累乗（底と指数）

このレッスンでできるようになること

• 同じ数を何回もかける式を、累乗の形に短く書ける
• 底と指数を読み分けて、累乗をかけ算の形に戻せる
• かっこをつけた負の数や、分数・小数の累乗を計算できる

前のレッスンの確認

• 積 … かけ算の答えのこと
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。
• \(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。
• \(-1\) をかけると、その数の反対の数になります。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（負の数の個数が偶数なら \(+\)、奇数なら \(-\)） ②絶対値どうしをかける
• 約分は、かける前に … 分子どうし・分母どうしをかける
• 整数に直して、小数点を打つ … ①小数点をとって、整数のかけ算にする ②小数点より右にあった数字の個数だけ、小数点を左へもどす

絶対値は記号でも書きます。\(|-3|\) は \(3\) です。\(\left|-\dfrac{2}{3}\right|\) は \(\dfrac{2}{3}\) です。

セクション7の最初の回です。新しい書き方を、ひとつ覚えます。

同じ数を何回もかける式を、短く書く

前のセクションの終わりに、宿題をひとつ残しました。

\(3\times 3\times 3\times 3\)

同じ \(3\) が \(4\) 個ならんでいます。書くのも読むのも、手間がかかります。

もし \(3\) が \(20\) 個ならんだら、書き写すだけでひと苦労です。

そこで、同じ数がならぶときは、ならんだ個数を右上に小さく書くと決めます。

\(3\times 3\times 3\times 3=3^{4}\)

\(3^{4}\) の値は、もとのかけ算をすればわかります。

\(3\times 3=9\)、\(9\times 3=27\)、\(27\times 3=81\) となります。

だから \(3^{4}=81\) です。書き方が短くなっただけで、中身は前と同じかけ算です。

底と指数に、名前をつける

この書き方には、名前がついています。

同じ数をいくつかかけたものを、累乗といいます。

累乗で、繰り返しかける数を底といいます。 \(3^{4}\) の底は \(3\) です。

累乗で右上に書く、かける個数を表す数を指数といいます。 \(3^{4}\) の指数は \(4\) です。

底と指数は、置く場所も役目もちがいます。大きく書くほうが底です。

読み方を決めます

\(3^{4}\) は「\(3\) の \(4\) 乗」と読みます。底を先に読み、指数をあとに読みます。

指数が \(2\) のときと \(3\) のときには、別の言い方もあります。

\(2\) 乗を平方、\(3\) 乗を立方といいます。\(4\) 乗から先には、別の言い方はありません。

平方は正方形から、立方は立方体から来た言い方です。

指数は、かける回数です

ここが、いちばんつまずくところです。指数は、かける回数を表します。

指数は、かけ算の記号の数ではありません。

\(3^{4}\) を書き出すと \(3\times 3\times 3\times 3\) です。\(3\) は \(4\) 個ならびます。

ところが \(\times\) は、数と数のあいだにしか入りません。だから \(\times\) は \(3\) つです。

\(\times\) の個数は、いつも指数より \(1\) 小さくなります。数えるのは、数のほうです。

もうひとつ、まちがえやすい読み方があります。\(3^{4}\) は \(3\times 4\) ではありません。

\(3\times 4\) は \(12\) ですが、\(3^{4}\) は \(81\) です。値がまるでちがいます。

指数は、底にかける数ではありません。底をならべる個数です。

この道具に、名前をつけておきます。

指数は、かける回数です。

指数が 1 のとき

\(5^{1}\) は、\(5\) を \(1\) 個ならべた形です。ならぶ数がひとつなので、\(\times\) は \(0\) 個です。

\(5^{1}=5\)

指数が \(1\) のときは、ふつう \(1\) を書かず、\(5\) とだけ書きます。

つまり、いままで書いてきた数は、すべて指数が \(1\) の累乗だったことになります。

ただし、問題で「累乗の形で書きなさい」と言われたら、\(5^{1}\) と書きます。

正方形の面積と、立方体の体積

平方と立方という言い方が、どこから来たのかを見ます。

一辺が \(7\) cm の正方形の面積は、\(7\times 7\) で \(49\) 平方センチメートルです。

たてと横が同じ長さなので、同じ数を \(2\) 個かけることになります。これが \(7^{2}\) です。

一辺が \(2\) cm の立方体の体積は、\(2\times 2\times 2\) で \(8\) 立方センチメートルです。

たて・横・高さが同じ長さなので、同じ数を \(3\) 個かけます。これが \(2^{3}\) です。

正方形は \(2\) つの辺、立方体は \(3\) つの辺の長さをかけます。指数と、そろえた辺の数が同じです。

底が負の数のとき

底は、正の数だけとはかぎりません。負の数も底になれます。

そのときは、負の数を、かっこで囲んで書きます。

\((-2)^{3}=(-2)\times(-2)\times(-2)\)

かっこは、どこまでが底かを示すしるしです。\(-2\) 全体が底だと、かっこが教えています。

値を求めます。符号が先、絶対値があと をそのまま使います。

負の数は \(3\) 個で奇数個なので、符号は \(-\) です。絶対値は \(|-2|\) が \(2\) で、\(2\times 2\times 2=8\) です。

だから \((-2)^{3}=-8\) です。

指数を \(1\) ふやすと、どうなるでしょうか。

\((-2)^{4}=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\)

負の数は \(4\) 個で偶数個なので、符号は \(+\) です。絶対値は \(2\times 2\times 2\times 2=16\) です。

だから \((-2)^{4}=16\) になります。

指数の偶数と奇数で、符号が決まる

なぜ符号が入れかわるのでしょうか。セクション5で決めたことを思い出してください。

負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。

底が負の数のとき、ならぶ負の数の個数は、指数そのものです。

だから 底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。

このレッスンであつかう形

このレッスンで出てくる負の数の累乗は、すべてかっこをつけた形です。

かっこをつけない書き方もあります。ただし意味が変わるので、ここではあつかいません。

かっこをつけるときと、つけないときのちがいは、次のレッスンで調べます。

分数や小数も、底になれます

整数のほかに、分数や小数も底にできます。

分数を底にするときも、かっこで囲んで書きます。

\(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)\)

かっこがないと、分母までが底かどうかが分かりません。

計算のしかたは、いままでと同じです。負の数は \(2\) 個で偶数個なので、符号は \(+\) です。

絶対値は \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\) です。約分は、かける前に を使いますが、ここでは約分できません。

分子どうし・分母どうしをかけて \(\dfrac{4}{9}\) です。だから答えは \(\dfrac{4}{9}\) になります。

小数を底にするとき

小数のときも、かっこで囲んでおくと読みまちがえません。

\((0.4)^{2}\) は \(0.4\times 0.4\) です。整数に直して、小数点を打つ で計算します。

小数点をとると \(4\) と \(4\) で、\(4\times 4=16\) です。

小数点より右にあった数字は、両方合わせて \(2\) つです。\(16\) の小数点を左へ \(2\) つもどします。

だから \((0.4)^{2}=0.16\) です。

0 と 1 の累乗

底が \(0\) や \(1\) のときは、答えが決まりきっています。

\(0^{3}\) は \(0\times 0\times 0\) です。\(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。 答えは \(0\) です。

\(0\) は何乗しても \(0\) です。

\(1^{4}\) は \(1\times 1\times 1\times 1\) です。\(1\) をかけても数は変わらないので、答えは \(1\) です。

\(1\) は何乗しても \(1\) です。

−1 の累乗は、行ったり来たりします

\(-1\) が底のときは、少しおもしろいことが起きます。

\(-1\) をかけると、その数の反対の数になります。 かけるたびに、符号だけが入れかわります。

指数が偶数なら \(1\)、奇数なら \(-1\) です。\(1\) と \(-1\) を行き来しています。

例題1　かけ算の形に戻して計算する

次の累乗の値を求めなさい。

（1）\(4^{3}\)　（2）\(11^{2}\)　（3）\(10^{4}\)　（4）\(3^{5}\)

指数の数だけ底をならべてから、前から順にかけます。

確かめ

（1）4 × 4 = 16 、16 × 4 = 64
（2）11 × 11 = 121
（3）10 が 4 個なので 0 が 4 つならぶ
（4）3 × 3 = 9 、9 × 3 = 27 、27 × 3 = 81 、81 × 3 = 243

答えの吟味

（1）を \(4\times 3\) と読むと \(12\) です。\(64\) とはまるでちがいます。

答え　（1）\(64\)　（2）\(121\)　（3）\(10000\)　（4）\(243\)

例題2　底が負の数の累乗

次の累乗の値を求めなさい。

（1）\((-6)^{3}\)　（2）\((-10)^{2}\)　（3）\((-4)^{4}\)　（4）\((-1)^{7}\)

指数が負の数の個数です。先に符号を決めてから、絶対値を計算します。

（1）でかける絶対値は、\(|-6|\) が \(6\) です。同じように（3）は \(|-4|\) が \(4\) です。

確かめ

（1）(−6) × (−6) = 36 、36 × (−6) = −216
（2）(−10) × (−10) = 100
（3）(−4) × (−4) = 16 、16 × (−4) = −64 、(−64) × (−4) = 256
（4）1 と −1 を行き来して 7 個目は −1

答えの吟味

（1）と（4）は指数が奇数で、値は負の数です。（2）と（3）は指数が偶数で、値は正の数です。

答え　（1）\(-216\)　（2）\(100\)　（3）\(256\)　（4）\(-1\)

例題3　分数と小数の累乗

次の累乗の値を求めなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)　（2）\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}\)　（3）\((-0.2)^{3}\)

分数は分子どうし・分母どうし、小数は整数に直してから小数点を打ちます。

（1）でかける絶対値は \(\left|-\dfrac{1}{2}\right|\) で、\(\dfrac{1}{2}\) です。

確かめ

（1）2 分の 1 を 3 個かけると 8 分の 1 　符号は −
（2）分子も分母も 2 個ずつかけた
（3）0.2 は右に 1 つ、3 個で合わせて 3 つ → 0.008

答えの吟味

（2）は底が正の数なので、負の数は \(0\) 個です。\(0\) 個も偶数個なので、値は正の数です。

答え　（1）\(-\dfrac{1}{8}\)　（2）\(\dfrac{9}{25}\)　（3）\(-0.008\)

例題4　正方形の面積と立方体の体積

次の大きさを求めなさい。

（1）一辺が \(9\) cm の正方形の面積　（2）一辺が \(5\) cm の立方体の体積

同じ長さを何個かけるかを、先に決めます。

確かめ

（1）9 × 9 = 81 　1 辺 1 の正方形が 9 列 9 段
（2）5 × 5 = 25 、25 × 5 = 125 　1 辺 1 の立方体が 25 個の層で 5 段

答えの吟味

面積は \(2\) 乗、体積は \(3\) 乗です。指数が、そろえた辺の数と同じになっています。

答え　（1）\(81\) 平方センチメートル　（2）\(125\) 立方センチメートル

例題5　紙を折ると、重なりが 2 倍ずつふえる

\(1\) 枚の紙を、半分に折っていきます。\(1\) 回折るごとに、重なりの枚数が \(2\) 倍になります。

\(6\) 回折ったとき、重なりは何枚になりますか。

\(1\) 枚から始めて、\(2\) 倍が \(6\) 回続きます。

確かめ

1 回で 2 枚、2 回で 4 枚、3 回で 8 枚
4 回で 16 枚、5 回で 32 枚、6 回で 64 枚

答えの吟味

折るたびに枚数はふえるので、答えは \(1\) より大きい数になります。場面と合っています。

答え　\(64\) 枚

今日の問い

底と指数は、置く場所がちがうだけに見えるかもしれません。

では、入れかえたらどうなるでしょうか。\(2^{5}\) と \(5^{2}\) をくらべます。

\(2^{5}\) は \(2\) を \(5\) 個かけるので、\(2\times 2\times 2\times 2\times 2=32\) です。

\(5^{2}\) は \(5\) を \(2\) 個かけるので、\(5\times 5=25\) です。

数字は同じ \(2\) と \(5\) なのに、値は \(32\) と \(25\) でちがいます。

かけ算なら \(2\times 5\) と \(5\times 2\) は同じでした。累乗はちがいます。

底と指数は、役目がちがいます。入れかえてはいけません。

よくある間違い

まちがい1：指数を、底にかけてしまう

\(2^{4}\) の値を求める問題です。

✗ 2 の 4 乗 だから 2 × 4
✗ = 8

指数は、底にかける数ではありません。底をならべる個数です。

○ 2 を 4 個ならべて 2 × 2 × 2 × 2
○ 2 × 2 = 4 、4 × 2 = 8 、8 × 2 = 16
○ 答えは 16

誤答の \(8\) が、どの累乗の値かを見てみます。

8 は 2 × 2 × 2 なので 2 の 3 乗 。ならべる個数が 1 つ足りない
誤答は 8 。正しい答え 16 とちがうので、まちがい

指数は、かける回数です。

まちがい2：かけ算の記号を、指数の数だけ書いてしまう

\(5^{4}\) の値を求める問題です。

✗ × を 4 つ書いて
✗ 5 × 5 × 5 × 5 × 5
✗ = 3125

\(\times\) を \(4\) つ書くと、\(5\) が \(5\) 個ならびます。ならべるのは \(4\) 個です。

○ 5 を 4 個ならべて 5 × 5 × 5 × 5
○ 5 × 5 = 25 、25 × 5 = 125 、125 × 5 = 625
○ 答えは 625

数と記号の個数をくらべて確かめます。

5 が 4 個なら × は 3 つ 。誤答の 3125 は 5 が 5 個
誤答は 3125 。正しい答え 625 とちがうので、まちがい

数えるのは、数のほうです。記号ではありません。

まちがい3：底が負の数なら、答えも負だと決めてしまう

\((-3)^{4}\) の値を求める問題です。

✗ 底が −3 で 負の数だから
✗ 答えも 負で −81

符号は、負の数の個数で決まります。個数を数えていません。

○ (−3) が 4 個 。偶数個なので 符号は +
○ 絶対値は 3 × 3 × 3 × 3 = 81
○ 答えは 81

前から順にかけて確かめます。

(−3) × (−3) = 9 、9 × (−3) = −27 、(−27) × (−3) = 81
誤答は −81 。正しい答え 81 と符号がちがうので、まちがい

底の符号ではなく、指数の偶数と奇数を見てください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。まずかけ算の形に戻すこと。

1. 次の式を、累乗の形で書きなさい。 （1）\(13\times 13\times 13\times 13\)　（2）\((-8)\times(-8)\times(-8)\)　（3）\(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\)　（4）\(15\)

2. \(6^{2}\) の値を求めなさい。

3. \((-3)^{5}\) の値を求めなさい。

4. \((-5)^{3}\) の値を求めなさい。

5. \((-1)^{10}\) と \((-1)^{11}\) の値を求めなさい。

6. \(0^{6}\) と \(1^{9}\) の値を求めなさい。

7. \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}\) の値を求めなさい。

8. \(\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{3}\) の値を求めなさい。

9. \((-0.5)^{3}\) の値を求めなさい。

10. 値の符号だけを答えなさい。絶対値は計算しなくてかまいません。 （1）\((-2)^{8}\)　（2）\((-6)^{9}\)　（3）\((-11)^{4}\)　（4）\((-13)^{7}\)

11. 一辺が \(15\) cm の正方形の面積と、一辺が \(7\) cm の立方体の体積を、それぞれ累乗の形で書いてから求めなさい。

12. \(8^{5}\) をかけ算の形に書くと、\(\times\) はいくつありますか。指数の \(5\) と個数がちがう理由も書きなさい。

（1）13 の 4 乗 → 13 × 13 × 13 × 13 　4 個にもどった
（2）(−8) の 3 乗 → (−8) × (−8) × (−8) 　3 個にもどった

3. (−3) × (−3) = 9 、9 × (−3) = −27 、(−27) × (−3) = 81 、81 × (−3) = −243
4. (−5) × (−5) = 25 、25 × (−5) = −125

5 　(−1) を 10 個かける 。負の数が偶数個なので 1
5 　(−1) を 11 個かける 。負の数が奇数個なので −1
6 　0 が 1 つでもあれば 積は 0 。1 は何個かけても 1

7 　5 分の 2 を 2 個かけて 25 分の 4 　偶数個なので +
8 　4 分の 1 を 3 個かけて 64 分の 1 　奇数個なので −
9 　0.5 × 0.5 = 0.25 、0.25 × 0.5 = 0.125 　奇数個なので −

指数は かける回数 。底が負の数なら 負の数の個数と同じ
偶数個なら 積は正 、奇数個なら 積は負

15 × 15 = 225 　7 × 7 = 49 、49 × 7 = 343

8 × 8 × 8 × 8 × 8 　8 は 5 個 、× は 4 つ
× は 数と数のあいだにしか入らないから

次のレッスンへ

同じ数がならぶかけ算を、累乗の形に短く書けるようになりました。

累乗で、繰り返しかける数を底といいます。 累乗で右上に書く、かける個数を表す数を指数といいます。

いちばん大事なのは、指数は、かける回数です。 ということです。\(\times\) の個数でも、底にかける数でもありません。

底が負の数のときは、かっこで囲みました。底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。

このレッスンでは、負の数の累乗にいつもかっこをつけてきました。つけないで書いたら、どうなるのでしょうか。

次のレッスンは「かっこがつくときとつかないとき」です。

\((-2)^{3}\) のようにかっこがある形と、ない形をならべて、意味のちがいを調べます。

次のレッスンへ　かっこがつくときとつかないとき　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。