0のあつかいと、0で割れない理由

このレッスンでできるようになること

• \(0\div(-7)\) の商を、かけ算の逆という読み方から求められる
• \((-9)\div 0\) と \(0\div 0\) が計算できない理由を、それぞれ別の言葉で説明できる
• わられる数とわる数のどちらが \(0\) かで、答えがあるかないかを見分けられる

前のレッスンの確認

• \(0\) … 正の数でも負の数でもない、境目の数
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 商 … わり算の答えのこと
• わり算は、かけ算の逆 … \(12\div 3\) は、\(3\) に何をかけたら \(12\) になるかを探すこと
• 同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしを割る
• 商が出たら、わる数にかけて、わられる数に戻るかを見る。
• どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。

絶対値は記号でも書きます。\(|-9|\) は \(9\) です。\(|0|\) は \(0\) です。

前のレッスンが、ひとつだけ残していったこと

前のレッスンの終わりに、こう書いてありました。

「なお、\(0\) がからむわり算だけは、この道具が使えません。\(0\) は正の数でも負の数でもないので、手順①で符号が決められないからです。」

たしかに、符号が先、絶対値があと は使えません。\(0\) には符号がないからです。

けれども、もうひとつの道具が残っています。わり算は、かけ算の逆 です。

この読み方だけで、\(0\) がからむわり算は全部かたづきます。

\(0\) の出てくる場所は三つです。わられる数だけ、わる数だけ、そして両方です。順番に見ていきます。

0 を割る場合

まず \(0\div(-7)\) を見ます。わられる数だけが \(0\) の形です。

わり算は、かけ算の逆 で読みかえます。「\(-7\) に何をかけたら \(0\) になるか」です。

ここで前のセクションの決まりを思い出してください。どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。

だから \((-7)\times 0=0\) です。かけたら \(0\) に戻る数が、ひとつ見つかりました。

ほかにもあるでしょうか

答えが二つも三つもあっては困ります。\(-7\) にかける数を、\(0\) の上下にずらしてみます。

\(0\) からずらしたとたん、積は \(0\) から離れました。

かけて \(0\) に戻る数は、\(0\) ただ一つです。 だから商は \(0\) に決まります。

\(0\div(-7)=0\)

商の 0 に、符号は付けません

商は \(0\) です。\(-0\) とも \(+0\) とも書きません。\(0\) は境目の数で、符号を付ける場所がないからです。

わられる数が \(0\) なら、わる数が正でも負でも商は \(0\) です。\(0\div 12\) も \(0\div(-12)\) も \(0\) になります。

0 で割る場合

次は \((-9)\div 0\) です。わる数だけが \(0\) の形です。

同じように読みかえます。「\(0\) に何をかけたら \(-9\) になるか」です。

さがしてみましょう。\(0\) にいろいろな数をかけて、表に書き出します。

積の列が、\(0\) でうまってしまいました。

当たり前です。どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。 行き先は、はじめから \(0\) しかありません。

\(-9\) にたどり着く数は、どこにもありません。

\(0\) にかけて \(-9\) になる数は、一つもありません。 さがす相手が、そもそも存在しないのです。

だから \((-9)\div 0\) は計算できません。商が書けないのではなく、商になる数がないのです。

わられる数もわる数も 0 の場合

三つめは \(0\div 0\) です。わられる数もわる数も \(0\) です。

読みかえると「\(0\) に何をかけたら \(0\) になるか」です。

さきほどの表を、もう一度見てください。積の列は、全部 \(0\) でした。

今度は \(0\) をさがしています。つまり、表のどの行もあてはまります。

\(0\times 4\) も \(0\)、\(0\times(-9)\) も \(0\)、\(0\times 0\) も \(0\) です。どの数を入れても、あてはまってしまいます。

商が \(4\) でも \(-9\) でも \(0\) でも、確かめの式が成り立ちます。これでは答えが選べません。

あてはまる数が多すぎて、商がただ一つに決まりません。 だから \(0\div 0\) も計算できません。

本を運ぶ場面で、三つを見くらべる

図書室から、となりの部屋へ本を運びます。運び終わる回数は、全部の冊数を \(1\) 回ぶんの冊数で割れば出ます。

\(0\) 冊を \(1\) 回に \(6\) 冊ずつ運ぶなら、一度も運ばなくても、もう終わっています。

\(18\) 冊を \(1\) 回に \(0\) 冊ずつだと、かごが空のまま何度往復しても \(18\) 冊は動きません。運び終わる回数が、一つもありません。

\(0\) 冊を \(1\) 回に \(0\) 冊ずつなら、\(0\) 回でも \(5\) 回でも終わっています。回数がいくつでも通ってしまい、一つに決まりません。

分ける場面でも同じです。\(18\) 冊を \(0\) 人で分けることはできません。

配る相手が一人もいないので、分ける場面そのものが成り立ちません。

数で調べたことと、場面で調べたことが、ぴったり重なりました。

できない理由は、二つでちがいます

\((-9)\div 0\) と \(0\div 0\) は、どちらも計算できません。

けれども、できない理由はまるでちがいます。

\((-9)\div 0\) は、あてはまる数が一つもないから決まりません。

\(0\div 0\) は、あてはまる数が多すぎるから決まりません。

「一つもない」と「一つに決まらない」は、別のことです。

品切れの店と、同じ品物が山積みで選べない店をくらべてみてください。どちらも買って帰れませんが、店の様子は正反対です。

「割ってはいけない」のではありません

「\(0\) では割れない」という言い方を、よく聞きます。まちがいではありません。

ただ、この言い方だと、決まりで禁止されているように聞こえます。

そうではありません。\(0\) で割ってはいけないのではなく、商を決められないのです。

いま言っているのは、わる数が \(0\) のときの話です。\(0\) を割るほうは、ふつうに計算できます。

\(0\div(-7)\) には、\(0\) という商がちゃんとあります。ここを禁止だと思わないでください。

0 のあつかいを、一枚にまとめる

三つの場合を、一枚の図にまとめます。見分け方は、たったひとつです。わる数を見てください。

\(0\) が出てくるわり算では、わられる数だけが \(0\) のときに、答えがあります。

前のレッスンの道具は、どこまで使えるか

符号が先、絶対値があと に戻ります。手順①は、二つの符号が同じかちがうかを見るものでした。

\(0\) には符号がありません。同じもちがうも言えないので、手順①は空回りします。

手順②のほうは動きます。\(|0|\) は \(0\)、\(|-7|\) は \(7\) なので、\(0\div 7=0\) と出ます。

ただし、出てきた \(0\) に符号を付けてはいけません。

例題1　0 を割る計算

次の計算をしなさい。

（1）\(0\div 24\)　（2）\(0\div(-16)\)　（3）\(0\div(-1)\)

どれもわられる数が \(0\) です。「わる数に何をかけたら \(0\) になるか」と読みかえます。わられる数の絶対値は、\(|0|\) で \(0\) です。

確かめ

（1）24 × 0 = 0 　元にもどった
（2）(−16) × 0 = 0 　元にもどった
（3）(−1) × 0 = 0 　元にもどった

答えの吟味

わる数には、正の数も負の数もありました。それでも商は全部 \(0\) です。

商の \(0\) に、\(+\) や \(-\) は付けません。

答え　（1）\(0\)　（2）\(0\)　（3）\(0\)

例題2　決まるか、決まらないかを見分ける

商が決まるものは、商を答えなさい。決まらないものは、その理由を「そんな数がない」「一つに決まらない」のどちらかで答えなさい。

（1）\((-3)\div 0\)　（2）\(0\div(-3)\)　（3）\(0\div 0\)

三つとも読みかえてから、あてはまる数が何個あるかを数えます。

確かめ

（1）0 × 3 = 0 、0 × (−3) = 0 　どれも −3 にならない
（2）(−3) × 0 = 0 　元にもどった
（3）0 × 3 = 0 、0 × (−3) = 0 　どちらも 0 に戻ってしまう

答えの吟味

（1）と（3）は、どちらも計算できません。それでも理由はちがいます。

答え　（1）計算できない（そんな数がない）　（2）\(0\)　（3）計算できない（一つに決まらない）

例題3　計算できるものと、できないものを分ける

次のうち、計算できるものは計算しなさい。できないものは「計算できない」と書きなさい。

（1）\(0\div(-30)\)　（2）\((-136)\div 8\)　（3）\((-14)\div 0\)

まずわる数を見ます。わる数が \(0\) でなければ、前のレッスンのやり方で計算できます。

確かめ

（1）(−30) × 0 = 0 　元にもどった
（2）8 × (−17) = −136 　元にもどった
（3）0 × (−14) = 0 　−14 にならない

答えの吟味

できないのは（3）だけでした。わる数が \(0\) なのも、（3）だけです。

答え　（1）\(0\)　（2）\(-17\)　（3）計算できない

例題4　商が正しいかを、かけ算で確かめる

\(0\div(-18)\) の商を \(-18\) と答えた人がいます。正しいかどうかを確かめなさい。

商が出たら、わる数にかけて、わられる数に戻るかを見る。 この書きぐせの出番です。

確かめ

(−18) × (−18) = 324 　わられる数 0 とちがう
(−18) × 0 = 0 　わられる数にもどった
誤答は −18 。正しい商 0 とちがうので、まちがい

答えの吟味

わられる数が \(0\) なので、商は \(0\) です。わる数の \(-18\) は、商には残りません。

答え　まちがい。正しい商は \(0\)

例題5　本を運ぶ回数

かごに入れて、\(1\) 回に \(9\) 冊ずつ本を運びます。

（1）運ぶ本が \(0\) 冊のとき、運び終わるまで何回かかりますか。

（2）\(1\) 回に運ぶ冊数を \(0\) 冊にすると、\(40\) 冊はいつ運び終わりますか。

どちらも、全部の冊数を \(1\) 回ぶんの冊数で割ります。

確かめ

（1）9 × 0 = 0 　運ぶ本は 0 冊。合っている
（2）0 × 10 = 0 、0 × 100 = 0 　いつまでも 0 冊のまま

答えの吟味

（1）は運ぶ本がないので、\(0\) 回で終わります。場面と合っています。

（2）は往復をいくら続けても終わりません。だから回数が決まりません。

答え　（1）\(0\) 回　（2）運び終わらないので、回数は求められない

今日の問い

「\(0\) で割る」と「\(0\) を割る」は、一字しかちがいません。同じことでしょうか。

読み分けてみます。「で」のうしろがわる数、「を」の前がわられる数です。

一字ちがうだけで、答えがあるかないかが入れかわりました。

「\(0\) で割れない」と言うとき、消えているのは「を」のほうです。\(0\) を割るのは、いつでもできます。

式に書き直してから、\(0\) の場所を見てください。

よくある間違い

まちがい1：0 で割ると、商が 0 になると思う

\((-40)\div 0\) を計算する問題です。

✗ 0 で割るのだから 商も 0
✗ = 0

読みかえると「\(0\) に何をかけたら \(-40\) になるか」です。商を \(0\) にしても \(0\times 0=0\) で、\(-40\) には戻りません。

○ 0 に何をかけても 0 のまま
○ −40 になる数は 一つもない
○ 計算できない

かけ算に戻して確かめます。

0 × 0 = 0 　わられる数 −40 とちがう
0 × (−40) = 0 　わられる数 −40 とちがう
誤答は 0 。どの数をかけても −40 に戻らないので、まちがい

わる数が \(0\) のときは、商そのものがありません。

まちがい2：0 を割る計算まで、できないと思う

\(0\div(-25)\) を計算する問題です。

✗ 0 が出てくるから 計算できない
✗ 答えなし

\(0\) が出てくれば何でもだめ、と覚えてしまった形です。見るのは、\(0\) がどこにあるかです。

この式で \(0\) は、わられる数のほうにあります。

○ −25 に何をかけたら 0 か
○ (−25) × 0 = 0 だから 商は 0
○ 答えは 0

かけ算に戻して確かめます。

(−25) × 0 = 0 　わられる数にもどった
かけて 0 に戻る数は 0 だけ。ただ一つに決まる
誤答は「答えなし」。商 0 があるので、まちがい

計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

まちがい3：商の 0 に、符号を付ける

\(0\div(-32)\) を計算する問題です。

✗ わる数が負だから 商も負
✗ = −0

前のレッスンの手順①を、そのまま当てはめた形です。\(0\) は正でも負でもないので、手順①は使えません。

○ −32 に何をかけたら 0 か
○ (−32) × 0 = 0 だから 商は 0
○ 答えは 0

かけ算に戻して確かめます。

(−32) × 0 = 0 　わられる数にもどった
0 に符号を付ける場所はない
誤答は −0 。0 に符号は付かないので、書き方がまちがい

\(0\) には符号がありません。\(-0\) とも \(+0\) とも書かないでください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。\(0\) がわられる数とわる数のどちらにあるかを、はじめに書くこと。

1. 次の計算をしなさい。 （1）\(0\div 21\)　（2）\(0\div(-35)\)　（3）\(0\div(-4)\)

2. \((-15)\div 0\) を計算しようとすると、何が起きますか。かけ算に戻して説明しなさい。

3. \(0\div 0\) の商が一つに決まらない理由を書きなさい。あてはまってしまう数も、三つ挙げなさい。

4. 計算できるものは計算し、できないものは「計算できない」と書きなさい。 （1）\(0\div(-13)\)　（2）\((-121)\div(-11)\)　（3）\(7\div 0\)

5. \((-52)\div 0\) と \(0\div(-52)\) のちがいを書きなさい。

6. \(0\div(-9)\) の商を \(-0\) と書いてよいですか。理由も書きなさい。

7. \((-100)\div 10\) を計算しなさい。

8. かごに入れて、\(1\) 回に \(11\) 冊ずつ本を運びます。運ぶ本が \(0\) 冊のとき、何回で運び終わりますか。

9. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

0 ÷ 0
わられる数が 0 だから
= 0

10. ある数を \(-19\) で割ったら、商が \(0\) になりました。ある数を求めなさい。

11. 「\(0\) で割ってはいけない」という言い方より正確な言い方を、一文で書きなさい。

12. \(0\) がからむわり算で、符号が先、絶対値があと の手順①が使えないのはなぜですか。

（1）21 × 0 = 0 　（2）(−35) × 0 = 0 　（3）(−4) × 0 = 0
三つとも 元にもどった

0 × 3 = 0 　−15 にならない
0 × (−15) = 0 　−15 にならない
0 × 0 = 0 　−15 にならない
どんな数をかけても 積は 0 のまま

0 × 5 = 0 　あてはまる
0 × (−8) = 0 　あてはまる
0 × 0 = 0 　あてはまる
商を 5 としても −8 としても 確かめの式が成り立つ

（1）(−13) × 0 = 0 　元にもどった
（2）(−11) × 11 = −121 　元にもどった
（3）0 × 7 = 0 　7 にならない

0 × (−52) = 0 　−52 に戻らない
(−52) × 0 = 0 　元にもどった

(−9) × 0 = 0 　元にもどった
商は 0 。符号を付ける場所がない

10 × (−10) = −100 　元にもどった

11 × 0 = 0 　運ぶ本は 0 冊。合っている

○ 0 に何をかけたら 0 か
○ どの数をかけても 0 になる
○ 商が一つに決まらないので 計算できない

0 × 0 = 0 　あてはまる
0 × 6 = 0 　あてはまる
誤答は 0 。ほかの数もあてはまるので、答えを 0 に決められない

0 ÷ (−19) は 「−19 に何をかけたら 0 か」
(−19) × 0 = 0 　商は 0 で 問題文と合う

(−15) ÷ 0 は かけて −15 に戻る数がない
0 ÷ 0 は かけて 0 に戻る数が多すぎる
どちらも 商を一つに決められない

0 は 正の数でも負の数でもない
だから 同じ符号どうし とも ちがう符号どうし とも言えない
手順① は 空回りする

次のレッスンへ

新しい決まりは、ひとつも作りませんでした。わり算は、かけ算の逆 だけで、三つとも片がつきました。

\(0\) を割る式は、かけて戻る数がただ一つなので、商は \(0\) に決まります。

\(0\) で割る式は、かけて戻る数が一つもないので、商がありません。

\(0\div 0\) は、かけて戻る数が多すぎるので、商が一つに決まりません。

「一つもない」と「一つに決まらない」は、別のことです。 ここだけは混ぜないでください。

さて、\(0\) を離れて、ふつうのわり算に戻ります。わり算そのものを、かけ算に書き直せないでしょうか。

次のレッスンは「逆数」です。かけて \(1\) になる相手の数を、新しく用意します。

その相手を使うと、わり算がかけ算に変わります。

次のレッスンへ　逆数　→

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