乗除の混じった計算

このレッスンでできるようになること

• \(\times\) と \(\div\) のまじった式を、かけ算だけの式に直せる
• 負の数の個数から符号を先に決めて、乗除の混じった計算ができる
• かっこがあるときと、ないときを読み分けられる

前のレッスンの確認

• 商 … わり算の答えのこと
• 除法 … わり算のこと
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• わり算は、かけ算の逆 … \(12\div 3\) は、\(3\) に何をかけたら \(12\) になるかを探すこと
• 同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。
• 商が出たら、わる数にかけて、わられる数に戻るかを見る。
• 入れかえてよいのは、かけ算の \(2\) 数だけです。
• 計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。
• かけて \(1\) になる \(2\) 数の、一方をもう一方の逆数といいます。
• 分数の逆数は、分子と分母を入れかえたものです。
• 逆数にしても、符号は変わりません。
• \(0\) に逆数はありません。
• 整数は、分母が \(1\) の分数と見ます
• 混じった式は、分数にそろえてください。
• わる数を逆数にして、かけ算に直す。
• 逆数にするのは、わる数だけです。わられる数は、そのまま置いておきます。
• 負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。
• \(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしを割る
• 乗法の交換法則 … かける順番を入れかえても、積は変わらない
• 乗法の結合法則 … どこからかけても、積は変わらない
• 約分は、かける前に … 分子どうし・分母どうしをかける

絶対値は記号でも書きます。\(|-18|\) は \(18\) です。\(\left|-\dfrac{1}{3}\right|\) は \(\dfrac{1}{3}\) です。

セクション6の最後の回です。ここまでに作った道具を、全部つないで使います。

かけ算とわり算が、同じ式にならぶ

ここまでの計算は、記号が \(1\) 種類だけでした。入試では、\(2\) つの記号がまじった式が出ます。

\((-18)\div 3\times(-2)\)

新しい計算に見えますが、身につけた道具でかたづきます。

左から順に計算します

小学校で決まっていたことを、思い出してください。

かけ算とわり算がならんだ式は、左から順に計算します。

\(18\div 3\times 2\) で確かめます。左から計算すると \(18\div 3=6\)、次に \(6\times 2=12\) です。

うしろの \(2\) 数を先にかけると、\(3\times 2=6\) から \(18\div 6=3\) になります。

だから \(18\div 3\times 2\) を \(18\div(3\times 2)\) と読んではいけません。

ただし、かっこがあるときは、中が先です。 かっこが書いてあれば、そこが先に決まります。

わり算をかけ算に直すと、心配が消える

前のレッスンの道具を思い出してください。わる数を逆数にして、かけ算に直す。 でした。

分数のわり算だけの道具ではありません。どんなわり算にも使えます。

整数は、分母が \(1\) の分数と見ます。\(3\) の逆数は \(\dfrac{1}{3}\) です。

逆数にするのは、わる数だけです。わられる数は、そのまま置いておきます。

\((-18)\div 3\times(-2)=(-18)\times\dfrac{1}{3}\times(-2)\)

式から \(\div\) が消えて、\(\times\) だけが残りました。

かけ算だけになれば、順番は自由

かけ算だけの式では、乗法の交換法則 と 乗法の結合法則 が使えます。

式の中のわり算を、全部かけ算に直す。 これが今日の道すじです。

かけ算だけになれば、負の数を数えるだけ

セクション5のレッスン4で、\(3\) つ以上の積の符号を決めました。

負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。

\((-18)\times\dfrac{1}{3}\times(-2)\) の負の数は、\(-18\) と \(-2\) の \(2\) つです。

偶数個なので、符号は \(+\) です。

絶対値は \(18\times\dfrac{1}{3}\times 2=12\) で、答えは \(12\) になりました。

手順を決めます

いましたことを、まとめておきます。

1. 式の中のわり算を、全部かけ算に直す。
2. 符号を先に決める（負の数の個数が偶数なら \(+\)、奇数なら \(-\)）
3. 絶対値どうしをかける

\(2\) と \(3\) は、セクション5の 符号が先、絶対値があと そのものです。

左から順のまま計算してもよい

\(8\times(-6)\div(-4)\) で、\(2\) つの道をくらべます。

かけ算に直した道では、負の数が \(-6\) と \(-\dfrac{1}{4}\) の \(2\) つです。

偶数個なので符号は \(+\) で、絶対値は \(8\times 6\times\dfrac{1}{4}=12\) になります。

割り切れるときは左から順が速く、そうでないときは直すほうが安全です。

どちらの道を通っても、答えは同じです。

かっこがあるときは、中が先

かっこは、かざりではありません。わる相手を決める、大事なしるしです。

\(12\div(-2)\times 3\) と \(12\div\{(-2)\times 3\}\) をくらべます。

かっこの外側にもう一組書くときは、外側を \(\{\ \}\) の形にします。

左の式は \(-2\) でわり、右の式は \(\{\ \}\) の中の \(-6\) でわります。

答えは \(-18\) と \(-2\) で、まるでちがいます。

かっこを見落とすと、わる相手をまちがえます。式は、かっこから見てください。

中を計算したあとで、かけ算に直してもかまいません。\(-6\) の逆数は \(-\dfrac{1}{6}\) です。

逆数にしても、符号は変わりません。 \(12\times\left(-\dfrac{1}{6}\right)\) の答えも \(-2\) です。

分数がまじってもやり方は同じ

分数が入ると、左から順の道は遠回りになりがちです。

\(\left(-\dfrac{2}{5}\right)\times 6\div\left(-\dfrac{3}{10}\right)\) を計算します。

分数の逆数は、分子と分母を入れかえたものです。 わる数の逆数は \(-\dfrac{10}{3}\) です。

\(\left(-\dfrac{2}{5}\right)\times 6\times\left(-\dfrac{10}{3}\right)\)

負の数は \(2\) つで偶数個なので、符号は \(+\) です。

絶対値は \(\dfrac{2}{5}\times 6\times\dfrac{10}{3}\) で、約分は、かける前に を使います。

分母の \(5\) と分子の \(10\)、分母の \(3\) と分子の \(6\) を約分すると \(8\) です。

0 がまじるとき

\(0\) が出てきたら、まず場所を見ます。場所で、答えががらりと変わります。

かけられている数の中に 0 があるとき

\((-7)\times 0\div 5\) をかけ算に直すと、ならぶのは \(-7\) と \(0\) と \(\dfrac{1}{5}\) です。

\(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。 負の数を数えるまでもなく、答えは \(0\) です。

わる数が 0 のとき

\((-7)\times 4\div 0\) は、事情がちがいます。かけ算に直すには \(0\) の逆数がいります。

ところが \(0\) に逆数はありません。 かけ算に直せないので、答えもありません。

計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

二つを混ぜないでください

\(0\div(-7)\) の商は \(0\) で、\(4\) をかけても \(0\) のままです。

\(0\) がどこにあるかで、答えは \(0\) にも「計算できない」にもなります。

セクション6の道具を、一枚にまとめる

セクション6では、除法をあつかいました。\(5\) 回で作った道具です。

レッスン5だけは、新しい計算を教えていません。前の \(4\) 回を組み合わせただけです。

例題1　乗除の混じった式を計算する

次の計算をしなさい。

（1）\((-24)\div 4\times(-5)\)　（2）\((-22)\times 6\div(-4)\)　（3）\((-15)\div 6\times(-4)\)　（4）\(20\div(-8)\times(-6)\)

（3）でかける絶対値は、\(|-15|\) が \(15\)、\(\left|\dfrac{1}{6}\right|\) が \(\dfrac{1}{6}\)、\(|-4|\) が \(4\) です。

確かめ

（1）−6 → 30 　（2）−132 → 33
（3）−2 分の 5 → 10 　（4）−2 分の 5 → 15
どれも 左から順に 2 数ずつ計算した結果

答えの吟味

（1）と（2）は割り切れるので、左から順のほうが速くすみます。

答え　（1）\(30\)　（2）\(33\)　（3）\(10\)　（4）\(15\)

例題2　かっこのあるなしを読み分ける

次の計算をしなさい。

（1）\((-30)\div(-5)\times 3\)　（2）\((-30)\div\{(-5)\times 3\}\)

数は同じで、ちがうのはかっこだけです。

確かめ

（1）(−5) × 6 = −30 　もどった。6 × 3 = 18
（2）(−15) × 2 = −30 　もどった

答えの吟味

（1）は \(-5\) でわり、（2）は \(-15\) でわりました。わる相手がちがいます。

答え　（1）\(18\)　（2）\(2\)

例題3　0 がまじる式

計算できるものは計算しなさい。できないものは「計算できない」と書きなさい。

（1）\((-20)\times 0\div 7\)　（2）\((-20)\times 7\div 0\)　（3）\(0\div(-20)\times 7\)

\(0\) の場所を、はじめに見ます。

確かめ

（1）(−20) × 0 = 0 、0 × 7 分の 1 = 0
（2）0 に何をかけても 0 　−140 に戻る数がない
（3）(−20) × 0 = 0 、0 × 7 = 0

答えの吟味

（1）と（3）は答えが \(0\) です。（2）は答えそのものがありません。

答え　（1）\(0\)　（2）計算できない　（3）\(0\)

例題4　分数がまじる乗除

次の計算をしなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{7}{9}\right)\div\left(-\dfrac{14}{3}\right)\times(-12)\)　（2）\(9\div\left(-\dfrac{6}{7}\right)\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)\)

わる数だけを逆数にして、かけ算だけの式にします。

確かめ

（1）7 と 14 、3 と 9 を約分して 6 分の 12 = 2 　符号は − で −2
（2）9 と 6 、2 と 2 を約分して 3 分の 21 = 7

答えの吟味

（1）だけ負の数が奇数個です。だから（1）だけ、答えが負の数になりました。

答え　（1）\(-2\)　（2）\(7\)

例題5　クッキーを箱につめる

手作りのクッキーを、\(1\) 箱に同じ数ずつつめています。

\(7\) 箱ぶんつめたところ、残りの個数は \(-84\) 個変化しました。

同じペースであと \(3\) 箱つめると、残りの個数はどれだけ変わりますか。

\(1\) 箱あたりの変化を求めてから、\(3\) 箱ぶんにします。

確かめ

7 × (−12) = −84 　わられる数にもどった
1 箱で −12 、3 箱で −36

答えの吟味

つめるほど、残りの個数はへります。\(-36\) 個は場面と合っています。

答え　\(-36\) 個（\(36\) 個へる）

今日の問い

かけ算に直すと、並べかえてよくなりました。直す前から、よかったのでしょうか。

\(8\times(-6)\div(-4)\) でためします。答えは \(12\) でした。

\(-4\) を前に出すと \((-4)\div(-6)\times 8\) で、\(\dfrac{2}{3}\times 8=\dfrac{16}{3}\) です。

\(12\) とはちがいます。わり算のままでは、動かせません。

レッスン1で、こう決めてありました。入れかえてよいのは、かけ算の \(2\) 数だけです。

\(2\) 数だけ、というのは わり算では入れかえられない という意味です。

かけ算だけの式なら、\(3\) つ以上でも並べかえられます。

\(\left(-\dfrac{1}{4}\right)\times 8\times(-6)\) と並べかえても \(12\) です。

根拠は 乗法の交換法則 と 乗法の結合法則 です。

並べかえてよくなるのは、かけ算だけに直したあとです。

よくある間違い

まちがい1：わり算のうしろの 2 数を、先にかけてしまう

\((-42)\div 7\times(-3)\) を計算する問題です。

✗ 先に 7 × (−3) = −21
✗ (−42) ÷ (−21) = 2

かっこが書いてないのに、うしろの \(2\) 数をくくっています。左から順が決まりです。

○ (−42) ÷ 7 = −6 、(−6) × (−3) = 18
○ 答えは 18

かけ算に直しても確かめられます。

(−42) × 7 分の 1 × (−3) 　負の数は 2 つ → + 　絶対値は 18
誤答は 2 。正しい答え 18 とちがうので、まちがい

かけ算だけの式なら、セクション5の 乗法の交換法則 と 乗法の結合法則 がそのまま使えます。

わり算がまじった式で、うしろの \(2\) 数を先にかけてよいのは、かっこで囲まれているときだけです。

まちがい2：記号だけ変えて、逆数にし忘れる

\((-30)\div 6\times(-4)\) を計算する問題です。

✗ ÷ を × に書きかえて
✗ (−30) × 6 × (−4) = 720

記号は変わりましたが、\(6\) が残ったままです。\(6\) は \(\dfrac{1}{6}\) に変えます。

○ (−30) × 6 分の 1 × (−4) 　負の数は 2 つ → + 　絶対値は 20
○ 答えは 20

左から順に計算しても確かめられます。

(−30) ÷ 6 = −5 、(−5) × (−4) = 20
誤答は 720 。正しい答え 20 とちがうので、まちがい

記号と数は、二つで一組です。かたほうだけ変えても、かけ算になりません。

まちがい3：0 の場所を見ずに、答えを 0 にする

\((-8)\times 3\div 0\) を計算する問題です。

✗ 式の中に 0 があるから 答えは 0

\(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。 これはかけられている数の話です。この式の \(0\) は、わる数の場所にあります。

○ わる数が 0 なので 逆数がない
○ かけ算に直せないので 計算できない

かけ算に戻して確かめます。\((-8)\times 3\) は \(-24\) です。

0 × 0 = 0 、0 × (−24) = 0 　どちらも −24 とちがう
誤答は 0 。どの数をかけても −24 に戻らないので、まちがい

計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。負の数の個数を先に数えること。

1. 答えの符号だけを答えなさい。絶対値は計算しなくてかまいません。 （1）\((-6)\div 2\times(-9)\)　（2）\((-40)\div(-8)\times(-3)\)　（3）\(4\times(-27)\div(-6)\)　（4）\((-2)\times(-21)\div(-3)\)

2. \((-32)\div 8\times(-3)\) を計算しなさい。

3. \(45\div(-9)\times 4\) を計算しなさい。

4. \(54\div(-6)\times(-5)\) を計算しなさい。

5. \((-25)\div 10\times(-8)\) を計算しなさい。

6. \((-9)\div(-12)\times(-16)\) を計算しなさい。

7. \((-48)\div(-4)\times(-2)\) と \((-48)\div\{(-4)\times(-2)\}\) を計算し、答えをくらべなさい。

8. \(60\div\{(-5)\times(-4)\}\) を計算しなさい。

9. \(\left(-\dfrac{3}{4}\right)\times 8\div\left(-\dfrac{6}{5}\right)\) を計算しなさい。

10. \(\left(+\dfrac{5}{12}\right)\div\left(-\dfrac{10}{9}\right)\times(-8)\) を計算しなさい。

11. \((-3.5)\div 1.4\times(-4)\) を計算しなさい。

12. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−20) ÷ (−5) × (−2)
わる数 −5 を逆数にして 5 分の 1
= (−20) × 5 分の 1 × (−2)
負の数は 2 つなので 符号は +
= 8

13. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−9) × (−10) ÷ (−6)
負の数が 3 つあるので 符号は −
絶対値は 9 × 10 × 6 分の 1 = 15
= 15

14. \(40\div 5\times 2\) を \(40\div(5\times 2)\) と読んではいけない理由を、二通りの答えを出して説明しなさい。

15. 地域の資源回収で、集めたアルミかんを置き場から運び出します。\(6\) 回運び出したところ、置き場のかんの数は \(-144\) 個変化しました。同じペースであと \(5\) 回運び出すと、かんの数はどれだけ変わりますか。

16. \(\times\) と \(\div\) のまじった式で、負の数の個数から符号を決められるのはなぜですか。

（1）2 個は偶数 → +　（2）3 個は奇数 → −
（3）2 個は偶数 → +　（4）3 個は奇数 → −

2. −4 → 12 　3. −5 → −20 　4. −9 → 45
5. −2 分の 5 → 20 　6. 4 分の 3 → −12
どれも 左から順に 2 数ずつ計算した結果

7 前　(−4) × 12 = −48 　7 後　8 × (−6) = −48
8.　20 × 3 = 60 　どれも わられる数にもどった

9. 3 と 6 、4 と 8 を約分して 5
10. 5 と 10 、12 と 8 を約分して 3
11. 左から順に (−3.5) ÷ 1.4 = −2.5 、(−2.5) × (−4) = 10

○ (−20) × （−5 分の 1） × (−2) 　負の数は 3 つ　奇数個 → −
○ 絶対値は 20 × 5 分の 1 × 2 = 8 　答えは −8

左から順に (−20) ÷ (−5) = 4 、4 × (−2) = −8
誤答は 8 。正しい答え −8 と符号がちがうので、まちがい

○ 負の数は −9 と −10 と −6 の 3 つ　奇数個 → −
○ 絶対値は 9 × 10 × 6 分の 1 = 15 　答えは −15

(−9) × (−10) = 90 、90 ÷ (−6) = −15
誤答は 15 。正しい答え −15 と符号がちがうので、まちがい

40 ÷ 5 = 8 、8 × 2 = 16
5 × 2 = 10 、40 ÷ 10 = 4 　16 とちがう

6 × (−24) = −144 　わられる数にもどった
1 回で −24 、5 回で −120

個数で符号が決まるのは かけ算だけの式の決まり
わり算を全部かけ算に直せば 式全体がかけ算だけになる
逆数にしても符号は変わらないので 数える個数も変わらない

次のレッスンへ

セクション6が終わりました。新しい計算は、ひとつも増えていません。

式の中のわり算を、全部かけ算に直す。 これだけで、乗除のまじった式が片づきました。

直したあとは、セクション5の道具です。負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。

かけ算とわり算がならんだ式は、左から順に計算します。 ただし かっこがあるときは、中が先です。

\(0\) の見分けも変わりません。計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。

ここまでで、たし算・引き算・かけ算・わり算がそろいました。

次のセクションでは、\(3\times 3\times 3\times 3\) を短く書く方法を用意します。

次のセクションは「累乗と四則の混合計算」で、第1回は「累乗（底と指数）」です。

次のセクションへ　累乗（底と指数）　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。