かっこがつくときとつかないとき

このレッスンでできるようになること

• \((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) を読み分けて、それぞれの値を求められる
• 指数がどこまでにかかっているかを、かっこを見て決められる
• 負の数を累乗するとき、自分の式にはかっこをつけて書ける

前のレッスンの確認

• 累乗 … 同じ数をいくつかかけたもの
• 底 … 累乗で、繰り返しかける数
• 指数 … 累乗で右上に書く、かける個数を表す数
• 指数は、かける回数です。
• 底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。
• 負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 約分は、かける前に … 分子どうし・分母どうしをかける
• 整数に直して、小数点を打つ … ①小数点をとって、整数のかけ算にする ②小数点より右にあった数字の個数だけ、小数点を左へもどす

絶対値は記号でも書きます。\(|-4|\) は \(4\) です。

前のレッスンでは、負の数の累乗をすべてかっこつきで書きました。今回は、かっこのない形をならべます。

同じ数字なのに、値がちがう

二つの式を見くらべます。\((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) です。

出てくる数字は同じです。ちがいは、かっこがあるかないかだけです。

まず \((-4)^{2}\) を計算します。底は \(-4\) で、指数は \(2\) です。

\((-4)^{2}=(-4)\times(-4)\)

負の数が偶数個なら積は正、奇数個なら積は負になります。 負の数は \(2\) 個なので符号は \(+\) です。

絶対値は \(|-4|\) が \(4\) で、\(4\times 4=16\) です。

だから \((-4)^{2}=16\) になります。

次に \(-4^{2}\) です。こちらの底は \(4\) で、前についた \(-\) は底に入りません。

\(-4^{2}=-(4\times 4)\)

\(4\times 4=16\) なので、その反対の数で \(-4^{2}=-16\) になります。

\((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。

指数は、どこにかかっているか

なぜ、こんなことが起きるのでしょうか。指数は、かける回数です。 何をかけるかがちがうのです。

指数は、すぐ左にあるものだけにかかります。

\(-4^{2}\) で、指数のすぐ左にあるのは \(4\) です。だから \(4\) だけが底になります。

かっこがなければ、底は数の部分だけです。

前についた \(-\) は累乗の外にいて、累乗のあとで反対の数にする役目です。

かっこがあると、話が変わります。

かっこがあれば、かっこの中ぜんぶが底になります。

\((-4)^{2}\) で、指数のすぐ左にあるのは、かっこのまとまりです。中の \(-4\) が丸ごと底になります。

読み方をことばにすると、次のようになります。

たまたま同じ値になることがあります

いつも値がちがうわけではありません。\((-2)^{3}\) と \(-2^{3}\) をならべます。

底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。

\((-2)^{3}\) の指数は \(3\) で奇数なので、符号は \(-\) です。絶対値は \(2\times 2\times 2=8\) です。

だから \((-2)^{3}=-8\) になります。

\(-2^{3}\) は \(-(2\times 2\times 2)\) です。\(2\times 2\times 2=8\) なので、その反対の数で \(-8\) です。

どちらも \(-8\) になりました。

なぜ一致するのか

指数が \(3\) で奇数のとき、\((-2)^{3}\) の符号は \(-\) で、絶対値は \(2^{3}\) です。

\(-2^{3}\) のほうは \(2^{3}\) の反対の数です。符号は \(-\) で、絶対値はやはり \(2^{3}\) です。

符号も絶対値も同じなので、値がそろいます。

値が同じでも、意味は別です。\((-2)^{3}\) は「\(-2\) を \(3\) 個かける」式です。

\(-2^{3}\) は「\(2\) を \(3\) 個かけて、その反対の数をとる」式です。道すじがちがいます。

二つの形の値がそろうのは、指数が奇数のときだけです。

前についた符号の役目

もう二つ、形を見ておきます。\((-5)^{2}\) と \(-5^{2}\) です。

\((-5)^{2}\) は \((-5)\times(-5)\) で、負の数が \(2\) 個なので値は \(25\) です。

\(-5^{2}\) の底は \(5\) です。\(5\times 5=25\) で、その反対の数だから \(-25\) になります。

次は、かっこと \(-\) が両方ならぶ形です。\(-(-3)^{2}\) を見てください。

\(-\) が二つあり、役目がちがいます。かっこの中の \(-\) は底の符号で、\(-3\) が底になります。

前の \(-\) は累乗の外で、累乗を計算したあとで反対の数にします。

\((-3)^{2}\) は \(9\) なので、\(-(-3)^{2}=-9\) です。

前についた \(-\) は、累乗を計算したあとにかかります。

分数のときも、見るところは同じ

分数を累乗するときも、かっこが同じ役目をします。

\(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{2}\) の底は \(-\dfrac{3}{4}\) です。分母までが、かっこの中に入っています。

負の数が \(2\) 個なので符号は \(+\) です。約分は、かける前に を使いますが、ここでは約分できません。

分子どうし・分母どうしをかけて、\(\dfrac{9}{16}\) になります。

かっこがないと、どうなるでしょうか。\(-\dfrac{3^{2}}{4}\) を見てください。

指数の \(2\) は、すぐ左の \(3\) にだけかかります。分母の \(4\) にはかかりません。

\(3^{2}=9\) なので \(\dfrac{9}{4}\) です。前の \(-\) をつけて \(-\dfrac{9}{4}\) になります。

\(\dfrac{9}{16}\) と \(-\dfrac{9}{4}\) で、まるでちがう数になりました。

書くときのきまりと、読むときの読み分け

では、自分で式を書くときはどうすればよいでしょうか。

自分で式を書くときは、負の数を累乗するなら、かっこをつけます。

前のレッスンで決めたとおりです。負の数を、かっこで囲んで書きます。

かっこをつけておけば、読む人が迷いません。自分の見まちがいも減ります。

かっこのない形は、書きまちがいでしょうか。そうではありません。

\(-4^{2}\) は、\(-(4^{2})\) という意味を正しく表した式です。底が \(4\) であるだけです。

かっこのない形は、読むときに正しく読み分けられればよい形です。

入試では、かっこのない形で出題されることもあります。 読めるようにしておいてください。

例題1　かっこのある形とない形をならべる

次の累乗の値を求めなさい。

（1）\((-8)^{2}\)　（2）\(-8^{2}\)　（3）\((-3)^{3}\)　（4）\(-3^{3}\)

まず底を決めます。（1）の底は \(-8\) で、かける絶対値は \(|-8|\) の \(8\) です。

確かめ

（1）(−8) × (−8) = 64 　負が 2 個で 偶数個 だから 正
（2）8 × 8 = 64 　その反対の数だから −64
（3）(−3) × (−3) = 9 、9 × (−3) = −27
（4）3 × 3 = 9 、9 × 3 = 27 　その反対の数だから −27

答えの吟味

（1）と（2）は指数が偶数なので値が分かれ、（3）と（4）は奇数なのでそろいました。

答え　（1）\(64\)　（2）\(-64\)　（3）\(-27\)　（4）\(-27\)

例題2　かっこの前にも符号がある形

次の式の値を求めなさい。

（1）\(-(-9)^{3}\)　（2）\(-(-12)^{2}\)

先に累乗を計算し、そのあとで前の \(-\) をかけて反対の数にします。

確かめ

（1）(−9) × (−9) = 81 、81 × (−9) = −729 　その反対の数だから 729
（2）(−12) × (−12) = 144 　その反対の数だから −144

答えの吟味

（1）は累乗の値が負でした。反対の数をとったので、答えは正です。

答え　（1）\(729\)　（2）\(-144\)

例題3　分数と小数

次の式の値を求めなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{2}{7}\right)^{2}\)　（2）\(-\dfrac{2^{2}}{7}\)　（3）\((-0.3)^{2}\)

（1）でかける絶対値は \(\left|-\dfrac{2}{7}\right|\) で、\(\dfrac{2}{7}\) です。（2）の指数は分子だけにかかります。

（3）は 整数に直して、小数点を打つ で計算します。

確かめ

（1）7 分の 2 を 2 個かけて 49 分の 4 　負が 2 個だから +
（2）分母の 7 は そのまま 。分子だけ 2 × 2 = 4 　前の − がついて 7 分の 4 の反対の数
（3）(−0.3) × (−0.3) 　3 × 3 = 9 、右にあった数字は 合わせて 2 つ → 0.09

答えの吟味

（1）と（2）は分母が \(49\) と \(7\) でちがいます。指数のかかる範囲がちがうからです。

答え　（1）\(\dfrac{4}{49}\)　（2）\(-\dfrac{4}{7}\)　（3）\(0.09\)

例題4　ことばから式を作る

次の数を累乗を使った式で書き、値を求めなさい。

（1）\(-6\) を \(4\) 個かけた数　（2）\(6\) を \(4\) 個かけて、その反対の数をとった数

ならべる数を先に決めます。負の数をならべるなら、かっこをつけます。

確かめ

（1）(−6) × (−6) = 36 、36 × (−6) = −216 、(−216) × (−6) = 1296
（2）6 × 6 = 36 、36 × 6 = 216 、216 × 6 = 1296 　その反対の数だから −1296

答えの吟味

（1）は負の数が \(4\) 個で偶数個なので正、（2）はその反対の数なので負です。

答え　（1）\((-6)^{4}=1296\)　（2）\(-6^{4}=-1296\)

例題5　累乗をふくむかけ算

次の式を計算しなさい。

（1）\((-4)^{2}\times(-20)^{2}\)　（2）\(-4^{2}\times(-20)^{2}\)

累乗をそれぞれ先に計算します。そのあとで、二つの数をかけます。

確かめ

（1）(−4) × (−4) = 16 　(−20) × (−20) = 400 　負が 2 個だから +
（1）16 × 400 = 6400 　負がないので +
（2）−(4 × 4) = −16 　(−16) × 400 　負が 1 個で 奇数個 だから − 、16 × 400 = 6400

答えの吟味

左のかっこがあるかないかだけで、答えが \(6400\) と \(-6400\) に分かれました。

答え　（1）\(6400\)　（2）\(-6400\)

今日の問い

\((-2)^{3}\) と \(-2^{3}\) は同じ値で、\((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) はちがいました。

分かれ目は、指数が偶数か奇数かです。

指数が奇数のときは符号も絶対値もそろい、偶数のときは符号が分かれます。

同じ値になっても、意味は別です。 読むときは、いつも指数のすぐ左を見てください。

よくある間違い

まちがい1：かっこがないのに、符号まで底にしてしまう

\(-19^{2}\) の値を求める問題です。

✗ 底は −19 だから
✗ (−19) × (−19) = 361

かっこがないので、\(-\) は底に入りません。底は \(19\) です。

○ 指数の すぐ左は 19 だから 底は 19
○ 19 × 19 = 361 　その反対の数で 答えは −361

誤答の \(361\) が、どの式の値かを見てみます。

361 は (−19) × (−19) なので (−19) の 2 乗 の値
誤答は 361 。正しい答え −361 と符号がちがうので、まちがい

かっこがなければ、底は数の部分だけです。

まちがい2：前の符号を、先にかっこの中へ入れてしまう

\(-(-25)^{2}\) の値を求める問題です。

✗ − と − で + になるから
✗ 25 × 25 = 625

前の \(-\) は累乗の外にいます。中の \(-\) とかけ合わせることはできません。

○ 先に (−25) × (−25) = 625
○ そのあとで 前の − がかかって 答えは −625

誤答の \(625\) が、どの式の値かを見てみます。

625 は (−25) × (−25) なので (−25) の 2 乗 の値
前の − を まだ 使っていない
誤答は 625 。正しい答え −625 と符号がちがうので、まちがい

前の \(-\) は、累乗を計算したあとにかかります。

まちがい3：一度そろったから、いつもそろうと決めてしまう

\(-7^{4}\) の値を求める問題です。

✗ (−2) の 3 乗 と −2 の 3 乗 は 同じ値だった
✗ だから (−7) の 4 乗 と −7 の 4 乗 も 同じ
✗ 答えは 2401

そろったのは、指数が奇数だったからです。\(4\) は偶数なのでそろいません。

○ (−7) の 4 乗 は 負が 4 個で 偶数個 だから 正で 2401
○ −7 の 4 乗 は 7 × 7 × 7 × 7 = 2401 の反対の数で −2401

誤答の \(2401\) が、どの式の値かを見てみます。

7 × 7 = 49 、49 × 7 = 343 、343 × 7 = 2401
2401 は (−7) の 4 乗 の値 。−7 の 4 乗 は この反対の数
誤答は 2401 。正しい答え −2401 と符号がちがうので、まちがい

二つの形の値がそろうのは、指数が奇数のときだけです。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。まず底を決めることから始めます。

1. 次の式の値を求めなさい。 （1）\((-16)^{2}\)　（2）\(-16^{2}\)

2. 次の式の値を求めなさい。 （1）\((-11)^{3}\)　（2）\(-11^{3}\)

3. \(-(-14)^{2}\) の値を求めなさい。

4. \(-(-1)^{12}\) の値を求めなさい。

5. 次の式の値を求めなさい。 （1）\(\left(-\dfrac{5}{6}\right)^{2}\)　（2）\(-\dfrac{5^{2}}{6}\)

6. 次の式の値を求めなさい。 （1）\((-0.1)^{3}\)　（2）\(-0.1^{3}\)

7. \(-13^{2}\) について、底と指数を答えなさい。値も求めなさい。

8. 次の三つの式のうち、値が等しいのはどれとどれですか。 ア \((-12)^{3}\)　イ \(-12^{3}\)　ウ \(-(-12)^{3}\)

9. 次の式を計算しなさい。 （1）\((-1)^{8}\times(-17)^{2}\)　（2）\(-1^{8}\times(-17)^{2}\)

10. 次のうち、値が正の数になるものをすべて選びなさい。 ア \((-2)^{10}\)　イ \(-2^{10}\)　ウ \(-(-2)^{10}\)　エ \((-2)^{9}\)

11. \((-15)^{3}\) と \(-15^{3}\) は、どちらも \(-3375\) になります。値が同じなのに、式の意味がちがう理由を書きなさい。

12. 次の数を累乗を使った式で書き、値を求めなさい。 （1）\(-18\) を \(2\) 個かけた数　（2）\(18\) を \(2\) 個かけて、その反対の数をとった数

1（1）(−16) × (−16) = 256 　負が 2 個で 偶数個 だから 正
1（2）16 × 16 = 256 　その反対の数だから −256
2（1）(−11) × (−11) = 121 、121 × (−11) = −1331
2（2）11 × 11 = 121 、121 × 11 = 1331 　その反対の数だから −1331

3 　(−14) × (−14) = 196 　その反対の数だから −196
4 　(−1) を 12 個かける 。偶数個なので 1 　その反対の数だから −1

5（1）6 分の 5 を 2 個かけて 36 分の 25 　負が 2 個だから +
5（2）分母の 6 は そのまま 。分子だけ 5 × 5 = 25 　その反対の数
6（1）(−0.1) を 3 個かける 。奇数個だから − 、絶対値は 0.001
6（2）0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001 　その反対の数だから −0.001

7 　13 × 13 = 169 　その反対の数だから −169
8 ア　(−12) × (−12) = 144 、144 × (−12) = −1728
8 イ　12 × 12 = 144 、144 × 12 = 1728 　その反対の数だから −1728
8 ウ　アの値 −1728 の反対の数だから 1728

9 　(−17) × (−17) = 289 　1 × 289 = 289 、(−1) × 289 = −289
10 ア　指数 10 は偶数 。底が負でも 偶数個なら 正
10 イ　底は 2 で 正 。その反対の数だから 負 。ウ も アの反対で 負
10 エ　指数 9 は奇数 。底が負で 奇数個だから 負

11 　(−15) × (−15) = 225 、225 × (−15) = −3375
11 　15 × 15 = 225 、225 × 15 = 3375 　その反対の数だから −3375
12（1）(−18) × (−18) = 324 　偶数個だから 正
12（2）18 × 18 = 324 　その反対の数だから −324

次のレッスンへ

かっこがあるかないかで、指数のかかる範囲が変わることが分かりました。

指数は、すぐ左にあるものだけにかかります。 かっこがあれば、かっこの中ぜんぶが底になります。

だから \((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。 \(16\) と \(-16\) でした。

指数が奇数のときは値がそろいます。それでも意味は別です。

自分で書くときはかっこをつけ、読むときは両方を読み分けます。

次のレッスンは「分配法則」です。

かっこの中を先に計算する道と、それぞれにかける道をくらべます。

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