わり算は、かけ算の逆

このレッスンでできるようになること

• \(12\div 3\) を「\(3\) に何をかけたら \(12\) になるか」と読みかえられる
• 正の数・負の数のわり算の商を、符号と絶対値に分けて求められる
• 求めた商を、かけ算に戻して確かめられる

前のレッスンの確認

• 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 積 … かけ算の答えのこと
• 乗法 … かけ算のこと
• 同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしをかける
• 乗法の交換法則 … かける順番を入れかえても、積は変わらない

絶対値は記号でも書きます。\(|-12|\) は \(12\) です。\(|+3|\) は \(3\) です。

セクション6では、わり算をあつかいます。新しい道具は、ほとんど作りません。セクション5の道具を、そのまま持ちこみます。

小学校のわり算を、読み直す

はじめに、負の数の出てこないわり算を見ます。

みかんが \(12\) 個あります。\(1\) 人に \(3\) 個ずつ配ると、何人に配れるでしょうか。

式は \(12\div 3\) で、答えは \(4\) 人です。

では、なぜ \(4\) だと分かったのでしょうか。

\(1\) 人に \(3\) 個ずつ、\(4\) 人に配ります。配った数は \(3\times 4=12\) 個です。

はじめの \(12\) 個に、ぴったり戻りました。だから \(4\) でよいのです。

つまり \(12\div 3\) は、\(3\) に何をかけたら \(12\) になるかを探すことです。

この読み方を わり算は、かけ算の逆 と呼びます。

わり算の答えのことを 商 といいます。かけ算の答えを積といったのと同じです。

この読み方なら、負の数のわり算も解ける

負の数の入ったわり算は、まだ一度も計算していません。

けれども、いま決めた読み方を使えば、その場で答えが出せます。

\((-12)\div 3\) を見ます。「\(3\) に何をかけたら \(-12\) になるか」と読みかえます。

セクション5で \(3\times(-4)=-12\) を計算しました。だから商は \(-4\) です。

矢印の上に入る数が、そのまま商です。

次は \(12\div(-4)\) です。「\(-4\) に何をかけたら \(12\) になるか」と読みます。

\((-4)\times(-3)=12\) でした。負の数どうしの積は正の数です。だから商は \(-3\) です。

もう一つ、\((-15)\div(-5)\) です。「\(-5\) に何をかけたら \(-15\) になるか」と読みます。

\((-5)\times 3=-15\) です。だから商は \(3\) です。

新しい計算をひとつも習わずに、\(3\) つとも答えが出ました。 乗法の道具だけで足りました。

等分する場面でも、同じ答えになる

\((-12)\div 3\) を、分ける場面としても見ておきます。\(-12\) を、同じ大きさの \(3\) つ分に分けます。

数直線の \(0\) から \(-12\) までを、\(3\) 等分してみます。

\(1\) つ分は \(-4\) で、読みかえて出した商と同じです。分ける場面から見ても、答えは変わりません。

3つ並べると、符号の決まりが見えてくる

さきほどの \(3\) つを、表にならべます。かけ算に戻した式も、いっしょに書きます。

商が正になったのは、\(3\) 行目だけです。\(-15\) と \(-5\) は、同じ符号どうしでした。

\(1\) 行目と \(2\) 行目は、ちがう符号どうしです。もう \(2\) つ足して、たしかめます。

わられる数はどちらも \(-24\) で、ちがうのはわる数の符号だけです。それだけで、商の符号が入れかわりました。

まとめると、\(2\) 行になります。

同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。

この \(2\) 行を、乗法の決まりとならべてみてください。

同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。

ちがうのは「積」が「商」になったところだけです。あとは一字も変わりません。

あの道具は、わり算にもそのまま使えます

符号の決まりが同じなら、計算のしかたも同じでよいはずです。

セクション5の道具を、そのまま持ってきます。符号が先、絶対値があと です。

1. 符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)）
2. 絶対値どうしを割る

手順①は、乗法のときと一字も変わりません。手順②だけ、かけるところが割るに変わります。

新しい名前は作りません。あの道具は、わり算にもそのまま使えます。

\((-24)\div 6\) で、書き方を見せます。

いちばん下の行を、書きぐせにしてください。商が出たら、わる数にかけて、わられる数に戻るかを見る。

なお、\(0\) がからむわり算だけは、この道具が使えません。\(0\) は正の数でも負の数でもないので、手順①で符号が決められないからです。

\(0\) のあつかいは、次のレッスン「\(0\) のあつかいと、\(0\) で割れない理由」でくわしく調べます。

わり算のことを、除法という

わり算のことを 除法 といいます。\(12\div 3\) も \((-15)\div(-5)\) も除法の式です。

かけ算を乗法というのと同じ言い方です。問題文では、わり算のかわりに除法と書かれることがあります。

わりきれないときは、分数で書く

\((-7)\div 2\) を見ます。「\(2\) に何をかけたら \(-7\) になるか」です。

整数の中をさがしても、見つかりません。\(2\times(-3)=-6\)、\(2\times(-4)=-8\) だからです。

そこで分数を使います。\(2\times\left(-\dfrac{7}{2}\right)=-7\) です。

だから \((-7)\div 2=-\dfrac{7}{2}\) となります。

わりきれないことは、まちがいのしるしではありません。整数の中に商がないだけです。

分数で書けば、商はちゃんと出せます。分数どうしのわり算は、レッスン4「分数のわり算」であつかいます。

例題1　商の符号だけを決める

次の商の符号だけを答えなさい。絶対値は計算しなくてかまいません。

（1）\((-48)\div 12\)　（2）\(70\div(-7)\)　（3）\((-90)\div(-15)\)　（4）\(75\div 15\)

手順①だけを使います。わる \(2\) 数の符号が、同じかちがうかを見ます。

確かめ

（1）ちがう符号どうし → −
（2）ちがう符号どうし → −
（3）同じ符号どうし → +
（4）同じ符号どうし → +

答えの吟味

（3）は負の数どうしです。負が二つあっても、商は正になります。

答え　（1）\(-\)　（2）\(-\)　（3）\(+\)　（4）\(+\)

例題2　符号と絶対値に分けて計算する

次の計算をしなさい。

（1）\((-56)\div 14\)　（2）\((-81)\div(-9)\)　（3）\(64\div(-16)\)　（4）\((-112)\div(-7)\)

符号を決めてから、絶対値どうしを割ります。（1）で割る絶対値は、\(|-56|\) が \(56\)、\(|14|\) が \(14\) です。

確かめ

（1）14 × (−4) = −56 　元にもどった
（2）(−9) × 9 = −81 　元にもどった
（3）(−16) × (−4) = 64 　元にもどった
（4）(−7) × 16 = −112 　元にもどった

答えの吟味

同じ符号どうしは（2）と（4）です。この二つだけ、商が正の数になりました。

答え　（1）\(-4\)　（2）\(9\)　（3）\(-4\)　（4）\(16\)

例題3　わりきれない除法

次の計算をしなさい。

（1）\((-17)\div 4\)　（2）\(22\div(-4)\)

整数の中に商がないときは、分数の形で書きます。約分できるときは約分します。

（2）は \(\dfrac{22}{4}\) を \(2\) で約分して \(\dfrac{11}{2}\) にしました。

確かめ

（1）4 × (−4 分の 17) = −17 　元にもどった
（2）(−4) × (−2 分の 11) = 22 　元にもどった

答えの吟味

二つともわりきれませんでした。それでも分数で書けば、商は出せます。

答え　（1）\(-\dfrac{17}{4}\)　（2）\(-\dfrac{11}{2}\)

例題4　かけ算の式から、もとの数を求める

（1）ある数に \(12\) をかけると \(-156\) になりました。ある数を求めなさい。

（2）\(-9\) にある数をかけると \(-153\) になりました。ある数を求めなさい。

かけ算の場面ですが、分からないのは片方だけです。わり算で見つけられます。

確かめ

（1）(−13) × 12 = −156 　元の式が成り立つ
（2）(−9) × 17 = −153 　元の式が成り立つ

答えの吟味

（1）は正の数にかけて負になったので、ある数は負の数です。

（2）は負の数にかけて負になったので、ある数は正の数です。

答え　（1）\(-13\)　（2）\(17\)

例題5　1時間あたりの変化を求める

駅前の駐輪場で、\(4\) 時間のあいだに自転車が \(68\) 台へりました。

台数がへった変化なので、\(4\) 時間ぶんの変化は \(-68\) 台です。

へりかたが毎時間同じだったとすると、\(1\) 時間あたりの変化はいくつですか。

\(4\) 時間ぶんの変化を、\(4\) つに等分します。

確かめ

4 × (−17) = −68 　元にもどった
1 時間で −17 、2 時間で −34 、3 時間で −51 、4 時間で −68

答えの吟味

自転車はへっています。だから \(1\) 時間あたりの変化も負の数になるはずです。

答えは \(-17\) 台で、場面と合っています。

答え　\(-17\) 台（\(1\) 時間に \(17\) 台へる）

今日の問い

かけ算では、かける順番を入れかえてよいのでした。乗法の交換法則です。

では、わり算でも入れかえてよいのでしょうか。

\(12\div 3\) と \(3\div 12\) で、たしかめます。前の商は \(4\) でした。

\(3\div 12\) は「\(12\) に何をかけたら \(3\) になるか」です。\(12\times\dfrac{1}{4}=3\) なので、商は \(\dfrac{1}{4}\) です。

\(4\) と \(\dfrac{1}{4}\) は、まったくちがう数です。入れかえてはいけません。

理由は、わり算がかけ算の逆だからです。逆にたどる向きは、決まっています。

わられる数とわる数は、役わりがちがいます。入れかえてよいのは、かけ算の \(2\) 数だけです。

よくある間違い

まちがい1：負の数が出てくるから、商も負にする

\((-45)\div(-15)\) を計算する問題です。

✗ 負の数が出てくるから、商も負
✗ 符号は −
✗ = −3

手順①で見るのは、わる \(2\) 数の符号の組み合わせです。

\(-45\) も \(-15\) も負の数です。同じ符号どうしなので、商は正の数になります。

○ 同じ符号どうしなので 商の符号は +
○ 商の絶対値は 45 ÷ 15 = 3
○ 答えは 3

かけ算に戻して確かめます。

(−15) × (−3) = 45 　わられる数 −45 とちがう
(−15) × 3 = −45 　わられる数にもどった
誤答は −3 。正しい答え 3 と符号がちがうので、まちがい

負の数の個数ではなく、二つの符号が同じかちがうかを見てください。

まちがい2：大きいほうの数を、小さいほうの数で割る

\((-6)\div 42\) を計算する問題です。

✗ 42 ÷ 6 = 7
✗ 符号は −
✗ = −7

小学校では、大きい数を小さい数で割る計算ばかりでした。そのくせが出た形です。

わられる数は \(-6\)、わる数は \(42\) です。読みかえると「\(42\) に何をかけたら \(-6\) になるか」です。

\(42\) より \(-6\) のほうが \(0\) に近いので、かける数は \(1\) より小さいはずです。

○ 商の符号は −
○ 商の絶対値は 6 ÷ 42 = 7 分の 1
○ 答えは −7 分の 1

かけ算に戻して確かめます。

42 × (−7) = −294 　わられる数 −6 とちがう
42 × (−7 分の 1) = −6 　わられる数にもどった
誤答は −7 。正しい答え −7 分の 1 と絶対値がちがうので、まちがい

わられる数とわる数は、書かれた順のままにしてください。

まちがい3：わられる数の符号だけを見て、商の符号を決める

\(54\div(-18)\) を計算する問題です。

✗ わられる数 54 は正だから、商も正
✗ 54 ÷ 18 = 3
✗ = 3

手順①で見るのは、\(2\) 数の符号です。片方だけでは決まりません。

\(54\) は正の数、\(-18\) は負の数です。ちがう符号どうしなので、商は負の数です。

○ ちがう符号どうしなので 商の符号は −
○ 商の絶対値は 54 ÷ 18 = 3
○ 答えは −3

かけ算に戻して確かめます。

(−18) × 3 = −54 　わられる数 54 とちがう
(−18) × (−3) = 54 　わられる数にもどった
誤答は 3 。正しい答え −3 と符号がちがうので、まちがい

符号を決めるときは、いつも \(2\) 数をそろえて見てください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。符号の行と絶対値の行を、分けて書くこと。

1. 商の符号だけを答えなさい。絶対値は計算しなくてかまいません。 （1）\((-60)\div 15\)　（2）\(90\div(-9)\)　（3）\((-98)\div(-14)\)　（4）\(128\div 8\)

2. \((-72)\div 18\) を計算しなさい。

3. \(96\div(-6)\) を計算しなさい。

4. \((-135)\div(-9)\) を計算しなさい。

5. \((-119)\div 7\) を計算しなさい。

6. \(112\div(-14)\) を計算しなさい。

7. \((-21)\div 4\) を計算しなさい。

8. \((-26)\div 6\) を計算しなさい。

9. ある数に \(-13\) をかけると \(143\) になりました。ある数を求めなさい。

10. 文化祭の入場券が、毎日同じ枚数ずつへっています。\(1\) 日あたりの変化は \(-17\) 枚です。残り枚数の変化が \(-51\) 枚になるのは、何日後ですか。

11. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−102) ÷ (−6)
負の数でわるので 商は負
= −17

12. \((-32)\div 2\) を計算し、かけ算に戻して確かめる式も書きなさい。

13. わり算の符号の決まりが、かけ算の符号の決まりと同じ形になるのはなぜですか。理由を書きなさい。

（1）ちがう符号どうし → −
（2）ちがう符号どうし → −
（3）同じ符号どうし → +
（4）同じ符号どうし → +

2. 18 × (−4) = −72 　元にもどった
3. (−6) × (−16) = 96 　元にもどった
4. (−9) × 15 = −135 　元にもどった
5. 7 × (−17) = −119 　元にもどった
6. (−14) × (−8) = 112 　元にもどった

7. 4 × (−4 分の 21) = −21 　元にもどった
8. 6 × (−3 分の 13) = −26 　元にもどった

(−11) × (−13) = 143 　元の式が成り立つ

(−17) × 3 = −51 　元にもどった

○ 同じ符号どうしなので 商の符号は +
○ 商の絶対値は 102 ÷ 6 = 17
○ 答えは 17

(−6) × (−17) = 102 　わられる数 −102 とちがう
(−6) × 17 = −102 　わられる数にもどった
誤答は −17 。正しい答え 17 と符号がちがうので、まちがい

2 × (−16) = −32 　わられる数にもどった

(−15) ÷ (−5) は 「−5 に何をかけたら −15 か」
負 × 正 = 負 なので 商は正の 3
15 ÷ (−5) は 「−5 に何をかけたら 15 か」
負 × 負 = 正 なので 商は負の −3

次のレッスンへ

わり算の読み方が決まりました。わり算は、かけ算の逆 です。

\(12\div 3\) は「\(3\) に何をかけたら \(12\) になるか」でした。この読み方のおかげで、新しい計算を習わずにすみました。

符号の決まりは、乗法とそろっています。同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。

計算の道具も、そのままでした。符号が先、絶対値があと です。

商が出たら、わる数にかけて、わられる数に戻るかを見てください。

ここまでは、\(0\) の出てこないわり算だけを見てきました。

では \(0\) をわったり、\(0\) でわったりすると、どうなるでしょうか。

次のレッスンは「\(0\) のあつかいと、\(0\) で割れない理由」です。

実際に計算してみて、何が起きるかをたしかめます。

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