逆数

このレッスンでできるようになること

• かけて \(1\) になる \(2\) 数の関係を、逆数という言葉で言い表せる
• 分数・整数・小数の逆数を、符号を変えずに求められる
• \(0\) に逆数がない理由を、かけ算に戻して説明できる

前のレッスンの確認

• 積 … かけ算の答えのこと
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。
• どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。
• \(1\) をかけると、数は変わりません。
• \(-1\) をかけると、その数の反対の数になります。
• 約分は、かける前に … 分子どうし・分母どうしをかける。約分はかけ算の前にしておくと、大きい数が出てこない
• 整数は、分母が \(1\) の分数と見ます
• 混じった式は、分数にそろえてください。（小数と分数が混じったとき）

絶対値は記号でも書きます。\(|-4|\) は \(4\) です。\(\left|-\dfrac{2}{3}\right|\) は \(\dfrac{2}{3}\) です。

かけて 1 になる相手をさがす

セクション6では、ずっとわり算を見てきました。今日はいったん、かけ算に戻ります。

次の計算をしてみてください。

\(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{2}\)

分子は \(2\times 3=6\)、分母は \(3\times 2=6\) です。\(\dfrac{6}{6}\) は \(1\) になりました。

\(\dfrac{2}{3}\) には、かけると \(1\) になる相手がいたわけです。

こういう \(2\) 数に、名前を付けます。

かけて \(1\) になる \(2\) 数の、一方をもう一方の逆数といいます。

\(\dfrac{2}{3}\) の逆数は \(\dfrac{3}{2}\) で、\(\dfrac{3}{2}\) の逆数は \(\dfrac{2}{3}\) です。

\(2\) 数はおたがいに相手の逆数です。

逆数かどうかは、かけて確かめる

逆数を書いたあとは、かならず一度かけてみてください。

逆数を書いたら、かけて \(1\) になるかを見る。 これを書きぐせにします。\(1\) にならなかったら、逆数ではありません。

分数の逆数は、分子と分母を入れかえる

\(\dfrac{2}{3}\) と \(\dfrac{3}{2}\) は、上と下がそっくり入れかわっています。

分数の逆数は、分子と分母を入れかえたものです。

\(\dfrac{7}{5}\) の逆数も見ます。入れかえて \(\dfrac{5}{7}\) です。

約分は、かける前に を使うと、\(7\) と \(7\)、\(5\) と \(5\) が約分できます。

\(\dfrac{7}{5}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{1\times 1}{1\times 1}=1\)

入れかえた形なら、分子と分母に同じ数の組がそろいます。だから、かならず \(1\) になります。

符号は、そのまま残ります

ここがいちばん取りちがえの多いところです。

\(-\dfrac{2}{3}\) の逆数は、入れかえた \(\dfrac{3}{2}\) でよいのでしょうか。

確かめてみます。逆数を書いたら、かけて \(1\) になるかを見る。 でした。

（−3 分の 2） × （2 分の 3）　ちがう符号どうし → −1
（−3 分の 2） × （−2 分の 3）　同じ符号どうし → 1
どちらも 絶対値の積は 3 分の 2 × 2 分の 3 = 1

上の行は \(-1\) です。\(1\) ではないので、\(\dfrac{3}{2}\) は逆数ではありません。

下の行が \(1\) になりました。\(-\dfrac{2}{3}\) の逆数は \(-\dfrac{3}{2}\) です。

逆数にしても、符号は変わりません。

負の数の逆数が、いつも負になる理由

逆数の相手は、かけて \(1\) になる数でした。\(1\) は正の数です。

セクション5の決まりを思い出してください。同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。

積が正になるのは、\(2\) 数が同じ符号のときだけです。だから、負の数の相手も負の数です。

負の数の逆数は、負の数です。 正の数の逆数は、正の数です。

入れかえるのは分子と分母だけです。符号には手をつけません。

整数の逆数

\(-4\) の逆数を考えます。分子も分母も見あたりません。

こういうときのために、セクション5で決めてありました。整数は、分母が \(1\) の分数と見ます。

\(-4\) は \(-\dfrac{4}{1}\) です。ここまで来れば、あとは入れかえるだけです。

\(-\dfrac{4}{1}\) の分子と分母を入れかえると、\(-\dfrac{1}{4}\) です。符号はそのままにします。

確かめ

（−4） × （−4 分の 1）　同じ符号どうし → +
絶対値は 4 × 4 分の 1 = 1 　答えは 1

\(8\) の逆数も同じです。\(8\) を \(\dfrac{8}{1}\) と見て、入れかえて \(\dfrac{1}{8}\) です。

整数の逆数は、分子が \(1\) の分数になります。

小数の逆数

\(0.6\) の逆数を考えます。小数のままでは、分子も分母もありません。

セクション5では、小数と分数が混じったときに 混じった式は、分数にそろえてください。 と決めました。

小数の逆数でも、同じように分数へそろえます。\(0.6\) は \(\dfrac{6}{10}\) で、約分して \(\dfrac{3}{5}\) です。

分数になったら、入れかえます。\(\dfrac{3}{5}\) の逆数は \(\dfrac{5}{3}\) です。

確かめ

5 分の 3 × 3 分の 5 = 1

先に分数に直し、そのあとで入れかえます。 小数のままでは、分子と分母がないからです。

0 に逆数はありません

\(0\) の逆数もさがしてみます。読みかえると「\(0\) にかけて \(1\) になる数はどれか」です。

前のレッスンと同じやり方で、表に書き出します。

積の列が、\(0\) でうまってしまいました。理由は前のレッスンで見たとおりです。

どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。 \(1\) には、どうやっても届きません。

\(0\) にかけて \(1\) になる数は、一つもありません。 だから \(0\) に逆数はありません。

「0 は計算に使えない」という意味ではありません

いま言っているのは、逆数の話だけです。

\(0\) をたすことも、引くことも、かけることもできます。\(0\div(-7)\) の商が \(0\) になることも、前のレッスンで確かめました。

逆数がないのは \(0\) だけです。 ほかの数には、正でも負でも、かならず逆数があります。

1 と −1 の逆数は、自分自身

\(1\) の逆数をさがします。「\(1\) にかけて \(1\) になる数はどれか」です。

\(1\) をかけると、数は変わりません。 だから \(1\times 1=1\) で、\(1\) の逆数は \(1\) です。

\(-1\) も見ます。\(-1\) をかけると、その数の反対の数になります。 \(-1\) の反対の数は \(1\) です。

つまり \((-1)\times(-1)=1\) です。\(-1\) の逆数は \(-1\) です。

分数の見方でも合います。\(1\) は \(\dfrac{1}{1}\)、\(-1\) は \(-\dfrac{1}{1}\) です。

入れかえても \(\dfrac{1}{1}\) のままで、動きようがありません。

逆数が自分自身になる数は、\(1\) と \(-1\) の二つだけです。

逆数の作り方を、一枚にまとめる

分数でも整数でも小数でも、やることは同じです。分数の形にしてから、入れかえます。

図の \(2\) 行目の逆数は \(-\dfrac{1}{4}\) で、もとの \(-4\) と符号がそろっています。

例題1　分数の逆数

次の数の逆数を求めなさい。

（1）\(\dfrac{4}{9}\)　（2）\(-\dfrac{9}{2}\)　（3）\(-\dfrac{12}{5}\)

符号はそのままにして、絶対値の分子と分母を入れかえます。（2）の絶対値は \(\left|-\dfrac{9}{2}\right|\) で \(\dfrac{9}{2}\) です。

確かめ

（1）9 分の 4 × 4 分の 9 = 1
（2）（−2 分の 9） × （−9 分の 2） = 1
（3）（−5 分の 12） × （−12 分の 5） = 1

答えの吟味

（2）と（3）は負の数です。逆数も負なので、同じ符号どうしで積が \(1\) になります。

答え　（1）\(\dfrac{9}{4}\)　（2）\(-\dfrac{2}{9}\)　（3）\(-\dfrac{5}{12}\)

例題2　整数の逆数

次の数の逆数を求めなさい。

（1）\(7\)　（2）\(-6\)　（3）\(-15\)

整数は、分母が \(1\) の分数と見ます。分母 \(1\) の形に直してから入れかえます。

確かめ

（1）7 × 7 分の 1 = 1
（2）（−6） × （−6 分の 1） = 1
（3）（−15） × （−15 分の 1） = 1

答えの吟味

逆数はどれも分子が \(1\) の分数で、絶対値は \(1\) より小さくなりました。

答え　（1）\(\dfrac{1}{7}\)　（2）\(-\dfrac{1}{6}\)　（3）\(-\dfrac{1}{15}\)

例題3　小数の逆数

次の数の逆数を求めなさい。

（1）\(1.25\)　（2）\(-0.35\)　（3）\(0.2\)

小数のままでは入れかえられません。先に分数に直します。小数点より右に数字が \(1\) つなら分母は \(10\)、\(2\) つなら分母は \(100\) です。

確かめ

（1）4 分の 5 × 5 分の 4 = 1
（2）（−20 分の 7） × （−7 分の 20） = 1
（3）5 分の 1 × 5 = 1

答えの吟味

（3）は分子が \(1\) なので、逆数は整数の \(5\) になりました。

答え　（1）\(\dfrac{4}{5}\)　（2）\(-\dfrac{20}{7}\)　（3）\(5\)

例題4　逆数の組かどうかを見分ける

次の \(2\) 数は、たがいに逆数の関係になっていますか。

（1）\(-\dfrac{3}{8}\) と \(-\dfrac{8}{3}\)　（2）\(\dfrac{4}{11}\) と \(-\dfrac{11}{4}\)　（3）\(-9\) と \(-\dfrac{1}{9}\)

見た目で決めずに、かけてみます。逆数を書いたら、かけて \(1\) になるかを見る。 の出番です。

絶対値の積は三つとも \(1\) です。ちがうのは符号です。

確かめ

（1）（−8 分の 3） × （−3 分の 8） = 1 　逆数の組
（2）11 分の 4 × （−4 分の 11） = −1 　1 ではない
（3）（−9） × （−9 分の 1） = 1 　逆数の組

答えの吟味

（2）は片方だけ符号を変えたので、積が \(-1\) になりました。

答え　（1）なっている　（2）なっていない　（3）なっている

例題5　かけて 1 になる相手を求める

ある数に \(-\dfrac{10}{3}\) をかけると \(1\) になりました。ある数を求めなさい。

かけて \(1\) になる相手をさがす問題です。つまり \(-\dfrac{10}{3}\) の逆数を求めます。

確かめ

（−10 分の 3） × （−3 分の 10）　同じ符号どうし → +
絶対値は 10 分の 3 × 3 分の 10 = 1 　答えは 1

答えの吟味

もし符号を \(+\) にしていたら、積は \(-1\) です。問題文の \(1\) とちがってしまいます。

答え　\(-\dfrac{3}{10}\)

今日の問い

逆数にすると、数は大きくなるのでしょうか。それとも小さくなるのでしょうか。

ここまでに出てきた組をならべます。

上の \(2\) 行は、絶対値が小さくなりました。\(|8|\) は \(8\) で、逆数の絶対値は \(\dfrac{1}{8}\) です。

\(3\) 行目は反対に、絶対値が \(1\) より小さい数から、\(1\) より大きい数になりました。

境目は \(1\) です。絶対値が \(1\) より大きい数の逆数は、絶対値が \(1\) より小さくなります。

境目に立つ \(1\) と \(-1\) は、どちらへも動かないので逆数が自分自身になります。

答えは「大きくなることも、小さくなることもある」です。見分けるものさしは、絶対値と \(1\) のくらべ方です。

よくある間違い

まちがい1：負の数の逆数を、正の数にしてしまう

\(-\dfrac{9}{7}\) の逆数を求める問題です。

✗ 分子と分母を入れかえて 9 分の 7
✗ 逆数は 9 分の 7

入れかえるところは合っています。落としたのは符号です。

かけて確かめます。

（−7 分の 9） × （9 分の 7）　ちがう符号どうし → −1
1 ではないので 逆数ではない

正しくは、符号をそのまま残します。

○ 符号は − のまま
○ 絶対値の分子と分母を入れかえて 9 分の 7
○ 逆数は −9 分の 7

もう一度かけて確かめます。

（−7 分の 9） × （−9 分の 7）　同じ符号どうし → +
絶対値は 7 分の 9 × 9 分の 7 = 1 　答えは 1
誤答は 9 分の 7 。かけると −1 になるので、まちがい

逆数にしても、符号は変わりません。

まちがい2：逆数と、反対の数を取りちがえる

\(10\) の逆数を求める問題です。

✗ 符号を変えて −10
✗ 逆数は −10

\(-10\) は \(10\) の反対の数です。反対の数 は、たすと \(0\) になる相手でした。

10 × （−10） = −100 　1 ではない
10 + （−10） = 0 　こちらが 反対の数の役わり

正しくは、分母 \(1\) の分数と見てから入れかえます。

○ 10 を 1 分の 10 と見る
○ 入れかえて 10 分の 1
○ 逆数は 10 分の 1

かけて確かめます。

10 × 10 分の 1 = 1 　積は 1
誤答は −10 。かけると −100 になるので、まちがい

たして \(0\) になる相手が反対の数、かけて \(1\) になる相手が逆数です。

まちがい3：小数のまま、逆数を作ろうとする

\(0.9\) の逆数を求める問題です。

✗ 0.9 の 9 を分母にして 9 分の 1
✗ 逆数は 9 分の 1

小数には、分子も分母もありません。数字だけを取り出して分母にはできません。

0.9 × 9 分の 1 = 0.1 　1 ではない

正しくは、先に分数に直します。小数点より右の数字は \(1\) つなので、分母は \(10\) です。

○ 0.9 を 10 分の 9 に直す
○ 入れかえて 9 分の 10
○ 逆数は 9 分の 10

かけて確かめます。

10 分の 9 × 9 分の 10 = 1 　積は 1
誤答は 9 分の 1 。かけると 0.1 になるので、まちがい

小数の逆数は、先に分数に直してから入れかえてください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。逆数を書いたら、かならず一度かけて \(1\) になるかを見ること。

1. 次の数の逆数を求めなさい。 （1）\(\dfrac{5}{8}\)　（2）\(-\dfrac{7}{6}\)　（3）\(\dfrac{13}{4}\)　（4）\(-\dfrac{1}{14}\)

2. 次の数の逆数を求めなさい。 （1）\(12\)　（2）\(-3\)　（3）\(-25\)

3. 次の数の逆数を求めなさい。 （1）\(1.75\)　（2）\(-0.05\)

4. 次の \(2\) 数は、たがいに逆数の関係になっていますか。 （1）\(\dfrac{9}{5}\) と \(\dfrac{5}{9}\)　（2）\(-\dfrac{2}{11}\) と \(\dfrac{11}{2}\)　（3）\(-\dfrac{1}{16}\) と \(-16\)

5. \(0\) に逆数はありますか。理由も書きなさい。

6. \(-\dfrac{8}{7}\) の逆数を求め、さらにその逆数の逆数も求めなさい。

7. ある数に \(\dfrac{6}{13}\) をかけると \(1\) になりました。ある数を求めなさい。

8. 次はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

−2 分の 5 の逆数
分子と分母を入れかえて
= 5 分の 2

9. 負の数の逆数が、かならず負の数になる理由を書きなさい。

10. \(\dfrac{3}{11}\) の逆数は \(1\) より大きいですか、小さいですか。逆数を求めてから答えなさい。

11. \(-2\) の逆数と、\(-2\) の反対の数を、それぞれ求めなさい。

12. 逆数が自分自身になる数を、すべて答えなさい。

（1）8 分の 5 × 5 分の 8 = 1
（2）（−6 分の 7） × （−7 分の 6） = 1
（3）4 分の 13 × 13 分の 4 = 1
（4）（−14 分の 1） × （−14） = 1

（1）12 × 12 分の 1 = 1
（2）（−3） × （−3 分の 1） = 1
（3）（−25） × （−25 分の 1） = 1

（1）4 分の 7 × 7 分の 4 = 1
（2）（−20 分の 1） × （−20） = 1

（1）5 分の 9 × 9 分の 5 = 1 　逆数の組
（2）（−11 分の 2） × 2 分の 11 = −1 　1 ではない
（3）（−16 分の 1） × （−16） = 1 　逆数の組

0 × 7 = 0 、0 × （−7） = 0 、0 × 0 = 0
どんな数をかけても 積は 0 のまま

（−7 分の 8） × （−8 分の 7） = 1 　どちらの向きでも 1

13 分の 6 × 6 分の 13 = 1 　問題文と合う

○ 符号は − のまま
○ 絶対値の分子と分母を入れかえて 5 分の 2
○ 逆数は −5 分の 2

（−2 分の 5） × （5 分の 2） = −1 　1 ではない
（−2 分の 5） × （−5 分の 2） = 1 　元の相手にもどった
誤答は 5 分の 2 。かけると −1 になるので、まちがい

積が正の 1 になるのは 同じ符号どうしのときだけ
だから 負の数の相手も 負の数

11 分の 3 × 3 分の 11 = 1 　逆数になっている
3 分の 11 は 3 分の 3 = 1 より大きい

（−2） × （−2 分の 1） = 1 　逆数で合っている
（−2） + 2 = 0 　反対の数で合っている

1 × 1 = 1 、（−1） × （−1） = 1 　あてはまる
2 × 2 = 4 、3 分の 2 × 3 分の 2 = 9 分の 4 　1 ではない

次のレッスンへ

新しい相手の数を、一つ手に入れました。

かけて \(1\) になる \(2\) 数の、一方をもう一方の逆数といいます。

作り方は一つです。分数の逆数は、分子と分母を入れかえたものです。

整数は分母 \(1\) の分数と見て、小数は先に分数に直します。あとは同じです。

符号にだけ気をつけてください。逆数にしても、符号は変わりません。

\(0\) に逆数はありません。 \(0\) にかけて \(1\) になる数が、一つもないからです。

書いたあとは 逆数を書いたら、かけて \(1\) になるかを見る。 を忘れないでください。

さて、なぜ今日、逆数を用意したのでしょうか。

次のレッスンで、分数のわり算がこれ一つで片づくからです。

次のレッスンは「分数のわり算」です。逆数の出番を、そこで見ます。

次のレッスンへ　分数のわり算　→

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