分数のわり算

このレッスンでできるようになること

• 分数のわり算を、わり算は、かけ算の逆 から読み直して、逆数をかける形に直せる
• わる数だけを逆数にして、符号と絶対値に分けて商を求められる
• 整数・小数・帯分数がまじった式を、分数にそろえて計算できる

前のレッスンの確認

• 商 … わり算の答えのこと
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• わり算は、かけ算の逆 … \(12\div 3\) は、\(3\) に何をかけたら \(12\) になるかを探すこと
• 同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしを割る
• 商が出たら、わる数にかけて、わられる数に戻るかを見る。
• かけて \(1\) になる \(2\) 数の、一方をもう一方の逆数といいます。
• 分数の逆数は、分子と分母を入れかえたものです。
• 逆数にしても、符号は変わりません。
• 逆数を書いたら、かけて \(1\) になるかを見る。
• \(0\) に逆数はありません。
• 計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。
• \(1\) をかけると、数は変わりません。
• 乗法の交換法則 … かける順番を入れかえても、積は変わらない
• 乗法の結合法則 … どこからかけても、積は変わらない
• 約分は、かける前に … 分子どうし・分母どうしをかける。約分はかけ算の前にしておく
• 整数は、分母が \(1\) の分数と見ます
• 混じった式は、分数にそろえてください。
• 帯分数は、先に仮分数に直します

絶対値は記号でも書きます。\(\left|-\dfrac{9}{8}\right|\) は \(\dfrac{9}{8}\) です。

分数でわる式を、前と同じ読み方で読む

次の式を見てください。

\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)\div\left(+\dfrac{9}{8}\right)\)

分数を分数でわる式です。新しい計算に見えますが、道具はもうそろっています。

わり算は、かけ算の逆 でした。読みかえると「\(+\dfrac{9}{8}\) に何をかけたら \(-\dfrac{3}{4}\) になるか」です。

二回に分けて考える

\(\dfrac{9}{8}\) にいきなり何をかければよいかは、すぐには見えません。

そこで、目的地までを二回に分けます。まず \(\dfrac{9}{8}\) を \(1\) にします。

かけて \(1\) になる \(2\) 数の、一方をもう一方の逆数といいます。 その逆数の出番です。

分数の逆数は、分子と分母を入れかえたものです。 だから逆数は \(\dfrac{8}{9}\) です。

逆数を書いたら、かけて \(1\) になるかを見る。

8 分の 9 × 9 分の 8 = 1 　逆数になっている

\(1\) まで来ました。\(1\) をかけると、数は変わりません。

だから \(1\) に \(-\dfrac{3}{4}\) をかければ、\(-\dfrac{3}{4}\) に着きます。

\(\dfrac{9}{8}\times\dfrac{8}{9}\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)\)

乗法の結合法則 を使うと、うしろの \(2\) 数を先にかけてもかまいません。

乗法の交換法則 を使うと、その \(2\) 数の順番も入れかえられます。

まとめると \(-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{9}\) です。さがしていたのは、この数でした。

\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)\div\left(+\dfrac{9}{8}\right)=\left(-\dfrac{3}{4}\right)\times\dfrac{8}{9}\)

手順を決めます

いましたことを、一つの文にまとめます。

わる数を逆数にして、かけ算に直す。

これが分数のわり算の手順です。

わり算は、かけ算の逆 と逆数から出てきたものです。

逆数にするのは、わる数だけ

逆数にするのは、わる数だけです。わられる数は、そのまま置いておきます。

\(1\) にもどす相手は、わる数でした。わられる数は、目的地として最後にかけただけです。

符号の決め方は、変わりません

符号が先、絶対値があと をそのまま使います。

1. 符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)）
2. 絶対値どうしを割る

手順②の「絶対値どうしを割る」は、そのままです。 絶対値どうしを割るところで、わる数を逆数にして、かけ算に直す。

逆数にしても、符号は変わりません。 だから \(2\) 数の符号の組み合わせも変わりません。

つまり 同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。

最初の式を、最後まで計算する

かけ算に直したあとは、約分は、かける前に の出番です。

確かめ

8 分の 9 × (−3 分の 2) 　ちがう符号どうし → −
絶対値は 8 分の 9 × 3 分の 2 = 4 分の 3
答えは −4 分の 3 　わられる数にもどった

商が出たら、わる数にかけて、わられる数に戻るかを見る。

わる数が負の数のとき

\(\left(+\dfrac{5}{7}\right)\div\left(-\dfrac{10}{21}\right)\) の逆数は \(-\dfrac{21}{10}\) です。符号はそのままです。

手順①から商の符号は \(-\) です。絶対値は \(\dfrac{5}{7}\times\dfrac{21}{10}\) で、約分して \(\dfrac{3}{2}\) になります。

（−21 分の 10） × （−2 分の 3） 　同じ符号どうし → +
絶対値は 21 分の 10 × 2 分の 3 = 7 分の 5 　わられる数にもどった

答えは \(-\dfrac{3}{2}\) です。符号は手順①で決めたので、絶対値の計算では気にしません。

整数・小数・帯分数がまじるとき

見た目がちがうだけです。分数の形にそろえてしまえば、あとは同じ道を通ります。

整数がまじるとき

\(\left(-\dfrac{4}{15}\right)\div(-6)\) では、整数のままだと分子と分母が見あたりません。

整数は、分母が \(1\) の分数と見ます。\(-6\) は \(-\dfrac{6}{1}\) で、逆数は \(-\dfrac{1}{6}\) です。

同じ符号どうしなので商は正です。\(\dfrac{4}{15}\times\dfrac{1}{6}\) を約分して \(\dfrac{2}{45}\) になります。

（−6） × 45 分の 2 = −45 分の 12 = −15 分の 4 　わられる数にもどった

\((-14)\div\left(-\dfrac{7}{3}\right)\) のように、整数がわられる数のこともあります。

このときも逆数にするのはわる数です。\(\dfrac{14}{1}\times\dfrac{3}{7}\) を約分して、商は \(6\) です。

小数がまじるとき

\((-2.4)\div\left(-\dfrac{6}{5}\right)\) には、小数と分数が同じ式に入っています。

混じった式は、分数にそろえてください。 \(2.4\) は \(\dfrac{24}{10}\) で、約分して \(\dfrac{12}{5}\) です。

同じ符号どうしなので商は正です。\(\dfrac{12}{5}\times\dfrac{5}{6}\) を約分して \(2\) になります。

（−5 分の 6） × 2 = −5 分の 12 = −2.4 　わられる数にもどった

帯分数がまじるとき

\(\left(-1\dfrac{5}{6}\right)\div\left(+\dfrac{22}{9}\right)\) を計算します。

帯分数のままでは、分子どうし・分母どうしがどこにあるか分かりません。

だから 先に仮分数に直します。\(1\dfrac{5}{6}\) は \(\dfrac{11}{6}\) です。

ちがう符号どうしなので商は負です。\(\dfrac{11}{6}\times\dfrac{9}{22}\) を約分して \(\dfrac{3}{4}\) です。

9 分の 22 × （−4 分の 3） 　ちがう符号どうし → −
絶対値は 9 分の 22 × 4 分の 3 = 6 分の 11 　わられる数にもどった

0 でわれないことは、分数でも同じです

\(\left(-\dfrac{5}{8}\right)\div 0\) を考えます。この式は計算できません。

レッスン2で見たとおり、\(0\) にかけて \(-\dfrac{5}{8}\) になる数は、一つもありません。 さがす相手が、そもそも存在しないのです。

逆数の道からも、同じ結論に着きます。\(0\) に逆数はありません。 だから、かけ算にも直せません。

計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

わられる数が \(0\) のほうは計算できます。\(0\div\left(-\dfrac{3}{5}\right)\) を見ます。

わる数の逆数は \(-\dfrac{5}{3}\) で、\(0\times\left(-\dfrac{5}{3}\right)=0\) です。だから商は \(0\) です。

例題1　分数どうしのわり算

次の計算をしなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{5}{6}\right)\div\left(+\dfrac{15}{4}\right)\)　（2）\(\left(-\dfrac{7}{10}\right)\div\left(-\dfrac{21}{25}\right)\)　（3）\(\left(+\dfrac{9}{16}\right)\div\left(-\dfrac{27}{8}\right)\)

先に符号を決めます。（1）でかける絶対値は \(\left|-\dfrac{5}{6}\right|\) と \(\left|+\dfrac{15}{4}\right|\) です。

確かめ

（1）4 分の 15 × （−9 分の 2） = −6 分の 5 　わられる数にもどった
（2）（−25 分の 21） × 6 分の 5 = −10 分の 7 　わられる数にもどった
（3）（−8 分の 27） × （−6 分の 1） = 16 分の 9 　わられる数にもどった

答えの吟味

（2）だけが同じ符号どうしです。だから（2）だけ商が正の数になりました。

答え　（1）\(-\dfrac{2}{9}\)　（2）\(\dfrac{5}{6}\)　（3）\(-\dfrac{1}{6}\)

例題2　整数がまじるわり算

次の計算をしなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{9}{14}\right)\div(+3)\)　（2）\((-20)\div\left(+\dfrac{4}{7}\right)\)

整数は、分母が \(1\) の分数と見ます。逆数にするのは、どちらもわる数です。

確かめ

（1）3 × （−14 分の 3） = −14 分の 9 　わられる数にもどった
（2）7 分の 4 × （−35） = −7 分の 140 = −20 　わられる数にもどった

答えの吟味

（2）は絶対値が \(1\) より小さい数でわったので、商の絶対値が大きくなりました。

答え　（1）\(-\dfrac{3}{14}\)　（2）\(-35\)

例題3　小数や帯分数がまじるわり算

次の計算をしなさい。

（1）\((-1.5)\div\left(+\dfrac{9}{10}\right)\)　（2）\(\left(-1\dfrac{2}{3}\right)\div\left(+\dfrac{10}{9}\right)\)

小数は分数にそろえ、帯分数は仮分数に直してから手順に入ります。

確かめ

（1）10 分の 9 × （−3 分の 5） = −2 分の 3 = −1.5 　わられる数にもどった
（2）9 分の 10 × （−2 分の 3） = −18 分の 30 = −3 分の 5 　わられる数にもどった

答えの吟味

どちらもちがう符号どうしです。だから商は負の数になりました。

答え　（1）\(-\dfrac{5}{3}\)　（2）\(-\dfrac{3}{2}\)

例題4　0 がからむ分数のわり算

計算できるものは計算しなさい。できないものは「計算できない」と書きなさい。

（1）\(0\div\left(-\dfrac{5}{9}\right)\)　（2）\(\left(-\dfrac{5}{9}\right)\div 0\)

\(0\) がどちらにあるかを、はじめに見ます。

確かめ

（1）（−9 分の 5） × 0 = 0 　わられる数にもどった
（2）0 に逆数はないので かけ算に直せない

答えの吟味

（2）はわる数が \(0\) です。計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

答え　（1）\(0\)　（2）計算できない（\(0\) に逆数がないから）

例題5　かざり用のテープを切り取る

かざり用のテープを、\(1\) 回に \(\dfrac{3}{8}\) m ずつ切り取ります。

切り取るたびに、残りの長さの変化は \(-\dfrac{3}{8}\) m です。

残りの長さの変化が、合計で \(-\dfrac{15}{4}\) m になりました。何回切り取りましたか。

合計の変化を、\(1\) 回あたりの変化で割ります。

確かめ

（−8 分の 3） × 10 = −8 分の 30 = −4 分の 15 　わられる数にもどった

答えの吟味

回数なので、正の数になるはずです。場面と合っています。

答え　\(10\) 回

今日の問い

わり算をすると、答えは小さくなるのでしょうか。今日の式をならべます。

\(1\) 行目は \(\left|-\dfrac{3}{4}\right|\) が \(\dfrac{3}{4}\) で、商の絶対値は \(\dfrac{2}{3}\) です。小さくなりました。

\(2\) 行目は \(\left|+\dfrac{5}{7}\right|\) が \(\dfrac{5}{7}\) で、商の絶対値は \(\dfrac{3}{2}\) です。大きくなりました。

わかれ目は、わる数の絶対値です。\(2\) 行目だけ、それが \(1\) より小さい数です。

絶対値が \(1\) より小さい数の逆数は、絶対値が \(1\) より大きくなります。前のレッスンのとおりです。

見分けるものさしは、絶対値と \(1\) のくらべ方です。

答えは「小さくなるとはかぎらない」です。わる数の絶対値と \(1\) をくらべてください。

よくある間違い

まちがい1：わられる数まで逆数にしてしまう

\(\left(-\dfrac{4}{9}\right)\div\left(+\dfrac{8}{3}\right)\) を計算する問題です。

✗ 両方を逆数にして
✗ = （−4 分の 9） × 8 分の 3
✗ = −32 分の 27

逆数にした数が \(1\) つ多すぎます。\(1\) にもどす相手は、わる数だけでした。

○ わる数だけを逆数にして
○ = （−9 分の 4） × 8 分の 3
○ 4 と 8 を約分して　分子は 1 × 1 、分母は 3 × 2
○ 答えは −6 分の 1

かけ算に戻して確かめます。

3 分の 8 × （−32 分の 27） = −4 分の 9 　わられる数 −9 分の 4 とちがう
3 分の 8 × （−6 分の 1） = −9 分の 4 　わられる数にもどった
誤答は −32 分の 27 。戻すと −4 分の 9 になるので、まちがい

逆数にするのは、わる数だけです。わられる数は、そのまま置いておきます。

まちがい2：逆数を作るときに、符号を変えてしまう

\(\left(-\dfrac{7}{12}\right)\div\left(-\dfrac{7}{8}\right)\) を計算する問題です。

✗ わる数の逆数を 7 分の 8 として
✗ = （−12 分の 7） × 7 分の 8
✗ = −3 分の 2

入れかえは合っています。落としたのは符号です。逆数にしても、符号は変わりません。

○ わる数の逆数は −7 分の 8
○ = （−12 分の 7） × （−7 分の 8）
○ 7 と 7 、8 と 12 を約分して　分子は 1 × 2 、分母は 3 × 1
○ 答えは 3 分の 2

かけ算に戻して確かめます。

（−8 分の 7） × （−3 分の 2） = 12 分の 7 　わられる数 −12 分の 7 とちがう
（−8 分の 7） × 3 分の 2 = −12 分の 7 　わられる数にもどった
誤答は −3 分の 2 。正しい答え 3 分の 2 と符号がちがうので、まちがい

手順①からも同じです。同じ符号どうしなので、商は正の数です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。逆数にするのはわる数だけと、はじめに書くこと。

1. 次の計算をしなさい。 （1）\(\left(-\dfrac{2}{7}\right)\div\left(+\dfrac{4}{21}\right)\)　（2）\(\left(+\dfrac{8}{9}\right)\div\left(-\dfrac{4}{27}\right)\)

2. 次の計算をしなさい。 （1）\(\left(-\dfrac{6}{11}\right)\div(+4)\)　（2）\((+18)\div\left(-\dfrac{27}{5}\right)\)

3. 分数にそろえて計算しなさい。 （1）\((-0.8)\div\left(+\dfrac{2}{15}\right)\)　（2）\(\left(-\dfrac{9}{20}\right)\div(-1.2)\)

4. \(\left(+2\dfrac{1}{4}\right)\div\left(-\dfrac{15}{8}\right)\) を計算しなさい。

5. \(0\div\left(-\dfrac{7}{15}\right)\) と \(\left(-\dfrac{7}{15}\right)\div 0\) のちがいを書きなさい。

6. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

（−2 分の 9） ÷ （1 と 5 分の 1）
上と下を入れかえて 1 と 1 分の 5
= （−2 分の 9） × 6
= −27

7. 分数のわり算で、逆数にするのはわられる数とわる数のどちらですか。理由も書きなさい。

8. \(\left(-\dfrac{4}{5}\right)\div\left(+\dfrac{2}{5}\right)\) を計算しなさい。

9. \(\left(+\dfrac{21}{10}\right)\div\left(-\dfrac{7}{2}\right)\) を計算しなさい。

10. \(\left(-\dfrac{3}{7}\right)\div\left(+\dfrac{3}{14}\right)\) を計算し、商の絶対値が大きくなった理由も書きなさい。

11. \(\left(-1\dfrac{1}{8}\right)\div(+0.6)\) を計算しなさい。

12. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

（−9 分の 2） ÷ （−3 分の 8）
わる数を逆数にして 8 分の 3
= （−9 分の 2） × 8 分の 3
= −12 分の 1

1（1）21 分の 4 × （−2 分の 3） = −7 分の 2
1（2）（−27 分の 4） × （−6） = 9 分の 8
2（1）4 × （−22 分の 3） = −11 分の 6
2（2）（−5 分の 27） × （−3 分の 10） = 18
3（1）15 分の 2 × （−6） = −5 分の 4 = −0.8
3（2）（−5 分の 6） × 8 分の 3 = −20 分の 9
4. （−8 分の 15） × （−5 分の 6） = 4 分の 9
どれも わられる数にもどった

（−15 分の 7） × 0 = 0 　わられる数にもどった
0 に逆数はないので かけ算に直せない

○ 1 と 5 分の 1 を 5 分の 6 に直す
○ 逆数は 6 分の 5
○ = （−2 分の 9） × 6 分の 5
○ 答えは −4 分の 15

5 分の 6 × （−4 分の 15） = −2 分の 9 　わられる数にもどった
5 分の 6 × （−27） = −5 分の 162 　わられる数 −2 分の 9 とちがう
誤答は −27 。戻すと −5 分の 162 になるので、まちがい

わる数を 1 にもどすために わる数の逆数をかけた
わられる数は 目的地として 最後にかけただけ

8. 5 分の 2 × （−2） = −5 分の 4
9. （−2 分の 7） × （−5 分の 3） = 10 分の 21
10. 14 分の 3 × （−2） = −7 分の 3
どれも わられる数にもどった

5 分の 3 × （−8 分の 15） = −8 分の 9 　わられる数にもどった

○ わる数の逆数は −8 分の 3
○ = （−9 分の 2） × （−8 分の 3）
○ 2 と 8 、3 と 9 を約分して　分子は 1 × 1 、分母は 3 × 4
○ 答えは 12 分の 1

（−3 分の 8） × 12 分の 1 = −9 分の 2 　わられる数にもどった
（−3 分の 8） × （−12 分の 1） = 9 分の 2 　わられる数 −9 分の 2 とちがう
誤答は −12 分の 1 。正しい答え 12 分の 1 と符号がちがうので、まちがい

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分数のわり算が、一つの手順で片づきました。わる数を逆数にして、かけ算に直す。

逆数にするのは、わる数だけです。わられる数は、そのまま置いておきます。

符号の決め方もそのままです。同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。

整数は分母 \(1\) の分数と見て、小数は分数にそろえ、帯分数は先に仮分数に直します。

\(0\) でわれないことも変わりません。\(0\) に逆数はありません。

さて、同じ式に \(\times\) と \(\div\) がならんだら、どうすればよいでしょうか。

次のレッスンは「乗除の混じった計算」です。

わり算をぜんぶかけ算に直してしまえば、道が見えてきます。

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