 13 は ちがう符号どうし
○ だから 積の符号は −
○ 積の絶対値は 4 × 13 = 52
○ 答えは −52

たし算の形に戻して確かめます。

(−4) を 13 回たすと −52 。ずっと左へ進む
誤答は 52 。正しい答え −52 と符号がちがうので、まちがい

絶対値の大きさで符号を決めるのは、たし算のときだけです。

まちがい3：−1 をかけたのに、数が変わらない

\((-1)\times 14\) を計算する問題です。

✗ 1 をかけても変わらないから
✗ = 14

変わらないのは、\(1\) をかけたときです。\(-1\) は \(1\) ではありません。符号が付いています。

\(-1\) をかけると、反対の数になります。

○ −1 と 14 は ちがう符号どうし
○ だから 積の符号は −
○ 積の絶対値は 1 × 14 = 14
○ 答えは −14

数直線で確かめます。

14 は 原点から右へ 14 の点
その反対がわは 原点から左へ 14 の点で −14
誤答は 14 。もとの数のままなので、まちがい

\(1\) と \(-1\) は、まったくちがう数です。 絶対値は同じでも、符号がちがいます。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。符号の行と絶対値の行を、分けて書くこと。

1. 積の符号だけを答えなさい。絶対値は計算しなくてかまいません。 （1）\((-16)\times 3\)　（2）\(7\times(-11)\)　（3）\((-6)\times(-12)\)　（4）\(13\times 6\)

2. \((-8)\times 13\) を計算しなさい。

3. \(9\times(-13)\) を計算しなさい。

4. \((-5)\times(-11)\) を計算しなさい。

5. \(14\times(-6)\) を計算しなさい。

6. \((-12)\times(-8)\) を計算しなさい。

7. \(16\times(-5)\) を計算しなさい。

8. \((-17)\times 0\) を計算しなさい。

9. \(0\times(-6)\) を計算しなさい。

10. \((-1)\times 11\) を計算しなさい。

11. \((-9)\times(-1)\) を計算しなさい。

12. \(18\times(-1)\) を計算しなさい。

13. \(-16\) の反対の数を、\(-1\) をかけて求めなさい。

14. ある倉庫の在庫が、\(1\) 日ごとに \(8\) 箱ずつ減っていきます。増える変化を正の数、減る変化を負の数で表します。\(9\) 日間で在庫はどれだけ変わりますか。

15. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−1) × (−12)
−1 をかけると 反対の数になるから
= −12

16. \((-12)\times 9\) の積について、符号と絶対値をそれぞれ書きなさい。

（1）ちがう符号どうし → −
（2）ちがう符号どうし → −
（3）同じ符号どうし → +
（4）同じ符号どうし → +

2. 8 × 13 は 80 に 24 をたして 104 、符号は − だから −104
3. 9 × 13 は 90 に 27 をたして 117 、符号は − だから −117
4. 5 × 11 = 55 、符号は + だから 55
5. 14 × 6 は 60 に 24 をたして 84 、符号は − だから −84
6. 12 × 8 = 96 、符号は + だから 96
7. 16 × 5 = 80 、符号は − だから −80

8. (−17) を 0 回たすので、0 から動かない
9. (−6) を 0 回たすので、0 から動かない

10. 11 の反対の数は −11
11. −9 の反対の数は 9
12. 18 の反対の数は −18

−16 と 16 は 符号だけがちがう
原点からのきょりは どちらも 16

1 日で −8 、5 日で −40 、9 日で −72

○ −1 と −12 は 同じ符号どうし
○ だから 積の符号は +
○ 積の絶対値は 1 × 12 = 12
○ 答えは 12

−12 は 原点から左へ 12 の点
その反対がわは 原点から右へ 12 の点で 12
誤答は −12 。もとの数のままなので、まちがい

12 × 9 = 108 、符号は − だから 積は −108

次のレッスンへ

計算の道具が決まりました。符号が先、絶対値があと です。

手順は二つでした。①符号を先に決める ②絶対値どうしをかける、です。

符号は、同じ符号どうしなら正、ちがう符号どうしなら負でした。

\(0\) をかけたら積は \(0\)、\(-1\) をかけたら反対の数になりました。

ここまでは、かける数が \(2\) つの式だけを見てきました。

では \(2\) つより多いときは、どうすればよいでしょうか。

たとえば負の数が \(3\) つ出てくる式では、符号をどう決めるのでしょうか。

かける順番を変えてもよいのかも、まだ決めていません。

次のレッスンは「3つ以上の積と、かける順番」です。

負の数の個数で符号が決まることと、かける順番を変えてよい理由をあつかいます。

次のレッスンへ　3つ以上の積と、かける順番　→

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