3つ以上の積と、かける順番

このレッスンでできるようになること

• \(3\) つ以上の数の積を、前から順にかけて求められる
• 乗法の交換法則と乗法の結合法則を使って、かける順番をくふうできる
• 負の数の個数から、積の符号を先に決められる

前のレッスンの確認

• 乗法 … かけ算のこと
• 積 … かけ算の答えのこと
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。（レッスン3で決まったこと）
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしをかける
• どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。
• 負の数どうしをかけると、積は正の数になります。（レッスン2で分かったこと）
• 加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない
• 加法の結合法則 … どこからたしても、和は変わらない
• きりのよい数になる組 … たし算では、計算しやすい組を先に作ってよかった（セクション3）

絶対値は記号でも書きます。\(|-2|\) は \(2\) です。\(|+5|\) は \(5\) です。

このレッスンでは、\(2\) 数のための道具を、\(3\) つ以上の積へ広げます。

かける数が 3 つある式

ここまで見てきたのは、\(2\) 数のかけ算だけでした。

かける数が \(3\) つになることもあります。たとえば \(2\times(-3)\times(-5)\) です。

この式には、かけ算の記号が \(2\) つあります。どこから手をつければよいでしょうか。

答えは簡単です。前から順にかけていけば計算できます。

はじめの \(2\) 数は \(2\) と \(-3\) で、ちがう符号どうしなので \(-6\) です。

次は \(-6\) と \(-5\) で、同じ符号どうしなので \(30\) です。

\(3\) つ以上でも、\(2\) 数ずつ区切れば計算できます。

かける順番を変えても、積は同じ

レッスン1で、\(3\times(-4)\) と \((-4)\times 3\) をくらべ、積がどちらも \(-12\) になることを見ました。

あのときは、事実だけをおさえました。\(3\) つの数でも同じか確かめます。

どの順番でも \(30\) になりました。

先に計算する場所を変えてもよい

順番だけでなく、どこから先に計算するかも変えられます。

はじめの \(2\) つを先にかけると \(-6\)、そこへ \(-5\) をかけて \(30\) です。

うしろの \(2\) つを先にかけると \(15\)、そこへ \(2\) をかけて、やはり \(30\) です。

先に計算するところをかっこで囲むと、こう書けます。

\(\left(2\times(-3)\right)\times(-5)=2\times\left((-3)\times(-5)\right)\)

二つの法則に名前をつける

いま確かめた二つのことを、乗法の交換法則、乗法の結合法則 と呼びます。

• 乗法の交換法則 … かける順番を入れかえても、積は変わらない
• 乗法の結合法則 … どこからかけても、積は変わらない

セクション3で習った加法の法則と、ならべてみます。

ちがうのは、「たす」が「かける」に、「和」が「積」に変わったところだけです。

引き算のまじった式には使えない

この二つの法則が使えるのは、かけ算だけでできた式です。引き算のまじった式では使えません。

負の数の個数で、符号が決まる

レッスン3の道具は、\(2\) 数のかけ算のためのものでした。

手順①では、二つの符号が同じかちがうかを見ます。\(3\) つ以上あると、その見方は使えません。

そこで、手順①だけを広げます。手順②の「絶対値どうしをかける」は、そのままです。

負の数を 2 つずつ組にする

\((-2)\times(-3)\times(-4)\times(-5)\) で考えます。負の数が \(4\) つならんでいます。

ここで、レッスン2で分かったことを思い出してください。負の数どうしをかけると、積は正の数になります。

だから、負の数を \(2\) つずつ組にすれば、どの組も正の数に変わります。

\(2\) 組とも正の数になりました。正の数どうしの積も、正の数です。

では、負の数が \(5\) つならどうでしょうか。\(2\) つずつ組にすると \(1\) つ余ります。

余った \(1\) つは負の数なので、積は負の数になります。

決まりを言葉にする

負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。

\(0\) 個も偶数個です。負の数が \(1\) つもなければ、積は正の数です。

2 数のときと食いちがわない

新しい決まりに見えますが、レッスン3で決めたことと同じです。

同じ符号どうしの行は \(0\) 個か \(2\) 個で偶数個、ちがう符号どうしの行は \(1\) 個で奇数個です。

同じことを、数え方で言い直しただけです。

広げた手順

符号が先、絶対値があと の手順①を、次のように広げます。

1. 符号を先に決める（負の数の個数が偶数なら \(+\)、奇数なら \(-\)）
2. 絶対値どうしをかける

\((-2)\times(-4)\times(-6)\) でやってみます。負の数は \(3\) つで奇数個なので、符号は \(-\) です。

絶対値は \(|-2|\) が \(2\)、\(|-4|\) が \(4\)、\(|-6|\) が \(6\) で、かけると \(48\) です。積は \(-48\) になります。

0 が 1 つでもあれば、積は 0

\((-7)\times 0\times(-9)\) を前から計算します。\((-7)\times 0\) は \(0\)、\(0\times(-9)\) も \(0\) です。

どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) でした。 一度 \(0\) になったら、あとは何をかけても \(0\) です。

\(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。 ほかを計算する手間はいりません。

\(0\) に符号はありません。だから積の \(0\) にも、\(+\) や \(-\) は付けません。

かける順番のくふう

セクション3のたし算では、きりのよい数になる組を先に作りました。

かけ算でも同じ発想が使えます。根拠になるのが、乗法の交換法則と結合法則です。

\((-4)\times 7\times 25\) を見てください。\(4\times 25=100\) が、きりのよい組です。

くふうするときも、符号は先に決めます。負の数は \(-4\) の \(1\) つで奇数個なので、符号は \(-\) です。

絶対値は \(4\times 25=100\) から \(100\times 7=700\) と進み、答えは \(-700\) になります。

符号を先に決めておくと、あとは絶対値の組み方に集中できます。

例題1　前から順にかける

次の計算をしなさい。

（1）\(5\times(-2)\times(-8)\)　（2）\((-4)\times 5\times(-2)\)

前から順に、\(2\) 数ずつ計算します。

確かめ

（1）負の数は 2 つで偶数個 → +　絶対値は 5 × 2 × 8 = 80
（2）負の数は 2 つで偶数個 → +　絶対値は 4 × 5 × 2 = 40

答えの吟味

どちらも負の数が \(2\) つずつで、組にできるので積は正の数です。

答え　（1）\(80\)　（2）\(40\)

例題2　負の数の個数から符号を決める

次の計算をしなさい。

（1）\((-3)\times(-4)\times(-9)\)　（2）\(5\times(-2)\times(-7)\times(-3)\)

負の数の個数を数えてから、絶対値をかけます。（1）の絶対値は、\(|-3|\) が \(3\)、\(|-4|\) が \(4\)、\(|-9|\) が \(9\) です。

確かめ

（1）前から (−3) × (−4) = 12 、12 × (−9) = −108
（2）前から 5 × (−2) = −10 、(−10) × (−7) = 70 、70 × (−3) = −210

答えの吟味

どちらも負の数が奇数個です。\(1\) つ余るので、積は負の数になります。

答え　（1）\(-108\)　（2）\(-210\)

例題3　0 をふくむ積

次の計算をしなさい。

（1）\((-8)\times 0\times(-15)\)　（2）\(4\times(-11)\times 0\times(-2)\)

\(0\) を見つけたら、そこで答えが決まります。

確かめ

（1）(−8) × 0 = 0 、0 × (−15) = 0
（2）(−44) × 0 = 0 、0 × (−2) = 0

答えの吟味

負の数が \(2\) つありますが、\(0\) があるので積は \(0\) です。

答え　（1）\(0\)　（2）\(0\)

例題4　かける順番をくふうする

次の計算をしなさい。

（1）\((-5)\times 13\times 20\)　（2）\((-2)\times(-17)\times 50\)

きりのよい数になる組を探します。\(100\) を作れると楽です。

確かめ

（1）前から (−5) × 13 = −65 、(−65) × 20 = −1300
（2）前から (−2) × (−17) = 34 、34 × 50 = 1700

答えの吟味

（2）は \(17\times 50\) を先にすると \(850\) で、暗算しにくくなります。

答え　（1）\(-1300\)　（2）\(1700\)

例題5　工作クラブで使うくぎ

工作クラブで、木のいたにくぎを打ちます。

増える本数を正の数、減る本数を負の数で表します。

\(1\) 人が \(9\) 本ずつ使います。\(1\) つの班は \(4\) 人で、班は \(5\) つあります。

くぎの本数はどれだけ変わりますか。

\(1\) 人あたりの変化を数にしてから、式を作ります。絶対値は \(|-9|\) が \(9\) です。

確かめ

1 班ぶんは (−9) × 4 = −36 、5 班ぶんは (−36) × 5 = −180

答えの吟味

くぎは使うほど減るので、変化は負の数になります。場面と合っています。

答え　\(-180\) 本（\(180\) 本減る）

今日の問い

負の数を \(2\) つずつ組にする、という見方を使いました。

なぜ勝手に組を作ってよいのでしょうか。式のならびは、はじめから決まっています。

\((-1)\times 8\times(-3)\) で考えます。負の数は \(-1\) と \(-3\) の \(2\) つで、となり合っていません。

組にするには、\(-1\) と \(-3\) をとなりへ動かさなければなりません。

動かしてよいと言うのが乗法の交換法則、先にかけてよいと言うのが乗法の結合法則です。

\((-1)\times(-3)\times 8\) と並べかえると \(3\times 8=24\) です。前から順でも \(24\) になります。

個数だけで符号を決められるのは、順番を変えてよいからです。

よくある間違い

まちがい1：負の数を数えもらす

\((-1)\times 5\times(-6)\) を計算する問題です。

✗ 負の数は −6 の 1 つだけ
✗ 奇数個なので 符号は −
✗ = −30

\(-1\) も負の数です。数え忘れています。負の数は \(2\) つで、偶数個です。

○ 負の数は −1 と −6 の 2 つ。偶数個なので 符号は +
○ 絶対値は 1 × 5 × 6 = 30
○ 答えは 30

前から順に計算して確かめます。

(−1) × 5 = −5 、(−5) × (−6) = 30
誤答は −30 。正しい答え 30 と符号がちがうので、まちがい

\(-1\) も \(1\) つと数えます。

まちがい2：並べかえるときに、符号を置いていく

\((-4)\times 3\times(-5)\) を計算する問題です。

✗ 3 と 5 を先にかけると 15
✗ (−4) × 15
✗ = −60

\(3\) と \(5\) を組にしたつもりで、\(-5\) の \(-\) を置いていっています。動かす相手は \(-5\) です。

○ 3 × (−5) = −15
○ (−4) × (−15) = 60
○ 答えは 60

負の数の個数から確かめます。

負の数は −4 と −5 の 2 つ。偶数個なので 符号は +
絶対値は 4 × 3 × 5 = 60 。だから 60
誤答は −60 。符号がちがうので、まちがい

動かすときは、符号もいっしょに動かします。

まちがい3：はじめの 2 数だけで符号を決める

\((-2)\times(-6)\times(-3)\) を計算する問題です。

✗ (−2) × (−6) は 同じ符号どうしなので 積は正
✗ だから 全体も正
✗ = 36

レッスン3の見方は、\(2\) 数のかけ算のためのものでした。残りの \(-3\) も、符号を決める仲間です。

○ 負の数は −2 と −6 と −3 の 3 つ。奇数個なので 符号は −
○ 絶対値は 2 × 6 × 3 = 36
○ 答えは −36

前から順に計算して確かめます。

(−2) × (−6) = 12 、12 × (−3) = −36
誤答は 36 。正しい答え −36 と符号がちがうので、まちがい

符号は、式にある負の数を全部数えて決めてください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。負の数の個数を先に数えること。

1. 積の符号だけを答えなさい。絶対値は計算しなくてかまいません。 （1）\((-3)\times 7\times(-2)\)　（2）\((-5)\times(-2)\times(-9)\)　（3）\((-8)\times 3\times(-1)\times(-4)\)　（4）\((-2)\times(-3)\times(-4)\times(-7)\)

2. \(3\times(-4)\times(-6)\) を計算しなさい。

3. \((-5)\times(-3)\times 6\) を計算しなさい。

4. \((-3)\times(-9)\times(-2)\) を計算しなさい。

5. \((-1)\times(-7)\times(-8)\) を計算しなさい。

6. \(2\times(-3)\times 4\times(-8)\) を計算しなさい。

7. \((-3)\times 2\times(-4)\times(-8)\) を計算しなさい。

8. \((-6)\times 0\times(-14)\) を計算しなさい。

9. \(9\times(-2)\times 0\times(-7)\) を計算しなさい。

10. くふうして計算しなさい。どんなくふうをしたかも書きなさい。 （1）\((-4)\times 9\times 25\)　（2）\((-5)\times 11\times(-20)\)

11. \(2\times(-7)\times(-3)\) を二通りの順番で計算し、積が同じになることを確かめなさい。

12. \((-2)\times(-3)\times(-5)\times(-7)\times(-11)\) の積の符号を、計算せずに答えなさい。理由も書きなさい。

13. ある印刷機が、\(1\) 分間に \(8\) 枚の紙を使います。増える枚数を正の数、減る枚数を負の数で表します。\(1\) 日に \(5\) 分間ずつ、\(3\) 日間動かしました。紙の枚数はどれだけ変わりましたか。

14. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−2) × (−4) × (−8)
負の数が 3 つあるので 符号は −
絶対値は 2 × 4 × 8 = 64
= 64

15. \((-6)\times 7\times(-2)\) を、負の数どうしを先にかける順番で計算しなさい。並べかえてよい根拠になる法則の名前も、二つとも書きなさい。

16. \(9\times(-4)\times 2\) の積を求めなさい。次に、\(2\) を \(-2\) に変えた \(9\times(-4)\times(-2)\) の積を求め、二つをくらべなさい。

（1）2 個は偶数 → +　（2）3 個は奇数 → −
（3）−1 も 1 つと数えて 3 個 → −　（4）4 個は偶数 → +

2. −12 → 72 　3. 15 → 90 　4. 27 → −54 　5. 7 → −56
6. −6 → −24 → 192 　7. −6 → 24 → −192
いずれも 前から 2 数ずつ かけた

8. (−6) × 0 = 0 、0 × (−14) = 0
9. (−18) × 0 = 0 、0 × (−7) = 0

（1）前から (−4) × 9 = −36 、(−36) × 25 = −900
（2）前から (−5) × 11 = −55 、(−55) × (−20) = 1100

負の数は −7 と −3 の 2 つ。偶数個なので 符号は +
絶対値は 2 × 7 × 3 = 42 。二通りとも 42 で同じ

5 つを 2 つずつ組にすると 2 組できて 1 つ余る
2 組はどちらも正の数、余った 1 つは負の数
正 × 正 × 負 なので 積は 負

1 日ぶんは (−8) × 5 = −40 、3 日ぶんは (−40) × 3 = −120

○ 負の数は −2 と −4 と −8 の 3 つ。奇数個なので 符号は −
○ 絶対値は 2 × 4 × 8 = 64
○ 答えは −64

(−2) × (−4) = 8 、8 × (−8) = −64
誤答は 64 。正しい答え −64 と符号がちがうので、まちがい

前から (−6) × 7 = −42 、(−42) × (−2) = 84
並べかえた計算と同じ 84

9 × (−4) = −36 、(−36) × 2 = −72
9 × (−4) = −36 、(−36) × (−2) = 72

次のレッスンへ

\(3\) つ以上の積を、前から順に計算できるようになりました。

乗法の交換法則と乗法の結合法則があるので、かける順番は変えられます。

符号は負の数の個数で決まります。偶数個なら正、奇数個なら負でした。

\(0\) が \(1\) つでもあれば、ほかを計算するまでもなく積は \(0\) です。

ここまでの計算は、すべて整数だけでした。かける数が小数や分数になったら、どうなるでしょうか。

次のレッスンは「小数と分数のかけ算」です。

符号を決めるところと絶対値を計算するところを分けたまま、小数と分数へ広げます。

次のレッスンへ　小数と分数のかけ算　→

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