小数と分数のかけ算

このレッスンでできるようになること

• 小数のかけ算を、整数のかけ算に直してから小数点を打ち直して計算できる
• 分数のかけ算で、かける前に約分してから分子どうし・分母どうしをかけられる
• 小数と分数が混じった式を、分数にそろえて計算できる

前のレッスンの確認

• 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 積 … かけ算の答えのこと
• 乗法 … かけ算のこと
• 同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしをかける
• どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。
• \(-1\) をかけると、その数の反対の数になります。
• 負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。
• 乗法の交換法則 … かける順番を入れかえても、積は変わらない
• 乗法の結合法則 … どこからかけても、積は変わらない

絶対値は記号でも書きます。\(|-0.4|\) は \(0.4\) です。\(|-2.5|\) は \(2.5\) です。

変わるのは、絶対値の計算だけです

セクション5では、ずっと整数のかけ算をあつかってきました。今日は小数と分数です。

符号の決め方は、整数のときと何も変わりません。

符号が先、絶対値があと は、そのまま使えます。変わるのは手順②の中身だけです。

小数のかけ算は、整数に直して、小数点を打つ

\((-0.4)\times(+1.6)\) を計算します。手順①から、積の符号は \(-\) です。

残っているのは絶対値です。\(|-0.4|\) は \(0.4\)、\(|+1.6|\) は \(1.6\) なので、\(0.4\times 1.6\) を計算します。

小数点をとって、あとで打ち直す

小数のままでは、九九が使えません。そこで、いったん整数に直します。

\(0.4\) の小数点をとると \(4\)、\(1.6\) の小数点をとると \(16\) です。\(4\times 16=64\) となります。

\(64\) のままでは大きすぎます。とった小数点を、打ち直します。

どこに打つかは、小数点より右にある数字の個数で決まります。

\(0.4\) も \(1.6\) も右に \(1\) つで、合わせて \(2\) つです。

だから \(64\) の小数点を左へ \(2\) つもどして、\(0.64\) とします。

このやり方を、整数に直して、小数点を打つ と呼びます。

1. 小数点をとって、整数のかけ算にする
2. 小数点より右にあった数字の個数だけ、小数点を左へもどす

答えは \(-0.64\) です。小数点の位置は、かけ算のあとで決めます。

位置は見当でも確かめられます。\(1\) より小さい \(0.4\) をかけたので、積は \(1.6\) より小さいはずです。

なお、答えが \(4.00\) のように右はしに \(0\) が続くときは、書かずに \(4\) とします。

分数のかけ算は、分子どうし・分母どうし

次は分数です。\(\left(-\dfrac{3}{8}\right)\times\left(+\dfrac{5}{6}\right)\) を計算します。

\(2\) 数の符号はちがうので、積の符号は \(-\) です。絶対値は \(\dfrac{3}{8}\) と \(\dfrac{5}{6}\) です。

小学校で習ったとおり、分子どうし・分母どうしをかけます。

\(\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{3\times 5}{8\times 6}=\dfrac{15}{48}\)

\(\dfrac{15}{48}\) は \(3\) で約分できて \(\dfrac{5}{16}\) です。答えは \(-\dfrac{5}{16}\) になります。

約分は、かける前にしておくと楽

いまの計算では、とちゅうで \(\dfrac{15}{48}\) が出てきました。\(48\) は大きい数です。

じつは、約分はかけ算の前にもできます。

\(\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{6}\) の \(3\) と \(6\) は、\(3\) で約分できて \(1\) と \(2\) になります。

あとは \(\dfrac{1\times 5}{8\times 2}=\dfrac{5}{16}\) です。同じ答えで、大きい数が出てきません。

このやり方を 約分は、かける前に と呼びます。

約分する相手は、分子と分母です。分子と分子では約分できません。

ななめの分子と分母どうしでも約分できます。分子は全部が分子、分母は全部が分母だからです。

約分をしても、積の符号は変わりません。

整数や帯分数が混じるとき

\(\left(-\dfrac{9}{4}\right)\times(+6)\) を見ます。符号はちがうので、積の符号は \(-\) です。

整数の \(6\) は \(\dfrac{6}{1}\) と書けます。整数は、分母が \(1\) の分数と見ます。

かける前に約分します。\(6\) と \(4\) は \(2\) で約分できて、\(3\) と \(2\) になります。

\(\dfrac{9}{4}\times\dfrac{6}{1}=\dfrac{9\times 3}{2\times 1}=\dfrac{27}{2}\)

答えは \(-\dfrac{27}{2}\) です。

帯分数が出てきたときは、先に仮分数に直します。\(2\dfrac{1}{4}\) なら \(\dfrac{9}{4}\) です。

帯分数のままでは、分子どうし・分母どうしがどこにあるか分かりません。

小数と分数が混じったら、分数にそろえる

\((-0.4)\times\left(+\dfrac{5}{6}\right)\) のように、小数と分数が混じることがあります。

このままでは、どちらのやり方も使えません。混じった式は、分数にそろえてください。

\(0.4\) は \(\dfrac{4}{10}\) で、約分して \(\dfrac{2}{5}\) です。\(\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{6}\) なら約分もできます。

\(\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{1\times 1}{1\times 3}=\dfrac{1}{3}\)

積の符号は \(-\) なので、答えは \(-\dfrac{1}{3}\) です。

小数を分数に直す書き方

小数点より右に数字が \(1\) つなら分母は \(10\)、\(2\) つなら分母は \(100\) です。約分もしておきます。

例題1　小数のかけ算

次の計算をしなさい。

（1）\((-0.3)\times(+1.8)\)　（2）\((+2.5)\times(-1.6)\)　（3）\((-2.5)\times(+12)\)

まず符号を決め、そのあとで整数に直して小数点を打ちます。手順②でかけるのは絶対値で、（1）なら \(|-0.3|\) は \(0.3\)、\(|+1.8|\) は \(1.8\) です。

整数には小数点より右の数字がありません。だから（3）で数える個数は、\(2.5\) の \(1\) つだけです。

確かめ

（1）0.3 は 1 より小さいので、積は 1.8 より小さいはず
（3）2.5 の 4 倍が 10 、12 倍は 30

答えの吟味

三つとも符号がちがう \(2\) 数の積なので、答えはすべて負の数です。

答え　（1）\(-0.54\)　（2）\(-4\)　（3）\(-30\)

例題2　分数どうしのかけ算

次の計算をしなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{5}{18}\right)\times\left(+\dfrac{6}{7}\right)\)　（2）\(\left(+\dfrac{7}{10}\right)\times\left(-\dfrac{5}{14}\right)\)

どちらも、かける前に約分できます。（1）でかける絶対値は \(\left|-\dfrac{5}{18}\right|\) と \(\left|+\dfrac{6}{7}\right|\) です。約分してから分子どうし・分母どうしをかけます。

確かめ

（2）約分せずにかけると 140 分の 35 、35 で約分して 4 分の 1

答えの吟味

（2）は約分が \(2\) 組ありました。ななめの分子と分母どうしでも約分できます。

答え　（1）\(-\dfrac{5}{21}\)　（2）\(-\dfrac{1}{4}\)

例題3　整数や帯分数とのかけ算

次の計算をしなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{11}{6}\right)\times(+9)\)　（2）\(\left(+2\dfrac{1}{6}\right)\times\left(-\dfrac{4}{13}\right)\)

（1）は整数を分母 \(1\) の分数に、（2）は帯分数を仮分数に直します。

確かめ

（1）約分せずにかけると 6 分の 99 、3 で約分して 2 分の 33
（2）約分せずにかけると 78 分の 52 、26 で約分して 3 分の 2

答えの吟味

（1）の \(-\dfrac{33}{2}\) は \(-16.5\) です。\(-\dfrac{11}{6}\) の \(9\) 倍として合っています。

答え　（1）\(-\dfrac{33}{2}\)　（2）\(-\dfrac{2}{3}\)

例題4　小数と分数の混じったかけ算

次の計算をしなさい。

（1）\((-0.7)\times\left(+\dfrac{4}{21}\right)\)　（2）\(\left(-\dfrac{9}{4}\right)\times(-1.2)\)

小数を分数に直してから、かける前に約分します。

確かめ

（1）約分せずにかけると 210 分の 28 、14 で約分して 15 分の 2
（2）約分せずにかけると 20 分の 54 、2 で約分して 10 分の 27

答えの吟味

（2）は同じ符号どうしなので、積は正の数です。\(\dfrac{27}{10}\) は \(2.7\) で、\(\dfrac{9}{4}\) の \(1.2\) 倍として合っています。

答え　（1）\(-\dfrac{2}{15}\)　（2）\(\dfrac{27}{10}\)

例題5　3 つの数の積

\(\left(-\dfrac{3}{8}\right)\times(+1.6)\times(-2.5)\) を計算しなさい。

数が \(3\) つでも、やることは同じです。

確かめ

乗法の交換法則と結合法則で 1.6 × 2.5 を先に計算すると 4
8 分の 3 の 4 倍は 8 分の 12 、約分して 2 分の 3 。同じ

答えの吟味

負の数は \(2\) つで偶数個なので、積は正の数です。\(\dfrac{3}{2}\) は \(1.5\) です。

答え　\(\dfrac{3}{2}\)

例題6　積もった雪が減っていく

積もった雪が、\(1\) 時間に \(1.2\) cm ずつ浅くなっていきます。

深くなる変化を正の数、浅くなる変化を負の数で表します。

\(\dfrac{5}{6}\) 時間で、深さはどれだけ変わりますか。

まず \(1\) 時間あたりの変化を、符号付きの数にします。

確かめ

6 分の 5 時間は 50 分
1 時間で −1.2 だから、その 6 分の 5 で −1

答えの吟味

雪は浅くなっているので、変化は負の数になるはずです。答えと合っています。

答え　\(-1\) cm

セクション5で作った道具

\(5\) 回で作った道具を、\(1\) 枚にまとめます。

符号の決め方は、上から下までひとつづきです。

今日の問い

小数と分数が混じったら、分数にそろえると決めました。

では反対に、分数を小数に直してそろえてはいけないのでしょうか。

\((-2.5)\times\left(+\dfrac{5}{6}\right)\) で試します。\(\dfrac{5}{6}\) を小数に直してみてください。

\(\dfrac{5}{6}\) は \(0.8333\cdots\) となって、書ききれません。

いつでもできるのは、片方だけです。だから、まず分数にそろえると決めておきます。

よくある間違い

まちがい1：小数点をもどす個数をまちがえる

\((-1.2)\times(+0.15)\) を計算する問題です。

✗ 12 × 15 = 180
✗ 小数点を左へ 2 つもどして
✗ = −1.8

\(1.2\) は右に \(1\) つ、\(0.15\) は右に \(2\) つで、合わせて \(3\) つです。誤答は \(1\) つ足りません。

○ 小数点を左へ 3 つもどして 0.180 、つまり 0.18
○ 答えは −0.18

見当で確かめます。

0.15 は 1 より小さいので、積は 1.2 より小さいはず
誤答は −1.8 で、0 からの距離が 1.2 より大きい。だから まちがい

もどす個数は、両方の数について数えてください。

まちがい2：分数のかけ算で、通分してから分子だけをかける

\(\left(+\dfrac{2}{3}\right)\times\left(-\dfrac{5}{9}\right)\) を計算する問題です。

✗ 通分して 27 分の 18 と 27 分の 15
✗ 分母は 27 のままで、分子だけかけて 27 分の 270
✗ = −10

通分して分母をそろえるのは、たし算と引き算のやり方です。

かけ算では通分せず、分子どうし・分母どうしを、そのままかけます。

○ 分子は 2 × 5 = 10 、分母は 3 × 9 = 27 で 27 分の −10

大きさで確かめます。

3 分の 2 も 9 分の 5 も 1 より小さいので、積は 3 分の 2 より小さいはず
誤答は −10 で、0 からの距離が 10 。だから まちがい

通分するのは、たし算と引き算のときだけです。

まちがい3：整数を、分母にもかけてしまう

\(\left(-\dfrac{5}{6}\right)\times(+4)\) を計算する問題です。

✗ 分子にも分母にも 4 をかけて
✗ 24 分の 20
✗ = −6 分の 5

整数は \(\dfrac{4}{1}\) です。分母は \(1\) なので、分母にかかるのは \(1\) だけです。

○ 4 と 6 を 2 で約分して 2 と 3
○ 分子は 5 × 2 = 10 、分母は 3 × 1 = 3 で 3 分の −10

元の数とくらべます。

誤答は −6 分の 5 で、元の数とまったく同じ
4 倍したのに変わらないのは おかしい。だから まちがい

分子と分母の両方にかけると、大きさは変わりません。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。符号を先に決めてから、絶対値を計算すること。

1. 次の計算をしなさい。 （1）\((-0.6)\times(+0.7)\)　（2）\((+1.2)\times(-0.5)\)　（3）\((-0.4)\times(-2.5)\)

2. 次の計算をしなさい。 （1）\((-0.25)\times(+8)\)　（2）\((+4.5)\times(-6)\)　（3）\((-0.06)\times(-50)\)

3. かける前に約分してから計算しなさい。 （1）\(\left(-\dfrac{4}{9}\right)\times\left(+\dfrac{3}{8}\right)\)　（2）\(\left(-\dfrac{5}{6}\right)\times\left(-\dfrac{9}{20}\right)\)　（3）\(\left(+\dfrac{10}{21}\right)\times\left(-\dfrac{14}{15}\right)\)

4. 次の計算をしなさい。 （1）\(\left(-\dfrac{5}{6}\right)\times(+15)\)　（2）\(\left(-1\dfrac{1}{5}\right)\times\left(-\dfrac{10}{9}\right)\)　（3）\(\left(+3\dfrac{1}{3}\right)\times\left(-\dfrac{6}{25}\right)\)

5. 分数にそろえて計算しなさい。 （1）\((+0.45)\times\left(-\dfrac{4}{9}\right)\)　（2）\((-1.6)\times\left(-\dfrac{15}{8}\right)\)

6. \((-0.4)\times\left(-\dfrac{5}{8}\right)\times(-2)\) を計算しなさい。

7. タブレットの電池の残量が、\(1\) 分ごとに \(\dfrac{3}{8}\) % ずつ減ります。増える変化を正の数、減る変化を負の数で表します。\(20\) 分間で残量はどれだけ変わりますか。

8. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−0.5) × (−0.24)
5 × 24 = 120
小数点を左へ 2 つもどして
= 1.2

9. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−0.4) × (−1.5)
符号は −
4 × 15 = 60 、小数点を左へ 2 つもどして 0.6
= −0.6

10. \(\left(-\dfrac{9}{4}\right)\times\left(+\dfrac{5}{6}\right)\) の積について、符号と絶対値をそれぞれ書きなさい。

11. 次の小数を分数に直しなさい。約分できるものは約分しなさい。 （1）\(0.35\)　（2）\(1.25\)　（3）\(0.04\)

12. 次の計算をしなさい。 （1）\(\left(-\dfrac{3}{8}\right)\times 0\)　（2）\(\left(+\dfrac{7}{9}\right)\times(-1)\)

13. \(\left(-\dfrac{8}{15}\right)\times\left(+\dfrac{25}{12}\right)\) を、かけてから約分するやり方と、かける前に約分するやり方の両方で計算しなさい。

14. 小数と分数が混じった式は、分数にそろえて計算します。その理由を書きなさい。

15. 小数や分数のかけ算では、積の符号の決め方は変わりますか。理由もつけて書きなさい。

1（3）1.00 の右はしの 0 を書かずに 1
2（3）0.06 の 100 倍が 6 だから、50 倍は 3

3（3）約分せずにかけると 315 分の 140 、35 で約分して 9 分の 4
4（3）約分せずにかけると 75 分の 60 、15 で約分して 5 分の 4

5（2）8 と 8 、15 と 5 を約分して 3 。整数になった
6　負の数は 3 つで奇数個なので積は負

8 分で 3 % 減るので、20 分で 7.5 %

○ 5 × 24 = 120 、小数点を左へ 3 つもどして 0.120
○ 答えは 0.12

○ 4 × 15 = 60 、小数点を左へ 2 つもどして 0.60
○ 答えは 0.6

8 … 0.24 は 1 より小さいので、積は 0.5 より小さいはず
8 … 誤答は 1.2 で 0.5 より大きい。だから まちがい
9 … 誤答は −0.6 。正しい答え 0.6 と符号がちがうので、まちがい

約分せずにかけると 24 分の 45 、3 で約分して 8 分の 15 。同じ

11（1）100 分の 35 は 5 で約分して 20 分の 7
12（1）0 をかけると 0 、12（2）−1 をかけると反対の数

かけてから約分 … 180 分の 200 を 20 で約分して 9 分の 10
かける前に約分 … 分子 2 × 5 、分母 3 × 3

14 … 小数はいつでも分数に直せる。0.35 は 100 分の 35
14 … 分数は小数に直せないことがある。6 分の 5 は 0.8333… と続く
15 … (−0.4) × (+1.6) は − 、(−0.4) × (−2.5) は +

次のレッスンへ

これで、正の数・負の数のかけ算がひととおり終わりました。

小数でも分数でも、符号が先、絶対値があと はそのまま使えました。

小数は 整数に直して、小数点を打つ、分数は 約分は、かける前に です。

次のセクションからは、わり算に入ります。第1回は「わり算は、かけ算の逆」です。

\((-24)\div(-6)\) を「\(-6\) に何をかけると \(-24\) になるか」と読みかえて、符号の決まりを作ります。

次のセクションへ　わり算は、かけ算の逆　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。